nc - cap25

nc - cap25

(Parte 1 de 7)

Capıtulo 25 A Medida de Lebesgue e a Medida de Hausdorff

25.1 A Construcao da Medida de Lebesgue em Rn1125
25.1.1 A σ-algebra de Borel em Rn e a Medida de Borel-Lebesgue1127
25.2 As Medidas de Hausdorff1129
25.3 Conjuntos de Cantor13
25.4 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue1142
25.5 Exercıcios Adicionais14

Conteudo presente capıtulo e dedicado a construcao da medida de Lebesgue e da medida de Hausdorff segundo os passos delineados no Teorema de Caratheodory, Teorema 24.1, pagina 1 e no Teorema 24.4, pagina 1121. A medida de Lebesgue1 em R e o nome dado a medida de comprimento usual de certos subconjuntos adequados da reta real. O termo “adequado” e crucial aqui pois, como discutimos no inıcio do Capıtulo 24, nao e para qualquer subconjunto de R que o conceito de comprimento esta definido. E, portanto, essencial determinar σ-algebras para cujos elementos a nocao de comprimento nao envolva paradoxos como os que encontramos quando tratamos do comprimento do conjunto de Vitali (pagina 1104). Fora isso, desejamos que essa medida de comprimento satisfaca certas condicoes adicionais, a mais importante sendo a invariancia por translacoes. Desejamos tambem que os intervalos (a, b), [a, b], (a, b] e [a, b) sejam todos mensuraveis e com medida b − a.

Com intuito de atingir maior generalidade apresentaremos a construcao da medida de Lebesgue nos espacos Rn.

Para construir a medida de Lebesgue em Rn seguiremos a estrategia sugerida pelo Teorema de Caratheodory (Teorema 24.1, pagina 1): vamos primeiro construir uma medida exterior sobre os subconjuntos de Rn que seja conveniente aos nossos propositos. O Teorema de Caratheodory, entao, afirma que existe uma σ-algebra Mµ sobre a qual a medida exterior e uma medida. Essa σ-algebra e denominada σ-algebra de Lebesgue e a medida correspondente e denominada medida de Lebesgue.

Em seguida, na Secao 25.2, pagina 1129, apresentaremos a construcao das chamadas medidas de Hausdorff2, as quais tem relevancia no estudo de conjuntos ditos fractais, os quais aparecem em diversas areas da Fısica e da Matematica, notadamente na teoria dos Sistemas Dinamicos, por exemplo, na forma de atratores de solucoes de certas equacoes diferenciais.

A Secao 25.3, pagina 13, e dedicada ao estudo dos chamados conjuntos de Cantor, que exibem ilustrativamente diversas propriedades de interesse.

25.1 A Construcao da Medida de Lebesgue em R n

Construiremos a medida de Lebesgue em Rn seguindo o esquema descrito na Proposicao 24.2 e no Teorema 24.4 da Secao 24.4, pagina 1120. Para tal devemos definir os seguintes ingredientes: 1. uma colecao de conjuntos R de Rn; 2.

uma funcao positiva h definida em R e 3. para cada A ⊂ Rn uma colecao CR(A) de recobrimentos contaveis de A por elementos de R, ingredientes estes que devem satisfazer as condicoes da Proposicao 24.2 e do Teorema 24.4.

com −∞ < ak < bk < ∞ para todo k = 1,, n. O conjunto vazio e tambem honorificamente (e convenientemente)

Para R escolhemos a colecao de todos os n-cubos semi-abertos limitados da forma R = [a1, b1)×···×[an, bn) ⊂ Rn incluıdo em R. A escolha de cubos semi-abertos, e nao abertos ou fechados, deve-se essencialmente a dois fatos: 1. com eles torna-se mais facil demonstrar a invariancia por rotacoes da medida de Lebesgue; 2. com eles torna-se mais simples provar que a medida de Lebesgue e uma medida metrica.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 25 1126/1730

Por exemplo, para n = 1 cada 1-cubo R ∈ R e um intervalo semi-aberto limitado [a, b) com −∞ < a < b < ∞.

Para cada n-cubo R da forma R = [a1, b1) × · × [an, bn) ⊂ Rn definimos

Como na Secao 24.4, para cada A ⊂ Rn denotamos por CR(A) a colecao de todos os recobrimentos de A por colecoes contaveis de n-cubos semi-abertos e limitados.

Com essas escolhas e relativamente facil constatar a validade das hipoteses do Teorema 24.4. Em particular, todo

A ⊂ Rn possui um recobrimento por colecoes contaveis de n-cubos semi-abertos e limitados. A Proposicao 24.2 e o Teorema 24.4 garantem que

definida para todo A ⊂ Rn, e uma medida exterior em Rn, denominada medida exterior de Lebesgue de Rn.

Devemos gastar algumas palavras sobre a interpretacao de (25.2). A colecao R e uma colecao de cubos n-dimensionais e, para um tal n-cubo R, a funcao h(R) fornece o volume de R. Assim, H(R) fornece a soma de uma colecao contavel R de n-cubos e µ(A) e o menor valor possıvel (o ınfimo) de H(R) dentre todas as colecoes contaveis de n-cubos que recobrem A.

Com isso em maos, temos agora permissao para evocar o Teorema de Caratheodory (Teorema 24.1, pagina 1), e afirmar que a colecao Mµ formada por todos os subconjuntos A de Rn que tenham a propriedade e uma σ-algebra e que µL e uma medida em Mµ , que denotaremos por µL. A medida µL assim definida e chamada de medida de Lebesgue de Rn e Mµ e chamada de σ-algebra de Lebesgue de Rn. Os elementos de Mµ sao chamados de conjuntos mensuraveis por Lebesgue de Rn.

Antes de mostrarmos que a colecao Mµ e de fato nao-trivial (um fato que nao e obvio ate aqui), o que faremos na

Secao 25.1.1, vamos exibir duas propriedades basicas da medida de Lebesgue: invariancia por translacoes e regularidade.

• Invariancia de µL por translacoes

A medida e Lebesgue de Rn satisfaz um requerimento basico associado a nocao usual de volume de conjuntos:

invariancia por translacoes. Mais precisamente, tem-se que para todo A ∈ Rn, A ∈ Mµ e todo x ∈ Rn o conjunto transladado Ax := {y ∈ Rn, y − x ∈ A} e tambem elemento de Mµ e tem-se µL(Ax) = µL(A). A demonstracao desses fatos e simples e e deixada como exercıcio ao estudante.

E. 25.1 Exercıcio. Prove que para todo A ∈ Mµ e todo x ∈ Rn tem-se Ax ∈ Mµ e que µL(Ax) = µL(A). Sugestao:

Prove primeiro que para todo E ⊂ Rn e todo x ∈ Rn tem-se µL(Ex) = µL(E). Para isso, use a definicao (25.2) e o fato

Em seguida, use esse fato para mostrar que se A e mensuravel por Lebesgue entao Ax tambem o e (para qualquer x ∈ Rn), ou seja, mostre que se µL(E) = µL(E ∩ A) + µL(E ∩ Ac) para todo E ⊂ Rn entao µL(E) = µL(E ∩ Ax) + µL(E ∩ Acx) para todo E ⊂ Rn. Conclua dos fatos acima que µL(Ax) = µL(A) para todo A ∈ Mµ e todo x ∈ Rn. 6

• Regularidade de µL

A medida µL possui as seguintes propriedades. Para todo B ∈ Mµ vale µL(B) = sup{µL(C), C compacto com C ⊂ B} (regularidade interior) ,

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 25 1127/1730

Aqui, a topologia considerada e a topologia usual de Rn, τR . Nao apresentaremos as demonstracoes aqui e o leitor podera encontra-las nos bons livros sobre teoria da medida (por exemplo, em [159] ou em [160]). Mencionamos que as propriedades de regularidade acima sao importantes em varios desenvolvimentos.

Uma questao muito importante agora e saber se Mµ nao e uma σ-algebra trivial e se certos conjuntos “razoaveis”, tais como intervalos abertos, fechados e semi-abertos, sao mensuraveis por Lebesgue. A resposta a esta questao e dada na proxima secao, onde discutiremos a relacao entre a σ-algebra de Lebesgue em Rn e a σ-algebra de Borel.

25.1.1 A σ-algebra de Borel em Rn e a Medida de Borel-Lebesgue

Ate o momento nada indica que a σ-algebra de Lebesgue construıda acima contenha elementos nao-triviais, mas provaremos agora que todo conjunto Boreliano de Rn e mensuravel por Lebesgue.

A chamada σ-algebra de Borel3 em Rn e, por definicao, a menor σ-algebra que contem a topologia usual de Rn, τR , induzida pela metrica Euclidiana de Rn. Ou seja, e a σ-algebra M[τR ] gerada pela topologia τR . Vide definicao a pagina 1090.

A afirmacao que todo conjunto Boreliano de Rn e mensuravel por Lebesgue e uma consequencia, via Teorema 24.3, pagina 1119, do fato de que a medida exterior de Lebesgue e uma medida metrica.

Proposicao 25.1 A medida exterior de Lebesgue em Rn, definida em (25.2), e uma medida exterior metrica (para a definicao, Secao 24.3.1, pagina 1117). 2

ak < bk < ∞ para todo k = 1,, n, pode ser ser escrito como uma uniao finita de n-cubos semi-abertos menores

Prova. Observemos primeiramente que cada n-cubo semi-aberto como R = [a1, b1) × · × [an, bn) ⊂ Rn com −∞ < disjuntos. Por exemplo, em n = 1 podemos escrever [a, b) = [a, c) ∪ [c, b) com a < c < b. O diametro desses n-cubos semi-abertos menores disjuntos tambem pode ser escolhido arbitrariamente pequeno. Por exemplo, em n = 1

k , k = 0,, m ,
e, para qualquer δ > 0 podemos fazer |ck − ck+1| = (b − a)/m < δ para todo k = 0,, m, tomando m grande o

) suficiente (a saber, m > (b − a)/δ). Com isso, e facil perceber que a definicao (25.2) equivale a

para todo A ⊂ Rn, onde os elementos de Rδ sao n-cubos semi-abertos de diametro menor ou igual a δ.

Suponhamos agora que A e B ⊂ Rn sejam tais d(A, B) = ǫ > 0. Se R e um recobrimento de A ∪ B por n-cubos semi-abertos de diametro menor ou igual a δ e δ for escolhido menor que ǫ, entao e possıvel afirmar que R e a uniao de tres conjuntos disjuntos: RA, RB e R0, sendo RA um recobrimento de A que nao intersecta B, RB um recobrimento de

B que nao intersecta A e R0 que nao intersecta A nem B. Se assim nao fosse, existiria um n-cubo em R intersectando A e B, o que so e possıvel se seu diametro fosse maior que ǫ.

Notemos que RA ∈ CR (A), que RB ∈ CR

(B) e que, importante, R0 pode ser vazio. Tem-se, portanto,∑

devido a disjuncao dos conjuntos e RA, RB e R0. Logo,∑

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 25 1128/1730

Logo, ao tomarmos o ınfimo sobre CR (A∪B) em (25.4) podemos nos restringir a conjuntos R da forma RA ∪RB como descritos acima (com R0 vazio). Disso segue que

inf

= µL(A) + µL(B) , completando a prova que µL e uma medida exterior metrica.

Segue imediatamente do Teorema 24.3, pagina 1119, a seguinte afirmacao:

(Parte 1 de 7)

Comentários