nc - cap24

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Capıtulo 24 Medidas

24.1 O Problema da Teoria da Medida1104
24.2 Medidas de Conjuntos. Definicao, Exemplos e Propriedades Basicas1107
24.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory1110
24.3.1 Medidas Exteriores Metricas e Conjuntos Borelianos1117
24.4 Um Esquema de Construcao de Medidas Exteriores1120
APENDICES1123
24.A Prova das Formulas de Inclusao-Exclusao1123

Conteudo presente capıtulo visa apresentar ao estudante a nocao de medida de conjuntos, algumas de suas propriedades basicas e exemplos elementares e, por fim, discutir uma construcao importante de medidas devida a Caratheodory1. O caso importante da chamada medida de Lebesgue2 e discutido com essa base no Capıtulo 25, pagina 1125. Comecaremos com uma discussao parcialmente informal sobre os problemas basicos por tras da nocao intuitiva de medida de conjuntos.

24.1 O Problema da Teoria da Medida

Em uma primeira instancia, o objetivo da area da Analise conhecida como Teoria da Medida e dar fundamento as ideias intuitivas de comprimento, area, volume etc. de subconjuntos de Rn. Grandezas como comprimento, area, volume etc. de subconjuntos de Rn sao referidas genericamente como medidas de tais conjuntos e a Teoria da Medida cabe nao so apresentar definicoes precisas de tais conceitos mas tambem cabe determinar que classes de conjuntos sao mensuraveis, ou seja, a quais conjuntos tais conceitos sao aplicaveis.

Talvez surpreenda ouvir pela primeira vez que conceitos como comprimento, area e volume nao possam ser aplicados a qualquer conjunto e que a manipulacao dos mesmos, se feita sem o devido cuidado, possa levar a situacoes paradoxais. Entretanto, como mostra o exemplo do conjunto de Vitali, tratado na proxima secao, existem, ja no simples caso da reta real, conjuntos para os quais o conceito de comprimento nao pode ser definido. A dificuldade que temos de sequer imaginar como devem ser tais conjuntos reside, talvez, no fato que os mesmos serem de construcao incomum (a construcao, como veremos, faz uso explıcito do Axioma da Escolha).

A Teoria da Medida nao se restringe, porem, a tratar de conceitos geometricos como comprimento, area etc., sendo que o conceito formal de medida de um conjunto extrapola em muito esse campo de aplicacoes, como veremos. Fora isso, a Teoria da Medida nao se limita apenas ao estudo do conceito de medida e de conjuntos mensuraveis, mas tem como seu mais importante objetivo formalizacao da teoria da integracao. Que os conceitos de medida e de integral sao conectados diz-nos ja a velha nocao de integral definida como sendo o “area sob o grafico” de uma funcao. De fato, a teoria da medida fornece material poderoso para um tratamento mais profundo do conceito de integral e de suas extensoes. Nestas notas, o tratamento da Teoria da Integracao sera iniciado no Capıtulo 27, pagina 16.

Todos esses conceitos serao tratados de modo cuidadoso adiante, mas achamos por bem comecar mostrando ao estudante a origem de toda a problematica: a existencia de conjuntos nao mensuraveis.

• O exemplo de Vitali

Considere-se o conjunto R dos numeros reais e seus subconjuntos. Temos uma nocao intuitiva clara do que seja o comprimento de intervalos da reta real como (a, b) ou [a, b] ou [a, b) ou (a, b]. Em todos esses casos o comprimento e o numero positivo (ou nulo) b − a. Para um intervalo I como os de acima, denotemos por m(I) o seu comprimento. Assim, por exemplo, m([a, b]) = b − a, para todo a e b com b ≥ a.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 24 1105/1730

Se um conjunto A ⊂ R for formado pela uniao disjunta de dois intervalos I e J como os de acima, e tambem intuitivo que o comprimento de A seja dado por m(A) = m(I) + m(J), ou seja, pela soma dos comprimentos dos intervalos disjuntos que formam A. Se A for formado por uma uniao disjunta contavel de intervalos Ia, a ∈ N, entao, igualmente, e natural dizer que o comprimento total de A e dado por

Note-se que nao excluımos a possibilidade de A ser um conjunto com comprimento infinito, como e o caso da semi-reta [0, ∞), que, alias pode ser escrita como a uniao contavel disjunta de intervalos de comprimento 1 do tipo [n, n+1) com n ∈ N0. Conjuntos com comprimento zero, como conjuntos com um so elemento {x} tambem existem.

Dessas nocoes extraımos o seguinte princıpio: se um conjunto A puder ser escrito como uma uniao disjunta contavel de outros conjuntos Ba, a ∈ N, que possuem um comprimento bem definido (finito ou nao), entao o comprimento de A

deve ser dado pela soma dos comprimentos de cada Ba, seja essa soma finita ou nao:m (⋃

Outra propriedade razoavel que devemos supor do conceito de comprimento de um conjunto e que se A e B sao conjuntos e A ⊂ B entao m(A) ≤ m(B). Note que podemos ter a igualdade mesmo que A seja um subconjunto proprio de B. Esse e, por exemplo, o caso dos conjuntos A = (1, 3) e B = [1, 3] onde tanto A quanto B tem o mesmo comprimento, a saber 2.

Por fim, uma ultima condicao razoavel que o a nocao usual de comprimento de subconjuntos da reta deve satisfazer e o de invariancia por translacoes. Seja E ⊂ R. Denotemos por Ex, ou por E + x, o conjunto E transladado por um numero x ∈ R, ou seja:

y ∈ R, com y = a+x para algum a ∈ E} .

Entao, e razoavel supor que m(Ex) = m(E) para qualquer x ∈ R.

O que vamos agora fazer e mostrar que existem subconjuntos da reta real para os quais nao ha a menor possibilidade de definir um comprimento m que satisfaca os requerimentos razoaveis delineados acima.

O exemplo que construiremos e conhecido como exemplo de Vitali3. Vamos supor que a todo subconjunto E da reta real possamos associar um comprimento m(E) com as condicoes mencionadas acima. Seja o intervalo I = [0, 1]. Definamos em I uma relacao de equivalencia da seguinte forma. Dois pontos x e y, ambos elementos de I, sao ditos ser equivalentes, x ∼ y, se e somente se x − y for um numero racional.

E. 24.1 Exercıcio. Prove que isso define de fato uma relacao de equivalencia. 6

O fato de termos assim criado uma relacao de equivalencia em I significa que I pode ser escrito como uma uniao disjunta das classes de equivalencia por essa relacao. Usando o Axioma da Escolha podemos construir um conjunto, que chamaremos de V , tomando um e somente um elemento arbitrario de cada classe de equivalencia de I. Obviamente, temos V ⊂ I.

Seja agora Vr o conjunto obtido transladando-se o conjunto V por um numero r ∈ Q. Vamos mostrar que Vr ∩Vs = ∅ se r 6= s com r, s ∈ Q, ou seja, que Vr e Vs sao disjuntos se r e s forem elementos distintos de Q. Para ver isso suponhamos o contrario, ou seja, que exista um elemento u ∈ Vr ∩ Vs. Como u ∈ Vr entao u = v + r, para algum elemento v ∈ V . Por outro lado, como u ∈ Vs entao u = v′ + s, para algum elemento v′ ∈ V . Portanto v + r = v′ + s e v−v′ = s−r. Como s−r e um racional entao v ∼ v′. Mas isso so e possıvel se v = v′ pois, ao construirmos V , tomamos um e somente um elemento de cada classe de equivalencia de I, o que significa dizer que elementos distintos de V nao podem ser equivalentes. Por outro lado, se v = v′ a relacao v − v′ = s − r diz que s = r, o que contraria as hipoteses.

Vamos denotar por Q1 o conjunto de todos os numeros racionais contidos no intervalo [−1, 1]: Q1 = Q ∩ [−1, 1]. Afirmamos que as seguintes relacoes de inclusao sao validas:

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 24 1106/1730

Vamos provar isso. A relacao ⋃ r∈Q Vr ⊂ [−1, 2] e obvia pois V e um subconjunto do intervalo [0, 1] e, ao transladarmos V por um numero r do conjunto Q1 podemos no maximo cair dentro de [−1, 2].

r∈Q Vr pode ser vista da seguinte forma. Se x ∈ [0, 1] entao x pertence a uma classe de equivalencia V. Seja v o elemento de V que foi escolhido para comparecer em V como o representante de V. Como x e v sao membros da mesma classe de equivalencia, entao x − v e um racional s. Como x e v sao elementos de [0, 1], entao sua diferenca deve ser um elemento de [−1, 1]. Assim, vemos que s ∈ Q1. Logo, x ∈ Vs com s ∈ Q1. Como isso vale

r∈Q Vr como querıamos mostrar.

Que consequencias isso tudo tem? Pela hipotese que se A ⊂ B entao m(A) ≤ m(B), segue de (24.1) que

r∈Q Vr ou seja,

r∈Q Vr

Pelo que vimos acima a uniao ⋃ r∈Q Vr e uma uniao disjunta e contavel (pois os racionais sao contaveis). Logo, pelas nossas hipoteses sobre m, temos que m ⋃

r∈Q Vr

A desigualdade acima fica entao

Por fim, pela hipotese que m e invariante por translacoes, segue que m(Vr) = m(V ) e, portanto,

Agora, essa relacao e absurda pois nao pode ser nunca satisfeita para m(V ) ≥ 0. Se m(V ) = 0 a primeira desigualdade e violada e se m(V ) > 0 (ou infinito) a segunda o e pois a soma e infinita.

O que esta errado? O erro esta em supor que se possa atribuir ao conjunto V um comprimento m(V ). O conjunto

V , que e chamado conjunto de Vitali, e um exemplo de um conjunto nao-mensuravel. A ele nao e possıvel atribuir um comprimento, nem nulo, nem finito, nem infinito.

Para finalizar essa discussao fazemos notar que fizemos uso de modo crucial do Axioma da Escolha na construcao do conjunto V acima. Em outros esquemas axiomaticos sobre a teoria dos conjuntos subjacente a Matematica o Axioma da Escolha pode ser substituıdo por um outro axioma que impeca a construcao de conjuntos como V . Tais esquemas conduzem, entretanto, a Matematicas em um certo sentido empobrecidas, nas quais varios resultados de interesse nao podem mais ser estabelecidos.

Para a leitura do que segue neste Capıtulo e conveniente que o estudante esteja familiarizado com a nocao de σ-algebra e suas propriedades basicas. Vide Capıtulo 23, pagina 1081.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 24 1107/1730

24.2 Medidas de Conjuntos. Definicao, Exemplos e Propriedades Basicas

• A definicao de medida

Uma vez visto que problemas com a mensurabilidade de conjuntos podem existir, vemo-nos forcados a tratar o problema de conceitualizar a nocao intuitiva de medida reunindo instrumentos mais solidos para sua abordagem.

Seja X um conjunto nao-vazio e M uma σ-algebra em X (para a definicao, vide Capıtulo 23, pagina 1081). Vamos apresentar o conceito formal de medida. Uma medida em M e uma funcao µ que associa a cada elemento da σ-algebra M um numero real ≥ 0 ou infinito, ou seja, µ : M → R+ ∪ {∞} e de tal forma que as seguintes condicoes sejam satisfeitas:

2. Se Ai, i ∈ N, e uma colecao contavel e disjunta de elementos de M entaoµ (⋃

A propriedade 2 e por vezes denominada aditividade contavel, ou ainda σ-aditividade.

Uma palavra tem que ser dita aqui sobre o significado dessa definicao. Conforme vimos, ha conjuntos em R aos quais nao podemos atribuir uma nocao razoavel de comprimento. O problema consiste entao em identificar classes de conjuntos para os quais esta definicao pode fazer sentido sem que venhamos a cair em paradoxos como os envolvendo o conjunto de Vitali. A experiencia mostrou que σ-algebras sao justamente o ambiente ideal para desenvolver a nocao de medida de conjuntos, sem que se recaia em dificuldades logicas serias. Daı restringirmos a definicao de medida a σ-algebras. A propriedade (24.2) e de importancia crucial para o desenvolvimento da teoria de medida (e como tal, um achado historico) e e chamada de propriedade de σ-aditividade.

• Exemplos Vamos a alguns exemplos basicos de medidas.

1. A medida de contagem. Seja X um conjunto nao-vazio e M = (X). Para E ∈ M definimos

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