nc - cap23, Notas de estudo de Física

Baixe nc - cap23 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Caṕıtulo 23 Espaços Topológicos e Espaços Mensuráveis. Definições e Propriedades Básicas Conteúdo 23.1 Definições, Propriedades Elementares e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081 23.2 Algumas Construções Especiais e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086 23.2.1 Topologias e σ-Álgebras Geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086 23.2.2 Bases de Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090 23.2.3 Topologias e σ-Álgebras Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092 23.2.4 Topologias e σ-Álgebras Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094 23.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094 23.3.1 Fecho de Conjuntos em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 23.4 Espaços Topológicos Separáveis e Segundo-Contáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 I ntroduziremos neste caṕıtulo dois conceitos de importância fundamental em Matemática, o conceito de EspaçoTopológico e o conceito de Espaço Mensurável. O primeiro conceito é uma generalização do conceito de EspaçoMétrico, introduzido no Caṕıtulo 21, página 1003, e o segundo é moldado de forma a permitir uma definiçãoconsistente do conceito intuitivo de medida (como comprimento, área, volume etc.) de um conjunto. De modo muito simplificado, podemos dizer que Topologias desempenham um papel quando se faz necessário o emprego de noções como as de convergência e continuidade, enquanto que Espaços Mensuráveis são especialmente relevantes na teoria da integração e na teoria de probabilidades. As noções de Espaço Topológico e Espaço Mensurável penetram áreas da Matemática tão variadas quanto a Análise, a Análise Funcional, a Geometria Diferencial, a Teoria das Equações Diferenciais, a Teoria de Grupos, a Teoria de Probabilidades e outras, através das quais exercem também sua influência sobre praticamente toda a F́ısica. Falaremos um pouco mais sobre o significado e sobre a importância de cada conceito adiante. Dado um conjunto X (doravante considerado não-vazio), denota-se por P(X) a coleção de todos os subconjuntos de X . Assim, em śımbolos, podemos expressar o fato de um conjunto A ser um subconjunto de X escrevendo A ⊂ X ou A ∈ P(X). É natural que X ∈ P(X) e convenciona-se que ∅ ∈ P(X). Como sempre, se A ⊂ X , denotamos por Ac o conjunto X \A, dito o complementar de A em X . Estamos muitas vezes interessados em estudar propriedades de certas coleções de subconjuntos de X (ou seja de subconjuntos de P(X)) que possuem certas caracteŕısticas de interesse. Há dois tipos de coleções de subconjuntos que merecem particular atenção: as chamadas topologias e as chamadas σ-álgebras. Vamos às definições. Para um texto dedicado à história da Topologia, vide [101]. 23.1 Definições, Propriedades Elementares e Exemplos • Topologia Uma coleção τ de subconjuntos de X , ou seja, τ ⊂ P(X), é dito ser uma topologia em X se os seguintes requisitos forem satisfeitos: 1. ∅ ∈ τ e X ∈ τ . 2. Se A ∈ τ e B ∈ τ então A ∩B ∈ τ . 3. Se I é um conjunto arbitrário de ı́ndices e Aλ ∈ τ para todo λ ∈ I então ⋃ λ∈I Aλ também é um elemento de τ . 1081 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1082/1730 • σ-álgebra Uma coleção M de subconjuntos de X , ou seja, M ⊂ P(X), é dita ser uma σ-álgebra em X se os seguintes requisitos forem satisfeitos: 1. ∅ ∈M e X ∈M. 2. Se A ∈M então Ac ≡ X \A ∈M. 3. Se {An, n ∈ N} é uma coleção enumerável arbitrária de elementos de M, então ⋃ n∈N An também é um elemento de M. • Comentários e nomenclatura • Um conjunto X dotado de uma topologia τ é dito ser um espaço topológico. De um modo um pouco mais técnico, um espaço topológico é um par (X, τ) onde X é um conjunto não-vazio e τ ⊂ P(X) é uma topologia em X . • Um conjunto X dotado de uma σ-álgebra M é dito ser um espaço mensurável. De um modo um pouco mais técnico, um espaço mensurável é um par (X, M) onde X é um conjunto não-vazio e M ⊂ P(X) é uma σ-álgebra em X . • Idéias relacionadas à de Topologia já habitam a Matemática há muito, mas foi nas duas primeiras décadas do século XX que as mesmas começaram a ser sistematizadas e abstráıdas, como resultado do trabalho de vários indiv́ıduos, como Cantor1, Fréchet2, Riesz3 e Hausdorff4. A palavra topologia é um pouco mais antiga, tendo sido cunhada por Listing5 em 1847, o qual tomara contacto com idéias topológicas sob influência de Gauss6. A noção de conjuntos abertos e fechados (na topologia usual da reta real) foi introduzida por Cantor. Fréchet percebeu sua conexão com a noção de métrica (a qual introduziu). A noção moderna de Espaço Topológico foi introduzida pela primeira vez por Hausdorff em 1914. Hausdorff também cunhou a expressão “espaço métrico”, noção criada por Fréchet em 1906, e foi o primeiro a introduzir a noção de medida, entre outras coisas. • A palavra “álgebra” na designação “σ-álgebra” tem origem histórica em uma analogia observada por Felix Hausdorff entre certas operações envolvendo conjuntos, tais como união e intersecção, e operações algébricas de soma e multiplicação. Apesar disso o conceito de σ-álgebra não deve ser confundido de forma alguma com o conceito usual de álgebra (um espaço vetorial com um produto entre seus elementos). A analogia a que nos referimos é a de que a operação de união de conjuntos disjuntos pode ser entendida como uma “soma” de conjuntos com um elemento neutro, a saber, o conjunto vazio (pois A ∪ ∅ = A para qualquer conjunto A). O papel de “multiplicação” entre conjuntos seria exercido pela intersecção, onde novamente o conjunto vazio seria o elemento neutro (pois sempre A ∩ ∅ = ∅). Ainda sobre a nomenclatura, o “σ” do nome “σ-álgebra” é usado em função da propriedade 3 da definição, que se refere ao fato de σ-álgebras serem fechadas em relação a operações envolvendo uniões (“σomas”) enumeráveis de seus conjuntos. Aqui, o ponto importante é a enumerabilidade e, por isso, é freqüente encontrar-se o śımbolo σ em outros objetos matemáticos para os quais a enumerabilidade desempenha algum papel (como na topologia chamada de σ-fraca, por exemplo). • Os subconjuntos A ⊂ X que são membros de uma topologia τ são chamados de conjuntos abertos (em relação à topologia τ), ou conjuntos τ -abertos. Se um subconjunto F ⊂ X é tal que F c ∈ τ , então F é dito ser um conjunto fechado, ou τ -fechado. Note que há conjuntos que podem ser simultaneamente abertos e fechados em relação à mesma topologia. Por exemplo, ∅ e X são ao mesmo tempo abertos e fechados (por que?). Além destes conjuntos pode haver outros também. Veremos exemplos. • O estudante deve ser advertido que um conjunto pode ser aberto em relação a uma topologia, mas não em relação a outra. O mesmo comentário vale para conjuntos fechados. 1Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918). 2Maurice René Fréchet (1878–1973). 3Frigyes Riesz (1880–1956). 4Felix Hausdorff (1868–1942). Matemático de grande originalidade e influência, Hausdorff foi um dos criadores da Topologia e da moderna Teoria dos Conjuntos. Perseguido pelo nacional-socialismo, suicidou-se em 1942 para evitar ser enviado a um campo de concentração. 5Johann Benedict Listing (1808–1882). 6Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1085/1730 • Abertos e fechados Sejam X um conjunto e τ uma topologia em X . Denotemos por F(τ) a coleção de todos os conjuntos fechados de X em relação à τ , ou seja, a coleção de todos os conjuntos F de X tais que F c é um aberto, ou seja, um elemento de τ . É muito importante o estudante notar que F(τ) pode conter elementos que não são elementos de τ . Porém F(τ) e τ nunca são conjuntos disjuntos, pois ambos sempre têm elementos em comum. Sempre se tem, por exemplo, que {∅, X} ⊂ F(τ) ∩ τ . E. 23.6 Exerćıcio. Mostre que se F(τ) ⊂ τ então F(τ) = τ . 6 E. 23.7 Exerćıcio. Mostre que se τ ⊂ F(τ) então τ = F(τ). 6 Exemplos de topologias onde τ = F(τ) são a topologia trivial e a topologia discreta (por que?). Há, porém, muitos outros exemplos, como mostra o próximo exerćıcio. E. 23.8 Exerćıcio. Seja a reta real e X o seguinte subconjunto de R: X = (0, 1) ∪ (1, 2). Mostre que a coleção τ de subconjuntos de X dada por τ = {∅, (0, 1), (1, 2), X} é uma topologia em X e que F(τ) = τ . Note que τ não é nem a topologia trivial nem a discreta de X . 6 A coleção F(τ) de todos os conjuntos fechados em relação a uma topologia τ em X possui uma série de propriedades especiais: 1. ∅ ∈ F(τ) e X ∈ F(τ). 2. Se F ∈ F(τ) e G ∈ F(τ) então F ∪G ∈ F(τ). 3. Se I é um conjunto arbitrário de ı́ndices e Fλ ∈ F(τ) para todo λ ∈ I então ⋂ λ∈I Fλ também é um elemento de F(τ). E. 23.9 Exerćıcio muito importante. Justifique as afirmativas acima. 6 E. 23.10 Exerćıcio. Sejam as seguintes coleções de conjuntos fechados na reta real (na topologia usual): {Fn = [−1/n, 1+ 1/n], n ∈ N} e {Gn = [1/n, 1 − 1/n], n ∈ N, n > 1}. Mostre explicitamente que ⋂ n∈N Fn é um conjunto fechado mas que ⋃ n∈N, n>1 Gn é um conjunto aberto. Note que ⋃ n∈N, n>1 Gn não é uma união finita! 6 Seja agora (reciprocamente) uma coleção F de subconjuntos de um conjunto X tal que as seguintes condições (que chamaremos de “axiomas de conjuntos fechados”) são verdadeiras: 1. ∅ ∈ F e X ∈ F. 2. Se F ∈ F e G ∈ F então F ∪G ∈ F. 3. Se I é um conjunto arbitrário de ı́ndices e Fλ ∈ F para todo λ ∈ I então ⋂ λ∈I Fλ também é um elemento de F. Então, a coleção τ(F) = {A ⊂ X, tais que Ac ∈ F} é uma topologia em X . E. 23.11 Exerćıcio muito importante. Justifique essa última afirmativa. 6 • Mais exemplos de topologias: a topologia co-contável e a co-finita Vamos ilustrar o que acabamos de ver com dois exemplos (importantes, pois deles se extraem alguns exemplos e contra-exemplos de propriedades de topologias, como veremos adiante). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1086/1730 Seja X um conjunto e Cc a coleção de todos os conjuntos contáveis de X . Então, vamos mostrar que a coleção C = {∅, X} ∪ Cc satisfaz os axiomas de conjuntos fechados. As propriedades que ∅ ∈ C e X ∈ C são óbvias por definição. Se F e G são elementos de C então F ∪ G também é um elemento de C, basicamente pois a união de dois conjuntos contáveis é também um conjunto contável. Finalmente a intersecção arbitrária de conjuntos contáveis é também um conjunto contável (pois, como vimos acima, qualquer subconjunto de um conjunto contável também é contável) e, com isso, fica também verificado o axioma 3. Com isso, e com o que dissemos anteriormente, vemos que a coleção τ(C) é uma topologia em X . Todo elemento de τ(C) é então ∅, X ou da forma X \C, onde C é um conjunto contável. Chamaremos a topologia τcc ≡ τ(C) de topologia co-contável de X . E. 23.12 Exerćıcio. Seja X um conjunto e τcf a coleção τcf = {A ⊂ X, A = X \ U onde U ⊂ X é um conjunto finito} ∪ {∅} . Mostre que τcf é uma topologia em X (chamada de topologia co-finita de X). Como são os conjuntos fechados em relação a τcf? 6 E. 23.13 Exerćıcio. Verifique que τcf ⊂ τcc. Para que tipo de conjunto X podemos ter τcf = τcc? 6 A topologia co-contável tem a seguinte propriedade incomum. Sejam A e B dois abertos não-vazios quaisquer da topologia co-contável de um conjunto X e suponha que X não seja um conjunto contável. Então, A ∩ B sempre é um conjunto não-vazio. Para provar isso, notemos que, pelas hipóteses, A = X \ C1 e B = X \ C2, para dois subconjuntos contáveis C1 e C2 de X . Dáı, A∩B = (X \C1)∩ (X \C2) = Cc1 ∩C c 2 = (C1 ∪C2) c. Agora, como C1 ∪C2 é também um conjunto contável, seu complemento é não-vazio pois X não é contável. Assim, provamos que dois abertos não-vazios quaisquer da topologia co-contável de um conjunto não-contável (como, por exemplo, o conjunto dos reais) sempre se intersectam. Como veremos, isso significa que tais espaços topológicos não são do tipo Hausdorff (a definição de espaço Hausdorff virá à página 1151). E. 23.14 Exerćıcio. Sejam A e B dois abertos não-vazios quaisquer da topologia co-finita de um conjunto X e suponha que X não seja um conjunto finito. Mostre, então, que A ∩B sempre é um conjunto não-vazio. 6 23.2 Algumas Construções Especiais e Exemplos 23.2.1 Topologias e σ-Álgebras Geradas • A noção de topologia gerada Vamos agora discutir um método importante de gerar topologias e σ-álgebras. Seja X um conjunto não-vazio e seja {τλ, λ ∈ I} uma coleção de topologias em X (cada uma indexada por um elemento λ de um conjunto de ı́ndices I arbitrário). Como cada topologia é por si um subconjunto de P(X), podemos considerar uniões e intersecções de topologias. Em particular para uma coleção genérica de topologias como {τλ, λ ∈ I}, temos o seguinte resultado importante: Proposição 23.1 O subconjunto τI de P(X) dado por τI = ⋂ λ∈I τλ é também uma topologia em X. 2 Prova. Em primeiro lugar é claro pelas definições que ∅ ∈ τI e que X ∈ τI . Vamos agora mostrar que se A e B são elementos de τI então A ∩ B também o é. Para tal, note que se A e B são elementos de τI então A e B são elementos de toda topologia τλ com λ ∈ I. Assim, como para cada λ particular tem-se A e B ∈ τλ, segue que A∩B ∈ τλ (pois τλ é uma topologia). Assim, mostramos que A∩B pertence a toda topologia τλ com λ ∈ I e, portanto, A ∩B ∈ τI . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1087/1730 Por fim, temos que provar que se {Aµ, µ ∈ J} é uma coleção de elementos de τI (onde J é uma coleção arbitrária de ı́ndices), então segue que ⋃ µ∈J Aµ é também um elemento de τI . Para tal, note-se que se {Aµ, µ ∈ J} é uma coleção de elementos de τI então cada Aµ é um elemento de cada τλ. Dáı, para cada λ particular segue que ⋃ µ∈J Aµ é também um elemento de τλ (pois τλ é uma topologia). Como isso vale para todo λ ∈ I, segue que ⋃ µ∈J Aµ ∈ τI , como queŕıamos provar. Este resultado tem um uso de grande importância: fornecer um método de gerar topologias. Seja A uma coleção qualquer de subconjuntos de X . Considere a coleção de todas as topologias que contém A como um subconjunto. Como vimos, a intersecção de todas essas topologias é também uma topologia que denotaremos por τ [A]. A topologia τ [A] é chamada de topologia gerada por A. Assim, cada coleção A de subconjuntos de um conjunto X tem automaticamente uma topologia associada a si: a topologia gerada pela coleção. Muitas topologias podem ser produzidas dessa forma, como sendo geradas por uma coleção conveniente de subconjuntos de X . E. 23.15 Exerćıcio. Mostre que A ⊂ τ [A] e que τ [A] é a menor topologia que contém A como subconjunto, ou seja, se houver uma topologia τ ′ ⊂ τ [A] que contém A, então τ ′ = τ [A]. 6 E. 23.16 Exerćıcio. Mostre que se A é uma topologia então τ [A] = A. 6 E. 23.17 Exerćıcio. Seja X um conjunto e A ⊂ X . Mostre que τ [{A}] = {∅, A, X}. 6 E. 23.18 Exerćıcio. Seja X um conjunto e A = { {x}, x ∈ X } a coleção de subconjuntos de X formada apenas por todos os conjuntos de um elemento de X . Mostre então que τ [A] é a topologia discreta de X . Sugestão: use o item 3 da definição de topologia para mostrar que todo subconjunto de X é um elemento de τ [A]. 6 E. 23.19 Exerćıcio. Seja X um conjunto e A = { {x, y}, x, y ∈ X e x 6= y } a coleção de subconjuntos de X formada apenas por todos os conjuntos de dois elementos distintos de X . Mostre então que τ [A] é a topologia discreta de X . 6 O método de gerar topologias descrito acima é muito usado e será reencontrado adiante em outros exemplos. • Sub-base de uma topologia Se τ é uma topologia em um conjunto não-vazio X , dizemos que uma coleção A de subconjuntos de τ é uma sub- base de τ se τ = τ [A], ou seja, se τ for a menor topologia que contém A. Mais adiante, na Seção 23.2.2, página 1090, introduziremos a noção de base de uma topologia e advertimos o leitor antecipadamente que os dois conceitos não coincidem, mas são relacionados. Vide discussão da Seção 23.2.2. • Estrutura de reticulado em topologias Seja X um conjunto não-vazio. A coleção de todas as topologias em X define um reticulado (para a definição, vide Seção 2.1.2, página 68) com as operações ∧ e ∨ são definidas da seguinte forma. Se τ1 e τ2 são topologias em X , definimos: τ1 ∧ τ2 := τ1 ∩ τ2 e τ1 ∨ τ2 := τ [ τ1 ∪ τ2 ] (a topologia gerada por τ1 e τ2). E. 23.20 Exerćıcio. Prove que a coleção de todas as topologias em X com as operações ∧ e ∨ definidas acima é, de fato, um reticulado, satisfazendo as propriedades de idempotência, comutatividade, associatividade e absorvência descritas na definição de reticulado da Seção 2.1.2. Prove que se trata de um reticulado limitado, com o ḿınino sendo a topologia trivial {∅, X} e o máximo sendo a topologia discreta P(X). Prove que se trata de um reticulado completo: todo subconjunto não-vazio possui um supremo e um ı́nfimo. 6 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1090/1730 E. 23.29 Exerćıcio. Mostre que se A é uma σ-álgebra então M[A] = A. 6 • A σ-álgebra de Borel Dentre os muitos tipos de σ-álgebras existentes particular destaque têm as σ-álgebras geradas por topologias. Seja X um conjunto e τ uma topologia em X . Como τ é uma coleção de subconjuntos de X podemos considerar a σ-álgebra M[τ ] gerada pela topologia τ . Essa σ-álgebra é chamada de σ-álgebra de Borel9 associada à topologia τ em X e seus elementos são chamados de conjuntos de Borel ou conjuntos Borelianos. E. 23.30 Exerćıcio. Considere a reta real R. Mostre que intervalos como (a, b), [a, b), (a, b] com a < b e [a, b] com a ≤ b são elementos da σ-álgebra de Borel M[τR]. Que outros elementos de M[τR] você poderia identificar? 6 Como veremos, as σ-álgebras de Borel desempenham um papel importante na Teoria da Medida. 23.2.2 Bases de Espaços Topológicos • Base de uma topologia Seja X um espaço com uma topologia τ . Uma coleção de abertos B ⊂ τ é dita ser uma base da topologia τ se todo τ -aberto puder ser escrito como união de elementos de B: se A ∈ τ então A = ⋃ λ Bλ, onde todos os Bλ são elementos de B. Note que a união não necessita ser finita ou mesmo contável. Um fato básico é o seguinte: se B é uma base de uma topologia τ então τ = τ [B], ou seja, toda base de uma topologia é também uma sub-base (para a definição de sub-base de uma topologia, vide página 1087). Provar isso é bem simples. Primeiramente note-se que, como τ é uma topologia que contém B e τ [B] é, por definição, a menor topologia com essa propriedade, então segue que τ [B] ⊂ τ . Por outro lado, como vimos, se A ∈ τ então A é a união de elementos de B e, portanto, A é um elemento de τ [B]. Logo τ ⊂ τ [B], completando a prova. Para evitar confusões e ao mesmo tempo clarificar idéias, o estudante deve notar, porém, o seguinte fato. Se A é uma coleção de subconjuntos de um conjunto X então não é em geral verdade que A ou mesmo A ∪ X sejam uma base de τ [A], ou seja, nem sempre uma sub-base de uma topologia é uma base. Tome-se o seguinte exemplo: X = R e A = {(i/2, i/2 + 1), i ∈ Z}. Então, o intervalo (1/2, 1) é um elemento de τ [A] pois é intersecção dos intervalos (0, 1) e (1/2, 3/2) mas não pode ser escrito como união de elementos de A. E. 23.31 Exerćıcio. Seja X um espaço métrico e B a coleção de todas as bolas abertas de X : {B(x, r), x ∈ X, r > 0}. Mostre que B é uma base da topologia métrica de X . 6 • Produzindo bases de topologias a partir de sub-bases A discussão do último parágrafo pode ser usada para introduzir e motivar mais um modo importante de se produzir bases de topologias, o qual será usado quando discutirmos o conceito de topologia gerada por famı́lias de funções, um tópico importante, por exemplo, em estudos mais avançados de propriedades de espaços de Banach e de Hilbert. Como já vimos, se X é um conjunto e A é uma coleção arbitrária de subconjuntos de X não podemos em geral garantir que A é uma base de τ [A]. Há, porém, uma maneira de se produzir uma base a partir da sub-base A que discutiremos a seguir. Proposição 23.3 Seja X não-vazio e A ⊂ P(X) uma coleção de subconjuntos de X. Então, todo elemento de τ [A] que não seja X ou ∅ pode ser obtido como união de conjuntos formados por intersecções finitas de elementos de A. Em outras palavras, a coleção formada por X, ∅ e por todos os conjuntos que sejam intersecções finitas de elementos de A é uma base para τ [A]. 2 Prova. Considere a coleção AI formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como um intersecção finita de 9Félix Édouard Justin Émile Borel (1871–1956). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1091/1730 elementos de A ∪ {X} ∪ {∅}. Ou seja, A ⊂ X pertence a AI se puder ser escrito da forma A = B1 ∩ B2 · · · ∩ Bn, para algum n finito, onde cada Bi ou é igual a X ou ∅ ou é um elemento de A. É claro pela definição que A ⊂ AI (por que?) e também que AI ⊂ τ [A] (por que?). Assim, temos que A ⊂ AI ⊂ τ [A]. Notemos agora que se B e C são duas coleções de subconjuntos de X com B ⊂ C, então τ [B] ⊂ τ [C] (por que?). Dáı segue, pelo que vimos, que τ [A] ⊂ τ [AI ] ⊂ τ [τ [A]]. Como τ [A] é uma topologia temos, por um exerćıcio anterior que τ [τ [A]] = τ [A]. Assim, provamos que τ [A] = τ [AI ] e vamos agora explorar conseqüências desse fato. Vamos mostrar que AI é uma base de τ [AI ] e, portanto, de τ [A]. Para isso consideremos a coleção U formada por todas as posśıveis uniões de elementos de AI : se A ∈ U então A = ⋃ λ∈Λ Aλ, com Aλ ∈ AI para todo λ. Vamos agora provar que U é uma topologia em X . Pela definição, é claro que ∅ ∈ U e que X ∈ U (por que?). É claro também que uniões arbitrárias de elementos de U são novamente elementos de U . Resta-nos provar que se A e B são elementos de U então A ∩ B também o é. Sejam então A e B da forma A = ⋃ λ∈Λ Aλ , B = ⋃ λ∈Λ Bλ , onde todo Aλ e todo Bλ são elementos de AI . Note que podemos acima, sem perda de generalidade, usar o mesmo conjunto de ı́ndices Λ tanto para A quanto para B, pois podemos fazer alguns Aλ e/ou alguns Bλ iguais ao conjunto vazio se necessário, de modo a igualar ambos os conjuntos de ı́ndices. Com isso temos, então, que A ∩B = ( ⋃ λ∈Λ Aλ ) ⋂ ( ⋃ λ′∈Λ Bλ′ ) = ⋃ λ, λ′∈Λ (Aλ ∩Bλ′) , que claramente é um elemento de U , pois os conjuntos Aλ ∩Bλ′ são elementos de AI . Dado que provamos que U é uma topologia, vamos ver as conseqüências desse fato. Em primeiro lugar, é claro pela definição de U que AI ⊂ U . Como U é uma topologia, segue que τ [AI ] ⊂ U . Por outro lado, temos também que os elementos de U são uniões de elementos de AI e, portanto, são elementos de qualquer topologia que contenha AI , como, em particular, a topologia τ [AI ]. Assim, U ⊂ τ [AI ]. Com isso, vimos que τ [A] = τ [AI ] = U . Pela definição de U , isso diz que todos os elementos de τ [A] podem ser escritos como uniões de elementos de AI e, assim, fica provado que AI é uma base para τ [A]. E. 23.32 Exerćıcio. Mostre que a coleção de todos os intervalos abertos da forma (−∞, x) ou (y, ∞) com x, y ∈ R é uma sub-base da topologia usual τR da reta real. Mostre que o mesmo se dá se tomarmos x, y ∈ Q. 6 • A topologia gerada por um ordenamento total Com o uso da noção de topologia gerada podemos produzir novas topologias associadas a relações de ordem totais definidas em conjuntos. Seja X um conjunto não-vazio no qual está definida uma relação de ordem total “” (para a definição de relação de ordem total, vide página 41). Se a, b ∈ X dizemos que a ≺ b se a  b mas a 6= b. Fixados a, b ∈ X com a ≺ b definamos (a, b) := {x ∈ X | a ≺ x e x ≺ b} , (a, →) := {x ∈ X | a ≺ x} , (←, b) := {x ∈ X | x ≺ b} . Seja A a coleção A := Alim ∪A→ ∪A← , JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1092/1730 com Alim := {(a, b), para todos a, b ∈ X com a ≺ b} , A→ := {(a, →), para todo a ∈ X} , A← := {(←, b), para todo b ∈ X} . A topologia τ [A] é denominada topologia gerada pelo ordenamento total “”. E. 23.33 Exerćıcio. Mostre que a topologia gerada pelo ordenamento usual da reta real coincide com a topologia usual da reta. 6 E. 23.34 Exerćıcio. Mostre que a topologia gerada pelo ordenamento lexicográfico de R2 (vide página 41) é uma topologia Hausdorff. 6 Um texto clássico sobre a relação entre topologias e relações de ordem é [142]. 23.2.3 Topologias e σ-Álgebras Induzidas • A topologia induzida (ou “relativa”) Vamos agora estudar mais uma maneira de produzir topologias que também tem seu análogo para as σ-álgebras. Seja X um conjunto e τ uma topologia em X . Seja também Y um subconjunto arbitrário de X (Y não precisa ser um elemento de τ). Podemos construir uma topologia no conjunto Y usando a topologia de X da seguinte forma. Definimos a seguinte coleção τY de subconjuntos de Y : τY := { A ⊂ Y, tal que A = Y ∩ T para algum T ∈ τ } . Em palavras, τY é formado por todos os subconjuntos de Y que podem ser escritos como intersecção de Y com algum aberto de τ . Então, afirmamos que τY é uma topologia em Y . Vamos provar isso. Primeiro é claro que ∅ ∈ τY pois ∅ = Y ∩ ∅ e ∅ ∈ τ . Em segundo lugar é também claro que Y ∈ τY pois Y = Y ∩X (dado que Y ⊂ X) e X ∈ τ . Vamos então agora mostrar que se A e B ∈ τY então A∩B ∈ τY . Para isso note que, como A e B ∈ τY então existem A′ e B′ ∈ τ de forma que A ∈ Y ∩ A′ e B ∈ Y ∩ B′. Logo A ∩B = (Y ∩ A′) ∩ (Y ∩ B′) = Y ∩ (A′ ∩ B′) (por que?) e, como A′ ∩B′ ∈ τ , segue que A ∩B ∈ τY . Para finalizar, falta-nos mostrar que se {Aλ, λ ∈ I} é uma coleção de elementos de τY (indexados por um conjunto arbitrário de ı́ndices I), então ⋃ λ∈I Aλ ∈ τY . Pelas hipóteses, cada Aλ é da forma Aλ = Y ∩ Tλ com Tλ ∈ τ e portanto ⋃ λ∈I Aλ = ⋃ λ∈I (Y ∩ Tλ) = Y ∩ ( ⋃ λ∈I Tλ ) (por que?) . Assim, como ⋃ λ∈I Tλ ∈ τ fica provado que ⋃ λ∈I Aλ ∈ τY como queŕıamos demonstrar. Vimos então que τY é uma topologia em Y . Essa topologia é chamada de topologia induzida em Y pela topologia τ . E. 23.35 Exerćıcio. Verifique que, usando a mesma notação usada acima, τX = τ . 6 Fazemos notar que se Y ⊂ X e Y possui uma topologia τ ′ ⊂ P(Y ), então existe uma topologia τ em X que induz a topologia τ ′. Essa topologia é dada por τ = τ ′ ⋃ {X, X \ Y }. Observe que se A ∈ τ ′, então obviamente A ∈ τ e A = A ∩ Y . Isso prova que τ ′ é induzida por τ . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1095/1730 definição: B := ⋂ F∈FB F . O conjunto B é chamado de fecho, ou aderência, do conjunto B na topologia τ e é, pela própria definição, um conjunto fechado. E. 23.44 Exerćıcio. Pode-se dizer que o fecho de um conjunto B é o menor conjunto fechado que contém B. Justifique isso em face da definição dada acima para B. 6 E. 23.45 Exerćıcio importante. Um conjunto B é fechado se e somente se B = B. Prove isso. 6 A seguinte proposição enuncia algumas propriedades elementares úteis da noção de fecho. Proposição 23.4 Seja X um conjunto não-vazio dotado de uma topologia τ . Valem as seguintes afirmações: 1. M ⊂M para todo M ⊂ X. 2. M = M para todo M ⊂ X. 3. Se M, N ⊂ X com M ⊂ N , então M ⊂ N . 4. Se M, N ⊂ X então M ∪N = M ∪N . 5. Para uma famı́lia arbitrária { Mλ ⊂ X, λ ∈ Λ } vale ⋂ λ∈Λ Mλ ⊂ ⋂ λ∈Λ Mλ. 6. ∅ = ∅ e X = X. 2 Demonstração. Prova de 1: elementar, pois, pela definição, M é uma intersecção de conjuntos que contém M . Prova de 2: elementar, pois M é fechado e, portanto, está contido em FM (vide Exerćıcio E. 23.45). Prova de 3: M ⊂ N ⊂ N (pelo item 1). Assim, N é um fechado que contém M . Logo, pela definição de fecho, M ⊂ N . Prova de 4: como M e N são fechados e valem M ⊂M , N ⊂ N , o conjunto M ∪N é fechado e contém M ∪N . Logo, M ∪N ⊂M ∪N . Por outro lado, pelo item 3 tem-se M ⊂ M ∪N e N ⊂ M ∪N . Logo, M ∪N ⊂ M ∪N . Prova de 5: Como Mλ ⊂ Mλ, segue que ⋂ λ∈Λ Mλ ⊂ ⋂ λ∈Λ Mλ, que é um τ -fechado. Logo, ⋂ λ∈Λ Mλ ⊂ ⋂ λ∈Λ Mλ. Prova de 6: ∅ e X são fechados e, portanto, ∅ = ∅ e X = X . E. 23.46 Exerćıcio. Seja X = R. A Tabela 23.1, página 1096, mostra o fecho dos conjuntos (a, b), [a, b), [a, b] e {a}, com −∞ < a < b <∞, em várias topologias. Estude cada um dos casos. 6 Note na Tabela 23.1 as topologias escolhidas estão postas em ordem crescente de inclusão: τI ⊂ τcf (R) ⊂ τcc(R) ⊂ τR ⊂ τ [S] ⊂ P(R) . O caso do conjunto (a, b) (e os outros) ilustra claramente um fato importante, a saber, que quanto maior a topologia menor é o fecho de um dado conjunto. E. 23.47 Exerćıcio muito importante. Seja B τ o fecho de um conjunto qualquer B, segundo uma topologia τ . Seja τ ′ uma outra topologia tal que τ ⊂ τ ′. Mostre que B τ ′ ⊂ B τ . 6 • Interior Para B ⊂ X genérico, definamos a coleção AB := {A ⊂ X, A é aberto e tal que A está contido em B: A ⊂ B} . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1096/1730 (a, b) [a, b) [a, b] {a} τI R R R R τcf (R) R R R {a} τcc(R) R R R {a} τR [a, b] [a, b] [a, b] {a} τ [S] [a, b) [a, b) [a, b] {a}P(R) (a, b) [a, b) [a, b] {a} (a, b)0 [a, b)0 [a, b]0 {a}0 τI ∅ ∅ ∅ ∅ τcf (R) ∅ ∅ ∅ ∅ τcc(R) ∅ ∅ ∅ ∅ τR (a, b) (a, b) (a, b) ∅ τ [S] (a, b) [a, b) [a, b) ∅P(R) (a, b) [a, b) [a, b] {a} ∂(a, b) ∂[a, b) ∂[a, b] ∂{a} τI R R R R τcf (R) R R R {a} τcc(R) R R R {a} τR {a, b} {a, b} {a, b} {a} τ [S] {a} ∅ {b} {a}P(R) ∅ ∅ ∅ ∅ Tabela 23.1: As três tabelas acima apresentam, da esquerda para a direita, o fecho, o interior e o bordo, respectivamente, dos subconjuntos (a, b), [a, b), [a, b] e {a} da reta real, com −∞ < a < b < ∞, em diferentes topologias. Acima, τI = {∅, R} é a topologia indiscreta de R, τcf (R) é a topologia co-finita de R, τcc(R) é a topologia co-contável de R, τR é a topologia usual de R, τ [S] é a topologia de Sorgenfrey de R (página 1088) e P(R) é a topologia discreta de R. A coleção AB é então a coleção de todos os conjuntos abertos (segundo a topologia τ) contidos no conjunto B. Sabemos que a união arbitrária de conjuntos abertos é também um conjunto aberto. Isso motiva a seguinte definição: B0 := ⋃ A∈AB A . O conjunto B0 é chamado de interior do conjunto B na topologia τ e é, pela própria definição, um subconjunto aberto de B. E. 23.48 Exerćıcio. Pode-se dizer que o interior de um conjunto B é o maior conjunto aberto contido em B. Justifique isso em face da definição dada acima para B0. 6 E. 23.49 Exerćıcio. Um conjunto B é aberto se e somente se B = B0. Prove isso. 6 A seguinte proposição enuncia algumas propriedades elementares úteis da noção de interior. Proposição 23.5 Seja X um conjunto não-vazio dotado de uma topologia τ . Valem as seguintes afirmações: 1. M0 ⊂M para todo M ⊂ X. 2. (M0)0 = M0 para todo M ⊂ X. 3. Se M, N ⊂ X com M ⊂ N , então M0 ⊂ N0. 4. Se M, N ⊂ X então (M ∩N)0 = M0 ∩N0. 5. Para uma famı́lia arbitrária { Mλ ⊂ X, λ ∈ Λ } vale ( ⋃ λ∈Λ Mλ )0 ⊃ ⋃ λ∈Λ (Mλ) 0 . 6. ∅0 = ∅ e X0 = X. 2 Demonstração. O item 1 é evidente pela definição. O item 2 segue da observação que M0 é um subconjunto aberto de si mesmo e, portanto, M0 ⊂ (M0)0, pela definição de interior. Pelo item 1 vale também (M0)0 ⊂ M0, provando que M0 = (M0)0. Prova do item 3: M0 ⊂ M ⊂ N . Logo, M0 é um aberto contido em N e, portanto, M0 ⊂ N0. Prova do item 4: como M0 e N0 são abertos com M0 ⊂ M e N0 ⊂ N , segue que M0 ∩ N0 é um aberto contido em M ∩ N e, portanto, M0 ∩ N0 ⊂ (M ∩ N)0. Por outro lado, pelo item 3, (M ∩ N)0 ⊂ M0 e (M ∩ N)0 ⊂ N0, o que implica (M ∩ N)0 ⊂ M0 ∩ N0, provando que (M ∩ N)0 = M0 ∩ N0. Prova de 5: Como Mλ ⊃ (Mλ) 0 , segue que ⋃ λ∈Λ Mλ ⊃ ⋃ λ∈Λ (Mλ) 0 , que é um τ -aberto. Logo, ( ⋃ λ∈Λ Mλ )0 ⊃ ⋃ λ∈Λ (Mλ) 0 . Prova do item 6: ∅ e X são abertos e, portanto ∅0 = ∅ e X0 = X . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1097/1730 E. 23.50 Exerćıcio. Seja X = R. A Tabela 23.1, página 1096, mostra o interior dos conjuntos (a, b), [a, b), [a, b] e {a}, com −∞ < a < b <∞, em várias topologias. Estude cada um dos casos. Na Tabela 23.1, o caso do conjunto [a, b] ilustra claramente um fato importante, a saber, que quanto maior a topologia maior é o interior de um dado conjunto. 6 E. 23.51 Exerćıcio. Seja (B0)τ o interior de um conjunto qualquer B, segundo uma topologia τ . Seja τ ′ uma outra topologia tal que τ ⊂ τ ′. Mostre que (B0)τ ⊂ (B0)τ ′ . 6 Por fim, note que para qualquer conjunto B ⊂ X vale sempre, em qualquer topologia τ , que B0 ⊂ B ⊂ B . A proposição seguinte estabelece algumas relações úteis. Proposição 23.6 Com as definições de acima valem A0 = ( ( Ac ) )c , (23.2) A = ( ( Ac )0 )c , (23.3) para todo A ∈ X. Dessas relações, segue que (( A0 )c)0 = ( (Ac) )0 , (23.4) (( A )c) = ( ( Ac )0 ) . (23.5) 2 É de se notar que as relações (23.2) e (23.3) relacionam as operações de fecho e de interior. Prova da Proposição 23.6. As igualdades (23.2) e (23.3) são equivalentes (justifique!), portanto, é suficiente provar a primeira. Como A0 ⊂ A, vale Ac ⊂ (A0)c. Lembrando que (A0)c é fechado (pois A0 é aberto), segue pela definição de fecho que (Ac) ⊂ (A0)c. Tomando-se o complementar disso conclúımos que A0 ⊂ ( (Ac) )c . Por outro lado, se x ∈ ( (Ac) )c =⇒ x 6∈ (Ac) =⇒ x 6∈ Ac =⇒ x ∈ A, ou seja, ( (Ac) )c ⊂ A. Logo, como ( (Ac) )c é aberto (pois (Ac) é fechado), segue pela definição de interior que ( (Ac) )c ⊂ A0, completando a prova de (23.2). A relação (23.4) segue de (23.2) tomando-se o complemento e, em seguida, o interior. A relação (23.5) segue de (23.3) tomando-se o complemento e em seguida o fecho. • Fronteira ou bordo Para A ⊂ X arbitrário, definamos a sua fronteira ou bordo (na topologia τ) como sendo o conjunto ∂A := A \A0 = A ∩ (A0)c (23.2) = A ∩ (Ac) . (23.6) A seguinte proposição apresenta alguns fatos elementares relevantes sobre o bordo de conjuntos. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1100/1730 Pela hipótese do item 2 tem-se ⋂ λ∈Λ Fλ ⊂ κ ( ⋂ λ∈Λ Fλ ) . Por outro lado, ⋂ λ∈Λ Fλ ⊂ Fλ′ para todo λ′ ∈ Λ. Logo, por (23.12), κ ( ⋂ λ∈Λ Fλ ) ⊂ κ(Fλ′ ) = Fλ′ . Como isso vale para todo λ′ ∈ Λ, segue que κ ( ⋂ λ∈Λ Fλ ) ⊂ ⋂ λ′∈Λ Fλ′ . Isso completa a prova que ⋂ λ∈Λ Fλ = κ ( ⋂ λ∈Λ Fλ ) . Com isso, provamos que a coleção de todos os conjuntos fechados segundo κ satisfaz todos os axiomas de conjuntos fechados em um espaço topológico. A topologia assim definida pela operação κ será denotada aqui por τκ. Seja A τκ o fecho de A ⊂ X na topologia τκ. Como A ⊂ κ(A) (item 2) e κ(A) é fechado em τκ, segue da definição de fecho que A τκ ⊂ κ(A). Por outro lado, de A ⊂ A τκ (item 1 da Proposição 23.4, página 1095), segue de (23.12) que κ(A) ⊂ κ ( A τκ ) = A τκ , a última igualdade sendo devida ao fato de A τκ ser fechado em τκ. Isso demonstrou que A τκ = κ(A), completando a prova da Proposição 23.9. E. 23.54 Exerćıcio. Se κ é um operador de Kuratowski, mostre que um conjunto A é um τκ-aberto se e somente se A = κ(Ac)c. 6 E. 23.55 Exerćıcio. Se κ é um operador de Kuratowski, a relação (23.2) mostra que interior de um conjunto A é dado por ι(A) = κ(Ac)c. Quais propriedades abstratas um “operador de interior” ι : P(X)→ P(X) deve satisfazer para que se possa dele definir uma topologia? Sugestão: inspire-se na Proposição 23.5, página 1096. 6 23.3.1 Fecho de Conjuntos em Espaços Métricos • Fecho de conjuntos em espaços métricos Seja M um espaço métrico com métrica d e τd a topologia induzida em M por essa métrica. Seja B ⊂ M . Vamos apresentar agora uma caracterização importante do fecho de B, que anunciamos acima. Uma seqüência {xn, n ∈ N} de elementos de M é dita convergir na métrica d a um elemento x ∈ M se para todo ǫ > 0 existir N(ǫ) ∈ N tal que xn ∈ Bd(x, ǫ) para todo n > N(ǫ). Se uma seqüência converge a um ponto x, este é dito ser um limite da seqüência. (Mais sobre o conceito de convergência de seqüências em espaços métricos será visto no Caṕıtulo 26, página 1149). Temos então a seguinte proposição: Proposição 23.10 Um ponto x ∈ M pertence ao fecho B na topologia τd de um subconjunto B de M se e somente se existir uma seqüência de elementos de B que converge a x na métrica d. 2 Prova. Suponha que x seja um limite de uma seqüência xn de elementos de B. Seja Ax um aberto que contém x. Como Ax é um aberto de um espaço métrico, existe uma bola aberta centrada em x com um raio positivo suficientemente pequeno, que chamaremos de ǫ, tal que Bd(x, ǫ) ⊂ Ax. Dáı, como a seqüência converge a x, vale que B ∋ xn ∈ Bd(x, ǫ), desde que n seja grande o suficiente. Mas isso diz que, para tais xn’s tem-se xn ∈ Ax também. Logo Ax ∩ B 6= ∅, pois pelo menos esses xn’s pertencem aos dois conjuntos. Note que isso vale para qualquer aberto Ax que contém x. Dáı, pelo que vimos na Proposição 23.8, conclúımos que x ∈ B. Assim, vimos que se uma seqüência de elementos de B converge a um ponto x em um espaço métrico, então esse ponto x é um elemento do fecho de B. Vamos agora provar a rećıproca. Vamos agora supor que x ∈ B e vamos provar que existe uma seqüência de elementos de B que converge a x. Como x ∈ B vale que Bd(x, 1/n) ∩ B 6= ∅ para todo n ∈ N. Dáı, podemos escolher, para cada n ∈ N, um elemento xn do conjunto Bd(x, 1/n) ∩B. Com isso formamos uma seqüência {xn} de elementos de B que converge a x, completando a prova. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1101/1730 • Conjuntos fechados em espaços métricos A Proposição 23.10 tem o seguinte importante corolário imediato: Corolário 23.1 Seja M um conjunto não-vazio dotado de uma métrica d e seja τd a topologia induzida por essa métrica. Então, F ⊂M é fechado se e somente se toda seqüência convergente em M de elementos de F convergir a um elemento de F , ou seja, se F coincidir com o conjunto de seus pontos-limite. 2 • Conjuntos fechados em espaços métricos e completeza Seja M um conjunto não-vazio dotado de uma métrica d. Qualquer subconjunto não-vazio de M é também um espaço métrico com métrica d (por que?). Porém, se M é completo em relação a d e se F ⊂M é um conjunto fechado, então F é também um espaço métrico completo em relação a d. Provar isso é bem simples. Se fn ⊂ F é uma seqüência de Cauchy em relação a d em F então fn é também uma seqüência de Cauchy em relação a d em M . Como M é completo existe f ∈ M ao qual a seqüência converge. Mas, devemos ter, pelo que vimos, f ∈ F = F . Assim, toda seqüência de Cauchy em relação a d em F converge a um elemento de F . Isso prova completeza de F . A rećıproca é também verdadeira. Seja M completo em relação a d e seja B ⊂M também completo em relação a d. Então, B é fechado. Para ver isso note que toda seqüência de elementos de B que converge em M é uma seqüência de Cauchy em M e, portanto, é também uma seqüência de Cauchy em B. Logo, uma tal seqüência converge a um elemento de B, pois B é completo. Mas isso equivale a dizer que B ⊃ B, o que implica B = B. Provamos então o seguinte: Proposição 23.11 Se M é um espaço métrico completo em relação a uma métrica d, então F ⊂ M é fechado na topologia induzida por essa métrica se e somente se F for igualmente completo em relação à métrica d. 2 23.4 Espaços Topológicos Separáveis e Segundo-Contáveis Seja um espaço X dotado de uma topologia τ . Dizemos que um conjunto A ⊂ X é um conjunto denso, ou conjunto τ-denso, em X se o fecho de A for igual a X , ou seja, se não houver outro conjunto fechado que não X contendo A. Um espaço topológico (X, τ) é dito ser um espaço topológico separável se possuir um subconjunto denso contável. Exemplo. A reta real com a topologia usual τR é separável pois Q, o conjunto dos racionais é contável e denso em R. Vide abaixo. Um espaço topológico X é dito ser um espaço topológico segundo-contável (“second countable”) se possuir uma base contável. Pelo que vimos, se A for uma coleção contável de subconjuntos de X então a topologia gerada por A possui uma base também contável e é, portanto, segundo-contável. Vamos demonstrar a seguinte afirmativa: Proposição 23.12 Todo espaço topológico segundo-contável é separável. 2 Prova. Seja X um conjunto não-vazio dotado de uma topologia τX e suponhamos que esse espaço topológico seja segundo- contável. Seja Bn, n ∈ N, uma base contável em τX . Vamos formar conjuntos An, n ∈ N, cada um contendo um único elemento, da seguinte forma: A0 é formado por um elemento escolhido arbitrariamente em B0 e An, n ≥ 1, é formado por um elemento escolhido arbitrariamente em Bn \ ( A0∪· · ·∪An−1 ) . Seja A := ⋃ n∈N An. Vamos mostrar por absurdo que A é denso em X . Suponha que haja um conjunto fechado F que contém A e que seja um subconjunto próprio de X . Então, C = X \F é aberto, não-vazio e A∩C = ∅. Isso implica An∩C = ∅ para todo n. Como C é aberto, existe, por hipótese, uma famı́lia Bnk , k ∈ N, tal que C = ⋃ k∈N Bnk . Logo, para todo n ∈ N vale ∅ = An ∩ C = An ∩ ( ⋃ k∈N Bnk ) = ⋃ k∈N(An ∩ Bnk). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 23 1102/1730 Logo, An ∩Bnk = ∅ para todo n e todo k. Isso é absurdo, pois, por construção, Ank ⊂ Bnk para todo k. Logo A é denso em X . É interessante notar que a rećıproca do proposição acima não é verdadeira: há espaços separáveis que não são segundo- contáveis. Como exemplo, mostraremos que a topologia de Sorgenfrey é separável mas não é segundo-contável (página 1103). Tal, porém, não é verdade para espaços métricos em geral. Proposição 23.13 Um espaço métrico é separável se e somente se for segundo-contável. 2 Na Proposição 28.14, página 1249, trataremos de uma extensão das afirmações acima. Prova da Proposição 23.13. Pela proposição anterior resta-nos apenas mostrar que se X é um espaço métrico separável então tem uma base enumerável. Seja A um conjunto contável denso em X e seja o conjunto de todas as bolas centradas em elementos de A com raio racional positivo: B(a, r), a ∈ A e r ∈ Q+. A coleção de todas essas bolas é contável (por que?). Vamos provar que é uma base em X . Seja C um aberto contido em X . Para cada ponto a em A ∩ C podemos achar um raio ra tal que B(a, ra) está inteiramente contido em C (pela definição de conjunto aberto em um espaço métrico). Vamos mostrar que C = ⋃ a∈C∩A B(a, ra) . Suponha que haja z ∈ C que não esteja em ⋃ a∈C∩A B(a, ra). Como A é denso em X , toda bola aberta B(z, ǫ) contém elementos de A (doutra forma seu complemento seria fechado e conteria A, o que não é posśıvel se A é denso). Em particular se ǫ for suficientemente pequeno B(z, ǫ) e B(z, ǫ/4) estarão inteiramente contidas em C. Logo, para um racional r com ǫ/4 < r < ǫ/2 teremos z ∈ B(a′, r) para algum a′ ∈ B(z, ǫ/4) ∩ A sendo que B(a′, r) ⊂ B(z, ǫ) ⊂ C. Lembrando que a′ ∈ C ∩ A e que podemos escolher ǫ/2 < ra′ , teremos B(a ′, r) ⊂ B(a′, ra′). Assim, z ∈ B(a ′, r) ⊂ ⋃ a∈C∩A B(a, ra). • A topologia τR é segundo-contável Como comentamos logo acima, τR é separável pois Q é contável e denso em R. Pela Proposição 23.13, τR é segundo- contável. A t́ıtulo de ilustrar futuros desenvolvimentos, vamos no que segue provar esse fato de modo mais expĺıcito, exibindo uma base contável para τR. Para isso, vamos mostrar que τR pode ser gerada por uma coleção contável de subconjuntos de R. Esse fato é importante por várias razões, uma delas conectada à σ-álgebra de Borel e sua relação com a σ-álgebra de Lebesgue, que introduziremos quando falarmos da Teoria da Medida (vide Caṕıtulo 25). Para a ∈ R e b > 0 vamos denotar por B(a, b) a bola aberta de raio b centrada em a que, neste caso, é o intervalo aberto (a− b, a + b) centrado em a com largura 2b. Vamos primeiramente ver que qualquer intervalo B(a, b), a ∈ R, b > 0, pode ser escrito como uma união contável de intervalos abertos. Para isso, considere uma seqüência si de números racionais positivos tais que si < b mas tais que a seqüência si converge a b quando i→∞. Então, é claro que B(a, b) = ⋃ i∈N B(a, si) , que é uma união contável. Pela definição, se A é um aberto não-vazio em τR, A 6= R, então para cada x ∈ A podemos encontrar um número δ(x) > 0 (que eventualmente depende de x) de forma que B(x, δ(x)) ⊂ A. Para A aberto e x ∈ A vamos denotar por δA(x) o maior número com essa propriedade, ou seja, δA(x) = sup{b > 0, tal que B(x, b) ⊂ A}. Como A 6= R, δA(x) é sempre finito para x ∈ A. (Por quê?). É bem claro então que A = ⋃ x∈A B(x, δA(x)) .