nc - cap23

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Capıtulo 23

Espacos Topologicos e Espacos Mensuraveis. Definicoes e Propriedades Basicas

23.1 Definicoes, Propriedades Elementares e Exemplos1081
23.2 Algumas Construcoes Especiais e Exemplos1086
23.2.1 Topologias e σ-Algebras Geradas1086
23.2.2 Bases de Espacos Topologicos1090
23.2.3 Topologias e σ-Algebras Induzidas1092
23.2.4 Topologias e σ-Algebras Produto1094
23.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espacos Topologicos1094
23.3.1 Fecho de Conjuntos em Espacos Metricos10
23.4 Espacos Topologicos Separaveis e Segundo-Contaveis1101

Conteudo ntroduziremos neste capıtulo dois conceitos de importancia fundamental em Matematica, o conceito de Espaco Topologico e o conceito de Espaco Mensuravel. O primeiro conceito e uma generalizacao do conceito de Espaco Metrico, introduzido no Capıtulo 21, pagina 1003, e o segundo e moldado de forma a permitir uma definicao consistente do conceito intuitivo de medida (como comprimento, area, volume etc.) de um conjunto. De modo muito simplificado, podemos dizer que Topologias desempenham um papel quando se faz necessario o emprego de nocoes como as de convergencia e continuidade, enquanto que Espacos Mensuraveis sao especialmente relevantes na teoria da integracao e na teoria de probabilidades. As nocoes de Espaco Topologico e Espaco Mensuravel penetram areas da Matematica tao variadas quanto a Analise, a Analise Funcional, a Geometria Diferencial, a Teoria das Equacoes Diferenciais, a Teoria de Grupos, a Teoria de Probabilidades e outras, atraves das quais exercem tambem sua influencia sobre praticamente toda a Fısica. Falaremos um pouco mais sobre o significado e sobre a importancia de cada conceito adiante.

Dado um conjunto X (doravante considerado nao-vazio), denota-se por (X) a colecao de todos os subconjuntos de

X. Assim, em sımbolos, podemos expressar o fato de um conjunto A ser um subconjunto de X escrevendo A ⊂ X ou A ∈ (X). E natural que X ∈ (X) e convenciona-se que ∅ ∈ (X). Como sempre, se A ⊂ X, denotamos por Ac o conjunto X \ A, dito o complementar de A em X.

Estamos muitas vezes interessados em estudar propriedades de certas colecoes de subconjuntos de X (ou seja de subconjuntos de (X)) que possuem certas caracterısticas de interesse. Ha dois tipos de colecoes de subconjuntos que merecem particular atencao: as chamadas topologias e as chamadas σ-algebras. Vamos as definicoes.

Para um texto dedicado a historia da Topologia, vide [101].

23.1 Definicoes, Propriedades Elementares e Exemplos

• Topologia

Uma colecao τ de subconjuntos de X, ou seja, τ ⊂ (X), e dito ser uma topologia em X se os seguintes requisitos forem satisfeitos:

3. Se I e um conjunto arbitrario de ındices e Aλ ∈ τ para todo λ ∈ I entao ⋃ λ∈I Aλ tambem e um elemento de τ.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 23 1082/1730

• σ-algebra

Uma colecao M de subconjuntos de X, ou seja, M ⊂ (X), e dita ser uma σ-algebra em X se os seguintes requisitos forem satisfeitos:

3. Se {An, n ∈ N} e uma colecao enumeravel arbitraria de elementos de M, entao ⋃ n∈N An tambem e um elemento de

• Comentarios e nomenclatura

• Um conjunto X dotado de uma topologia τ e dito ser um espaco topologico. De um modo um pouco mais tecnico, um espaco topologico e um par (X, τ) onde X e um conjunto nao-vazio e τ ⊂ (X) e uma topologia em X.

• Um conjunto X dotado de uma σ-algebra M e dito ser um espaco mensuravel. De um modo um pouco mais tecnico, um espaco mensuravel e um par (X, M) onde X e um conjunto nao-vazio e M ⊂ (X) e uma σ-algebra em X.

• Ideias relacionadas a de Topologia ja habitam a Matematica ha muito, mas foi nas duas primeiras decadas do seculo

X que as mesmas comecaram a ser sistematizadas e abstraıdas, como resultado do trabalho de varios indivıduos, como Cantor1, Frechet2, Riesz3 e Hausdorff4. A palavra topologia e um pouco mais antiga, tendo sido cunhada por Listing5 em 1847, o qual tomara contacto com ideias topologicas sob influencia de Gauss6. A nocao de conjuntos abertos e fechados (na topologia usual da reta real) foi introduzida por Cantor. Frechet percebeu sua conexao com a nocao de metrica (a qual introduziu). A nocao moderna de Espaco Topologico foi introduzida pela primeira vez por Hausdorff em 1914. Hausdorff tambem cunhou a expressao “espaco metrico”, nocao criada por Frechet em 1906, e foi o primeiro a introduzir a nocao de medida, entre outras coisas.

• A palavra “algebra” na designacao “σ-algebra” tem origem historica em uma analogia observada por Felix Hausdorff entre certas operacoes envolvendo conjuntos, tais como uniao e interseccao, e operacoes algebricas de soma e multiplicacao. Apesar disso o conceito de σ-algebra nao deve ser confundido de forma alguma com o conceito usual de algebra (um espaco vetorial com um produto entre seus elementos). A analogia a que nos referimos e a de que a operacao de uniao de conjuntos disjuntos pode ser entendida como uma “soma” de conjuntos com um elemento neutro, a saber, o conjunto vazio (pois A ∪ ∅ = A para qualquer conjunto A). O papel de “multiplicacao” entre conjuntos seria exercido pela interseccao, onde novamente o conjunto vazio seria o elemento neutro (pois sempre A ∩ ∅ = ∅).

Ainda sobre a nomenclatura, o “σ” do nome “σ-algebra” e usado em funcao da propriedade 3 da definicao, que se refere ao fato de σ-algebras serem fechadas em relacao a operacoes envolvendo unioes (“σomas”) enumeraveis de seus conjuntos. Aqui, o ponto importante e a enumerabilidade e, por isso, e frequente encontrar-se o sımbolo σ em outros objetos matematicos para os quais a enumerabilidade desempenha algum papel (como na topologia chamada de σ-fraca, por exemplo).

• Os subconjuntos A ⊂ X que sao membros de uma topologia τ sao chamados de conjuntos abertos (em relacao a topologia τ), ou conjuntos τ-abertos. Se um subconjunto F ⊂ X e tal que Fc ∈ τ, entao F e dito ser um conjunto fechado, ou τ-fechado. Note que ha conjuntos que podem ser simultaneamente abertos e fechados em relacao a mesma topologia. Por exemplo, ∅ e X sao ao mesmo tempo abertos e fechados (por que?). Alem destes conjuntos pode haver outros tambem. Veremos exemplos.

• O estudante deve ser advertido que um conjunto pode ser aberto em relacao a uma topologia, mas nao em relacao a outra. O mesmo comentario vale para conjuntos fechados.

1Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918). 2Maurice Rene Frechet (1878–1973). 3Frigyes Riesz (1880–1956). 4Felix Hausdorff (1868–1942). Matematico de grande originalidade e influencia, Hausdorff foi um dos criadores da Topologia e da moderna

Teoria dos Conjuntos. Perseguido pelo nacional-socialismo, suicidou-se em 1942 para evitar ser enviado a um campo de concentracao. 5Johann Benedict Listing (1808–1882). 6Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 23 1083/1730

• Os subconjuntos A ⊂ X que sao membros de uma σ-algebra M sao chamados de conjuntos mensuraveis (em relacao a σ-algebra M), ou conjuntos M-mensuraveis. Sera para conjuntos mensuraveis que se definira o conceito de medida.

• O estudante deve ser advertido que um conjunto pode ser mensuravel em relacao a uma σ-algebra, mas nao em relacao a outra.

• Note que, pela definicao, se A1,...,An e uma colecao de n conjuntos abertos de uma topologia τ entao A1∩·∩An e tambem um conjunto aberto (por que?).

• Note que, no item 3 da definicao de topologia, nenhuma restricao e feita em relacao ao conjunto de ındices I, podendo o mesmo ser ate um conjunto nao-contavel.

• Note que se A1,...,An e uma colecao (finita) de n elementos de uma σ-algebra M entao A1 ∪ · ∪ An e tambem um elemento de M. Para ver isso note que, se definıssemos Am = ∅ para todo m > n terıamos claramente

a∈N Aa que e um elemento de M pelo item 3 da definicao de σ-algebra.

• Se M e uma σ-algebra em X e A, B ∈ M entao A ∩ B ∈ M. Isso e facil de ver, pois A ∩ B = (Ac ∪ Bc)c. Pelo item 2 da definicao de σ-algebra, Ac e Bc sao tambem elementos de M. Pela observacao acima, sua uniao Ac ∪Bc tambem o e. Por fim, o complemento de Ac ∪ Bc pertence a M, novamente pelo item 2 da definicao de σ-algebra.

• A ultima afirmacao estende-se facilmente para interseccoes contaveis de conjuntos mensuraveis: se M e uma σ- algebra em X e An ∈ M, n ∈ N, entao ⋂ n∈N An ∈ M. Isso segue facilmente de

e dos itens 2 e 3 da definicao de σ-algebra.

• Vizinhancas

Seja X um conjunto nao-vazio e τ uma topologia em X. Se x ∈ X, um conjunto V ⊂ X e dito ser uma vizinhanca de x (segundo τ) se V contem x e se contiver um aberto que tambem contem x, ou seja, se existir A ∈ τ tal que x ∈ A ⊂ V .

A nocao de vizinhanca e frequentemente empregada no estudo de espacos topologicos.

• Exemplos basicos de topologias e mais alguns comentarios Seja X um conjunto nao-vazio.

• Considere τ o conjunto, formado por apenas dois elementos, dado por τ = {∅, X}. Entao, τ e uma topologia em

X (verifique!). E chamada de topologia indiscreta ou topologia trivial e e a menor topologia que se pode formar em X.

• Seja τ a colecao e todos os subconjuntos de X: τ = (X). Entao, τ e uma topologia em X (verifique!). E chamada de topologia discreta e e a maior topologia que se pode formar em X.

• Seja X um espaco metrico com uma metrica d e seja τd a colecao de todos os seus subconjuntos abertos em relacao a d. Um subconjunto A de X e dito ser aberto (em relacao a metrica d) se tiver a seguinte propriedade: para todo x ∈ A podemos achar um numero real δ(x) > 0 (eventualmente dependente de x) tal que para todo x′ ∈ X com a propriedade que d(x, x′) < δ(x) (ou seja, que dista de x menos que δ(x)) vale que x′ tambem e um elemento de A.

Entao, conforme ja vimos na Secao 21.2, pagina 1017, τd e, de fato, uma topologia, chamada de topologia induzida pela metrica d.

• Uma topologia τ em X e dita ser uma topologia metrica se existir uma metrica d em X tal que τ = τd. • Pelo Exercıcio E. 21.25, pagina 1018, (X) e uma topologia metrica.

• Nem todas as topologias sao metricas. Condicoes que garantam que uma topologia seja metrica sao denominadas condicoes de metrizabilidade.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 23 1084/1730

• Seja A ⊂ X. Entao, {∅, A, X} e uma topologia em X (verifique!), a menor a conter A (justifique!).

• Sejam A, B ⊂ X. Entao, {∅, A, B, A ∩ B, A ∪ B, X} e uma topologia em X (verifique!), a menor a conter A e B (justifique!).

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