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Capıtulo 2

O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas de Suas Consequencias

2.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach1053
2.1.1 Generalizacoes do Teorema de Ponto Fixo de Banach1055
2.2 Aplicacao a Equacoes Numericas. O Metodo de Newton1057
2.3 Aplicacao as Equacoes Integrais de Fredholm e de Volterra1061
2.4 Aplicacoes a Teoria das Equacoes Diferenciais Ordinarias1067
2.4.1 O Teorema de Picard-Lindelof1067
2.4.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelof. Solucoes Globais1071
2.4.3 Um Teorema de Comparacao de Solucoes de EDO’s1072
2.5 O Teorema da Funcao Implıcita e o Teorema da Funcao Inversa1075
2.5.1 O Teorema da Funcao Implıcita1075
2.5.2 O Teorema da Funcao Inversa1079
APENDICES1080
2.A O Lema de Gronwall1080

Conteudo eja X um conjunto nao-vazio e f : X → X uma funcao de X em X. Muitas vezes, em problemas praticos e teoricos, estamos interessados em encontrar os pontos x ∈ X que sao levados em si mesmos pela funcao f, ou seja, os pontos x ∈ X tais que x = f(x) .

Os pontos que satisfazem essa equacao sao chamados de pontos fixos da transformacao f e a equacao acima e denominada equacao de ponto fixo. Veremos abaixo varios exemplos de equacoes desse tipo, tanto no contexto de equacoes numericas quanto no de equacoes integrais e diferenciais.

Na pratica, dada uma funcao f, pode afigurar-se difıcil saber se sequer existe um ponto fixo para ela. Muitas vezes estamos interessados em saber quantos pontos fixos ha e, frequentemente, gostarıamos de garantir que ha um e apenas um ponto fixo de uma dada funcao (a chamada “unicidade da solucao”).

Teoremas que nos garantam existencia e, por vezes, unicidade de solucoes de equacoes de ponto fixo sao chamados de teoremas de ponto fixo. Ha varios teoremas de tal tipo na literatura matematica, como por exemplo, o Teorema de Ponto Fixo de Banach1, o Teorema de Ponto Fixo Brouwer2, o teorema do ponto fixo de Schauder3 e varios outros, todos com pressupostos distintos sobre o conjunto X e sobre a funcao f.

Seja por exemplo o disco fechado Dn de Rn:

(x1,, xn) ∈ R

O chamado Teorema do Ponto Fixo de Brouwer afirma que toda funcao contınua (na topologia usual) de Dn em Dn tem pelo menos um ponto fixo. Aqui a unicidade nem sempre pode ser garantida: pense no exemplo das rotacoes em R3 em torno de um eixo que passa pela origem. Todo ponto ao longo do eixo de rotacao e levado em si mesmo pela rotacao e e, portanto, um ponto fixo da mesma.

O Teorema do Ponto Fixo de Schauder afirma que se X e um subconjunto convexo e compacto4 de um espaco de Banach entao toda funcao contınua (na topologia da norma) de X em X tem um ponto fixo (nao-necessariamente unico).

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Aqui trataremos de um teorema de ponto fixo extremamente util conhecido como Teorema de Ponto Fixo de Banach, que e valido em espacos metricos completos. De fato, este e de longe o teorema de ponto fixo com mais aplicacoes, sendo que sua influencia se estende aos domınios das equacoes integrais, das equacoes diferenciais, das equacoes numericas em C, da Analise Numerica e de muitas outras areas da Matematica pura e aplicada. Na Secao 2.4, pagina 1067, tratamos de aplicacoes do Teorema de Ponto Fixo de Banach a teoria das equacoes diferenciais ordinarias. Na Secao 17.10, pagina 820, tratamos de uma importante aplicacao do Teorema de Ponto Fixo de Banach a teoria das equacoes diferenciais parciais, a saber, usamos o mesmo para obter a solucao geral de equacoes diferenciais parciais de tipo hiperbolico com coeficientes constantes em duas dimensoes.

O Teorema de Ponto Fixo de Banach foi estabelecido por Banach em 19225. Uma das razoes de sua importancia reside no fato de fornecer, junto com seu enunciado, um metodo iterativo aproximativo para a determinacao do ponto fixo, metodo este que e muito eficiente. Outra razao e o fato de o teorema reunir condicoes que garantem unicidade do ponto fixo. Vamos ao seu enunciado.

2.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach

Teorema 2.1 (Teorema de Ponto Fixo de Banach) Seja M um conjunto dotado de uma metrica d e suponha M completo em relacao a d. Seja A um subconjunto fechado de M e seja T : A → A uma funcao de A em A. Vamos entao supor que exista um numero q com 0 ≤ q < 1 tal que para todos os pontos x e y de A valha

tem solucao em A e essa solucao e unica. Alem disso, para qualquer x0 ∈ A, a sequencia xn = T(xn−1), n ≥ 1, obtida aplicando-se repetidamente T a partir de x0, converge (rapidamente) ao ponto fixo x na metrica d. A saber, tem-se que

Uma funcao T : A → A tal que existe um numero q com 0 ≤ q < 1 e tal que para todos os pontos x e y de A valha a desigualdade (2.1) e dita ser uma contracao em relacao a metrica d. O teorema acima afirma entao que toda contracao em um espaco metrico completo tem um e somente um ponto fixo. Esse teorema fornece um metodo iterativo de determinar aproximadamente o ponto fixo, sendo que, por (2.3), a aproximacao e tanto melhor quanto mais iteracoes forem feitas. Mais adiante aperesentaremos um teorema analogo ao Teorema 2.1 na qual a condicao de contracao e enfraquecida. Vide Teorema 2.2, pagina 1055.

Vamos primeiro provar o teorema e depois veremos varios exemplos de seu uso.

Prova do Teorema 2.1. Como A e um subconjunto fechado de um espaco metrico completo, entao A e tambem completo em relacao a mesma metrica (vide Proposicao 21.7, pagina 1019, ou equivalentemente, a Proposicao 23.1, pagina 101).

Para simplificar a notacao denotaremos por Tn a n-esima composicao de T consigo mesma: T ◦ · ◦ T︸ ︷︷ ︸n . Definimos entao para um x0 ∈ A arbitrario xn = Tn(x0), n ∈ N. Vamos agora provar que {xn} e uma sequencia de Cauchy em A. Para isso sejam m e n dois numeros naturais

5S. Banach “Sur les operations dans les ensembles abstraits et leurs applications aux equations integrales”. Fund. Math. 3, 133–181 (1922).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 2 1054/1730 quaisquer tais que m < n. Entao, usando a desigualdade triangular n − m vezes temos o seguinte:

Pela propriedade de contracao, temos que

qm + qm+1 ++ qn−1)

e, portanto,

1 + q ++ qn−1−m)

Isso prova que {xn} e uma sequencia de Cauchy, pois qm pode ser feito arbitrariamente pequeno tomando m grande, para qualquer n > m.

Como {xn} e uma sequencia de Cauchy em A e A e completo, deve haver x em A unico ao qual a sequencia converge. Temos sempre, usando a desigualdade triangular, que

Tomando n > m, temos

Como xn se aproxima de x para n grande, podemos fazer o termo d(x, xn) arbitrariamente pequeno, tomando n grande, sem alterar os demais. Daı, concluımos que

Essa ultima desigualdade mostra que xm de fato se aproxima exponencialmente rapido de x.

Vamos agora provar que x, o limite da sequencia {xn}, e um ponto fixo. Para isso calculemos d(x, T(x)). Teremos, pela desigualdade triangular para todo m. Usando (2.4) e a contratividade de T teremos,

Como m e arbitrario podemos fazer m → ∞ e obtemos d(x, T(x)) = 0, o que implica que x = T(x).

Por fim, resta-nos provar que x e o unico ponto fixo de T. Para tal, vamos supor que haja um outro: x′ = T(x′). Terıamos, usando a contratividade, que ou seja, (1−q)d(x, x′) ≤ 0. Como q < 1 isso implica d(x, x′) = 0, que implica x = x′. Isso completa a prova do Teorema de Ponto Fixo de Banach.

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2.1.1 Generalizacoes do Teorema de Ponto Fixo de Banach

Nesta secao trataremos de duas extencoes do Teorema de Ponto Fixo de Banach, uma tratando de um caso onde a condicao de contratividade q < 1 nao e estritamente satisfeita e outro onde a aplicacao T nao e contrativa, mas alguma potencia de T o e.

A condicao que q < 1 e crucial para a demonstracao do Teorema 2.1 e sem ela suas conclusoes podem nao mais ser validas. Vejamos o seguinte exemplo, citado em diversos livros-texto. Seja M = [1, ∞) com a metrica usual d(x, y) = |x − y| e seja T : M → M dada por T(x) = x + x−1. Entao vale para todo x e y ∈ M, x 6= y,

pois 1 − t−2 < 1 para t > 1, sendo essa a melhor estimativa possıvel. Assim, como querıamos provar. Note agora, porem, que T nao tem nenhum ponto fixo. De fato, T(x) = x significa x+x−1 = x, ou seja, x−1 = 0, o que nao e possıvel se x ∈ [1, ∞).

Em espacos metricos compactos, porem, a condicao de contracao q < 1 pode ser enfraquecida preservando essencialmente os mesmos resultados do Teorema 2.1. Esse e o conteudo do Teorema 2.2, adiante.

• Enfraquecendo a condicao de contratividade. Aplicacoes em compactos

Seja M um conjunto dotado de uma metrica d. Recordemos6 que A ⊂ M e dito ser compacto se e somente se possuir a propriedade de Bolzano7-Weierstrass8: toda sequencia em A possui uma sub-sequencia convergente em A em relacao a metrica d. Por um teorema geral (Teorema 28.1, pagina 1257), o fato de A ser compacto em um espaco metrico implica que A e fechado, completo e limitado.

O seguinte teorema e devido a Edelstein9.

Teorema 2.2 Seja M um conjunto dotado de uma metrica d. Seja A ⊂ M compacto (na topologia induzida em M pela metrica d) e seja T : A → A uma funcao de A em A. Vamos supor que valha a condicao

Comentario. O fato de A ser suposto compacto faz com que seja dispensavel supor que M seja completo, pois A o e. Vide Teorema 28.1, pagina 1257. ♣

Prova do Teorema 2.2. Observemos em primeiro lugar que se T possuir um ponto fixo, este e unico. De fato, sejam x, y ∈ A tais que T(x) = x e T(y) = y. Se x 6= y, valeria d(x, y) = d(T(x), T(y)) < d(x, y), o que e uma desigualdade impossıvel. Logo x = y.

Pelas hipoteses, para x0 ∈ A a sequencia xn = Tn(x0) de elementos de A tem ao menos uma subsequencia convegente a um elemento x∗ ∈ A. Vamos provar que esse x∗ e um ponto fixo de T, ou seja, x∗ = T(x∗). Vamos supor que T(x∗) 6= x∗ e mostrar que isso leva a uma contradicao.

Seja xn , k ∈ N, uma sub-sequencia que converge a x∗ da sequencia xn = Tn(x0), ou seja, que satisfaz a propriedade:

para todo ǫ > 0 existe K(ǫ) tal que d(xn , x∗) ≤ ǫ para todo k ≥ K(ǫ).

6Para a definicao da nocao de compacidade e suas propriedades, vide Secao 28.3, pagina 1246. 7Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781–1848). 8Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897). 9M. Edelstein, “An extension of Banach’s contraction principle”. Proc. Am. Math. Soc. 12 (1) (1961), 7–10. M. Edelstein, “On fixed and periodic points under contractive mappings”. J. London Math. Soc. 37 (1) (1962), 74–79.

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) (a igualdade se dando apenas se x∗ = xn

), o que implica que

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