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(Parte 1 de 8)

Capıtulo 21 Espacos Metricos

21.1 Metricas e Espacos Metricos1004
21.2 A Nocao de Topologia de Espacos Metricos1017
21.3 Pseudo-Metricas1020
21.4 Espacos de Funcoes Limitadas e Completeza1022
21.5 Espacos de Banach e de Hilbert1025
21.5.1 Espacos de Banach em Espacos de Sequencias1027
21.6 Exercıcios Adicionais1038
APENDICES1040
21.A Algumas Desigualdades Basicas1040
21.B Numeros reais e p-adicos1042
21.C Aproximacoes para pi1047

Conteudo odos estamos familiarizados com a nocao usual e intuitiva de distancia entre pontos da reta real R, do plano bidimensional R2 ou do espaco tridimensional R3. O estudante ha de reconhecer que boa parte do material tratado em cursos de calculo de funcoes de uma ou varias variaveis, reais ou complexas, como as nocoes de derivacao e integracao, assenta-se sobre nocoes como as de convergencia e limite, as quais, por sua vez, assentam-se sobre a nocao intuitiva de distancia entre pontos. Assim, por exemplo, dizemos que uma sequencia xn de pontos na reta real converge a um ponto x se a distancia |xn − x| entre xn e x torna-se menor e menor a medida que n cresce. Mais adiante faremos essas ideias mais precisas e gerais.

Ao longo do seu desenvolvimento, especialmente apos o seculo XIX, a Matematica reconheceu a importancia de abstrair e generalizar a nocao intuitiva de distancia de modo a aplica-la a outros tipos de conjuntos que nao os familiares espacos de dimensao finita R, R2 ou R3. Esse desenvolvimento conduziu as nocoes de metrica, de espacos metricos e de espacos metricos completos, as quais definiremos mais adiante, e permitiu aplicar muitas das nocoes geometricas e instrumentos analıticos, originalmente desenvolvidos em espacos mais familiares, para conjuntos menos acessıveis a intuicao, como por exemplo espacos vetoriais de dimensao infinita, tais como espacos de funcoes ou de sequencias. Uma importante aplicacao dessas ideias a teoria das equacoes diferenciais e integrais sera vista no Capıtulo 2, quando trataremos do Teorema do Ponto Fixo de Banach.

Lembramos ao estudante que o estudo de espacos de dimensao infinita nao e uma mera abstracao desprovida de uso ou interesse pratico. Ao se decompor uma funcao f, contınua, diferenciavel e periodica de perıodo 2π, em sua serie de Fourier1,

eint √ tal como ocorre, por exemplo, no problema da corda vibrante, o que estamos fazendo e precisamente expressar uma tal funcao em termos de componentes em uma base de um espaco de dimensao infinita, no caso a base formada pelas infinitas funcoes e√ 2π com n ∈ Z.

Para o estudo de espacos de dimensao infinita, como o desse exemplo, seria muito importante se pudessemos reter algumas das nocoes geometricas familiares em espacos de dimensao finita. O emprego de ideias geometricas analogas aquelas encontradas nos espacos R, R2 ou R3 e de grande importancia na tarefa de explorar espacos de dimensao infinita, como o espaco das funcoes contınuas periodicas de perıodo 2π, justamente por trazerem tais espacos para mais perto da nossa intuicao. Por razoes evolutivas, o cerebro humano so e capaz de produzir e desenvolver imagens em uma, duas ou tres dimensoes e, portanto, para o estudo de espacos com mais dimensoes faz-se necessario dispor de instrumentos abstratos que permitam desenvolver raciocınios o mais proximo possıvel daqueles empregados em espacos de dimensao 1, 2 ou 3.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 21 1004/1730

Devido as bem-conhecidas “relacoes de ortogonalidade”

sabemos que, as constantes an da decomposicao de Fourier acima sao dadas por

e podem ser interpretadas geometricamente como as projecoes, ou componentes, da funcao f na “direcao” das funcoes

2π . (A nocao de projecao, ou componente, de um vetor e familiar em R2 ou em R3). Como e bem sabido (para a teoria das series de Fourier, vide [54]), vale tambem a relacao, conhecida como Identidade de Parseval2,√∫ 2π

Sendo o lado direito a raiz quadrada da soma do quadrado das componentes ortogonais de f, podemos interpretar o lado esquerdo como o “modulo” ou “comprimento” da funcao f (entendida como vetor no espaco de dimensao infinita das funcoes periodicas de perıodo 2π), tal como no Teorema de Pitagoras3 em R2 ou R3.

Se levada adiante, essa analogia geometrica nos permite definir uma possıvel nocao de distancia entre duas funcoes contınuas periodicas f e g, que denotaremos por4 d2(f, g), como o modulo (ou “comprimento”) da diferenca entre duas funcoes, tal como se faz em espacos de dimensao finita:

Com esse instrumento em maos podemos agora empregar conceitos como o de convergencia e limite de sequencias no espaco de dimensao infinita das funcoes contınuas periodicas e, eventualmente, prosseguir desenvolvendo em tais espacos outros ingredientes do Calculo e da Analise.

Para implementar tais desenvolvimentos, vamos no presente capıtulo introduzir algumas importantes nocoes gerais, como as de metrica, de espaco metrico, de sequencias de Cauchy em espacos metricos, de completamento de espacos metricos e de topologia de espacos metricos, nocoes essas que provaram ser de grande importancia na tarefa de levar os instrumentos familiares de abordagem matematica de espacos de dimensao finita a espacos de dimensao infinita e outros.

21.1 Metricas e Espacos Metricos

• Metricas

Uma questao importante que se coloca e a de identificar quais propriedades basicas a nocao intuitiva de distancia possui para permitir seu emprego em varias instancias. O desenvolvimento da Matematica conduziu a uma identificacao desses ingredientes em um conjunto de quatro propriedades, as quais resumem tudo o que e essencialmente necessario na demonstracao de resultados nos quais a nocao de distancia e empregada. Surgiu da identificacao dessas propriedades a nocao matematica de metrica, a qual abstrai e generaliza a nocao intuitiva de distancia. Vamos a essa definicao.

Seja X um conjunto (entendido doravante como nao-vazio). Uma funcao d : X × X → R e dita ser uma metrica em X se possuir as seguintes propriedades:

1. Positividade: d(a, b) ≥ 0 para todos a, b ∈ X.

2. Condicao de distancia nula: d(a, b) = 0 se e somente se a = b.

4A razao de empregarmos o sub-ındice “2” na definicao de d2(f, g) sera esclarecida mais adiante.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 21 1005/1730

3. Simetria: para todos a e b ∈ X vale d(a, b) = d(b, a). 4. Desigualdade triangular: para todos a, b e c ∈ X vale d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).

A quarta propriedade acima e particularmente importante e e denominada desigualdade triangular devido a seu significado geometrico nos espacos R2 e R3 com a metrica usual. (Justifique!) As quatro propriedades listadas acima sao aquelas identificadas como essenciais a nocao intuitiva de distancia e qualquer funcao d que as satisfaca, ou seja, qualquer metrica, pode potencialmente ser empregada como equivalente aquela nocao. Um ponto importante da definicao de metrica e a condicao que afirma que d(x, y) = 0 se e somente se x e y forem iguais. Compare com a definicao de pseudo-metrica a pagina 1020.

Mencionamos en passant que a condicao de positividade acima e, em verdade, consequencia da desigualdade triangular e da condicao de simetria. De fato, usando essas duas condicoes, pode-se provar o seguinte fato mais forte: para todos x, y, z ∈ M vale d(x, y) ≥ |d(x, z) − d(z, y)| , (21.1) o que, em particular, garante que d(x, y) ≥ 0. Para provar isso, note-se que pela desigualdade triangular d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Logo, d(x, y) ≥ d(x, z) − d(y, z) . (21.2)

Trocando-se x por y e usando-se a condicao de simetria, obtemos tambem

O exemplo mais basico de uma metrica e oferecido, no caso X = R, pela funcao d(x, y) = |y − x|, x, y ∈ R. Outro exemplo essencialmente identico em X = C, e oferecido pela funcao d(z, w) = |z −w|, z, w ∈ C. Essas sao as chamadas metricas usuais em R e C, respectivamente. Deixamos ao leitor a tarefa simples de verificar que essas funcoes satisfazem as condicoes da definicao de metrica.

• Espacos metricos e outros exemplos basicos

Se X e um conjunto nao-vazio e d e uma metrica em X, dizemos que o par (X, d) e um espaco metrico. Ou seja, um espaco metrico vem a ser um conjunto munido de uma metrica.

Nota. A nocao de Espaco Metrico foi introduzida por Frechet5 em sua dissertacao de 1906. A expressao “espaco metrico”, no entanto, nao foi sua invencao, tendo sido cunhada por Hausdorff6 em 1914. ♣

Como mencionamos, as quatro propriedades requeridas na definicao de metrica, acima, foram enunciadas sob inspiracao do exemplo familiar do proximo exercıcio.

y = (y1,...,yn), e uma metrica em Rn (chamada de metrica Euclidiana). 6

E importante que o estudante familiarize-se desde cedo com o fato que um conjunto X pode ter varias metricas. O exemplo anterior e os dois abaixo ilustram isso.

Mais adiante mostraremos que todas as funcoes

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 21 1006/1730 com p ≥ 1 sao metricas em Rn.

Uma caracterıstica importante da nocao abstrata de metrica e que a mesma aplica-se tambem a espacos outros que nao os familiares espacos Rn. Os exercıcios abaixo ilustram isso no caso do conjunto X = C([0, 1]), que vem a ser o conjunto das funcoes contınuas reais definidas no intervalo [0, 1].

O leitor deve se recordar que, como o intervalo [0, 1] e compacto, toda funcao f contınua nele definida e limitada, pois |f| e contınua e possui um maximo e um mınimo (esse bem-conhecida afirmacao encontra-se provada no Teorema 28.16, pagina 1264, vide tambem os bons livros de Calculo e Analise).

E. 21.4 Exercıcio. Seja X = C([0, 1]) o conjunto de todas as funcoes reais contınuas definidas em [0, 1]. Considere a seguinte funcao d∞ : X × X → R:

Mostre que d∞ uma metrica em X. 6

E. 21.5 Exercıcio. Seja X = C([0, 1]) o conjunto de todas as funcoes reais contınuas definidas em [0, 1]. Considere a seguinte funcao d1 : X × X → R:

Mostre que d1 uma metrica em X. 6

E. 21.6 Exercıcio. Seja X = C([0, 1]) o conjunto de todas as funcoes reais contınuas definidas em [0, 1]. Considere a seguinte funcao d2 : X × X → R:

Mostre que d2 uma metrica em X. 6 Mais adiante mostraremos que em C([0, 1]) todas as funcoes

com p ≥ 1 sao igualmente metricas. O exemplo a seguir mostra que uma metrica pode ser definida em qualquer conjunto nao-vazio.

E. 21.7 Exercıcio. Seja X um conjunto nao-vazio e considere a seguinte funcao dt : X × X → R:

Mostre que dt uma metrica em X, denominada metrica trivial. 6

• Metricas e normas em espacos vetoriais

Se E e um espaco vetorial dotado de uma norma ‖ · ‖E (a nocao de norma em espacos vetoriais foi introduzida na Secao 3.2, pagina 160), podemos definir uma metrica em E atraves da seguinte expressao: para u, v ∈ E, dE(u, v) = ‖u − v‖E . Essa metrica e dita ser a metrica induzida pela norma ‖ · ‖E.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 21 1007/1730

E. 21.8 Exercıcio. Prove que essa expressao de fato satisfaz as propriedades definidoras de metrica. Sugestao: para demonstrar a desigualdade triangular, use a propriedade de norma ‖a + b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖ para provar que ‖u − v‖E = ‖u−w +w −v‖E ≤ ‖u−w‖E +‖w −v‖E para todos u, v, w ∈ E. 6

E. 21.9 Exercıcio. Diversas metricas apresentadas acima sao induzidas por normas. Identifique-as! 6

Como vimos, se E e um espaco vetorial normado, entao e tambem um espaco metrico com a metrica induzida pela norma, definida acima. O proximo exercıcio trata da questao de saber que condicoes sao necessarias e suficientes para que uma metrica definida em um espaco vetorial seja induzida por uma norma, ou seja, da questao de saber quando e possıvel definir uma norma a partir de uma metrica.

E. 21.10 Exercıcio. Seja E um espaco vetorial complexo dotado de uma metrica d. Mostre que para que a metrica d seja uma metrica induzida por uma norma e necessario e suficiente supor que d satisfaz as seguintes condicoes:

1. Invariancia translacional: d(u + t, v + t) = d(u, v) todos u, v e t ∈ E. 2. Transformacao de escala: d(αu, αv) = |α|d(u, v) para todos u, v ∈ E e todo α ∈ C.

Sob as hipoteses 1 e 2 essa norma que induz d e definida por ‖u‖ := d(u, 0) para cada u ∈ E. 6

• Sequencias

Antes de prosseguirmos, recordemos uma definicao basica.

Se X e um conjunto nao-vazio, uma funcao a : N → X e dita ser uma sequencia em X. Como e familiar ao estudante, o valor de a em n ∈ N e frequentemente denotado por an ao inves de a(n). Analogamente, uma sequencia a : N → X e frequentemente denotada por {an}n∈N, por {an, n ∈ N}, ou ainda, com um certo abuso de linguagem, simplesmente por an. Essa ultima notacao e, talvez, a mais frequente, mas pode, em certas ocasioes, causar alguma confusao pois, como mencionamos, an designa, estritamente falando, o valor de a em n, nao a sequencia toda.

Vamos agora introduzir varias nocoes fundamentais, as quais provem de definicoes bem conhecidas no contexto da reta real.

• Subsequencias

Seja X um conjunto e seja a : N → X uma sequencia em X. Seja tambem κ : N → N uma funcao estritamente crescente (ou seja, k(m) < k(n) se m < n). Entao a ◦ κ : N → X e dita ser uma subsequencia de a.

• Convergencia em espacos metricos

Seja (X, d) um espaco metrico. Dizemos que uma sequencia a em X converge para um elemento x ∈ X em relacao a metrica d se para todo ǫ > 0 existir um numero natural N(ǫ) (eventualmente dependente de ǫ) tal que d(x, an) < ǫ para todo n > N(ǫ).

A seguinte proposicao e fundamental, pois nos diz que, em um espaco metrico, uma sequencia, se for convergente, so pode convergir a um ponto:

Proposicao 21.1 Seja (X, d) um espaco metrico e seja b uma sequencia em X. Suponha que b converge a um elemento x ∈ X e a um elemento y ∈ X. Entao x = y. 2

Prova. Pela desigualdade triangular, temos que d(x, y) ≤ d(x, bn) + d(bn, y) para qualquer n. Agora, como b converge a x sabemos que, para qualquer ǫ > 0 teremos d(x, bn) < ǫ para todo n grande o suficiente, ou seja, para todo n maior que um certo inteiro Nx(ǫ). Analogamente, como bn converge a y sabemos que, para qualquer ǫ > 0 teremos d(y, bn) < ǫ para todo n grande o suficiente, ou seja, para todo n maior que um certo inteiro Ny(ǫ). Assim, para todo n maior que max{Nx(ǫ), Ny(ǫ)} teremos d(x, y) < 2ǫ. Ora, como ǫ e um numero positivo arbitrario, uma tal desigualdade so pode ser valida se d(x, y) = 0. Como d e uma metrica, isso implica x = y.

O estudante pode constatar que a demonstracao acima faz uso de todas as propriedades definidoras da nocao de

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 21 1008/1730 metrica, o que ilustra a importancia de nocoes abstratas como aquela. Um pouco de notacao. Se uma sequencia a em X converge a x ∈ X em relacao a metrica d entao x e dito ser o d-limite de a, ou simplesmente o limite de a, se a metrica d estiver subentendida. Denotamos esse fato escrevendo x = d−limn→∞ an, ou simplesmente x = limn→∞an (se a metrica d estiver subentendida). Outra notacao frequentemente empregada para dizer que x e o d-limite de a e an d−→ x.

• Sequencias de Cauchy

Seja um espaco metrico X com uma metrica d. Uma sequencia a de elementos de X e dita ser uma sequencia de Cauchy7 em relacao a metrica d se para todo ǫ > 0 existir um numero natural N(ǫ) (eventualmente dependente de ǫ) tal que d(ai, aj) < ǫ para todo i e j tais que i > N(ǫ) e j > N(ǫ).

A seguinte proposicao e fundamental:

Proposicao 21.2 Seja um espaco metrico X com uma metrica d e seja b uma sequencia convergente em relacao a metrica d a um elemento x ∈ X. Entao b e uma sequencia de Cauchy em relacao a metrica d.

Prova. Sejam m e n arbitrarios. Pela desigualdade triangular, vale d(bn, bm) ≤ d(bn, x) + d(x, bm). Agora, como b converge a x sabemos que para todo ǫ > 0 teremos d(bn, x) < ǫ/2 e d(bm, x) < ǫ/2 desde que ambos m e n sejam maiores que algum N(ǫ/2). Nesse caso, entao, d(bn, bm) ≤ ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ. Isso completa a prova.

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