nc - cap20

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Capıtulo 20

Uma Breve Introducao a Teoria das Representacoes de Grupos

20.1 Representacoes de Grupos986
20.2 Representacoes Irredutıveis de SO(3)991
20.3 A Medida de Haar995
20.4 Representacoes de Grupos Compactos996
20.5 O Teorema de Peter-Weyl997

Conteudo rupos desempenham um papel importante na Fısica em geral devido a sua relacao com transformacoes de simetria. Na Fısica Quantica (na Mecanica Quantica ou na Teoria Quantica de Campos), onde o conjunto de estados puros de um sistema fısico e descrito por um espaco linear, torna-se particulamente relevante estudar a acao de grupos de simetria em espacos vetoriais. Essa e a motivacao basica do estudo de representacoes de grupos.

20.1 Representacoes de Grupos

Uma representacao de um grupo G em um espaco vetorial V e uma aplicacao que a cada g ∈ G associa um operador linear inversıvel Π(g) : V → V de modo que as seguintes condicoes sejam satisfeitas:

Acima e e a unidade de G e o operador identidade em V .

Ha outras formas equivalentes de caracterizar ou definir o conceito de representacao de um grupo. Podemos dizer que uma representacao de um grupo em um espaco vetorial V e um homomorfismo de G no grupo dos operadores lineares inversıveis de V em V , ou ainda, que e uma acao a esquerda de G em V atraves de operadores lineares inversıveis.

• A representacao trivial

A representacao que associa todo g ∈ G ao operador identidade em V , ou seja, tal que π(g) = , ∀g ∈ G, e denominada representacao trivial.

• Intertwiners

Seja G um grupo e V1, V2 dois espacos vetoriais (sobre o mesmo corpo) onde atuem duas representacoes de G: Π1 e Π2, respectivamente em V1 e V2. Um operador U : V1 → V2 tal que para todo g ∈ G, e dito ser um operador de entrelacamento de Π1 e Π2. Operadores de entrelacamento sao mais frequentemente designados intertwiners.

Voltaremos a falar sobre intertwiners quando tratarmos do importante Lema de Schur adiante.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 20 987/1730

• Representacoes equivalentes As duas representacoes sao ditas ser representacoes equivalentes se existir um operador inversıvel U : V1 → V2 tal que para todo g ∈ G, ou seja, se Π1 e Π2 possuırem um intertwiner inversıvel.

E muito facil mostrar que a equivalencia de duas representacoes e uma relacao de equivalencia (no sentido usual) e que, portanto, a classe de todas as representacoes de um grupo pode ser quebrada em classes de representacoes equivalentes.

Um grupo pode ter varias representacoes distintas (e inequivalentes) em um mesmo espaco vetorial.

cosx −senx senx cosx x ∈ R, sao tres representacoes de G. Mostre que T1 e T2 sao equivalentes (sugestao: tome U = (0 1 1 0)). Mostre que R e T1

(ou T2) nao sao equivalentes (sugestao: se o fossem, veja o que ocorreria para x = 2π). 6

• subespacos invariantes

Seja G um grupo, V um espaco vetorial e Π uma representacao de G em V . Seja V ′ um subespaco de V . V ′ e dito ser um subespaco invariante por Π se Π(g)v′ ∈ V ′ para todo v′ ∈ V ′ e todo g ∈ G, ou seja, se Π(G)V ′ ⊂ V ′.

Qualquer representacao possui sempre pelo menos dois subespacos invariantes: aquele formado apenas pelo vetor nulo V ′ = {0} e aquele formado pelo espaco todo V ′ = V . Esses subespacos invariantes sao ditos triviais.

E. 20.2 Exercıcio. 1. Mostre que a representacao T1, definida acima, tem um subespaco invariante de dimensao 1, a saber, o subespaco formado pelos vetores da forma (a0), a ∈ R. Mostre que nenhum outro subespaco de dimensao 1 de R2 e invariante por T1. 2. Mostre que a representacao T2, definida acima, tem um subespaco invariante de dimensao 1, a saber, o subespaco formado pelos vetores da forma (0b ), b ∈ R. Mostre que nenhum outro subespaco de dimensao 1 de R2 e invariante por T2. 3. Mostre que a representacao R, definida acima, nao tem nenhum subespaco invariante nao-trivial. 6

E. 20.3 Exercıcio. Verifique que as expressoes abaixo definem representacoes de G = (R, +) em V = R4 e identifique seus subespacos invariantes.

CCCCCCCCCCA , Π2(x) =

CCCCCCCCCCA , Π3(x) =

cosx −senx 0 0 senx cosx 0 0 0 0 cosx −senx 0 0 senx cosx

• Representacoes irredutıveis

De grande importancia e o conceito de representacao irredutıvel de um grupo G em um espaco vetorial V . Uma representacao Π de um grupo G em um espaco vetorial V e dita ser irredutıvel se os seus unicos subespacos invariantes forem os triviais.

Uma representacao que nao e irredutıvel e dita ser redutıvel.

E. 20.4 Exercıcio. Mostre que as representacoes T1 e T2, definidas a pagina 987, sao redutıveis. Mostre que a representacao R e irredutıvel. 6

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 20 988/1730

Vamos supor que V seja um espaco de dimensao finita, digamos n, e que Π seja uma representacao de um grupo G em V que possua um subespaco invariante nao-trivial V ′ (ou seja, Π e redutıvel). Seja m ≤ n a dimensao de V ′. Entao e possıvel encontrar uma base em V tal que Π(g) possui a representacao matricial em blocos

Mostrar isso e bem simples, basta representar cada v ∈ V em uma base e1,, en, onde e1 ..., em formam uma base

O seguinte exercıcio revela uma propriedade importante dos blocos π1 e π2:

E. 20.5 Exercıcio. Mostre que π1 e π2 definidos acima sao tambem representacoes de G. 6

Uma representacao Π de um grupo G em um espaco vetorial V e dita ser uma representacao totalmente redutıvel se for redutıvel e se V puder ser escrita como uma soma direta de subespacos invariantes por Π: V = V1 ⊕·⊕Vk. Em tal caso Π(g) pode ser escrita em uma base conveniente na forma de blocos

para todo g ∈ G, onde cada πi(g) e uma representacao de G agindo no espaco invariante Vi de Π. Em um tal caso denotamos Π da forma Π = π1 ⊕ · ⊕ πk.

Particularmente importante e a situacao em que Π e totalmente redutıvel e cada πi e irredutıvel. Em tal caso dizemos que Π e uma representacao maximalmente redutıvel, ou ainda uma representacao completamente redutıvel.

E. 20.6 Exercıcio. Sejam as representacoes T1 e T2 definidas a pagina 987. Mostre que T1 e T2 nao sao totalmente redutıveis. 6

E. 20.7 Exercıcio. Sejam as representacoes Π1, Π2 e Π3 definidas a pagina 987. Mostre que Π1 e Π2 sao totalmente mas nao maximalmente redutıveis. Mostre que Π3 e maximalmente redutıvel. 6

Nesse contexto a seguinte proposicao e importante:

Proposicao 20.1 Seja V um espaco vetorial complexo de dimensao finita, dotado de um produto escalar 〈·, ·〉, e seja Π uma representacao de um grupo G por operadores unitarios (em relacao ao produto escalar). Entao ou Π e irredutıvel ou e maximalmente redutıvel. 2

Para provar essa proposicao, vamos antes demonstrar o seguinte lema, o qual tem importancia por si so, como veremos mais adiante.

Lema 20.1 Seja V um espaco vetorial complexo, dotado de um produto escalar 〈·, ·〉, e seja Π uma representacao de um grupo G por operadores unitarios (em relacao ao produto escalar). Se W e um subespaco invariante por Π entao seu complemento ortogonal W⊥ (em relacao ao produto escalar) tambem o e. 2

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 20 989/1730 pois Π(g−1)w ∈ W, ja que W e invariante, e w′ e ortogonal e todo elemento de W. Como w e um elemento arbitrario de W, isso mostrou que Π(g)w′ ∈ W⊥ para todo g ∈ G, provando assim que W⊥ e invariante.

Vamos agora provar a proposicao. Se Π e unitaria e e redutıvel, entao V possui um subespaco invariante nao trivial

V1 e, pelo lema acima, V2 = V ⊥1 e tambem invariante. Logo, Π e totalmente redutıvel, V = V1⊕V2 e Π = π1⊕π2. Agora, e facil ver que cada π1 e tambem uma representacao unitaria (por que?). Assim, podemos aplicar a mesma conclusao a cada πi e, se πi for redutıvel, podemos tornar a quebrar o subespaco Vi em subespacos invariantes ainda menores e πi em uma soma de representacoes unitarias menores. Como a dimensao de V e finita, esse procedimento tera forcosamente um fim e cada representacao menor a que se chegar sera forcosamente irredutıvel.

E. 20.8 Exercıcio. Mostre que as mesmas conclusoes valem para representacoes ortogonais em espacos vetoriais reais. 6

• Representacoes irredutıveis para operadores

Um outro conceito importante e o seguinte. Uma representacao Π de um grupo G em um espaco vetorial V e dita ser uma representacao irredutıvel para operadores se valer a seguinte propriedade: os unicos operadores A : V → V tais que para todo g ∈ G sao da forma A = λ , ou seja, sao multiplos da identidade.

Podemos nos perguntar qual a relacao entre essa nocao e a de representacao irredutıvel. Vamos demonstrar adiante os seguintes fatos: 1) toda representacao irredutıvel complexa de dimensao finita e irredutıvel para operadores. 2) toda representacao unitaria que seja irredutıvel para operadores e tambem irredutıvel.

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