nc - cap19

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(Parte 1 de 5)

Capıtulo 19

Grupos de Lie e Algebras de Lie. Uma Breve Introducao

19.1 Variedades e Grupos de Lie958
19.2 Breves Consideracoes sobre Grupos Topologicos960
19.3 Grupos de Lie Matriciais962
19.3.1 Uma Topologia Metrica em GL(C, n)962
19.3.2 O Grupo de Lie GL(C, n)963
19.3.3 Subgrupos Uniparametricos e seus Geradores965
19.3.4 Subgrupos Uniparametricos e Algebras de Lie968
19.3.5 Subgrupos Fechados de GL(C, n)972
19.4 A Relacao entre Grupos de Lie Matriciais e suas Algebras de Lie975
19.4.1 Algebras de Lie Nilpotentes, Soluveis, Simples e Semi-Simples976
19.4.2 Questoes sobre a Exponenciacao de Algebras de Lie978
19.4.3 Alguns Exemplos Especiais980

Conteudo ste capıtulo tenciona ser uma modesta introducao ao estudo de grupos de Lie. Com particular destaque discutiremos grupos de Lie matriciais. Algumas observacoes previas sao necessarias. Para a discussao do conceito geral de grupo de Lie sao indispensaveis algumas nocoes basicas sobre espacos topologicos mas, de importancia especial e a nocao de variedade diferenciavel. Esse importante conceito, proveniente da Geometria, desempenha um papel importante em varias areas de Fısica, tais como a Teoria da Relatividade Geral e as Teorias de Calibre. O conceito de variedade diferenciavel nasceu inspirado na nocao mais familiar de superfıcie em espacos Rn e nao se desvincula totalmente daquela. Nao pressuporemos da parte do leitor conhecimento previo do conceito de variedade diferenciavel e, por isso, vamos introduzı-lo adiante. Nao iremos, no entanto, desenvolver esse assunto em detalhe no presente capıtulo e, para tal, remetemos o estudante interessado ao Capıtulo 29, pagina 1294, e aos (inumeros) bons livros sobre Geometria Diferencial, por exemplo [144].

Iremos nos concentrar em exemplificar o conceito de grupo de Lie tratando primordialmente de grupos de Lie matriciais. Isso simplifica um pouco o tratamento e reduz um tanto o escopo destas notas introdutorias. No entanto, a grande maioria dos grupos de Lie de interesse (especialmente em Fısica) e formada por grupos de Lie matriciais. Para o tratamento de grupos de Lie matriciais discutiremos com certo detalhe aspectos algebricos e topologicos de grupos de matrizes.

Mais de 100 anos de pesquisa intensa nos separam dos primordios do estudo dos grupos e algebras de Lie e nossas pretensoes aqui sao a de uma modesta introducao a esse vastıssimo assunto. Para tratamentos gerais e abrangentes de grupos de Lie recomendamos as referencias [150], [143], [32], [108], [198], [86] ou [173]. Para algebras de Lie, recomendamos [9] e [165].

Varios grupos de Lie sao importantes na Fısica e seu tratamento e particularmente importante na Mecanica Quantica e nas Teorias Quanticas de Campos. Exemplos de grupos de Lie importantes para a Fısica sao discutidos com certo detalhe no Capıtulo 18, tais como os grupos SO(3), SU(2) e o grupo de Lorentz.

19.1 Variedades e Grupos de Lie

• Variedades diferenciaveis

Uma variedade diferenciavel real de dimensao n e um espaco topologico Hausdorff segundo-contavel V dotado de uma famılia de abertos F = {Uα, α ∈ Λ} com as seguintes propriedades:

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 19 959/1730

2. Para cada Uα ∈ F existe um conjunto aberto Cα de Rn e uma bijecao contınua com inversa contınua φα : Uα → Cα.

3. Para todo par Uα, Uβ ∈ F com Uα ∩ Uβ 6= ∅ a funcao φα ◦ φ−1β : φβ(Uα ∩Uβ) → φα(Uα ∩ Uβ) e infinitamente diferenciavel como funcao de (um subconjunto de) Rn em Rn.

Uma variedade analıtica complexa de dimensao n e definida analogamente, substituindo-se Rn por Cn e substituindose a condicao de diferenciabilidade infinita do item 3, acima, por analiticidade.

Observacao 1. Acima, Λ e apenas um conjunto deındices usados para rotular os elementos de F e nao tem nenhum papel especial. Λ pode ser finito ou nao, contavel ou nao.

Observacao 2. As funcoes φα ◦ φ−1β de acima sao denominadas funcoes de transicao. Em uma variedade kdiferenciavel exige-se apenas que as funcoes de transicao sejam k-vezes diferenciaveis. Esses objetos tem, porem, interesse relativamente limitado.

Observacao 3. Os pares (φα, Uα) sao frequentemente denominados cartas locais da variedade ou simplesmente cartas. A colecao das cartas e frequentemente denominada atlas.

Vamos a interpretacao das condicoes acima. A condicao 1 diz apenas que a famılia {Uα, α ∈ Λ} e um recobrimento de V , ou seja, todo elemento de V pertence a pelo menos um aberto Uα, podendo naturalmente ocorrer que alguns pontos de V pertencam a varios elementos da famılia F, ou seja, os elementos de F podem ter interseccoes nao-vazias.

A condicao 2 e importante e diz que os elementos de cada Uα podem ser rotulados (univocamente) por uma n-upla de numeros reais (ou complexos). Ou seja, podemos dotar cada Uα de um sistema de coordenadas. Note que esses sistemas podem ser diferentes para Uα’s diferentes. Como dissemos, pontos de V podem pertencer a varios Uα’s e, portanto, podem ter a si atribuıdas coordenadas diferentes, uma para cada Uα ao qual pertence. Assim, os pontos de Uα ∩ Uβ tem a si atribuıdos pelo menos dois sistemas de coordenadas: as coordenadas Cα de Uα e as coordenadas Cβ de Uβ. A condicao 3 diz-nos como esses sistemas de coordenadas devem relacionar-se, a saber, o que se deseja e que a passagem das coordenadas Cβ para as coordenadas Cα, a qual e definida pela funcao φα ◦ φ−1β , seja infinitamente diferenciavel (ou analıtica).

Como mencionamos, a conceito de variedade foi inspirado na nocao de superfıcie em conjuntos como Rn e Cn. Sem entrarmos em detalhes tecnicos, toda superfıcie em Rn convenientemente definida (tais como a superfıcie da esfera e o toro, em R3) e uma variedade, ou seja, tem um sistema de coordenadas local. Isso pode ser garantido, por exemplo, pelo conhecido teorema da funcao implıcita da analise real. Note-se porem que variedades nao sao apenas conjuntos de pontos, como as superfıcies de Rn o sao, podendo ser tambem conjuntos de outros tipos de objetos, como funcoes, curvas, vetores, matrizes etc. A ideia intuitiva basica em torno da nocao de variedade e que a mesma representa uma colecao contınua de objetos que podem ser rotulados por sistemas de coordenadas e de tal forma que possamos, ao menos localmente, manipular essas coordenadas de modo (infinitamente) diferenciavel, como se faz em Rn.

E. 19.1 Exercıcio. Mostre que o conjunto de matrizes { R = (

a b

, a, b ∈ R com det(R) = 1} e uma variedade dife- renciavel de dimensao 1. 6

• Grupos topologicos Vamos agora apresentar a definicao de grupo topologico, da qual precisaremos para discutir grupos de Lie.

Seja G um grupo. Para cada g ∈ G podemos definir uma funcao λg : G → G por λg(h) = gh. Fora isso tem-se tambem em G a funcao inv : G → G definida por inv(h) = h−1.

Definicao. Um grupo G e dito ser um grupo topologico em relacao a uma topologia τ definida em G se nessa topologia a funcao inv e todas as funcoes λg forem contınuas.

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Comentario. Podemos definir tambem para cada g ∈ G a funcao µg : G → G por µg(h) = hg, que representa a multiplicacao a direita por g. E facil de se ver, porem, que µg = inv ◦ λg ◦ inv. Assim, em um grupo topologico as funcoes µg sao tambem contınuas. ♣

Comentario. Um grupo pode ser topologico em relacao a uma topologia mas nao em relacao a outra. Veremos exemplos. ♣

Informalmente, um grupo G e topologico se as operacoes de produto por elementos do grupo e inversao forem contınuas.

Em termos mais precisos um grupo topologico e formado por um grupo G e uma colecao G de subconjuntos de G, G ⊂ (G), satisfazendo as condicoes definidoras de um Espaco Topologico (vide Capıtulo 23):

3. Se I e um conjunto arbitrario de ındices e Aλ ∈ G para todo λ ∈ I entao ⋃ λ∈I Aλ tambem e um elemento de G, e tais que para todo O ∈ G as imagens inversas inv−1(O) e λ−1g (O), para todo g ∈ G, sao igualmente elementos de G.

Os elementos de G sao ditos ser os conjuntos abertos de G. Como em geral se faz em espacos topologicos, um conjunto F ⊂ G e dito ser fechado se seu complementar G \ F for aberto.

• Grupos de Lie

Um grupo topologico que, enquanto espaco topologico, seja uma variedade real diferenciavel (complexa analıtica) e dito ser um Grupo de Lie1 real (complexo) se as operacoes de multiplicacao a direita e inversao forem infinitamente diferenciaveis (analıticas).

E. 19.2 Exercıcio. Verifique que (R, +) (o grupo aditivo dos reais) e (R+ \ {0}, ·) (o grupo multiplicativo dos reais nao-negativos) sao grupos de Lie reais. 6

a b

, a, b ∈ R com det(R) = 1} e um grupo de Lie real. 6

Na Secao 19.3.2, pagina 963, mostraremos com detalhe que GL(C, n) e um grupo de Lie. Para mais exemplos, vide a discussao sobre os grupos SO(3), SU(2) etc. do Capıtulo 18.

19.2 Breves Consideracoes sobre Grupos Topologicos

Nesta secao nos limitaremos a apresentar alguns poucos resultados sobre grupos topologicos, dos quais faremos uso adiante ao tratarmos de grupos de Lie. O estudo de grupos topologicos gerais e bastante vasto e para um texto classico recomendamos fortemente [150].

Introduzimos aqui a seguinte notacao. Seja G um grupo topologico. Se U e algum subconjunto de G e g ∈ G definimos

Analogamente, Ug := {x ∈ G| x = ug para algum u ∈ U} .

E. 19.4 Exercıcio. Se U e um conjunto aberto de G mostre que para todo g ∈ G os conjuntos gU e Ug sao tambem conjuntos abertos de G. 6

1Marius Sophus Lie (1842-1899). Lie introduziu esse conceito em cerca de 1870 em seus estudos de propriedades de invariancia de equacoes diferenciais parciais.

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• Grupos topologicos conexos e desconexos

Um grupo topologico H e dito ser desconexo se for a uniao disjunta de dois conjuntos A e B, ambos nao-vazios e ambos simultaneamente abertos e fechados. Ou seja, H = A∪B, A∩B = ∅ com A 6= ∅, B 6= ∅, onde A e B sao abertos e fechados. Um grupo topologico H e dito ser conexo se nao for desconexo.

• Alguns fatos sobre grupos topologicos

Vamos aqui provar alguns fatos basicos sobre grupos topologicos gerais. Faremos uso da Proposicao 19.3 abaixo quando falarmos da relacao entre algebras de Lie matriciais e algebras de Lie.

Seja H um grupo topologico e G ⊂ H um subgrupo de H. Dizemos que G e um subgrupo topologicamente aberto de

H (ou simplesmente subgrupo aberto de H) se G for um subconjunto aberto de H. Analogamente, dizemos que G e um subgrupo topologicamente fechado de H (ou simplesmente subgrupo fechado de H) se G for um subconjunto fechado de H. A seguinte proposicao e relevante nesse contexto.

Proposicao 19.1 Seja H um grupo topologico e G um subgrupo aberto de H. Entao G e igualmente um subgrupo fechado de H. 2

Prova. Seja g′ ∈ G, onde G e o fecho de G. Entao, se Ug e qualquer aberto de H que contem g′, tem-se Ug ∩ G 6= ∅ (Proposicao 23.8, pagina 1098). Vamos escolher cuidadosamente um tal aberto Ug . Seja Ue um aberto de H que contem a identidade. Como G e aberto, V = Ue ∩ G e igualmente aberto. Escolhemos Ug = g′V := {x ∈ H, x = g′v para algum v ∈ V }. Entao, como Ug ∩ G 6= ∅ existe algum elemento g ∈ G que e tambem elemento de Ug , ou seja, g = g′v para algum elemento v ∈ V . Mas isso implica que g′ = gv−1. Agora, v ∈ V = Ue ∩ G ⊂ G e, portanto, g′ ∈ G por ser o produto de dois elementos de G, que e um grupo.

Proposicao 19.2 Seja H um grupo topologico conexo e G um subgrupo aberto de H. Entao G = H. 2

Prova. Vamos supor que G 6= H, ou seja, H \G 6= ∅. Como G e um conjunto aberto e fechado (pela proposicao anterior) H \ G = H ∩ Gc e um conjunto aberto e fechado. Assim, H e a uniao disjunta de dois conjuntos abertos e fechados, a saber G e H \ G. Isso e uma contradicao com o fato de H ser conexo. Logo, G = H.

Proposicao 19.3 Seja H um grupo topologico conexo e U um aberto de H que contem a identidade e que seja tal que para todo u ∈ U tem-se u−1 ∈ U. Entao,

∣∣∣ x = un ···u1 para ui ∈ U, i = 1,, n}

Prova. Todos os conjuntos Un sao conjuntos abertos. Isso e facil de se ver. De fato,

e, assim, U2 e aberto, pois e uma uniao de abertos (vide exercıcio a pagina 960). Analogamente,

Por inducao, segue facilmente que todo Un e aberto.

Assim U := ⋃∞ n=1 Un e igualmente um conjunto aberto (por ser uma uniao de abertos). Se provarmos que U e um grupo, a proposicao anterior garante a prova desejada.

E evidente que U contem a identidade e (que esta contida em U). Fora isso, se g1 ∈ Un e g2 ∈ Un , entao g1 =

Finalmente, se g ∈ Un e g = un ···u1, entao g−1 = u−1 ···u−1n ∈ Un ⊂ U. Isso completa a prova que U e um grupo.

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Informalmente, essa proposicao diz que se H e um grupo topologico conexo, entao qualquer aberto U que contem a identidade gera o grupo H, ou seja, todo elemento de H pode ser escrito como o produto finito de elementos de U.

Observacao. Como a identidade e e um elemento de U, segue facilmente de (19.1) que Un−1 ⊂ Un para todo n ≥ 1. ♣

Seja H um grupo topologico. Dizemos que uma colecao de conjuntos abertos Aλ ∈ H, λ ∈ Λ, e um recobrimento de H se

Um grupo topologico e dito ser compacto2se possuir a seguinte propriedade: para todo recobrimento Aλ ∈ H, λ ∈ Λ,

,, Aλ

de H existir um subconjunto finito Aλ de conjuntos abertos que tambem e um recobrimento de H:

A seguinte proposicao e imediata:

Proposicao 19.4 Seja H um grupo topologico conexo e compacto e seja U um aberto de H que contem a identidade e que seja tal que para todo u ∈ U tem-se u−1 ∈ U. Entao, existe um n tal que

Prova. Como H e conexo, pela Proposicao 19.3 tem-se H = ⋃∞ n=1 Un. O lado direito e, portanto, um recobrimento de H por abertos. Assim, como H e compacto, H tem um recobrimento finito pelos abertos Un: existem n1 < n2 < · < nk tais que H = Un ∪ · ∪ Un . Como Un ⊂ · ⊂ Un , tem-se H = Un , como querıamos provar.

Comentario. Na proposicao acima, a igualdade H = Un afirma que todo elemento de H e obtido por um produto de no maximo n elementos de U. O numero n e dependente de U e e intuitivo dizer que quanto “menor” for o aberto U que contem a identidade, maior sera n. ♣

19.3 Grupos de Lie Matriciais

Nosso objetivo nesta secao e nas que se seguem e introduzir os grupos de Lie matriciais e discutı-los. Trataremos de alguns exemplos ilustrativos com algum detalhe, comecando com o grupo GL(C, n). Comentemos que essencialmente todas as nossas afirmacoes adiante sobre GL(C, n) sao tambem validas para o grupo real GL(R, n).

19.3.1 Uma Topologia Metrica em GL(C, n)

Como preparacao, facamos alguns comentarios topologicos sobre GL(C, n). A topologia metrica de Mat(C, n) discutida na Secao 7.1, pagina 325, pode ser introduzida naturalmente em GL(C, n), que afinal e um subconjunto de Mat(C, n), ao definirmos para A, B ∈ GL(C, n) a metrica d(A, B) = ‖A − B‖, sendo ‖ · ‖ a norma operatorial de Mat(C, n). Mostremos que GL(C, n) e um conjunto aberto e denso de Mat(C, n).

• GL(C, n) e um conjunto aberto de Mat(C, n) E relevante notarmos que GL(C, n) nao e um subconjunto fechado de Mat(C, n). Isso se ve tomando o exemplo da sequencia de matrizes diagonais 2 × 2 da forma Am = 1/m 0

0 1/m , m ∈ N, sequencia essa formada por elementos de

GL(C, 2) mas que converge para a matriz nula, que obviamente nao e elemento de GL(C, 2). 2Para a definicao da nocao de compacidade e suas propriedades, vide Secao 28.3, pagina 1246.

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Em verdade, GL(C, n)e um conjunto aberto de Mat(C, n). Paramostrar isso temos que provar3 que se A ∈ GL(C, n) e B e uma matriz tal que ‖B − A‖C e suficientemente pequena, entao B e inversıvel e, portanto, tambem pertence a

GL(C, n). Observemos que B = A ( +A−1(B −A)) . Se provarmos que +A−1(B −A) e inversıvel entao teremos que

Escolhendo B proximo o suficiente de A de modo que ‖B − A‖C < 1/‖A−1‖C entao A−1(B − A) tera norma menor que 1 e, portanto, + A−1(B − A) tem uma inversa dada pela serie de Neumann4 convergente5

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