nc - cap18

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(Parte 1 de 12)

Capıtulo 18 Grupos. Alguns Exemplos

18.1 O Grupo de Permutacoes864
18.1.1 Ciclos, Transposicoes e Transposicoes Elementares865
18.2 Alguns Grupos Matriciais869
18.2.1 Os Grupos GL(n) e SL(n)869
18.2.2 O Grupo de Borel e o Grupo de Heisenberg872
18.2.3 Grupos Associados a Formas Bilineares e Sesquilineares878
18.2.4 Os Grupos Ortogonais879
18.2.5 Os Grupos Unitarios880
18.3 Os Grupos SO(2), SO(3), SU(2) e SL(2, C)881
18.3.1 Os Grupos SO(2), O(2), SO(1, 1) e O(1, 1)882
18.3.2 O Grupo SO(3)885
18.3.3 O Grupo SU(2)891
18.3.4 A Relacao entre SO(3) e SU(2)894
18.3.5 O Grupo SL(2, C)896
18.4 Generalidades sobre os grupos SU(n) e SO(n)898
18.4.1 Os Grupos SU(n)898
18.4.2 O Grupo SU(3)900
18.4.3 Os Grupos SO(n)901
18.5 O Grupo Afim e o Grupo Euclidiano906
18.6 O Grupo de Lorentz910
18.6.1 O Espaco-Tempo, a Nocao de Intervalo e a Estrutura Causal910
18.6.2 A Invariancia do Intervalo915
18.6.3 O Grupo de Lorentz917
18.6.4 Alguns Subgrupos do Grupo de Lorentz918
18.6.5 A Estrutura do Grupo de Lorentz921
18.6.6 Os Geradores do Grupo de Lorentz926
18.7 O Grupo de Poincare929
18.8 SL(2, C) e o Grupo de Lorentz933
APENDICES940
18.A Prova do Teorema 18.8940
18.B Um Isomorfismo entre SL(2, C) / { , − } e L↑+950

Conteudo rupos sao objetos de suma importancia na Fısica devido a sua relacao com transformacoes de simetria. A nocao abstrata de grupo foi introduzida na Secao 2.1.3, pagina 73. No presente capıtulo introduziremos alguns grupos de particular interesse na Fısica e na Matematica e estudaremos algumas de suas propriedades mais simples e importantes. Com particular detalhe trataremos do grupo de Lorentz na Secao 18.6, grupo este de fundamental importancia na Teoria da Relatividade.

18.1 O Grupo de Permutacoes

Seja C um conjunto nao-vazio qualquer e seja Perm(C) o conjunto de todas as funcoes bijetoras de C em C. Perm(C) e naturalmente um grupo, onde o produto e a composicao de funcoes e o elemento neutro e a funcao identidade (que denotaremos doravante por id). O elemento inverso de uma funcao f ∈ Perm(C) e a sua funcao inversa f−1 (que existe, pois Perm(C) contem funcoes bijetoras, por definicao). Perm(C) e denominado grupo de permutacoes do conjunto C.

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E. 18.1 Exercıcio. Mostre que Perm(C) somente e um grupo Abeliano se C possuir um ou dois elementos. 6

Grupos de permutacoes desempenham um papel de destaque na teoria de grupos, em parte devido ao seguinte teorema estrutural, que nao demonstraremos nestas notas, e que e denominado Teorema de Cayley1:

Teorema 18.1 Todo grupo e subgrupo de um grupo de permutacoes Perm(C), para algum conjunto C. 2

De particular importancia e o caso em que C e um conjunto finito. Tais grupos de permutacao e suas representacoes tambem desempenham um papel de destaque na Fısica, particularmente na Mecanica Quantica, e por isso vamos nos deter um pouco nos mesmos.

Seja n ≥ 1, inteiro, e considere-se o conjunto {1,, n}. O grupo Sn = Perm({1, ..., n}) e denominado grupo de

• Grupos de permutacoes de n elementos permutacoes de n elementos.

E. 18.2 Exercıcio. Seja C um conjunto com n elementos. Mostre que Perm(C) e isomorfo a Sn. 6

Um elemento π ∈ Sn e dito ser uma permutacao. Como toda a permutacao, π e uma funcao bijetora {1,, n} →
{1,, n} e e costume representa-la na forma de um arranjo matricial:
 1 2n
π(1) π(2)π(n)
onde na primeira linha ordenamos os elementos de {1,, n} e na segunda suas imagens por π.

Exemplos. Os elementos de S2 sao

π1 e a identidade do grupo. Os elementos de S3 sao

π1 e a identidade do grupo. E. 18.3 Exercıcio. Mostre que Sn tem exatamente n! elementos. 6

18.1.1 Ciclos, Transposicoes e Transposicoes Elementares

Vamos aqui estudar alguns fatos estruturais importantes sobre os grupos Sn. 1Arthur Cayley (1821–1895).

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• Ciclos Precisamos da seguinte definicao.

Definicao. Uma permutacao π e dita ser um ciclo, ou um r-ciclo se existirem r inteiros distintos i1,,ir tais que
j, se j 6∈ {i1,, ir} ,

E. 18.4 Exercıcio. Mostre que se π e um r-ciclo, entao πr = id. 6

A importancia do conceito de ciclo manifesta-se no seguinte teorema: Teorema 18.2 Toda permutacao diferente da identidade e um produto de ciclos disjuntos dois a dois. 2

Prova. Seja π ∈ Sn, π 6= id. Seja i1 o menor elemento de {1,, n} para o qual π(i) 6= i. Vamos considerar a sequencia

(em princıpio infinita)

i1, π(i1), π2(i1), π3(i1),
Os elementos dessa sequencia sao obviamente elementos de {1,, n} que e um conjunto finito. Consequentemente essa

sequencia tem, na verdade, elementos repetidos. Vamos supor que πp(i1) e πq(i1), p < q, sejam os primeiros elementos que se repetem: πp(i1) = πq(i1). Essa igualdade implicaria i1 = πr (i1), onde r1 = q − p. Assim, o primeiro par que se repete na sequencia acima e, em verdade, o par i1 e πr (i1).

Isso nos diz que a sequencia acima e uma repeticao infinita da sequencia finita

i1, π(i1), π2(i1),, πr (i1) ,

sequencia esta formada por r1 elementos que, por construcao, sao distintos.

i1, i2 := π(i1), i3 = π2(i1),, ir = πr (i1)

Vamos denominar e definir π1 ∈ Sn por

j, se j 6∈ {i1,, ir } ,
E evidente que π1 e um ciclo e que π1 e π coincidem no conjunto {i1,,ir }. Podemos entao escrever
onde π′ ∈ Sn e a identidade em {i1,,ir } e coincide com π no complemento:
j, se j ∈ {i1,, ir } ,
onde π2 e novamente um ciclo (disjunto de π1, por construcao). Como {1,, n} e um conjunto finito, a repeticao

O que fazemos em seguida e repetir o procedimento, mas agora para a permutacao π′. Obteremos π′ = π2π′′ = π′′π2, desse procedimento deve ter um fim, e obtemos

para k ciclos π1,, πk disjuntos dois a dois. Isso completa a prova.

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2-ciclos sao denominados transposicoes. Sejam p e q dois elementos distintos de {1,, n}. A transposicao de p e

• Transposicoes q, denotada por tp,q e a permutacao definida por

Transposicoes sao importantes pela seguinte razao: Teorema 18.3 Todo ciclo pode ser escrito como um produto de transposicoes. 2

Prova. Seja π o ciclo associado ao conjunto {i1,,ir} ⊂ {1, ...,n}:
j, se j 6∈ {i1,, ir} ,

A prova resume-se em constatar que π = ti , i ti , i ti , i · · · ti , i ti , i .

E. 18.5 Exercıcio. Complete os detalhes e/ou faca alguns casos particulares para convencer-se. 6

O seguinte teorema e um corolario imediato dos Teoremas 18.2 e 18.3: Teorema 18.4 Toda permutacao diferente da identidade e um produto de transposicoes. 2

De particular importancia sao as transposicoes de vizinhos ti = ti, i+1 com i = 1,, n − 1:

• Transposicoes elementares

e que sao chamadas transposicoes elementares. A importancia das mesmas reside nos dois teoremas abaixo. Teorema 18.5 Toda transposicao e um produto de transposicoes elementares. 2

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E. 18.6 Exercıcio. Complete os detalhes e/ou faca alguns casos particulares para convencer-se. 6

O seguinte teorema e um corolario imediato dos Teoremas 18.2, 18.3, 18.4 e 18.5: Teorema 18.6 Toda permutacao diferente da identidade e um produto de transposicoes elementares. 2

O Teorema 18.6 afirma que Sn e um grupo gerado por transposicoes elementares, ou seja, todo π ∈ Sn (distinto da identidade) e da forma

para certas transposicoes ti ,, ti
E. 18.7 Exercıcio. Determine quais dos elementos π1,, π6 do grupo S3 (pagina 865) sao transposicoes elementares e

escreva os demais como produtos de tais transposicoes elementares. 6

Podemos nos perguntar, essa forma de escrever π e unica? A resposta e nao, pelas razoes que agora expomos.

Proposicao 18.1 Em Sn as transposicoes elementares ti, i = 1,, n − 1 satisfazem as seguintes relacoes:

• Transposicoes elementares e suas relacoes (ti)2 = id, (18.2)

titi+1ti = ti+1titi+1, se i = 1,, n − 2 . (18.4)

Prova. ←→ Exercıcio.

Essa proposicao explica por que a representacao (18.1) nao e geralmente unica: o lado direito de (18.1) pode eventualmente ser reescrito se aplicarmos quaisquer das relacoes (18.2)-(18.4). Estas, porem, sao as unicas relacoes que as transposicoes elementares ti satisfazem. Desses fatos extraımos a seguinte conclusao:

Proposicao 18.2 Todo grupo gerado por n − 1 elementos t1,, tn−1 e que satisfazem as relacoes (18.2)-(18.4) (e

somente elas) e isomorfo a Sn. 2

Prova. ←→ Exercıcio.

• O sinal, ou paridade, de uma permutacao

Seja π ∈ Sn. O sinal, ou paridade de π e (−1)k, onde k e o menor numero de transposicoes elementares que geram π. Assim, se π = ti ···ti define-se sinal(id) = +1 e

O estudante e convidado a constatar que sinal(π) nao depende da particular representacao de π em termos de produtos de transposicoes elementares, pois sinal(π) nao muda por aplicacao das relacoes (18.2)-(18.4).

E. 18.8 Exercıcio. Determine o sinal das permutacoes π1,, π6 do grupo S3 dadas acima (pagina 865). 6

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E. 18.9 Exercıcio importante. Mostre que sinal(ππ′) = sinal(π)sinal(π′) para todos π, π′ ∈ Sn. Mostre daı que S+n = {π ∈ Sn| sinal(π) = +1} e um subgrupo de Sn, o subgrupo das permutacoes pares. Mostre tambem que S+n e normal. 6

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