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Capıtulo 32 Nocoes Basicas Sobre Espacos de Hilbert

32.1 Aspectos Topologicos Basicos de Espacos de Hilbert1537
32.2 Aspectos Geometricos Basicos de Espacos de Hilbert1539
32.2.1 Conjuntos Ortonormais Completos em Espacos de Hilbert1542
32.2.2 Conjuntos Totais1553
32.2.2.1 Um Exemplo no Espaco L2(R, dx)1554
32.3 Funcionais Lineares e o Dual Topologico de um Espaco de Hilbert1557
32.3.1 O Teorema da Representacao de Riesz1558
32.4 Exercıcios Adicionais1560

Conteudo m espaco vetorial H sobre o corpo dos complexos e dotado de um produto escalar u, v ∈ H 7→ 〈u, v〉 ∈ C e dito ser um espaco de Hilbert1 se for completo em relacao a metrica d definida por esse produto escalar:

Advertimos o estudante que dentre as propriedades definidoras de espacos de Hilbert destaca-se nao apenas a existencia de um produto escalar, mas tambem a propriedade de completeza, sem a qual muitas propriedades geometricas desses espacos nao seriam validas. Vide adiante.

As nocoes de espacos de Banach e de Hilbert foram introduzidas na Secao 21.5, pagina 1025. Sobre a origem da nocao abstrata de Espaco de Hilbert, vide nota historica a pagina 1026.

Espacos de Hilbert desempenham um papel fundamental em toda a Fısica Quantica2 e em varias areas da Matematica. Historicamente sua importancia na Fısica Quantica foi apontada por diversos autores, mas foi especialmente von Neumann3 quem mais claramente destacou sua relevancia para a propria interpretacao probabilıstica daquelas teorias fısicas4. Exemplos de espacos de Hilbert sao os espacos de dimensao finita Cn, o espaco ℓ2, das sequencias de quadrado somavel, estudado na Secao 21.5.1, pagina 1027, e os espacos L2(M, dµ), das funcoes de quadrado integravel em relacao a uma medida µ definida em um espaco mensuravel M. Esses espacos foram estudados na Secao 27.4, pagina 1200.

Para a leitura deste capıtulo uma certa familiaridade com a nocao de produto escalar e de norma e necessaria, assim como e necessario conhecer a desigualdade de Cauchy-Schwarz. O conceito de produto escalar foi apresentado na Secao 3.1.3, pagina 156, a desigualdade de Cauchy-Schwarz foi demonstrada no Teorema 3.1, pagina 154 e o conceito de norma foi introduzido na Secao 3.2, pagina 160.

Nas primeiras secoes deste capıtulo estudamos aspectos topologicos e geometricos gerais de espacos de Hilbert, chegando a importante nocao de conjunto ortonormal completo (ou base ortogonal completa). Na Secao 32.3, pagina 1557, somos apresentados ao importante Teorema da Representacao de Riesz, Teorema 32.9, pagina 1558, que afirma que todo espaco de Hilbert pode ser identificado com seu dual topologico, ou seja, com o conjunto de seus funcionais lineares e contınuos.

32.1 Aspectos Topologicos Basicos de Espacos de Hilbert

Por definicao, um espaco de Hilbert H e um espaco metrico com a metrica dada em (32.1) e, portanto, existe uma topologia metrica naturalmente definida em H. E a essa topologia a que normalmente nos referiremos quando falarmos de convergencia de sequencias e de continuidade de funcoes em H.

1David Hilbert (1862–1943). 2Ha um dito corrente (e anonimo) que a Mecanica Quantica e uma agradavel introducao ao estudo dos espacos de Hilbert... 3John von Neumann (1903–1957).

4Nota historica. Dois dos trabalhos seminais de von Neumann a respeito sao: J. von Neumann, “Uber die Grundlagen der Quantenmechanik”, Mathematische Annalen, 98, 1-30 (1927) e J. von Neumann, “Allgemeine Eigenwerttheorie Hermiteschen Funktionaloperatoren”, Mathematische Annalen, 102, 49-131 (1929). Vide tambem [145].

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Assim, dizemos que uma sequencia {xn}n∈N de vetores de um espaco de Hilbert H converge a um vetor x de H se para todo ǫ > 0 existir N(ǫ) ∈ N tal que ‖x − xi‖ ≤ ǫ para todo i ≥ N(ǫ). Em outras palavras, x = limn→∞ xn se e somente se limi→∞ ‖x − xi‖ = 0.

O estudante deve ser advertido que ha outras outras topologias de interesse no estudo dos espacos de Hilbert, como a topologia fraca induzida pelos produtos escalares e a chamada topologia forte. Nem todas essas topologias de interesse sao metricas. No estudo introdutorio que pretendemos nesse capıtulo tais topologias nao serao consideradas.

• Conjuntos fechados em espacos de Hilbert

Como lidaremos muito frequentemente com o fecho de subconjuntos de um espaco de Hilbert H e com propriedades de conjuntos fechados de H vale a pena lembrar nesse contexto as seguintes caracterizacoes de tais conceitos, validas em espacos metricos gerais (vide pagina 1101):

1. O fecho C de um subconjunto C de um espaco de Hilbert H coincide com o conjunto de todos os vetores de H que sao pontos limite de sequencias convergentes formada por elementos de C.

2. Um subconjunto F de um espaco de Hilbert H e fechado se toda sequencia convergente formada por elementos de F convergir em H a um vetor que tambem e elemento de F.

• O fecho de um subespaco linear e tambem um subespaco linear

Vamos ilustrar os conceitos acima mostrando um simples resultado do qual faremos uso adiante. Seja E um subespaco de um espaco de Hilbert H. Vamos mostrar que seu fecho E e tambem um subespaco de H. Para isso devemos mostrar que se x, y ∈ E, entao qualquer vetor de H que seja da forma z = αx + βy, com α, β ∈ C, e tambem elemento de E.

Se x e y ∈ E, entao existem duas sequencias xi e yi, i ∈ N, de vetores de E tais que xi → x e yi → y. Como E e um subespaco, todos os vetores zi = αxi + βyi sao tambem elementos de E. E facil, porem, mostrar que zi → z. De fato

Agora, por hipotese, tanto ‖x − xi‖ quanto ‖y − yi‖ vao a zero quando i → ∞, mostrando que zi → z. Isso mostra, entao, que elementos como z sao pontos limite de sequencias de elementos de E (no caso {zi}i∈N) e, portanto, pertencem tambem ao fecho de E que e, portanto, um subespaco de H.

• Uma propriedade da norma

Se a e b sao dois vetores de um espaco vetorial normado V (como um espaco de Hilbert, por exemplo), entao vale que∣∣∣‖a − b‖ − ‖b‖∣∣∣ ≤ ‖a‖ . (32.2)

Para mostrar isso, notemos que a relacao ‖a − b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖ implica ‖a‖ ≥ ‖a − b‖ − ‖b‖. Com a substituicao b → a − b, tiramos tambem que ‖a‖ ≥ ‖b‖ − ‖a − b‖. As duas desigualdades dizem que ‖a‖ ≥ |‖a− b‖ − ‖b‖|, como querıamos provar.

• Continuidade da norma e do produto escalar

De acordo com a definicao de continuidade de funcoes entre espacos metricos (vide discussao a pagina 1164) uma funcao f : H → C, de um espaco de Hilbert H nos numeros complexos e contınua se para toda sequencia convergente de vetores {xi}i∈N a sequencia de numeros {f(xi)}i∈N for tambem convergente e

lim

Um exemplo banal de uma tal funcao contınua e a norma f(x) = ‖x‖. De fato, se xn → x, isso significa que

como o lado direito vai a zero quando i → ∞, concluımos que

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 32 1539/1730 demonstrando a continuidade da norma.

Ha um outro exemplo igualmente banal, mas importante. Seja φ ∈ H um vetor fixo e seja a funcao f : H → C dada por f(x) = 〈φ, x〉 .

Que f e contınua pode ser demonstrado com uso da desigualdade de Cauchy-Schwarz (Teorema 3.1, pagina 154), que

e o lado direito vai a zero quando i → ∞, demonstrando a continuidade. Analogamente, fixando-se φ ∈ H, a funcao f(x) = 〈x, φ〉 e contınua.

32.2 Aspectos Geometricos Basicos de Espacos de Hilbert

• Conjuntos convexos

Seja V um espaco vetorial (sobre os reais ou complexos). Uma combinacao linear de dois vetores x e y ∈ V que seja do tipo λx + (1 − λ)y com λ ∈ [0, 1] e dita ser uma combinacao linear convexa de x e y. Um conjunto A ⊂ V e dito ser um conjunto convexo se para todo x, y ∈ A e todo λ ∈ [0, 1] o vetor λx + (1 − λ)y tambem for elemento de A.

Note-se que qualquer subespaco de V e tambem um conjunto convexo.

• Teorema do melhor aproximante O seguinte teorema e de importancia fundamental na teoria dos espacos de Hilbert.

Teorema 32.1 (Teorema do Melhor Aproximante) Seja A um subconjunto convexo e fechado de um espaco de Hilbert H. Entao, para todo x ∈ H existe um vetor y ∈ A tal que a distancia ‖x − y‖ entre x e y e igual a mınima distancia possıvel entre x e A, ou seja,

Fora isso, esse vetor y e o unico vetor em A com essa propriedade. 2

Prova. A ideia da demonstracao e construir um vetor y com a propriedade mencionada a partir de uma sequencia de Cauchy de vetores de A, mostrar que essa sequencia converge a um vetor de A, mostrar que esse vetor satisfaz a propriedade de mınima distancia mencionada e, por fim, mostrar sua unicidade.

Seja D ≥ 0 definida como

Seja, para cada n ∈ N um vetor yn ∈ A com a propriedade que

Notemos que tais vetores sempre existem. Se tal nao fosse o caso, ou seja, se para algum n, digamos n0, nao existisse vetor nenhum y′ em A tal que ‖x−y′‖2 < D2+ 1 n , isso significaria que para todo y′ ∈ A valeria que ‖x−y′‖2 ≥ D2+ 1 n .

Mas isso contraria a definicao de D como o ınfimo de ‖x − y′‖, y′ ∈ A.

Vamos agora provar que toda sequencia yn como acima e uma sequencia de Cauchy em H. Para tal, usaremos a identidade do paralelogramo (vide pagina 163) e o fato de A ser convexo.

A identidade do paralelogramo diz que para todos a, b ∈ H tem-se que

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Isso pode ser reescrito (verifique) como

Usando agora o fato que ‖x − yn‖2 < D2 + 1n para todo n , ficamos com

Notemos agora tambem que y +y2 ∈ A pois o lado esquerdo e uma combinacao linear convexa de elementos de A e A e

Portanto, temos que

O lado direito pode ser feito arbitrariamente pequeno, tomando-se m e n ambos grandes o suficiente. Ora, isso diz-nos precisamente que {yn}n∈N e uma sequencia de Cauchy.

Com essa informacao, e lembrando que H e um espaco metrico completo, segue que yn converge a um elemento y ∈ H. Na verdade podemos dizer tambem que y ∈ A, pois fizemos a hipotese que A e fechado (lembre-se da caracterizacao de conjuntos fechados em espacos metricos da pagina 1101).

Uma vez encontrado esse y ∈ A, vamos mostrar que ‖x − y‖ = D. De fato, para todo n vale que

Tomando-se n → ∞, e usando o fato que yn converge a y, concluımos que ‖x − y‖ ≤ D (verifique!). Por outro lado, e evidente pela definicao de D que ‖x − y‖ ≥ D, pois y ∈ A. Daı, segue que ‖x − y‖ = D, como querıamos provar.

Resta-nos demonstrar que esse y e o unico elemento de A com essa propriedade. Para tal, vamos supor que haja outro y′ ∈ A com ‖x − y′‖ = D e usemos novamente a identidade do paralelogramo (32.3), mas agora com a = x − y e b = x − y′. Teremos que

o que so e possıvel se y = y′.

• Complementos ortogonais

Se E e um subconjunto de um espaco de Hilbert H, define-se seu complemento ortogonal E⊥ como o conjunto de todos os vetores de H que sao ortogonais a todos os vetores de E:

Temos a seguinte proposicao:

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Proposicao 32.1 O complemento ortogonal E⊥ de um subconjunto E de H e um subespaco linear fechado de H. 2

Prova. Que E⊥ e um subespaco e facil de se verificar pois se x, y ∈ E⊥, entao, para quaisquer α, β ∈ C, 〈αx + βy, z〉 = α〈x, z〉 + β〈y, z〉 = 0 para todo z ∈ E, o que mostra que αx + βy ∈ E⊥. Que E⊥ e um conjunto fechado segue do seguinte argumento. Se xn e uma sequencia de elementos de E⊥ que converge a um x ∈ H, entao, para todo z ∈ E vale

pois 〈xn, z〉 = 0 para todo n, ja que xn ∈ E⊥. Isso prova que x ∈ E⊥, que e assim, fechado. Na penultima igualdade em (32.4) usamos a continuidade do produto escalar.

Faremos adiante uso do seguinte lema: Lema 32.1 Se A e B sao dois conjuntos de um espaco de Hilbert H e A ⊂ B, entao, B⊥ ⊂ A⊥. 2

Prova. Por definicao, se y ∈ B⊥, y e ortogonal a todo elemento de B. Como A e subconjunto de B, y e tambem ortogonal a todo elemento de A, ou seja, y ∈ A⊥.

• Teorema da decomposicao ortogonal

O teorema do melhor aproximante que apresentamos acima tem uma consequencia importante. Como todo subespaco linear de um espaco de Hilbert e convexo, segue que subespacos lineares fechados satisfazem as hipoteses do teorema. Assim, se M e um subespaco linear fechado de um espaco de Hilbert H vale para todo x ∈ H que existe um y ∈ M unico tal que

Usaremos esse fato para demonstrar o seguinte teorema, de importancia central na teoria dos espacos de Hilbert:

Teorema 32.2 (Teorema da Decomposicao Ortogonal) Seja M um subespaco linear fechado de um espaco de Hilbert H. Entao, todo x ∈ H pode ser escrito de maneira unica na forma x = y + z, com y ∈ M e z ∈ M⊥. O vetor y e tal que ‖x − y‖ = infy ∈M ‖x − y′‖, ou seja, e o melhor aproximante de x em M. 2

Prova. Vamos escolher y como o elemento de M tal que ‖x − y‖ = infy ∈M ‖x − y′‖, cuja existencia foi garantida pelo Teorema 32.1, pagina 1539. Se definirmos z = x − y tudo que nos restaria fazer e provar que z ∈ M⊥ e que tais y e z sao unicos. Vamos provar primeiro que z ∈ M⊥, o que equivale a provar que 〈z, y′〉 = 0 para todo y′ ∈ M. Isso e feito indiretamente, observando primeiro que, pela definicao de y, vale que para todo λ ∈ C e todo y′ ∈ M, ja que y + λy′ ∈ M, pois M e um subespaco. Essa ultima relacao diz, pela definicao de z, que ‖z‖2 ≤ ‖z − λy′‖2 para todo λ ∈ C. Escrevendo o lado direito como 〈z − λy′, z − λy′〉 e expandindo, teremos

Agora, como todo numero complexo, 〈z, y′〉 e da forma 〈z, y′〉 = |〈z, y′〉|eiα, para algum α real. Como (32.5) vale para todo λ ∈ C, vale em particular para λ da forma λ = te−iα, onde escolhemos t > 0. Inserindo esse λ em (32.5), a mesma fica 2t|〈z, y′〉| ≤ t2‖y′‖2 ,

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 32 1542/1730 ou seja,

desigualdade esta que vale para todo t > 0. Ora, isso so e possıvel se o lado esquerdo e nulo: |〈z, y′〉| = 0. Como y′ e um elemento arbitrario de M, isso demonstra que z ∈ M⊥, como querıamos.

Demonstrar a unicidade da escolha de y e z e bem facil. Suponha que tambem possamos escrever x = y′ + z′ com y′ ∈ M e z′ ∈ M⊥. Terıamos y + z = y′ + z′, ou seja, y − y′ = z′ − z. Agora, o lado esquerdo e um elemento de M, enquanto que o lado direito e um elemento de M⊥ (por que?). Porem, o unico elemento que M e M⊥ podem ter em comum e o vetor nulo (por que?), o que implica y = y′ e z = z′.

• Fechos e complementos ortogonais

Proposicao 32.2 O fecho E de um subespaco E de H e E = (E⊥)⊥. Em particular, se E e um subespaco fechado de H, entao E = (E⊥)⊥. 2

Prova. Notemos primeiramente que E ⊂ (E⊥)⊥, pois (E⊥)⊥ e o conjunto de todos os vetores perpendiculares a cada elemento de E⊥ e todo elemento de E tem essa propriedade. Como (E⊥)⊥ e um conjunto fechado (pela Proposicao 32.1, pagina 1541), segue que E ⊂ (E⊥)⊥ pois, por definicao, E e o menor fechado que contem E.

Vamos agora provar a relacao oposta, ou seja, que E ⊃ (E⊥)⊥. Para isso vamos mostrar que todo elemento de (E⊥)⊥ esta no fecho de E. Seja x ∈ (E⊥)⊥. Como E e um subespaco linear fechado, a ele se aplica o Teorema de Decomposicao Ortogonal e podemos afirmar que x pode ser escrito como x = y + z com y ∈ E e z ∈ (E)⊥. Se provarmos que z = 0, teremos estabelecido que x = y ∈ E, que e o que queremos. Para isso, notemos que

Como 〈y, z〉 = 0 (pois y ∈ E e z ∈ (E)⊥), segue que ‖z‖2 = 〈x, z〉. Queremos agora provar que esse produto escalar e nulo, o que implica z = 0.

imediatamente que x e z sao perpendiculares, completando a prova.

32.2.1 Conjuntos Ortonormais Completos em Espacos de Hilbert

• Conjuntos ortonormais

Um conjunto E de vetores de um espaco de Hilbert e dito ser um conjunto ortonormal se a norma de todos os seus elementos for igual a 1 e se vetores distintos de E forem ortogonais entre si, ou seja, ‖u‖ = 1, ∀u ∈ E e 〈u, v〉 = 0, ∀u, v ∈ E com u 6= v.

Vamos a alguns exemplos. No espaco de Hilbert L2([0, 2π], dx) o conjunto{

e um conjunto ortonormal de vetores. No espaco de Hilbert ℓ2 das sequencias de quadrado somavel (vide Secao 21.5.1, pagina 1027), as sequencias enm = δn, m formam um conjunto ortonormal de vetores. Podemos representa-las como

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