nc - cap31

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(Parte 1 de 7)

Capıtulo 31

Introducao as Distribuicoes e Transformadas de Fourier

31.1 Funcoes de Schwartz e Funcoes de Teste1456
31.2 Transformadas de Fourier1465
31.2.1 Transformadas de Fourier no Espaco de Schwartz1467
31.2.1.1 A Transformada de Fourier de Funcoes Gaussianas1470
31.2.1.2 Invertibilidade da Transformada de Fourier no Epaco de Schwartz1473
31.2.1.3 Transformadas de Fourier, Produtos de Convolucao e Identidade de Plancherel1475
31.2.1.4 A Transformada de Fourier em L2(Rn, dx) e suas Propriedades Espectrais1477
31.2.2 Transformadas de Fourier. Topicos Suplementares1479
31.2.2.1 A Formula de Soma de Poisson1479
31.2.2.2 Transformadas de Fourier e Medias Angulares1483
31.3 Distribuicoes e Distribuicoes Temperadas1487
31.3.1 Primeiros Exemplos de Distribuicoes1489
31.3.2 Outros Exemplos de Distribuicoes1494
31.3.2.1 A Distribuicao Valor Principal1494
31.3.2.2 Distribuicoes do Tipo Parte Finita de Hadamard1496
31.3.3 Algumas Relacoes Uteis Envolvendo Distribuicoes1499
31.3.4 Derivadas de Distribuicoes1501
31.3.4.1 Alguns Exemplos de Derivadas de Distribuicoes1502
31.3.4.2 Calculo da Derivada de Algumas Distribuicoes de Interesse1503
31.3.5 Alguns Resultados Estruturais sobre Distribuicoes1505
31.3.6 Transformadas de Fourier de Distribuicoes Temperadas1506
31.3.6.1 Calculo de Transformadas de Fourier de Algumas Distribuicoes Temperadas1507
31.3.7 Produtos de Distribuicoes1509
31.3.7.1 Produto de Convolucao de Distribuicoes1514
31.4 Equacoes Diferenciais Distribucionais, Solucoes Fundamentais e Funcoes de Green1515
31.4.1 Solucoes Fundamentais1518
31.4.1.1 Solucoes Fundamentais como Funcoes Generalizadas1519
31.4.1.2 O Caso de Operadores Lineares a Coeficientes Constantes1521
31.4.1.3 Alguns Exemplos Fisicamente Relevantes1524
31.5 Exercıcios Adicionais1527
APENDICES1531
31.A Prova da Proposicao 31.141531
31.B Prova de (31.17)1534

Conteudo olocada no devido contexto a nocao de distribuicao e tao natural que parece ter sido descoberta, nao inventada. Em abstrato, uma distribuicao e um funcional linear contınuo em um certo espaco topologico que possua uma estrutura diferenciavel, mas por tras dessa abstracao encontram-se ideias muito simples, originarias do desejo (ou necessidade) de estender a nocao de funcao, ou melhor, a nocao intuitiva de densidade, de modo a incluir, por exemplo, densidades concentradas em pontos (e outros conjuntos de medida nula), permitindo ainda o emprego de pelo menos parte da estrutura do calculo diferencial.

A nocao de distribuicao, foi introduzida em 1935 por Sobolev1 sob o nome de “funcao generalizada” e foi estudada sistematicamente por Schwartz2 a partir de 1948. Essa nocao desempenha um papel central em toda discussao moderna

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1456/1730 sobre a teoria das equacoes diferenciais (lineares, ao menos). As ideias fısicas e matematicas subjacentes a teoria das distribuicoes originam-se dos trabalhos de Green3, Heaviside4, Dirac5, Weil6 e possivelmente muitos outros.

Como a teoria das distribuicoes e intimamente ligada a teoria das transformadas de Fourier, dedicamos a Secao 31.2, pagina 1465, ao seu estudo.

Introduziremos a nocao de distribuicao em Rn apos alguma preparacao breve. Em seguida trataremos de alguns exemplos. Apos isso, discutiremos a nocao de derivada de uma distribuicoes para entao discutirmos equacoes diferenciais distribucionais. Isso nos remetera ao metodo da funcao de Green.

Para uma introducao pedagogica e rica em exemplos a Teoria das Distribuicoes, vide [24]. Para um tratamento de nıvel intermediario, vide [152]. Uma introducao acessıvel (direcionada a aplicacoes na Teoria Quantica de Campos) pode ser encontrada nos primeiros capıtulos de [184]. Para um texto classico, vide [171]. Para textos mais avancados, vide [64] ou [95].

Omitiremos na presente versao o tratamento da nocao de produto de distribuicoes, de conjuntos de frente de onda e outros itens proprios a uma discussao mais avancada. Tambem com o intuito de manter a discussao tao simples quanto possıvel, omitiremos quase toda a discussao topologica sobre a natureza das distribuicoes no contexto da teoria dos espacos localmente convexos. Para isso remetemos o estudante interessado aos textos supracitados.

31.1 Funcoes de Schwartz e Funcoes de Teste

• Funcoes infinitamente diferenciaveis em Rn

Diz-se que uma funcao7 f : Rn → C, e infinitamente diferenciavel em um domınio aberto Ω ⊂ Rn se for contınua em Ω e se todas suas as suas derivadas parciais de ordem finita existirem e forem contınuas em Ω, ou seja, se existirem

e forem contınuas para todo (x1,, xn) ∈ Ω as funcoes ∂ f
(x1,, xn) para todos α1, ..., αn ∈ N0, sendo

O estudante deve ser alertado a nao confundir a nocao de diferenciabilidade infinita com a de analiticidade. Por exemplo, a funcao f : R → R definida por

e infinitamente diferenciavel, enquanto funcao da variavel real x, mas nao e analıtica em x = 0. A funcao de uma variavel complexa z = x + iy definida por g(z) = e− possui uma singularidade essencial em z = 0. Para z = x ∈ R, x 6= 0, g e identica a f, mas para z = iy, y ∈ R, y 6= 0, tem-se g(iy) = e + que diverge para y → 0.

O conjunto de de todas as funcoes infinitamente diferenciaveis e frequentemente denotado por C∞(Ω). E facil constatar que C∞(Ω) e um espaco vetorial: combinacoes lineares finitas de funcoes infinitamente diferenciaveis produzem novamente funcoes infinitamente diferenciaveis.

• O espaco de Schwartz em R

O conjunto C∞(R) das funcoes infinitamente diferenciaveis definidas em R e assumindo valores em C possui um subconjunto que merece particular atencao. Trata-se do conjunto das funcoes de C∞(R) que, assim como suas derivadas, decaem a zero no infinito mais rapido do que qualquer polinomio, ou seja, e o conjunto das funcoes f : R → C tais que

3George Green (1793–1841). 4Oliver Heaviside (1850–1925). 5Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984). 6Andre Weil (1906–1998). 7Em toda a presente secao trataremos, salvo mencao explıcita, de funcoes que assumem valores complexos, mas o tratamento de funcoes que assumem valores reais e identico, com resultados identicos.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1457/1730 para todo polinomio p e todo q ∈ N0. E facil ver que essa condicao equivale a condicao

lim para todo m ∈ N0 e todo q ∈ N0.

E um exercıcio elementar provar que o conjunto das funcoes com a propriedade (31.1) e um espaco vetorial, ou seja, se f e g satisfazem (31.1) para todo polinomio p e todo q ∈ N0, entao para todos os numeros complexos α e β a funcao αf + βg tambem satisfaz (31.1) para todo polinomio p e todo q ∈ N0. Esse espaco vetorial e denominado espaco de Schwartz em R e e denotado por S(R).

Funcoes como e−x , sen(x)e−2x

E. 31.1 Exercıcio. Para a > 0, fixo, considere a funcao

Mostre que ha e uma funcao de Schwartz em R: ha ∈ S(R), a > 0. 6

• Convergencia no espaco S(R)

Devido a propriedade (31.1), vale para toda funcao f ∈ S(R) que as quantidades definidas para cada m e q ∈ N0 por

sao finitas e anulam-se todas se e somente se f for identicamente igual a zero.

Esse fato permite introduzir uma nocao de convergencia no espaco S(R). Dizemos que uma sequencia de funcoes fk ∈ S(R), k ∈ N, converge a uma funcao f ∈ S(R) se lim k→∞ ‖fk − f‖m,q = 0 para todos m e q ∈ N0. Essas ideias de convergencia podem ser aprofundadas atraves da introducao de nocoes topologicas apropriadas (introduzindo as nocoes de espaco localmente convexo e de espaco de Frechet8), mas aqui iremos nos limitar a uma discussao elementar. Vide referencias citadas no inıcio do presente capıtulo.

Vamos agora indicar como o espaco S(R) generaliza-se em mais dimensoes. Para tal faremos uso da notacao de multi-ındices. introduzida a pagina 598.

• O espaco de Schwartz em R n

O conjunto C∞(Rn) das funcoes infinitamente diferenciaveis definidas em Rn e assumindo valores em C possui um subconjunto que merece particular atencao. Trata-se do conjunto das funcoes de C∞(Rn) que, assim como suas derivadas, decaem a zero no infinito mais rapido do que qualquer polinomio, ou seja, e o conjunto das funcoes f : Rn → C tais que

para todo polinomio p(x) ≡ p(x1,, xn) e todo multi-ındice β. Acima ‖x‖ = √

facil ver que essa condicao equivale a condicao

para todo m ∈ N0 e todo multi-ındice β.

E um exercıcio elementar provar que o conjunto das funcoes com a propriedade (31.4) e um espaco vetorial, ou seja, se f e g satisfazem (31.4) para todo polinomio p e todo multi-ındice β, entao para todos os numeros complexos a e b a funcao af + ag tambem satisfaz (31.1) para todo polinomio p e todo multi-ındice β. Esse espaco vetorial e denominado espaco de Schwartz em Rn e e denotado por S(Rn).

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• Convergencia no espaco S(Rn)

Devido a propriedade (31.4), vale para toda funcao f ∈ S(Rn) que as quantidades definidas para cada m ∈ N0 e cada multi-ındice β por

sao finitas e anulam-se todas se e somente se f for identicamente igual a zero.

Esse fato permite introduzir uma nocao de convergencia no espaco S(Rn). Dizemos que uma sequencia de funcoes fk ∈ S(Rn), k ∈ N, converge a uma funcao f ∈ S(Rn) se lim k→∞ ‖fk − f‖m,β = 0 para todos m ∈ N0 e multi-ındice β.

Como no caso do espaco S(R), comentamos que essa nocao de convergencia nos espacos S(Rn) esta ligada a nocoes topologicas mais profundas, mas aqui iremos nos limitar a uma discussao elementar.

• Uma desigualdade util

Devido a definicao (31.6) vale, para cada q ∈ N0, e cada multi-ındice β, a desigualdade (1 + ‖x‖)q|Dβf(x)| ≤ ‖f‖q,β para todo x ∈ Rn, o que implica

para todo x ∈ Rn. Usaremos a desigualdade (31.7) de diversas formas no que segue.

• Funcoes infinitamente diferenciaveis de suporte compacto

Define-se o suporte de uma funcao f : Rn → R ou f : Rn → C, denotado por suppf, como sendo o fecho do conjunto de todos os pontos onde f nao se anula:

(a barra horizontal denota o fecho do conjunto).

Funcoes que sejam infinitamente diferenciaveis e tenham suporte compacto sao importantes na Teoria das Distribuicoes. Um exemplo de uma funcao desse tipo e a funcao

onde −∞ < a < b < ∞. O suporte dessa funcao e [a, b], um conjunto compacto, e a mesma e infinitamente diferenciavel (verifique!). Outro exemplo e a funcao

para 0 < α < β < ∞. Observe que o suporte dessa funcao e o intervalo [−β, β], que a funcao g e igual a 1 no intervalo [−α, α] (um subconjunto proprio de [−β, β]).

E. 31.2 Exercıcio. Prove que a funcao g definida em (31.9) satisfaz 0 ≤ g ≤ 1 em toda a reta R.

no intervalo α < x < β. 6

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E. 31.3 Exercıcio. Desenhe os graficos das funcoes f e g de (31.8) e (31.9), acima. Prove que as mesmas sao infinitamente diferenciaveis.

Sugestao: no caso da funcao f mostre que as derivadas de funcoes como exp( − 1 sao sempre da forma exp( − 1

vezes um polinomio em 1 (x−a). Esse polinomio diverge quando x → a mas o fator exponencial exp( − 1 (x−a) ) vai a zero mais rapidamente. Para g tem-se algo analogo. 6

O conjunto de de todas as funcoes infinitamente diferenciaveis de suporte compacto definidas em Rn e frequentemente denotado por C∞0 (Rn).

E facil constatar que o conjunto de todas funcoes infinitamente diferenciaveis em Rn de suporte compacto forma um espaco vetorial: combinacoes lineares finitas de funcoes infinitamente diferenciaveis de suporte compacto produzem novamente funcoes infinitamente diferenciaveis de suporte compacto. Esse espaco vetorial e frequentemente denotado por

C∞0 (Rn) ou por D(Rn). Os elementos de D(Rn), ou seja, as infinitamente diferenciaveis em Rn de suporte compacto, sao frequentemente denominadas funcoes de teste9.

E bastante claro pela definicao que D(Rn) ⊂ S(Rn).

As funcoes do espaco de Schwartz S(Rn) possuem uma propriedade que nao e compartilhada pelas funcoes de D(Rn): a transformada de Fourier de uma funcao de S(Rn) e novamente uma funcao de S(Rn). Esse fato e muito importante em certos desenvolvimentos.

• Convergencia no espaco D(Rn)

E tambem possıvel introduzir uma nocao de convergencia em D(Rn). Dizemos que uma sequencia ϕk, k ∈ N, de funcoes de D(Rn) converge a uma funcao ϕ de D(Rn) se as seguintes condicoes forem satisfeitas: 1. existe um conjunto compacto K ⊂ Rn tal que para todo k ∈ N grande o suficiente o suporte da diferenca ϕk − ϕ esta contido dentro de K; 2. para todo multi-ındice β a diferenca Dβϕk −Dβϕ converge uniformemente a funcao nula em K, o que equivale a dizer

que lim k→∞ sup

Por exemplo, a sequencia de funcoes de D(R) dada por

k ∈ N, converge a funcao nula no sentido de convergencia do espaco D(R), definido acima, mas a sequencia de funcoes de D(R) dada por

k ∈ N, nao converge a funcao nula no sentido de convergencia do espaco D(R), definido acima (pois a condicao 1 e violada).

O estudante deve observar, porem, que tanto a sequencia 1ϕk quanto a sequencia 2ϕk convergem a funcao nula no sentido de convergencia definido no espaco de Schwartz S (R). Vide Exercıcio E. 31.4. Esses exemplos mostram que as nocoes de convergencia no sentido do espaco S (R) e no sentido do espaco D(R) sao diferentes.

9Infelizmente alguns autores tambem denominam funcoes de teste as funcoes de S(Rn).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1460/1730 E. 31.5 Exercıcio. Mostre que a sequencia de funcoes de D(R) definidas por

k ∈ N, nao converge a funcao nula no sentido de convergencia do espaco D(R) e nao converge a funcao nula no sentido de convergencia do espaco S(R). 6

Como no caso do espaco S(Rn), comentamos que a nocao de convergencia nos espacos D(Rn) esta associada a nocoes topologicas mais profundas, mas aqui iremos nos limitar a uma discussao elementar. Vide referencias citadas no inıcio da presente secao.

Importante nessa discussao e a seguinte afirmacao:

Proposicao 31.1 Se ϕk e uma sequencia de elementos de D(Rn) que converge a uma funcao ϕ ∈ D(Rn) no sentido de convergencia de D(Rn), entao ϕk tambem converge a ϕ no sentido de convergencia de S(Rn). 2

O exemplo da sequencia 2ϕk de (31.10), acima, mostra que a recıproca da afirmacao dessa proposicao nao e verdadeira, pois 2ϕk converge a funcao nula segundo S(R) mas nao segundo D(R) (vide Exercıcio E. 31.4).

Prova da Proposicao 31.1. Considere-se uma sequencia ϕk de elementos de D(Rn) que converge a uma funcao ϕ ∈ D(Rn) no sentido de convergencia de D(Rn). Entao, existe um compacto K ⊂ Rn tal que ϕk − ϕ tem suporte contido em K para todo k grande o suficiente. Para tais k’s e para valera

sendo m ∈ N0 e β um multi-ındice, ambos arbitrarios. O fator sup{ e independente do ındice k. Ja o fator sup

Dβϕk converge uniformemente a Dβϕ. Isso provou que lim k→∞ ‖ϕk − ϕ‖m,β = 0 para todo m ∈ N0 e todo multi-ındice β, estabelecendo que ϕk tambem converge a ϕ no sentido de convergencia de S(Rn).

• Uma proposicao util

A proposicao a seguir sera usada no que segue, por exemplo na discussao sobre a transformada de Fourier no espaco de Schwartz.

Proposicao 31.2 Se f ∈ S(Rn) satisfaz f(a) = 0 para algum a = (a1,, an) ∈ Rn, entao f pode ser escrita na

k=1 (xk − ak)fk(x), onde as funcoes fk sao tambem elementos de S(Rn). 2

Prova. Pelo Corolario 30.2, pagina 1403, sabemos que podemos escrever

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1461/1730 onde as funcoes hk sao infinitamente diferenciaveis. Isso nao implica, todavia, que sejam funcoes de Schwartz. Sabemos, por outro lado, que as funcoes gk definidas por gk(x) := f(x) (xk − ak)

‖x − a‖2 sao infinitamente diferenciaveis exceto em x = a, e decaem, assim como suas derivadas, mais rapido que qualquer polinomio em x, pois f o faz. Fora isso, vale

Seja agora uma funcao infinitamente diferenciavel e de suporte compacto χ escolhida de modo que χ(x) = 1 para todo x em uma vizinhanca de a. Um exemplo seria a funcao χ(x) = g(‖x − a‖2) , onde g e a funcao definida em (31.9).

Defina-se para cada k

Como comentamos acima, gk so nao e diferenciavel em x = a, mas 1 − χ anula-se em uma vizinhanca de a. No suporte de 1 − χ as funcoes gk decaem, assim como suas derivadas, mais rapido que qualquer polinomio em x. Assim, o produto (1 − χ)gk e uma funcao de Schwartz. Ja hk e infinitamente diferenciavel e o produto χ(x)hk(x) e infinitamente diferenciavel e de suporte compacto sendo, portanto, uma funcao de Schwartz. Isso provou que as funcoes fk sao de Schwartz. Note-se agora que

completando a prova.

Sejam a1,, aN funcoes infinitamente diferenciaveis em Rn e sejam α1, ..., αN multi-ındices distintos. A

• Operadores diferenciais lineares em D(Rn) expressao que a cada ϕ ∈ D(Rn) associa uma funcao Lϕ ∈ D(Rn) dada por

define um operador diferencial linear em D(Rn). Simbolicamente denotamos o operador diferencial linear L por

Podemos definir, o chamado operador diferencial linear dual de L, denotado por LT como sendo o operador diferencial linear que a cada ϕ ∈ D(Rn) associa uma funcao LTϕ ∈ D(Rn) dada por

E importante notar que, com as definicoes de acima, vale para todas as funcoes ϕ, ψ ∈ D(Rn) a seguinte relacao:∫

(Verifique! Sugestao: integracao por partes). A validade dessa relacao e a razao de ser da definicao do operador dual LT. Simbolicamente denotamos o operador diferencial linear LT por

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1462/1730 onde o sımbolo “⋆” indica a posicao ocupada pela funcao de D(Rn) sobre a qual LT atua.

Operadores diferenciais lineares podem ser definidos em S (Rn) sob condicoes mais restritivas. Para descreve-los precisamos introduzir a nocao de funcao de crescimento polinomialmente limitado.

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