nc - cap30

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Capıtulo 30

Aproximacao de Funcoes. Aproximacoes Polinomiais e Series de Fourier

30.1 Nocoes de Convergencia para Sequencias de Funcoes1381
30.1.1 Importancia da Convergencia Uniforme1382
30.1.1.1 Troca de Ordem entre Limites e Integrais1383
30.1.1.2 Troca de Ordem entre Limites e Derivadas1384
30.1.1.3 Troca de Ordem entre Derivadas e Integrais1385
30.2 Sequencias Delta de Dirac1387
30.3 Aproximacao de Funcoes por Polinomios1393
30.3.1 O Teorema de Weierstrass1393
30.3.2 O Teorema de Taylor1400
30.4 Aproximacao de Funcoes por Polinomios Trigonometricos1407
30.4.1 Preliminares1407
30.4.2 A Serie de Fourier de Funcoes Periodicas de Perıodo T1410
30.4.3 Polinomios Trigonometricos e Funcoes Contınuas e Periodicas1411
30.4.4 Convergencia de Series de Fourier1416

Conteudo 30.4.4.1 Series de Fourier em Senos ou Co-Senos para Funcoes Definidas em Intervalos Compactos1422

gonometricos1426
30.4.6 Series de Fourier e o Espaco de Hilbert L2([−pi, pi], dx)1429
30.5 O Teorema de Stone-Weierstrass1431
30.6 Completeza de Algumas Famılias de Funcoes1435
30.6.1 Completeza de Polinomios Ortogonais em Intervalos Compactos1435
30.6.2 Completeza de Polinomios de Hermite1437
30.6.3 Completeza dos Polinomios Trigonometricos1438
30.7 Exercıcios Adicionais1442
APENDICES1449
30.A Prova do Teorema de Weierstrass Usando Polinomios de Bernstein1449
30.B A Demonstracao de Weierstrass do Teorema de Weierstrass1453

30.4.5 Revisitando a Aproximacao Uniforme de Funcoes Contınuas e Periodicas por Polinomios Tri- a Fısica e tambem em diversas areas da Matematica Aplicada, estamos muitas vezes interessados em resolver problemas cuja solucao nao pode ser obtida exatamente. No caso de equacoes diferenciais, por exemplo, sao muito raras as situacoes nas quais uma solucao pode ser expressa em termos de funcoes “elementares”, tais como polinomios, exponenciais, logaritmos, senos, co-senos ou combinacoes finitas das mesmas. Na grande maioria dos casos apresentam-se metodos de solucao em termos de aproximacoes que, sob hipoteses adequadas, podem estar tao proximas quanto se queira da solucao correta. E, portanto, uma questao importante desenvolver metodos de aproximar funcoes com certas propriedades e e disso, basicamente, que trataremos neste capıtulo. Nao pretendemos aqui esgotar o assunto, o que ademais seria impossıvel, dada a sua extensao, mas tratar de dois tipos fundamentais de aproximacoes de funcoes: as aproximacoes por polinomios e as aproximacoes por polinomios trigonometricos. Este ultimo topico e o domınio das chamadas series de Fourier e suporemos que o leitor ja possua alguma familiaridade com seus aspectos mais elementares e suas aplicacoes. Como veremos, aproximacoes por polinomios e por polinomios trigonometricos sao dois assuntos relacionados. Ambos os metodos de aproximacao estao tambem na raiz de muitos outros desenvolvimentos, como na teoria dos espacos de Hilbert, e mesmo em temas mais abstratos, como na Algebra de Operadores. Sua utilizacao pratica e enorme e ambos os assuntos tem dominado boa parte das aplicacoes da Matematica a problemas de Fısica e de Engenharia desde o seculo XVIII.

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30.1 Nocoes de Convergencia para Sequencias de Funcoes

Em benefıcio do estudante, vamos recordar brevemente na corrente secao algumas das nocoes e resultados basicos sobre convergencia de sequencias de funcoes definidas em R (ou em sub-conjuntos de R), nocoes e resultados esses que utilizaremos no que segue. Presumimos que o estudante ja tenha sido exposto a esses temas e um tratamento mais detalhado que o nosso pode ser encontrado em quaisquer bons livros de Calculo ou Analise real. Algumas das nocoes aqui tratadas sao tambem desenvolvidas com muito mais detalhe no Capıtulo 21, pagina 1003, mas a leitura previa desse capıtulo, ainda que util, e dispensavel para o que segue.

Seja D um subconjunto de R. As seguintes nocoes de convergencia sao de fundamental importancia:

a. Convergencia pontual. Diz-se que uma sequencia de funcoes fn : D → C, definidas em D, converge pontualmente a uma funcao f : D → C se para cada x ∈ D valer lim n→∞fn(x) = f(x).

b. Convergencia uniforme. Diz-se que uma sequencia de funcoes fn : D → C converge uniformemente a uma funcao

sup

Se uma sequencia fn converge pontualmente a uma funcao f, entao f e dita ser o limite pontual da sequencia fn. Se uma sequencia fn converge uniformemente a uma funcao f, entao f e dita ser o limite uniforme da sequencia fn.

Alem da convergencia uniforme e pontual, ha diversas outras nocoes de convergencia para sequencias de funcoes, das quais destacamos as duas seguintes. Sejam a e b ∈ R com −∞ < a < b < ∞.

c. Convergencia no sentido de L1( [a, b], dx)

. Seja fn : [a, b] → C uma sequencia de funcoes tais que

∞ para todo n ∈ N. Seja tambem f : [a, b] → C com ∫ b a |f(x)|dx < ∞. Dizemos que a sequencia fn converge a f no sentido de L1( [a, b], dx) se lim

d. Convergencia no sentido de L2( [a, b], dx)

. Seja fn : [a, b] → C uma sequencia de funcoes tais que

∞ para todo n ∈ N. Seja tambem f : [a, b] → C com ∫ b a |f(x)|2dx < ∞. Dizemos que a sequencia fn converge a

f no sentido de L2( [a, b], dx) se lim

Definicoes analogas existem para o caso de sequencias definidas, nao em um intervalo finito [a, b], mas em intervalos nao-finitos, como a reta real R ou a semi-reta R+.

Antes de falarmos sobre a importancia da convergencia uniforme, apresentemos um criterio importante para que se tenha convergencia uniforme de series de funcoes.

• O teste M de Weierstrass

Em muitas situacoes lidamos com series de funcoes, ou seja, com sequencias da forma sn(x) = n∑

onde fk sao funcoes reais definidas em um certo domınio comum D ⊂ R. E muito importante nesses casos ter em maos criterios que permitam saber se a sequencia sn converge uniformemente em D a alguma funcao. De particular utilidade nesse contexto e um pequeno resultado devido a Weierstrass1, conhecido como teste M de Weierstrass, o qual fornece condicoes suficientes para a convergencia uniforme de uma serie:

Proposicao 30.1 (Teste M de Weierstrass) Seja D ⊂ R, D nao-vazio, e seja fn : D → C uma sequencia de funcoes definidas em D e tais que para cada k exista uma constante Mk ≥ 0 tal que |fk(x)| ≤ Mk para todo x ∈ D. Entao, se a

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k=0 Mk for convergente, a sequencia de funcoes sn(x) := k=0 fk(x) converge uniformemente em D. 2

Prova. Como a serie ∞∑ k=0 Mk e convergente, a sequencia de somas parciais Mn := k=0 Mk e uma sequencia de Cauchy e, portanto, para cada ǫ > 0 existe N(ǫ) ∈ N tal que |Mn − Mm| ≤ ǫ sempre que n e m forem maiores que N(ǫ). Como os

Mk’s sao positivos, para m < n tem-se |Mn − Mm| = Mn −Mm = n∑ k=m+1 Mk. Assim, vale k=m+1 Mk ≤ ǫ sempre que n e m forem maiores que N(ǫ). Provemos primeiramente que a sequencia sn converge pontualmente. Fixemos x ∈ D e consideremos, para m < n,

k=m+1 Mk ≤ ǫ sempre

que n e m forem maiores que N(ǫ). Isso provou que a sequencia sn(x) e uma sequencia de Cauchy de numeros reais e, portanto, converge a um numero que denotamos por s(x). Como isso se da para cada x ∈ D, concluımos que existe uma funcao s : D → C a qual a sequencia sn converge pontualmente.

Provemos agora que a sequencia sn converge uniformemente a essa funcao s. Para cada x ∈ D vale, como vimos, |sn(x)−sm(x)| ≤ ǫ sempre que n e m forem maiores que N(ǫ). Logo, tomando nessa desigualdade o limite n → ∞, teremos

|s(x)−sm(x)| ≤ ǫ sempre que m > N(ǫ). Como isso vale para qualquer x ∈ D, concluımos que supx∈D |s(x)−sm(x)| ≤ ǫ sempre que m > N(ǫ) e isso estabelece que a sequencia sn converge uniformemente a s em D.

O leitor pode facilmente perceber que a Proposicao 30.1 e sua demonstracao se deixam generalizar sem problemas para series de funcoes complexas definidas em domınios complexos D ⊂ C. Em verdade, a Proposicao 30.1 e sua demonstracao se deixam facilmente generalizar ainda mais para series de funcoes definidas em D ⊂ C assumindo valores em um espaco de Banach.

30.1.1 Importancia da Convergencia Uniforme

Vamos discutir brevemente algumas das razoes da importancia da nocao de convergencia uniforme. Como consequencia dessa discussao, obteremos uma serie de resultados muito uteis que garantem condicoes suficientes para que se possa trocar a ordem de operacoes envolvendo a tomada de limites, o calculo de derivadas e o calculo de integrais definidas, trocas essas empregadas amiude em manipulacoes em Fısica e Matematica.

• Convergencia uniforme e outras convergencias

E evidente que em qualquer D a convergencia uniforme de uma sequencia fn a uma funcao f implica a convergencia pontual dessa sequencia a mesma funcao. No caso de intervalos [a, b] finitos, a convergencia uniforme implica tambem a convergencia no sentido de L1( [a, b], dx)

, pois vale, evidentemente,∫ b

e analogamente para a convergencia no sentido de L2( [a, b], dx) . A recıproca dessas duas afirmacoes, porem, nao e necessariamente verdadeira. Por exemplo, a sequencia de funcoes definidas no intervalo [−1, 1] por

para n ≥ 1, converge a funcao nula no sentido de L1( [a, b], dx) e no sentido de L2( [a, b], dx) (justifique!), mas nao converge uniformemente a essa funcao (justifique!).

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• Limites uniformes de funcoes contınuas em intervalos compactos

Um importante resultado que mencionamos e uma propriedade de grande relevancia de limites uniformes de funcoes contınuas:

Proposicao 30.2 Seja D ⊂ R, nao-vazio, e seja fn : D → C uma sequencia de funcoes contınuas que converge uniformemente a uma funcao f : D → C. Entao, f e tambem contınua. 2

Prova. Para x, y ∈ D quaisquer e n ∈ N qualquer, podemos escrever f(x) − f(y) = ( f(x) − fn(x)) + (

desde que escolhamos n com n > N(ǫ/3). Tomemos um tal n. Como a funcao fn e contınua, existe δ(ǫ/3) tal que∣∣fn(x) − fn(y)∣∣ < ǫ/3 desde que |x − y| < δ(ǫ/3). Assim, para cada ǫ > 0 existe δ(ǫ/3) tal que ∣∣f(x) − f(y)∣∣ < ǫ desde que |x − y| < δ(ǫ/3), provando a continuidade de f.

Resultados ainda mais fortes sao demonstrados na Proposicao 21.6, pagina 1012.

30.1.1.1 Troca de Ordem entre Limites e Integrais

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