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(Parte 1 de 12)

Capıtulo 12

Propriedades de Algumas Funcoes Especiais

12.1 Discussao Preliminar527
12.1.1 Relacoes de Ortogonalidade528
12.1.1.1 Condicoes de Contorno e a Origem das Relacoes de Ortogonalidade532
12.1.2 Formulas de Rodrigues536
12.1.3 Funcoes Geratrizes538
12.2 Propriedades de Algumas Funcoes Especiais546
12.2.1 Propriedades dos Polinomios de Legendre546
12.2.2 Propriedades dos Polinomios de Legendre Associados551
12.2.2.1 As Funcoes Harmonicas Esfericas557
12.2.2.2 Formula de Adicao de Funcoes Harmonicas Esfericas559
12.2.3 Propriedades dos Polinomios de Hermite563
12.2.4 Propriedades dos Polinomios de Laguerre567
12.2.5 Propriedades dos Polinomios de Laguerre Associados571
12.2.6 Propriedades das Funcoes de Bessel574
12.2.7 Propriedades das Funcoes de Bessel Esfericas588
12.3 Exercıcios Adicionais592
APENDICES595
12.A Provando (12.72) a Forca Bruta595

Conteudo ste capıtulo da continuidade ao Capıtulo 1 e concentra-se no estudo de propriedades especiais de algumas das funcoes la apresentadas como solucoes de equacoes diferenciais de interesse. Nossos principais objetivos sao a deducao das relacoes de ortogonalidade de certas funcoes, a deducao das chamadas formulas de Rodrigues e de relacoes de recorrencia para as mesmas e tambem a determinacao de suas funcoes geratrizes. Essas propriedades, que serao devidamente definidas e discutidas na Secao 12.1, sao uteis para a resolucao de equacoes diferenciais, especialmente aquelas provenientes de problemas envolvendo equacoes diferenciais parciais submetidas a certas condicoes iniciais e/ou de contorno. Exemplos de aplicacoes a problemas fısicos sao discutidos no Capıtulo 17, pagina 744. Ainda que nosso tratamento seja tao completo quanto possıvel, dentro do escopo relativamente limitado que pretendemos ter, repetimos aqui a recomendacao das referencias listadas no Capıtulo 1 a pagina 468.

12.1 Discussao Preliminar

Na proxima secao, a Secao 12.2, tencionamos apresentar ao leitor certas propriedades de algumas das funcoes encontradas como solucao de equacoes diferenciais de interesse em Fısica, propriedades essas cuja utilidade maior manifesta-se especialmente, como mencionado, na resolucao de equacoes diferenciais parciais submetidas a certas condicoes iniciais e/ou de contorno. Na presente secao prepararemos o terreno discutindo algumas ideias gerais.

As ideias gerais que apresentaremos envolvem 1. as chamadas relacoes de ortogonalidade, que generalizam aquelas bem-conhecidas da teoria das series de Fourier; 2. as chamadas formulas de Rodrigues, uteis para a obtencao de relacoes de recorrencia entre funcoes e 3. as chamadas funcoes geratrizes, das quais outras propriedades uteis sao extraıdas, como por exemplo representacoes integrais para certas funcoes.

Os exemplos principais dos quais trataremos a seguir, na Secao 12.2, envolvem os polinomios de Legendre, de Hermite e de Laguerre e as funcoes de Bessel, todas de importancia na resolucao de problemas do Eletromagnetismo, de Mecanica Quantica, da Mecanica dos Fluidos e de outras areas.

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12.1.1 Relacoes de Ortogonalidade

No Capıtulo 1 tratamos nossas equacoes diferenciais como equacoes no plano complexo. Para a discussao das chamadas relacoes de ortogonalidade devemos considerar apenas equacoes diferenciais de uma variavel real. De qualquer forma, na absoluta maioria das equacoes diferenciais de interesse em Fısica a funcao incognita y e uma funcao de uma variavel real, digamos, x, e assim consideraremos aqui.

Seja o problema de determinar as solucoes nao-nulas da equacao diferencial y′′(x) + λy(x) = 0, com x restrita ao intervalo [0, π], e que satisfacam as condicoes y(0) = y(π) = 0. Tais solucoes somente existem se λ for da forma λ = m2

com m = 1, 2, 3,e sao, para cada tal m, da forma ym(x) = sen(mx). Esse problema surge em um problema classico

da mecanica de corpos deformaveis, a saber, no problema da corda vibrante homogenea, do qual tratamos na Secao

17.5.1, pagina 797. De importancia crucial na resolucao daquele problema sao as chamadas relacoes de ortogonalidade satisfeitas pelas funcoes sen(mx) no intervalo [0, π], as quais afirmam que ∫ π

0 sen(mx)sen(nx)dx = π2 δm,n, para todos

m, n = 1, 2, 3,Como o leitor pode constatar pela leitura da Secao 17.5.1, essas relacoes permitem a obtencao de

solucoes da equacao de movimento da corda vibrante homogenea que satisfacam condicoes, ditas condicoes iniciais, que fixem a posicao e a velocidade de cada ponto da corda no instante inicial de seu movimento (“problema de Cauchy”).

Diversos outros problemas fısicos, alguns tambem tratados no Capıtulo 17, pagina 744, podem ser igualmente resolvidos com o uso de relacoes de ortogonalidade analogas. Na presente secao discutiremos de forma bastante geral como tais relacoes se originam. Na Secao 12.2, pagina 546, veremos as ideias aqui apresentadas serem empregadas em exemplos concretos que, por sua vez, encontrarao aplicacoes nos problemas tratados no Capıtulo 17.

Mencionamos, por fim, que as relacoes de ortogonalidade aqui discutidas podem ser elegantemente descritas na teoria dos espacos de Hilbert, que introduzimos no Capıtulo 32, pagina 1537. Na teoria dos espacos de Hilbert ate mesmo a denominacao “relacoes de ortogonalidade”, a qual pode parecer obscura a um leitor iniciante, torna-se natural. Boa parte dos desenvolvimentos que introduziremos na presente secao serao reencontrados na discussao do chamado problema de Sturm-Liouville, ao qual dedicamos o Capıtulo 14, pagina 670.

• Resultados preparatorios Vamos comecar nossa discussao mencionando alguns resultados uteis que serao usados logo adiante.

Lema 12.1 Seja O ⊂ R um aberto e seja x0 um ponto de O. Vamos supor que tenhamos duas funcoes reais diferenciaveis f e g : O → R ou C que satisfacam γ1f(x0)+γ2f′(x0) = 0 e γ1g(x0)+γ2g′(x0) = 0, para constantes (reais ou complexas) γ1 e γ2, ambas nao-simultaneamente nulas, ou seja, (γ1, γ2) 6= (0, 0). Entao, vale

Se as constantes γ1 e γ2 acima forem constantes reais, vale tambem

Prova. As condicoes do enunciado podem ser escritas em forma matricial como( f(x0) f′(x0)

Logo, como (γ1, γ2) 6= (0, 0), a matriz do lado esquerdo deve ser nao-inversıvel, ou seja, seu determinante deve ser nulo:

Corolario 12.1 Seja O ⊂ R um aberto e seja x0 um ponto de O. Seja u : O → C uma funcao diferenciavel. Entao, uma condicao necessaria e suficiente para que existam constantes reais α1 e α2, ambas nao-simultaneamente nulas, ou seja, (α1, α2) 6= (0, 0) tais que α1u(x0) + α2u′(x0) = 0 para algum x0 ∈ O e que valha u(x0)u′(x0) − u′(x0)u(x0) = 0. 2

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Prova. Se existirem constantes reais α1 e α2, ambas nao-simultaneamente nulas, tais que α1u(x0) + α2u′(x0) = 0 para algum x0 ∈ O, entao, adotando f = g = u em (12.2) segue que u(x0)u′(x0) − u′(x0)u(x0) = 0. Reciprocamente, se

) nao tem inversa e, portanto, pelo Corolario 6.1, pagina 240, existe um vetor nao-nulo

Isso afirma que γ1u(x0)+γ2u′(x0) = 0 e que γ1u(x0)+γ2u′(x0) = 0. Tomando o complexo conjugado dessas igualdades,

(ou ambos) sao vetores reais nao-nulos. Assim, provamos que existem constantes reais α1 e α2, ambas nao-simultaneamente nulas, tais que( u(x0) u′(x0)

• Convencoes sobre intervalos. Alguma notacao

Em muitas das equacoes diferenciais de interesse em Fısica a variavel x e restrita a uma regiao J ⊂ R da reta real, sendo J um intervalo fechado (tal como [a, b]), aberto (tal como (a, b)) ou semi-aberto (tal como (a, b] ou [a, b)). Podem tambem ocorrer intervalos infinitos, tais como J = (−∞, ∞), ou semi-infinitos, como J = (0, ∞) ou J = [0, ∞). Denotaremos por J0 o interior do intervalo J, ou seja, J0 e o maior intervalo aberto contido em J. Por exemplo, se J = [a, b] teremos J0 = (a, b), se J = [0, ∞) entao J0 = (0, ∞) e se J e aberto entao J0 = J.

Daqui para frente vamos escrever o intervalo J0, finito ou nao, na forma J0 := (A, B) ⊂ R e, portanto, (A, B) pode representar intervalos finitos, como por exemplo (0, 1), semi-infinitos, como por exemplo (0, ∞) ou ainda toda a reta real (−∞, ∞).

Para uma funcao f conveniente, vamos denotar por ∫ B

A f(x)dx o limite lim a f(x)dx, caso este exista. Os limites lim x→Y e lim x→Y representam os limites laterais a esquerda e a direita, respectivamente.

• A forma canonica de Liouville Ate aqui escrevemos nossas equacoes lineares homogeneas de segunda ordem na forma

(agora ja adotando como variavel x ∈ J). Em muitos problemas de interesse essa equacao pode ser escrita de outra forma, denominada por alguns autores de forma canonica de Liouville, e que sera importante para o que segue:

1. p(x) e real, contınua e diferenciavel em J0 e p(x) > 0 para todo x ∈ J0. 2. q e real e contınua em J. 3. r(x) e real e contınua em J0 e r(x) > 0 para todo x ∈ J0. 4. µ e uma constante.

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As condicoes de positividade de p e r em J0 sao as mais importantes. Note-se que nao excluiremos que p e r possam se anular (ou mesmo divergir) nos extremos do intervalo J1.

Como o leitor pode facilmente constatar, a relacao entre essas funcoes e a seguinte:

Dadas a(x) e b(x), a primeira relacao acima fixa p(x) (a menos de uma constante), a saber,

Ja a segunda nem sempre fixa q(x) e r(x) univocamente, tudo dependendo da condicao de positividade sobre r(x), que foi mencionada acima, ou de qual parametro se deseja tomar por µ. Na maioria dos casos, porem, q e r podem ser fixados univocamente, o que ficara claro nos exemplos que seguem.

Varias das equacoes diferenciais de segunda ordem das quais tratamos no Capıtulo 1 podem ser escritas na forma canonica em algum intervalo J conveniente2. Vamos a alguns exemplos que nos interessarao:

Varios tipos de intervalos J aparecem em problemas. No problema da corda vibrante, por exemplo, pode-se adotar J = [0, L], L sendo o comprimento da corda.

• A equacao de Hermite y′′(x) − 2xy′(x) + λy(x) = 0, e tipicamente considerada no intervalo J = (−∞, ∞) e pode ser escrita na forma canonica de Liouville como(

e pode ser escrita na forma canonica de Liouville como(√

• A equacao de Laguerre xy′′(x) +(1 − x)y′(x) + λy(x) = 0 e tipicamente considerada no intervalo J = [0, ∞) e pode ser escrita na forma canonica de Liouville como(

1O caso em que p e r permanecem finitas e positivas nos extremos do intervalo J e particularmente importante no chamado Problema de

Sturm-Liouville regular, tratado no Capıtulo 14, pagina 670. 2A conveniencia e ditada pelo problema fısico subjacente.

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• A equacao de Bessel de ordem ν, escrita na forma x2y′′(x) + xy′(x) + (α2x2 − ν2)y(x) = 0, e tipicamente considerada no intervalo J = [0, 1] e pode ser escrita no intervalo (0, 1] na forma canonica de Liouville como

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