nc - cap13

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Capıtulo 13

Rudimentos da Teoria das Equacoes a Derivadas Parciais

13.1 Definicoes, Notacoes e Alguns Exemplos598
13.2 Algumas Classificacoes de Equacoes a Derivadas Parciais606
13.2.1 Equacoes Lineares, Nao-Lineares, Semi-Lineares e Quase-Lineares606
13.3 O Metodo de Separacao de Variaveis612
13.3.1 O Metodo de Separacao de Variaveis. Caso de Equacoes Lineares612
13.3.2 O Metodo de Separacao de Variaveis. Caso de Equacoes Nao-Lineares615
13.4 Problemas de Cauchy e Superfıcies Caracterısticas. Definicoes e Exemplos Basicos617
13.5 O Metodo das Caracterısticas624
13.5.1 Exemplos de Aplicacao do Metodo das Caracterısticas629
13.5.2 Caracterısticas. Comentarios Adicionais641
13.5.3 Sistemas de Equacoes Quase-Lineares de Primeira Ordem642

Conteudo 13.2.2 Classificacao de Equacoes de Segunda Ordem. Equacoes Parabolicas, Elıpticas e Hiperbolicas 608

Primeira Ordem646
13.5.3.2 Sistemas Hiperbolicos Semi-Lineares de Primeira Ordem em Duas Variaveis650

13.5.3.1 Generalidades Sobre Problemas de Condicao Inicial em Sistemas Quase-Lineares de

em Duas Variaveis652
13.6 Alguns Teoremas de Unicidade de Solucoes de Equacoes a Derivadas Parciais656
13.6.1 Casos Simples. Discussao Preliminar656
13.6.2 Unicidade de Solucao para as Equacoes de Laplace e Poisson660
13.6.3 Unicidade de Solucoes. Generalizacoes662
13.7 Exercıcios Adicionais669

13.5.3.3 Solucoes Ditas Simples de Sistemas Quase-Lineares, Homogeneos, de Primeira Ordem este capıtulo apresentaremos uma breve introducao a teoria das equacoes a derivadas parciais. Serao apresentados alguns metodos de resolucao mais comummente empregados e alguns teoremas de unicidade de solucao de importancia na justificativa daqueles metodos. Assim como as equacoes diferenciais ordinarias, introduzidas no Capıtulo 8, pagina 356, equacoes a derivadas parciais sao de grande importancia nas Ciencias Naturais por expressarem leis fısicas. Ainda que tenham se desenvolvido em paralelo, a teoria das equacoes diferenciais ordinarias distingue-se um tanto da teoria das equacoes a derivadas parciais, pois na segunda menos resultados gerais sao conhecidos e os metodos de resolucao e de analise qualitativa sao mais intrincados e limitados em escopo. Por exemplo, nao existem na teoria das equacoes a derivadas parciais resultados sobre existencia e unicidade de solucao que sejam tao gerais quanto os Teoremas de Peano e de Picard-Lindelof, validos para equacoes diferenciais ordinarias (vide Teorema 8.1, pagina 372 e Teorema 8.2, pagina 373). Uma outra observacao geral que deve ser feita sobre a teoria das equacoes a derivadas parciais e que nem sempre encontram-se resultados validos para equacoes de ordem arbitraria com um numero arbitrario de variaveis. Ha mais resultados, e mais fortes, sobre equacoes envolvendo duas variaveis que mais de duas variaveis e, igualmente, ha mais e mais fortes resultados sobre equacoes de ordem um ou dois que para equacoes de ordem tres ou mais.

Alguns metodos de resolucao de equacoes a derivadas parciais, como o metodo de separacao de variaveis e o metodo das caracterısticas, envolvem a resolucao de equacoes diferenciais ordinarias e vamos nos dedicar a eles aqui. Nosso proposito neste capıtulo e apresentar primordialmente ideias da teoria geral das equacoes a derivadas parciais. O capıtulo 17, pagina 744, e dedicado a exemplos de aplicacoes de metodos especıficos de resolucao e sua leitura complementa a deste capıtulo de maneira essencial.

A Secao 13.6, pagina 656, dedica-se a alguns teoremas de unicidade de solucao, os quais sao evocados nos exemplos do Capıtulo 17. A leitura da Secao 13.6 dispensa a leitura das secoes precedentes.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 13 598/1730

Ha uma vasta literatura sobre equacoes a derivadas parciais e nossas pretensoes no presente capıtulo sao infimamente modestas. Para um estudo mais completo recomendamos [40, 41], [95], [149], [62], [49], [178], [54], [98].

13.1 Definicoes, Notacoes e Alguns Exemplos

• Notacao de multi-ındices e diversas outras notacoes

Devido a frequente ocorrencia de derivadas parciais mistas na teoria das equacoes a derivadas parciais e conveniente introduzir algumas notacoes simplificadoras. Um n-multi-ındice, ou simplesmente multi-ındice, e uma n-upla

α = (α1,, αn) onde cada αk e um numero inteiro maior ou igual a zero. A colecao de todos os n-multi-ındices e, por-
tanto, Nn0. A ordem de um multi-ındice α, denotada por |α|, e definida por |α| := α1+·+αn. O multi-ındice (0,, 0)
e denominado multi-ındice nulo e denotado por 0. Dados dois n-multi-ındices α = (α1,, αn) e β = (β1, ..., βn)
denotamos por α + β o n-multi-ındice (α1 + β1,, αn + βn).
Seja u um a funcao de n variaveis x1,, xn. Dado um multi-ındice α ∈ Nn0, denotamos por Dαu ou por ∂αu a

derivada parcial mista de u univocamente definida por

sendo que, se 0 = (0,, 0) for o multi-ındice nulo, define-se D0u := u. Note-se tambem que DαDβu = Dα+βu.

Dado um operador diferencial Dα o valor de |α| e dito ser o grau de Dα.

Neste texto denotaremos por Mnm o conjunto de todos os n-multi-ındices de ordem menor ou igual a m ∈ N0:

(α1,, αn) ∈ Nn0, 0 ≤ |α| ≤ m} = {
(α1,, αn) ∈ Nn0, 0 ≤ α1 + · + αn ≤ m}

e denotaremos por Nnm o conjunto de todos os n-multi-ındices de ordem igual a m ∈ N0:

(α1,, αn) ∈ Nn0, |α| = m} = {
(α1,, αn) ∈ Nn0, α1 + · + αn = m}

O numero de elementos do conjunto Nnm e denotado por |Nnm| e tem-se

(vide Exercıcio E. 12.9, pagina 542). Pelo Exercıcio E. 12.10, pagina 543, tem-se tambem que |Mnm|, o numero de elementos do conjunto Mnm, e dado por

E de se notar a validade da relacao DαDβ = Dα+β = DβDα ,

onde, se α = (α1,, αn) e β = (β1, ..., βn), denotamos α + β := (α1 + β1, ..., αn + βn) = β + α.
Para um n-multi-ındice α = (α1,, αn) definimos o sımbolo α! como sendo o produto
Para z ∈ Cn (ou Rn) da forma z = (z1,, zn) e um n-multi-ındice α = (α1, ..., αn) definimos o sımbolo zα como

Alem da notacao de multi-ındices, empregaremos outras notacoes para as derivadas parciais de uma funcao u. Por exemplo, ∂ u

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 13 599/1730 sao tres sımbolos que representam a derivada parcial de u em relacao a x. Analogamente,

• A regra de Leibniz

A notacao de multi-ındices permite expressar a regra de Leibniz, para derivadas de produtos de duas funcoes, de uma forma economica. Se β e um n-multi-ındice e f e g sao duas funcoes de n variaveis que sejam ao menos |β| vezes diferenciaveis, tem-se que

• Operadores diferenciais lineares

Uma expressao como

aα(x1,, xn)Dα , (13.6)
onde aα, α ∈ Mnm, sao funcoes em princıpio arbitrarias das variaveis x1,, xn, e dita ser um operador diferencial
linear de ordem m nas variaveis x1,, xn. Naturalmente so faz sentido, classicamente falando, aplicar operadores

diferenciais lineares de ordem m em funcoes m vezes diferenciaveis. Um fato evidente e que se γ1 γ2 sao constantes, valeL( γ1u1 + γ2u2) = γ1Lu1 + γ2Lu2 para quaisquer funcoes m-vezes diferenciaveis u1 e u2.

• Equacoes a derivadas parciais

Em termos simples, uma equacao a derivadas parciais (abreviadamente, uma EDP) e uma relacao a ser satisfeita por uma funcao de varias variaveis e um conjunto finito de suas derivadas parciais (incluindo eventualmente derivadas parciais mistas). Passemos a formalizar essa ideia.

Uma funcao incognita de n variaveis reais u(x1,, xn) e dita satisfazer uma equacao a derivadas parciais em um
certo domınio Ω ⊂ Rn, definida por uma funcao de N variaveis G e por um conjunto de n-multi-ındices α1,, αM
x, u(x), Dα u(x), Dα u(x))

(pelo menos um sendo nao-nulo) se valerG( = 0

para todo x ≡ (x1,, xn) ∈ Ω. O maior valor de |αk|, k = 1, ..., M e dito ser a ordem da equacao a derivadas

parciais. Vide exemplos logo adiante. Com essa generalidade ha, como tambem notamos quando apresentamos a definicao de equacoes diferenciais ordinarias (Capıtulo 8, pagina 356), equacoes impossıveis, como por exemplo no caso em que,

que nao pode ser satisfeita de forma alguma. Assim, devemos sempre supor a existencia de um domınio (aberto) onde G anula-se, hipotese que assumiremos doravante sem maiores comentarios.

Um conjunto de m funcoes incognitas de n variaveis reais uk(x1,, xn), k = 1, ..., m, e dito satisfazer um

• Sistemas de equacoes a derivadas parciais sistema de l equacoes a derivadas parciais definidas por l funcoes de N variaveis Gj, j = 1, ..., l e por um conjunto de

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 13 600/1730 n-multi-ındices αjki (pelo menos um sendo nao-nulo) se valer

x, u1(x),, um(x), Dα u1(x) ..., Dα u1(x), ..., Dα um(x) ..., Dα um(x))
x, u1(x),, um(x), Dα u1(x) ..., Dα u1(x), ..., Dα um(x) ..., Dα um(x))
para todo x ≡ (x1,, xn) ∈ Ω. O maior valor de |αjki | e dito ser a ordem do sistema de equacoes a derivadas parciais.

Exemplos serao vistos logo adiante.

Naturalmente, temos que supor que as l equacoes acima sejam independentes, ou seja, que nao possam ser obtidas umas das outras quer por operacoes algebricas quer por diferenciacao.

Se l < m (menos equacoes que funcoes incognitas) o sistema e dito ser um sistema sub-determinado. Se l > m (mais equacoes que funcoes incognitas) o sistema e dito ser um sistema sobredeterminado. Se l = m o sistema e dito ser um sistema determinado (isso nao quer dizer que seja soluvel!).

Muito semelhantemente ao que ocorre com equacoes diferenciais ordinarias, e possıvel transformar uma equacao a derivadas parciais em um sistema de equacoes a derivadas parciais de primeira ordem. Por exemplo, a equacaoG( x, y, u(x, y),

pode ser transformada no sistema equivalenteG( x, y, u(x, y), p(x, y), q(x, y),

composto de tres equacoes de primeira ordem com tres funcoes incognitas, u, p e q. Na primeira das tres equacoes acima ∂ p

∂y pode ser substituıdo por ∂ q ∂x .

O leitor deve ser advertido, porem, que a recıproca nao e sempre verdadeira: nem todo sistema de equacoes de primeira ordem pode ser transformado em uma unica equacao a derivadas parciais. Em muitos casos uma tal equivalencia so e possıvel sob restricoes a condicoes iniciais ou de fronteira.

• A nocao de solucao classica de uma EDP

Assim como no caso de equacoes diferenciais ordinarias, algumas palavras devem ser ditas sobre a nocao de solucao de uma equacao a derivadas parciais. Uma solucao classica de uma equacao a derivadas parciais de ordem m em n variaveis em um domınio Ω ⊂ Rn (suposto conexo e de interior nao-vazio) e uma funcao m-vezes diferenciavel que satisfaz a equacao em todos os pontos do interior de Ω. Existem tambem outras nocoes de solucao, como a de solucao fraca, de solucao distribucional, de solucao estocastica etc. Discutiremos por ora apenas as solucoes classicas e, por isso, abusando um pouco da linguagem, nos referiremos a elas simplesmente como “solucoes”, sem pender o qualificativo “classicas”.

• Exemplos de equacoes a derivadas parciais de interesse

Abaixo, u e uma funcao de n variaveis reais x1,, xn, n ≥ 1, ou de n + 1 variaveis reais t, x1, ..., xn. Em muitas
aplicacoes t representa o tempo e x1,, xn representa coordenadas espaciais. Os sımbolos ∆ e ∇2 denotam o operador
Laplaciano para as coordenadas espaciais x1,, xn, que no caso de coordenadas Cartesianas se escreve:

Como ilustracao e para futura referencia apresentemos uma breve lista de equacoes a derivadas parciais de interesse.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 13 601/1730

ρ sendo uma funcao nao-nula (doutra forma recaımos na equacao de Laplace).

onde k2 e um parametro fixo ou um autovalor a ser fixado pela imposicao de condicoes de contorno.

• Equacao de difusao de calor em um meio material nao-homogeneo, solido (ou seja, na ausencia de conducao de calor por conveccao) com uma fonte interna de calor:

cρ ∂ u onde u ≡ u(~x, t) e a temperatura como funcao da posicao ~x e do tempo t, c ≡ c(~x, t) e o calor especıfico do material, ρ ≡ ρ(~x, t) a densidade do material, κ ≡ κ(~x, t) a condutividade termica do material e Φ ≡ Φ(~x, t) a quantidade de calor produzida por unidade de volume por unidade de tempo por uma fonte interna de calor dentro do material (e.g. radioatividade, reacoes quımicas etc). As funcoes c(~x, t), ρ(~x, t) e κ(~x, t) sao positivas e, assim como Φ(~x, t), podem tambem ser dependentes da temperatura u(~x, t).

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