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(Parte 1 de 6)

Capıtulo 1

Solucoes de Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares no Plano Complexo

1.1 Solucoes em Series de Potencias para Equacoes Regulares468
1.1.1 A Equacao do Oscilador Harmonico Simples468
1.1.2 A Equacao de Legendre470
1.1.3 A Equacao de Hermite472
1.1.4 A Equacao de Airy475
1.1.5 A Equacao de Chebyshev477
1.1.6 O Caso de Equacoes Regulares Gerais479
1.2 Solucao de Equacoes Singulares Regulares. O Metodo de Frobenius481
1.2.1 Equacoes Singulares Regulares. O Caso Geral484
1.2.2 A Equacao de Euler Revisitada491
1.2.3 A Equacao de Bessel493
1.2.4 Equacoes Relacionadas a de Bessel. A Equacao de Bessel Esferica503
1.2.5 Equacoes Relacionadas a de Bessel. A Equacao de Bessel Modificada505
1.2.6 A Equacao de Laguerre506
1.2.7 A Equacao Hipergeometrica508
1.2.8 A Equacao Hipergeometrica Confluente51
1.3 Algumas Equacoes Associadas514
1.3.1 A Equacao de Legendre Associada514
1.3.2 A Equacao de Laguerre Associada516
1.4 Exercıcios Adicionais517
APENDICES519
1.A Prova da Proposicao 1.1. Justificando os Polinomios de Legendre519
1.B Provando (1.14)520
1.C Justificando os Polinomios de Hermite522
1.D Provando (1.20)523
1.E Porque λ deve ser um Inteiro Positivo na Equacao de Laguerre524

Conteudo rataremos no presente capıtulo de apresentar solucoes de equacoes diferenciais ordinarias lineares e homogeneas, regulares ou com pontos singulares regulares. Por simplicidade, e para atender ao interesse de problemas fısicos, trataremos apenas de equacoes de segunda ordem mas, em essencia, tudo o que faremos facilmente se generaliza para equacoes de ordem superior. Nossa abordagem estara centrada no chamado metodo de expansao em serie de potencias (para equacoes regulares) e no metodo de Frobenius (para equacoes com singularidades regulares). Estudaremos tanto casos gerais (com razoavel detalhe) quanto equacoes particulares de interesse em Fısica.

Em um certo sentido, o presente capıtulo da continuidade ao Capıtulo 10, mas dele so utilizaremos os Teoremas 10.3 e 10.4, das paginas 434 e 436, respectivamente. Esses teoremas fundamentais sao as justificativas dos metodos de solucao que empregaremos.

Comentamos ainda que trataremos as equacoes diferenciais como equacoes no plano complexo ainda que, na Fısica, o interesse tipicamente resida em equacoes na reta real pois, como discutimos no Capıtulo 10, a natureza das solucoes e a justificativa dos metodos de solucao sao melhor entendidas quando abandonamos as limitacoes da reta real de modo a explorar a estrutura analıtica das equacoes e suas solucoes.

Por vezes, omitiremos detalhes de calculos e o estudante e convidado a completa-los como exercıcio. Apesar de alguns desses calculos omitidos serem reconhecidamente entediantes (nao so os omitidos, alias), o estudante e recomendado fazelos ao menos uma vez durante sua existencia terrena, pois nao e possıvel apoderar-se do conhecimento aqui desenvolvido apenas por meio de leitura passiva.

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O tratamento que faremos de solucoes de equacoes gerais e bastante detalhado, um tanto mais do que o por vezes encontrado na literatura. Os resultados gerais estao resumidos nos Teoremas 1.1 e 1.2, adiante. O tratamento de certas equacoes particulares de interesse em Fısica (como as de Legendre, Hermite, Airy, Chebyshev, Bessel e Laguerre) e razoavelmente completo e varias propriedades especiais das solucoes, tais como relacoes de ortogonalidade, relacoes de recorrencia, formulas do tipo de Rodrigues, representacoes integrais etc. (todas importantes na resolucao de problemas de Fısica) sao discutidas com detalhe no Capıtulo 12, pagina 527. Uma omissao e um estudo detalhado do comportamento assintotico de certas solucoes. Esperamos que futuramente essa lacuna possa ser completada.

Exemplos selecionados de problemas de Fısica onde algumas das equacoes particulares que discutimos se apresentam (e a consequente resolucao desses problemas) poderao ser encontrados no Capıtulo 17, pagina 744, ao qual remetemos os estudantes interessados em adquirir um pouco de motivacao. A leitura daquele capıtulo requer um conhecimento parcial das solucoes das equacoes diferenciais e suas propriedades, de modo que o estudante devera alternar sua leitura com a do material que a precede nos Capıtulos 1 e 12.

Todas as equacoes particulares tratadas, suas solucoes e propriedades dessas solucoes, sao amplamente discutidas na vasta literatura pertinente e a ela remetemos os estudantes interessados. Vide, por exemplo, [162], [205], [121], [8], [199], [35], [91], [92], [17], [40], [41], [5], [179], [8], [85]. Para uma abordagem da teoria das funcoes especiais sob o ponto de vista de teoria de grupos, vide [197].

1.1 Solucoes em Series de Potencias para Equacoes Regulares

Vamos na presente secao ilustrar o Teorema 10.3 da pagina 434 estudando a solucao por serie de potencias de algumas equacoes diferenciais ordinarias, homogeneas de segunda ordem e regulares de interesse (especialmente em Fısica). Boa parte dos metodos apresentados nos exemplos aplicam-se a equacoes de ordem maior que dois, mas nao trataremos de tais generalizacoes aqui pois elas pouco apresentam de especial e seu interesse na Fısica e reduzido.

Na Secao 1.2, pagina 481, ilustraremos o Teorema 10.4, pagina 436, tratando de forma semelhante varias equacoes singulares regulares de interesse pelo metodo de Frobenius.

Conforme demonstramos em paginas anteriores (Teorema 10.3, pagina 434), se a equacao diferencial linear homogenea de segunda ordem y′′(z) + a(z)y′(z) + b(z)y(z) = 0 (1.1) for tal que os coeficientes a(z) e b(z) sao funcoes analıticas de z em torno de um ponto z0, entao suas solucoes serao igualmente analıticas em torno desse ponto e poderemos procurar resolve-la em termos de series de potencia centradas

O chamado metodo de serie de potencias consiste precisamente em inserir o Ansatz (1.2) na equacao (1.1) e determinar recursivamente os coeficientes cn. Pelas conclusoes obtidas anteriormente, resumidas no Teorema 10.3 da pagina 434, a solucao obtida deve ser convergente pelo menos no maior disco aberto centrado em z0 no qual ambas as funcoes a(z) e b(z) sejam tambem analıticas.

Ilustraremos a aplicacao desse metodo na resolucao da equacao do oscilador harmonico simples e nas equacoes de

Legendre, Hermite, Airy e Chebyshev, todas equacoes de interesse em Fısica. Ao final discutiremos a solucao do problema geral.

1.1.1 A Equacao do Oscilador Harmonico Simples

Por razoes pedagogicas, vamos comecar discutindo uma equacao diferencial bastante simples e familiar. Seja a bemconhecida equacao do oscilador harmonico simples

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 469/1730 onde ω0 e uma constante. Nesse caso a(z) = 0 e b(z) = ω20, ambas analıticas em toda parte. Procuremos entao uma ou seja,

e que ou seja,

Como essa ultima relacao supostamente vale para todo z, tem-se forcosamente que os fatores entre colchetes sao todos nulos (por que?):

para todo n ≥ 0. A solucao dessa ultima equacao recursiva e com k ≥ 0. Essas expressoes relacionam todos os coeficientes cn com os dois primeiros coeficientes, c0 e c1.

Inserindo isso na expressao y(z) = ∑∞ n=0 cnzn, tem-se

Na ultima passagem pudemos identificar as duas series de potencias com as series de Taylor (em torno de 0) das funcoes seno e co-seno. Notemos que em problemas menos simples, como os que encontraremos adiante, nem sempre sera possıvel identificar as series resultantes com as series de Taylor de funcoes previamente conhecidas, o que nos conduzira a definicao de novas funcoes, as chamadas funcoes especiais.

E de se notar que a solucao final, y(z) = c0 cos(ω0z) + c ω sen(ω0z), e analıtica em toda a parte como funcao de z, o que ja era esperado do fato de as funcoes a(z) e b(z) serem funcoes analıticas em toda parte (duas constantes).

Obtivemos, assim, a bem-conhecida solucao do oscilador harmonico simples em termos de uma combinacao linear das funcoes seno e co-seno. Os coeficientes c0 e c1 podem ser determinados se mais condicoes forem impostas a solucao. Por exemplo, se impusermos “condicoes iniciais” y(0) = y0 e y′(0) = v0, obtemos c0 = y0 e c1 = v0.

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e denominada equacao de Legendre1 de ordem2 λ. Em princıpio, adotamos λ ∈ C, arbitrario, mas na maioria das aplicacoes em Fısica apenas valores especiais de λ sao considerados, a saber, λ e tomado um inteiro nao-negativo.

A equacao de Legendre e uma parente proxima, a equacao de Legendre associada, tratada na Secao 1.3.1, pagina 514, surgem em varios problemas de Fısica, do Eletromagnetismo a Mecanica Quantica. Tipicamente ambas surgem quando da resolucao da equacao de Helmholtz pelo metodo de separacao de variaveis em coordenadas esfericas em tres dimensoes. Vide Capıtulo 17, pagina 744.

A equacao de Legendre acima pode ser posta na forma padrao (1.1) com

Claramente, ambas as funcoes sao analıticas em um disco de raio 1 centrado em z0 = 0. E, portanto, legıtimo procurarmos solucoes na forma y(z) = ∑∞ n=0 cnzn (com z0 = 0). Tais solucoes serao analıticas pelo menos no disco de raio 1 centrado

E facil ver que onde, na penultima igualdade, fizemos a mudanca de variaveis n → n − 2 e, na ultima, acrescentamos os termos com n = 0 e n = 1 por estes serem nulos. Analogamente,

onde, na penultima igualdade, fizemos a mudanca de variaveis n → n−1 e, na ultima, acrescentamos o termo com n = 0 por este ser nulo. Assim, (1.8) fica

Como (n − 1)n + 2n = n(n + 1), obtemos o seguinte conjunto de equacoes

Essas expressoes fornecem as seguintes equacoes recursivas para os coeficientes cn:

1Adrien-Marie Legendre (1752–1833). 2Aqui a palavra “ordem” nao deve ser confundida com a ordem da equacao diferencial, que e dois.

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De maneira analoga ao que ocorre no caso do oscilador harmonico simples (vide eq. (1.6)), podemos expressar todos os coeficientes cn com n par em termos de c0 e todos os coeficientes cn com n ımpar em termos de c1. Mais precisamente, tem-se

Para λ ∈ C generico concluımos que a solucao geral da equacao de Legendre e da forma onde

Conforme comentamos, sabemos a priori que ambas as series acima convergem para |z| < 1. O que ocorre caso |z| = 1? Isso e respondido na seguinte proposicao, cuja demonstracao encontra-se no Apendice 1.A, pagina 519 (vide tambem [162] para uma outra prova semelhante):

Proposicao 1.1 Caso λ ∈ R nao seja um inteiro nao-negativo par, a serie em (1.12) diverge em z = ±1. Caso λ ∈ R nao seja um inteiro positivo ımpar, a serie em (1.13) diverge em z = ±1.

Essa proposicao ensina-nos que as solucoes (1.12) e (1.13) da equacao de Legendre serao divergentes em z = ±1 caso λ nao seja um inteiro nao-negativo e isso para qualquer escolha de c0 e c1 nao-nulos. Em aplicacoes, porem, e muito importante ter-se solucoes finitas no intervalo fechado real [−1, 1] de valores de z. A unica esperanca que resta reside na situacao na qual λ e um inteiro nao-negativo e, de fato, podemos verificar que em tal caso y (0) λ e finita se λ for par e λ e finita se λ for ımpar.

• Os polinomios de Legendre

Contemplando a expressao (1.12) facilmente constata-se que no caso em que λ = 2n, um inteiro nao-negativo par, tem-se

que e um polinomio de grau 2n em z.

Analogamente, contemplando a expressao (1.13) facilmente se constata que no caso em que λ = 2n + 1, um inteiro positivo ımpar, tem-se

que e um polinomio de grau 2n + 1 em z.

Assim, vemos que no caso de λ ser um inteiro nao-negativo a equacao de Legendre tem uma solucao finita em toda a parte, a saber, o polinomio c0y (0)

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 472/1730 entao,

E claro pela definicao acima que Pm e um polinomio de grau m e o coeficiente do monomio de maior grau, zm, vale

Por razoes historicas, convenciona-se escolher c0 e c1 de modo que o coeficiente do monomio de maior grau de Pm seja igual a (2m)! 2 (m!) . Como facilmente se constata apos alguns calculos entediantes, isso conduz a seguinte expressao para os polinomios Pm(z):

onde ⌊m/2⌋ e o maior inteiro menor ou igual a m/2, ou seja,

A prova de (1.14) pode ser encontrada no Apendice 1.B, pagina 520.

A expressao (1.14) define os assim denominados polinomios de Legendre de grau m, cada qual e solucao da equacao de Legendre de ordem m (1 − z2)y′′(z) − 2zy′(z) + m(m + 1)y(z) = 0 , com m inteiro nao-negativo. Como comentamos, essa equacao possui, para cada m inteiro nao-negativo, uma segunda solucao que e, porem, divergente para z → ±1.

Os quatro primeiros polinomios de Legendre sao

como facilmente se ve pela definicao acima.

Os polinomios de Legendre possuem varias propriedades importantes, tais como relacoes de ortogonalidade, formulas de recorrencia etc., as quais serao discutidas na Secao 12.2.1, pagina 546. Tambem remetemos o estudante a literatura pertinente supracitada. A Figura 1.1, pagina 473, exibe o grafico dos primeiros polinomios de Legendre no intervalo [−1, 1].

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 473/1730 P

Figura 1.1: Os polinomios de Legendre P0 a P4 no intervalo [−1, 1].

com λ ∈ C e denominada equacao de Hermite3. Essa equacao e famosa por surgir em um problema basico da Mecanica Quantica, a saber, o problema do oscilador harmonico unidimensional. Vide Secao 17.7, pagina 808. A relacao de (1.15) com a equacao hipergeometrica confluente e exibida na Secao 1.2.8, pagina 51.

Comparando a forma padrao (1.1), constatamos que aqui

Ambas essas funcoes sao analıticas em todo o plano complexo e, pelo Teorema 10.3 da pagina 434, assim serao as solucoes da equacao de Hermite, sendo que podemos encontra-las atraves de uma expansao em serie de potencias em torno de

n=0 ncnzn + λ

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 474/1730

Assim como no caso do oscilador harmonico simples e no caso da equacao de Legendre, os coeficientes cn com n par sao proporcionais a c0 e os coeficientes cn com n ımpar sao proporcionais a c1. Mais precisamente, tem-se

Desta forma, chegamos a seguinte solucao geral da equacao de Hermite:

onde

Conforme comentamos, o Teorema 10.3 da pagina 434 garante-nos que ambas as series acima convergem absolutamente para todo z ∈ C, fazendo de y (0) λ e y (1) λ funcoes inteiras de z.

• Os polinomios de Hermite

Vamos agora passar a definicao dos chamados polinomios de Hermite. Nestas notas usamos a chamada “definicao fısica” dos polinomios de Hermite. Ha uma outra convencao, usada especialmente na Teoria das Probabilidades, que difere da definicao usada em Fısica por um reescalonamento. O leitor deve, por isso, ter cuidado ao comparar nossas expressoes com outras usadas em textos da Teoria das Probabilidades.

No caso em que z e restrita a ser uma variavel real, chamemo-la x, e possıvel demonstrar que se λ for real e as series acima forem infinitas, entao ambas comportam-se, para |x| grande, como funcoes que crescem mais rapido que exp(x2/2). Isso e provado no Apendice 1.C, pagina 522, e, por outros meios, em [121] ou em [17]. No contexto da Mecanica Quantica esse fato e indesejado, pois conduz a funcoes de onda que nao sao de quadrado integravel (vide Secao 17.7, pagina 808). Assim, interessa-nos investigar sob quais circunstancias as series acima podem ser reduzidas a polinomios.

com m = 0, 1, 2,etc. De fato, se λ = 2m, com m = 0, 1, 2, ... etc., a expressao (1.17) diz-nos que 0 = cm+2 =

Como vemos facilmente por (1.17), isso se da apenas quando λ for um numero inteiro nao-negativo e par: λ = 2m, λ sera um polinomio de ordem m e caso m for ımpar, y (1) λ sera um polinomio de ordem m.

Defina-se, assim,

ou seja,

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De maneira compacta, podemos escrever isso da seguinte forma

A demonstracao pode ser encontrada no Apendice 1.D, pagina 523. E. 1.2 Exercıcio. Tente mostrar isso sem ler o Apendice 1.D. 6

As funcoes Hm(z) sao polinomios de grau m e sao denominados polinomios de Hermite. Os fatores (−2)m/2 (m−1)!! e −(−2)(m+1)/2 (m!!) provem de uma convencao historica sobre a normalizacao dos polinomios de Hermite. Os quatro primeiros sao como facilmente se ve pela definicao acima. Cada polinomio de Hermite Hm e solucao da equacao de Hermite com m inteiro positivo. Como mencionamos, essa equacao possui ainda uma segunda solucao que, embora finita para todo z ∈ C, cresce muito rapidamente quando z e real e |z| → ∞, o que elimina seu interesse no contexto da Mecanica Quantica (especificamente, no problema do oscilador harmonico).

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