nc - cap10

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(Parte 1 de 6)

Capıtulo 10

Sistemas de Equacoes Diferenciais Ordinarias

Lineares

10.1 Introducao394
10.2 Unicidade e Existencia de Solucoes394
10.2.1 Unicidade394
10.2.2 Existencia. A Serie de Dyson397
10.2.3 Propriedades de D(s, t)401
10.3 Equacoes com Coeficientes Constantes403
10.3.1 Alguns Exemplos e Aplicacoes405
10.4 Perturbacoes de Sistemas Lineares409
10.5 Mais sobre a Serie de Dyson. Produtos de Tempo Ordenado412
10.6 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares no Plano Complexo414
10.6.1 O Caso Analıtico415
10.6.2 Resolucao por Series de Potencias419
10.6.3 Sistemas com Pontos Singulares. Monodromia421
10.6.4 Sistemas com Pontos Singulares Simples429
10.7 Sistemas Provenientes de EDOs de Ordem m433
10.7.1 Pontos Singulares Simples em EDO’s de Ordem m434
10.7.2 Singularidades no Infinito437
10.7.3 Alguns Exemplos de Interesse438
10.8 Equacoes Fuchsianas. Sımbolos de Riemann443
10.8.1 Equacoes Fuchsianas de Primeira Ordem443
10.8.2 Equacoes Fuchsianas de Segunda Ordem447
10.8.3 A Equacao de Riemann-Papperitz. Sımbolos de Riemann455
10.8.3.1 Transformacoes de Simetria dos Sımbolos de Riemann457
10.8.3.2 Equacoes Fuchsianas com tres pontos singulares e a equacao hipergeometrica460
10.9 Exercıcios Adicionais463

Conteudo remos neste capıtulo estudar sistemas de equacoes diferenciais lineares ordinarias, com particular atencao a sistemas de equacoes diferenciais lineares associados a equacoes diferenciais lineares de ordem n. Demonstraremos alguns teoremas basicos e apresentaremos metodos de solucao, com particular destaque para a serie de Dyson. Alguns exemplos de interesse fısico serao discutidos com certo detalhe. Inicialmente trataremos sistemas dependentes de uma variavel real e mais adiante, a partir da Secao 10.6, pagina 414, generalizaremos nossos resultados para sistemas dependentes de uma variavel complexa. Tal generalizacao e particularmente importante para o tratamento de sistemas de equacoes diferenciais provenientes de equacoes diferenciais ordinarias lineares de ordem n, ja que metodos de resolucao de tais equacoes, como o metodo de Frobenius, estao intimamente relacionados a propriedades analıticas dos coeficientes da equacao. Diversas propriedades de equacoes diferenciais no plano complexo e de suas solucoes sao discutidas, com particular enfase na estrutura de suas singularidades e propriedades de monodromia, as quais estao intimamente ligadas ao metodo de Frobenius, como discutiremos. A Secao 10.8, pagina 443, discute as chamadas equacoes Fuchsianas e algumas de suas propriedades. Sua leitura e parcialmente dispensavel para o que se lhe segue, mas podera elucidar alguns aspectos da teoria das equacoes diferenciais no plano complexo, em particular, das equacoes hipergeometricas.

O presente capıtulo sera continuado no Capıtulo 1, pagina 467, onde discutiremos a solucao de equacoes diferenciais ordinarias lineares de ordem 2 utilizando o metodo de expansoes em serie, e utilizando o metodo de Frobenius. Em seguida, no Capıtulo 12, pagina 527, estudaremos propriedades de algumas das solucoes de maior interesse em Fısica.

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Seja t uma variavel real, A(t) uma matriz m × m cujos elementos Aij(t), i, j = 1,, m, sao funcoes contınuas (reais

10.1 Introducao ou complexas) dadas de t e seja F(t) um vetor coluna

onde fi(t), i = 1,, m sao igualmente funcoes contınuas (reais ou complexas) dadas de t. Se Y (t) e um vetor coluna
e dita ser um sistema linear de equacoes diferenciais de primeira ordem, cujas incognitas sao as m funcoes y1(t),, ym(t).

Caso F for identicamente nula o sistema e dito ser um sistema homogeneo e, caso contrario, e dito ser um sistema nao- homogeneo. Estaremos aqui interessados em estudar esses sistemas de equacoes diferenciais quando uma condicao inicial e fornecida, ou seja, quando o valor de Y (t) em um ponto t0 e especificado, tipicamente o valor de Y (t) em t = 0: Y (0) = Y0, com

y01,, y0m sendo constantes (reais ou complexas).

10.2 Unicidade e Existencia de Solucoes

Iremos mais adiante mostrar que, sob as hipoteses acima, o sistema (10.1), submetido a uma condicao inicial Y (0) = Y0, sempre possui solucao. Iremos em verdade exibir um metodo aproximativo para o calculo da solucao.

Para preparar essa discussao devemos primeiramente demonstrar a unicidade da solucao, ou seja, precisamos mostrar que se houver uma funcao Y (t) satisfazendo Y (t) = A(t)Y (t) + F(t) e Y (0) = Y0, entao nao ha outra funcao distinta de Y com essas propriedades. O fato de a solucao ser unica sera de importancia quando discutirmos um metodo para calcular a solucao.

Vamos considerar primeiro o caso mais simples onde a equacao e homogenea Y (t) = A(t)Y (t) e a condicao inicial e

Y (0) = 0. Partiremos desse caso mais simples para poder tratar melhor depois o caso geral. Integrando-se ambos os lados da igualdade Y (t) = A(t)Y (t) entre 0 e t e usando que Y (0) = 0, tem-se

Essa relacao e uma identidade a ser satisfeita pela funcao Y (t) que eventualmente e solucao da equacao Y (t) = A(t)Y (t) com a condicao inicial Y (0) = 0. Observemos que a funcao Y aparece no lado esquerdo e tambem dentro da integral. Como a identidade acima vale para todo t, tem-se tambem que

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Inserindo-se isso na penultima identidade, tem-se

Repetindo-se esse procedimento n vezes chega-se a seguinte identidade:

Lembrando que Y (t) e um vetor cujas componentes sao funcoes yi(t) essa ultima identidade significa para a a-esima componente

Acima, (A(t1)A(t2)···A(tn))ab e o elemento ab da matriz A(t1)A(t2)···A(tn), formada pelo produto de n matrizes. De acordo com a regra de produto de matrizes, (A(t1)A(t2)···A(tn))ab e dado por

Essa relacao implica a seguinte desigualdade

Vamos agora supor (provisoriamente) que t e limitado a um intervalo [0, T] para algum T > 0 finito. Vamos definir

i, j∈{1,, m}
i∈{1,, m}

ou seja α e o maximo valor alcancado pelo modulo dos elementos de matriz Aij(t) quando t varia no intervalo [0, T] e M e o maximo valor alcancado pelo modulo de todas as componentes yi(t) de Y quando t varia no intervalo [0, T]. Note-se que as mencionadas funcoes sao limitadas pois, por hipotese, sao contınuas, e o intervalo [0, T] e finito.

Retornando a (10.5), como todos os |Aij(tk)| sao menores ou iguais a α e todos os |yb(tn)| sao menores ou iguais a M, tem-se que

O fator αn deve-se ao fato que

Claramente, vale que m∑

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 10 396/1730 pois α e M sao constantes. Fora isso, e bem facil constatar que∫ t0 ∫ t

E. 10.1 Exercıcio importante. A ultima igualdade pode ser facilmente provada por inducao. Faca-o. 6 Assim, a desigualdade (10.7) fica

E evidente, agora, que m∑ b=1 m∑ pois ha n somas sucessivas, em cada uma o ındice assume m valores e o somando e sempre constante (nao depende dos ındices).

Concluımos que

Essa desigualdade deve ser satisfeita para t ∈ [0, T] pela a-esima componente da solucao Y da equacao Y = A(t)Y (t) com condicao inicial Y (0) = 0. E importante notar, porem, que o lado esquerdo nao depende de n, que e simplesmente o numero de vezes que repetimos a identidade (10.2) para obter (10.3). O que ocorre, porem, se tomarmos n → ∞? E bem sabido que para qualquer x ≥ 0 fixo tem-se

Assim, tomando-se em (10.8) o limite n → ∞ em ambos os lados, conclui-se que ya(t) = 0 para todo a e todo t ∈ [0, T]. Como T foi escolhido arbitrario, segue que ya(t) = 0 para todo t e todo a.

Em resumo, concluımos que se Y e solucao da equacao Y = A(t)Y (t) com condicao inicial Y (0) = 0 entao Y (t) = 0 para todo t. Nao ha, portanto, outra solucao que nao a funcao nula para a equacao homogenea Y = A(t)Y (t) com condicao inicial Y (0) = 0.

O que podemos dizer do caso geral da equacao Y = A(t)Y (t) + F(t) com uma condicao inicial Y (0) = Y0? Vamos supor que Y e X sao duas solucoes satisfazendo a mesma condicao inicial, ou seja, Y (0) = X(0) = Y0. Definindo Z(t) = Y (t) − X(t) tem-se Z(0) = Y (0) − X(0) = Y0 − Y0 = 0 e

Assim, Z e solucao da equacao homogenea Z(t) = A(t)Z(t) com a condicao inicial Z(0) = 0. Pelo que acabamos de ver, Z e identicamente nula, o que prova que Y = X.

Isso provou entao que a equacao Y = A(t)Y (t) + F(t) com uma condicao inicial Y (0) = Y0 tem tambem solucao unica, se houver. Provaremos adiante que ha uma solucao e mostraremos como calcula-la.

Finalmente, observamos que todas as conclusoes apresentadas acima permanecem se a condicao inicial for fixada nao em t = 0 mas num ponto t0 qualquer.

• Uma propriedade da solucao das equacoes homogeneas

As demonstracoes que apresentamos acima tem mais uma consequencia para as solucoes das equacoes homogeneas Y (t) = A(t)Y (t), consequencia essa da qual faremos uso mais adiante:

Lema 10.1 A solucao Y (t) de uma equacao homogenea Y (t) = A(t)Y (t) anula-se em um ponto t0, Y (t0) = 0 se e somente se Y (t) for nula para todo t. 2

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Prosseguindo como antes, concluiremos que

onde

i, j∈{1,, m}
i∈{1,, m}

o intervalo [0, T] sendo escolhido grande o suficiente para conter t e t0. Tomando o limite n → ∞ em (10.9), concluımos que ya(t) = 0. Como isso vale para um t arbitrario, segue que Y (t) e identicamente nula.

10.2.2 Existencia. A Serie de Dyson

Uma vez demonstrada a unicidade da eventual solucao de uma equacao como Y = A(t)Y (t) + F(t) com condicao inicial

Y (0) = Y0 precisamos demonstrar que a solucao existe. E a melhor maneira de demonstrar a existencia de solucao de uma equacao diferencial e exibindo uma.

Para s e t reais, seja D(t, s) a matriz m × m definida por

Seja tambem D(t) definida por D(t) = D(t, 0), ou seja,

Algumas paginas adiante (pagina 403) provaremos que vale entre D(t, s) e D(t) a seguinte relacao: D(t, s) = D(t)D(s)−1.

A serie do lado direito de (10.10) e (10.1)e frequentemente denominada serie de Dyson1, denominacao esta empregada especialmente em textos sobre Mecanica Quantica e Teoria Quantica da Campos.

Afirmamos que a equacao Y = A(t)Y (t) + F(t) com uma condicao inicial Y (0) = Y0 tem solucao, a qual e dada por

expressao essa por vezes denominada princıpio de Duhamel2 na literatura. A demonstracao sera feita provando-se que o lado direito satisfaz a equacao diferencial e a condicao inicial. Como a solucao e unica (pelo provado acima), infere-se que nao pode haver outra que nao (10.12). Note-se, em particular, que pelo dito acima, a equacao homogenea Y = A(t)Y (t) com condicao inicial Y (0) = Y0 tem por solucao

O estudante deve ter em mente que a expressao (10.12) generaliza o metodo de variacao de constantes apresentado na

Secao 9.4, pagina 381. De fato, como veremos adiante, D(t, s) e identica a matriz Wronskiana das solucoes linearmente independentes da equacao homogenea.

1Freeman J. Dyson (1923–). Denominamos a serie de (10.10) e (10.1) serie de Dyson, pois essa nomenclatura e comummente empregada na Mecanica Quantica e na Teoria Quantica de Campos. Dyson chegou a essa serie estudando problemas de teoria de perturbacoes na Teoria Quantica de Campos. Sua origem, porem, remonta pelo menos a trabalhos de Volterra de 1890. Em Teoria Quantica de Campos aquelas series sao tambem denominadas “exponenciais de tempo ordenado”. 2Jean Marie Constant Duhamel (1797–1872).

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Comecemos por mostrar que as series que aparecem em (10.10) e (10.1) sao convergentes, sem o que ambas as expressoes nao fariam sentido. Denotando por Dab(t, s) o elemento ab da matriz D(t, s), temos

Limitando provisoriamente t e s a um intervalo finito [0, T] e usando a definicao de α dada em (10.6), temos

αn m∑

Isso mostra que, para cada elemento de matriz ab, a serie do lado direito de (10.10) e absolutamente convergente, e isso para todo s e t.

Para mostrar que (10.12) representa de fato a solucao procurada, vamos mostrar que

Isso, em particular, diz que d

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De fato,

como querıamos provar. Acima, na quinta igualdade, fizemos uma serie de mudancas de nomes das variaveis de integracao, chamando t2 de t1, t3 de t2 etc.

De maneira analoga prova-se tambem que

E tambem evidente pela definicao (10.10) que para todo t vale D(t, t) = . Analogamente, vale D(0) = . Retornando a equacao (10.12), notemos que calculando o lado direito em t = 0 temos

mostrando que o lado direito de (10.12) satisfaz a condicao inicial Y (0) = Y0. Derivando o lado direito de (10.12) em relacao a t, tem-se

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 10 400/1730 provando que lado direito de (10.12) satisfaz a equacao diferencial. Como a solucao e unica, ela deve ser aquela dada em (10.12).

• Observacoes

A serie de Dyson em (10.10) e (10.1) fornece a solucao do sistema de equacoes Y (t) = A(t)Y (t) + F(t) atraves de (10.12). Devemos fazer notar, porem, que a serie de Dyson nao e o unico meio de obter solucoes dessas equacoes. Em alguns casos particulares outros metodos podem ser mais eficazes, especialmente se estivermos interessados em obter solucoes em termos de funcoes conhecidas ou de expansoes em serie. Tal e o caso, por exemplo, se os elementos de matriz de A(t) e F(t) sao funcoes analıticas de t ou possuem singularidades “fracas”, quando o chamado metodo de expansao em serie de potencias ou o metodo de Frobenius podem ser empregados (vide para tal o Capıtulo 1, pagina 467). Em muitos casos a serie de Dyson nao e util quando se pretende obter solucoes explıcitas, devido a complexidade de se calcular explicitamente os produtos de matrizes A(t1)···A(tn) e suas integrais.

A serie de Dyson e, porem, bastante eficiente quando o interesse e obter solucoes por metodos numericos, ja que a mesma e rapidamente convergente. A serie de Dyson e tambem muito util quando se tem pela frente problemas de teoria de perturbacoes. Isso sera discutido com mais detalhe na Secao 10.4. Foi, alias, estudando problemas de teoria de perturbacoes na Teoria Quantica de Campos que Dyson chegou aquela serie, inspirado provavelmente nos metodos iterativos de solucao da equacao integral de Volterra (o leitor interessado pode estudar o tratamento da equacao integral de Volterra feito na Secao 2.3, pagina 1061, mas isso e dispensavel para o que segue).

A serie de Dyson possui generalizacoes para espacos de Hilbert e de Banach e mesmo quando A(t) e uma famılia de operadores nao-limitados. O leitor interessado podera estuda-las em [153].

Um caso particular importante da solucao via serie de Dyson e aquele no qual a matriz A(t) e constante, ou seja, nao depende da variavel t. Trataremos disso na Secao 10.3, pagina 403. Outras representacoes e propriedades da serie de Dyson sao apresentadas na Secao 10.5, pagina 412.

• Equacoes matriciais

Ate agora estudamos equacoes da forma Y (t) = A(t)Y (t) + F(t), com condicao inicial Y (0) = Y0, onde A(t) e uma matriz m × m e onde Y e F sao vetores coluna com m componentes:

Consideremos agora a equacao M(t) = A(t)M(t)+G(t), com condicao inicial M(0) = M0, onde A(t), G(t) e M(t) sao matrizes m×m, a incognita sendo a matriz M(t). Veremos facilmente que podemos tratar esse problema com os mesmos metodos do anterior, onde a incognita era um vetor coluna Y de m componentes e nao uma matriz quadrada.

De fato, como toda matriz m × m, as matrizes M(t) e G(t) sao da forma (para notacao, vide pagina 237)

M1(t),, Mm(t)
G1(t),, Gm(t)

onde Mi(t) e Gi(t) sao vetores coluna com m componentes, representando a i-esima coluna das matrizes M(t) e G(t), respectivamente.

M1(t),, Mm(t)
A(t)M1(t),, A(t)Mm(t)
G1(t),, Gm(t)

ou seja, tem-se um conjunto de m sistemas de equacoes independentes do tipo que tratamos acima, onde as incognitas sao vetores coluna.

Para cada uma dessas equacoes vale o teorema de unicidade de solucoes que provamos acima. Assim concluımos que a equacao matricial M(t) = A(t)M(t) + G(t), com condicao inicial M(0) = M0 tem solucao unica.

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D(t, s)Gi(s) ds , i = 1,, m .

0 Reunindo as colunas Mi novamente na matriz M, temos

Consideremos novamente a equacao homogenea Y (t) = A(t)Y (t) com a condicao inicial Y (0) = Y0. Sabemos que sua solucao (unica) e Y (t) = D(t)Y0, onde D(t) e dada em (10.1). Sejam ek os vetores da base canonica:

,, em =

Definimos Y k(t) := D(t)ek para k = 1,...,m. Cada Y k(t) e solucao da equacao homogenea Y (t) = A(t)Y (t) com a condicao inicial Y (0) = ek. Um vetor Y0 representando uma condicao inicial generica

pode ser escrita na base canonica como

Assim, se Y (t) e solucao da equacao homogenea Y (t) = A(t)Y (t) com a condicao inicial Y (0) = Y0 temos que

funcoes Y 1(t),, Y m(t), os coeficientes sendo as componentes y0k do vetor Y0 na base canonica.

Em resumo, todas as solucoes da equacao homogenea Y (t) = A(t)Y (t) podem ser escritas como combinacoes lineares das

de funcoes {Y 1(t),, Y m(t)} e denominado sistema fundamental ou sistema integral ou ainda base integral de solucoes

Em virtude dessas e de outras propriedades que ainda estudaremos e importante estudar as funcoes Y k(t). O conjunto da equacao Y (t) = A(t)Y (t). O conceito de sistema fundamental de solucoes foi introduzido por Fuchs3 em 1866.

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