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Capıtulo 9

Alguns Metodos de Resolucao de Equacoes

Diferenciais Ordinarias

9.1 Solucao de Equacoes Ordinarias Lineares de Primeira Ordem377
9.2 As Equacoes de Bernoulli e de Riccati378
9.3 Integracao de Equacoes Separaveis380
9.4 O Metodo de Variacao de Constantes381
9.5 O Metodo de Substituicao de Prufer382
9.6 O Metodo de Inversao384
9.7 Solucao de Equacoes Exatas e o Metodo dos Fatores Integrantes385
9.8 Solucoes das Equacoes de D’Alembert-Lagrange e Clairaut389

Conteudo problema de encontrar metodos de resolucao de equacoes diferenciais ordinarias tem cativado a imaginacao e instigado a engenhosidade de geracoes de cientistas e matematicos. Muitas informacoes sobre o comportamento de solucoes de equacoes diferenciais ordinarias podem ser obtidas sem que essas solucoes sejam conhecidas explicitamente, mas esse conhecimento explıcito e muitas vezes desejavel, pois assim o poder de previsao de teorias e modelos torna-se evidentemente maior. Neste capıtulo apresentaremos algumas das diversas situacoes felizes nas quais metodos de resolucao de equacoes diferenciais ordinarias foram encontrados. Todos os metodos apresentados tem sua validade e sua eficacia limitadas a certas classes de equacoes. No Capıtulo 1, pagina 467, desenvolveremos com bastante detalhe metodos de solucao de equacoes lineares baseados em expansoes, a saber, o metodo de expansao em series de potencias e o metodo de Frobenius, validos para equacoes diferenciais lineares gozando de certas propriedades de analiticidade. Com o proposito de centrar a discussao nos metodos de solucao, nao trataremos aqui de questoes relativas a continuidade de solucoes em relacao a parametros e condicoes iniciais e ao domınio de validade de solucoes. Essas questoes sao discutidas na Secao 8.3, pagina 367. Metodos iterativos, perturbativos ou numericos tambem nao serao discutidos neste capıtulo. Dada a profusao de metodos de solucao de equacoes diferenciais (uma ciencia que se desenvolve ja ha mais de trezentos anos!), nossa apresentacao sera, reconhecidamente, limitada. Para um texto introdutorio sobre equacoes diferenciais ordinarias centrado em metodos de solucao, vide [2].

9.1 Solucao de Equacoes Ordinarias Lineares de Primeira Ordem

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem sao particularmente interessantes pois, sob hipoteses simples, e possıvel apresentar solucoes gerais para as mesmas e de modo relativamente facil. Infelizmente a mesma facilidade nao e encontrada para o caso das equacoes diferenciais lineares de ordem dois ou maior. Considere-se a equacao diferencial ordinaria linear de primeira ordem y(t) + a(t)y(t) = b(t) , (9.1) para funcoes a e b : R → C, contınuas. Vamos mostrar como resolver uma tal equacao. Para tal, defina-se

Multiplicando-se (9.1) por p(t) e usando o fato que p(t) = a(t)p(t), teremos

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 9 378/1730 donde conclui-se que

E. 9.1 Exercıcio. Complete os detalhes. 6

Essa expressao representa a solucao geral de (9.1), a qual depende do valor de y(0), a ser especificado (condicao inicial).

enquanto que p(t)−1 ∫ t 0 b(τ)p(τ)dτ e solucao particular da equacao nao-homogenea (9.1). Verifique essas afirmacoes. 6

Naturalmente, para o calculo explıcito de y e necessario calcular a integral ∫ t

0 a(τ)dτ que aparece na definicao de p, assim como, numa segunda etapa, a integral ∫ t

0 b(τ)p(τ)dτ. Como essas funcoes sao conhecidas, isso pode ser possıvel, em princıpio, mas nem sempre obtem-se formulas explıcitas para as mencionadas integrais. Ainda assim, (9.2) representa a solucao completa do problema. Na pior das hipoteses as integrais mencionadas podem ser calculadas numericamente de modo aproximado.

A solucao (9.2) de (9.1) pode ser reobtida com o metodo dos fatores integrantes, tal como descrito no Exemplo 9.3, pagina 387.

9.2 As Equacoes de Bernoulli e de Riccati

• A equacao de Bernoulli Para a e b : R → C, ambas contınuas, a equacao diferencial ordinaria nao-linear homogenea de primeira ordem e denominada equacao de Bernoulli1. Apesar desta equacao ser um dos representantes mais simples da classe das equacoes diferenciais nao-lineares, a nao-linearidade da mesma nao acrescenta nenhuma barreira a sua solubilidade, pois a simples substituicao y(t) = 1/v(t) conduz a equacao

onde

Portanto, a solucao geral de (9.3) e

E. 9.3 Exercıcio. Complete os detalhes. 6 1Jacob Bernoulli (1654–1705). Vide nota historica a pagina 380.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 9 379/1730

E. 9.4 Exercıcio. Determine a solucao geral da equacao de Bernoulli generalizada y(t) + a(t)y(t) + b(t)y(t)n = 0 , n 6= 1. Sugestao: Defina v por y(t) = v(t) e proceda como acima. 6

As equacoes de Bernoulli sao um caso particular de uma classe maior de equacoes diferenciais ordinarias nao-lineares, as chamadas equacoes de Riccati generalizadas.

• A equacao de Riccati generalizada Para a, b e c : R → C, contınuas, a equacao diferencial ordinaria nao-linear nao-homogenea de primeira ordem e denominada equacao de Riccati2.

Ao contrario da equacao de Bernoulli, a equacao de Riccati generalizada nao e, em geral, soluvel. Apenas em casos particulares ha solucoes mais ou menos explıcitas para as mesmas, normalmente em termos de expansoes em serie, como expansoes em serie de potencias.

Apesar de sua nao-solubilidade generica (em contraposicao com a equacao de Bernoulli, que e tambem nao-linear mas soluvel), e possıvel obter a solucao geral de (9.4) se uma solucao particular sua for conhecida. De fato, se u e uma solucao particular conhecida de (9.4) entao a solucao geral e da forma

E. 9.5 Exercıcio. Verifique isso, substituindo y = u + v em (9.4) e usando a hipotese que u e solucao de (9.4). 6

Assim, conhecida a funcao u, a solucao geral da equacao de Riccati generalizada e

E. 9.6 Exercıcio. Complete os detalhes. 6

Observemos que qualquer equacao diferencial ordinaria linear homogenea de segunda ordem associa-se naturalmente a uma equacao de Riccati generalizada. De fato, dada a equacao com a e b : R → C contınuas, o Ansatz w(t) = exp (∫ t y(τ)dτ) conduz a que e uma equacao de Riccati generalizada. 2Jacopo Francesco Riccati (1676–1754).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 9 380/1730

E. 9.7 Exercıcio. Complete os detalhes. 6

• Nota historica

A equacao de Riccati generalizada deve seu nome ao matematico e conde veneziano Iacopo Francesco Riccati (1676– 1754), que estudou a equacao diferencial

com α constante e n ∈ N, em monografia publicada em 1724 sem, no entanto, resolve-la. A equacao fora previamente estudada por Johann Bernoulli (1667–1748) em trabalho de 1694, sem que este apresentasse solucao para a mesma. Jacob Bernoulli (1654–1705), que honrou com seu nome a equacao (9.3), resolvida por ele em 1696, tambem estudara (9.6) e encontrara em 1703 uma solucao para a mesma em termos de uma razao de serie de potencias, que entao expressou como uma serie de potencias simples. Somente em 1841 Joseph Liouville (1809–1882) demonstrou que a solucao de (9.6) nao pode ser expressa em termos de funcoes elementares. Em notacao moderna a solucao geral de (9.6) e

onde A e uma constante e Jν sao funcoes de Bessel de primeiro tipo e ordem ν.

Equacoes do tipo (9.5) sao hoje denominadas simplesmente equacoes de Riccati. A associacao do nome de Riccati a tais equacoes (e nao dos nomes de Johann Bernoulli ou Jacob Bernoulli) e parcialmente devida ao fato de (9.5) ser ligeiramente mais geral que (9.6) e as referencias ao trabalho de Riccati feitas por outro Bernoulli, Daniel Bernoulli (1700–1782), que estudou as equacoes (9.5) em trabalho datado de 1725. Daniel Bernoulli menciona que solucoes de equacoes como (9.5) foram obtidas anteriormente por Johann Bernoulli, Nicolaus Bernoulli e Nicolaus Bernoulli I. A desconsideracao de Daniel Bernoulli pela contribuicao previa de seu tio Jacob Bernoulli deve-se talvez a rivalidade deste com seu irmao Johann Bernoulli, pai de Daniel Bernoulli, mas talvez seja meramente consequencia do fato de sua epoca nao estar ainda preparada para aceitar solucoes de equacoes diferenciais em termos de series infinitas. De fato, em seu trabalho, Daniel Bernoulli preocupou-se em apontar casos em que (9.5) pode ser resolvida por series finitas, a saber, quando n e a forma −4m/(2m± 1), com m inteiro.

O metodo acima descrito de obter a solucao geral da equacao de Riccati generalizada a partir de uma solucao particular e devido a Leonhard Euler (1707–1783) e publicado em 1764.

Para mais notas historicas sobre as equacoes (9.5) e (9.6) e sua relacao com as funcoes de Bessel, vide por exemplo [199], Capıtulo I.

9.3 Integracao de Equacoes Separaveis

Entre as equacoes diferenciais de resolucao mais simples encontram-se as chamadas equacoes separaveis. Uma equacao diferencial ordinaria de primeira ordem e dita ser uma equacao separavel3 se for da forma

para funcoes f e g convenientes. Consideremos a condicao inicial y(x0) = y0 para algum x0. Definindo,

caso as integrais existam, teremos, caso y(x) satisfaca (9.7),

3Ha tambem uma nocao de equacao separavel na teoria das equacoes diferenciais parciais (vide Secao 13.3, pagina 612), mas trata-se de outra coisa.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 9 381/1730

Logo, d dxA(

= B(x) + c, c sendo uma constante. Como B(x0) = 0, segue que c = A(y0) = 0 (caso y(x0) = y0) e, consequentemente, A(y(x)) = B(x) Se a funcao A possuir uma inversa em algum aberto em torno de y0, teremos

como solucao de (9.7) (com a condicao inicial y(x0) = y0) em um aberto em torno de x0.

E interessante notar que, pelo Teorema da Funcao Inversa4, A e inversıvel em um aberto torno de y0 se A′ for contınua e A′(y0) 6= 0. Assim, a condicao 1 g(y ) 6= 0 garante a existencia da solucao y dada em (9.8) para uma vizinhanca de x0.

E. 9.8 Exercıcio. Determine a solucao de

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