nc - cap17

nc - cap17

(Parte 1 de 13)

Capıtulo 17 Alguns Problemas Selecionados de Interesse Fısico

17.1 Deducao de Algumas Equacoes Diferenciais de Interesse744
17.1.1 Deducao Informal da Equacao de Difusao de Calor744
17.1.2 Deducao Informal da Equacao da Corda Vibrante748
17.2 As Equacoes de Helmholtz e de Laplace754
17.2.1 Problemas em Duas Dimensoes em Coordenadas Polares756
17.2.2 Problemas em Tres Dimensoes em Coordenadas Esfericas758
17.3 Problemas de Difusao em uma Dimensao761
17.3.1 A Evolucao da Temperatura de uma Barra Finita761
17.3.2 A Evolucao da Temperatura de uma Barra Infinita765
17.3.3 A Evolucao da Temperatura de uma Barra Semi-Infinita770
17.4 A Equacao de Ondas775
17.4.1 A Equacao de Ondas em 1 + 1 Dimensoes775
17.4.2 Interludio: Ondas Caminhantes e a Equacao do Telegrafo778
17.4.3 Outro Interludio: Solitons781
17.4.3.1 Solitons na Equacao de Korteweg-de Vries782
17.4.3.2 Solitons na Equacao de Sine-Gordon783
17.4.3.3 Solitons no Modelo de Poco-Duplo784
17.4.3.4 Solitons na Equacao de Schrodinger Nao-Linear786
17.4.4 A Equacao de Ondas e Transformadas de Fourier790
17.4.4.1 A Equacao de Ondas em 3 + 1 Dimensoes. A Solucao de Kirchhoff793
17.4.4.2 A Equacao de Ondas em 2 + 1 Dimensoes794
17.5 O Problema da Corda Vibrante796
17.5.1 Corda Vibrante Homogenea797
17.5.2 O Problema da Corda Homogenea Pendurada799
17.5.3 Corda Vibrante Nao-Homogenea801
17.5.4 O Problema da Membrana Retangular Homogenea804
17.6 O Problema da Membrana Circular Homogenea806
17.7 O Oscilador Harmonico na Mecanica Quantica e a Equacao de Hermite808
17.8 O Atomo de Hidrogenio e a Equacao de Laguerre Associada810
17.9 Propagacao de Ondas em Tanques Cilındricos812
17.10 Equacoes Hiperbolicas Lineares em 1+1 Dimensoes e Equacoes Integrais820
17.1 Aplicacoes do Metodo da Funcao de Green827
17.1.1 A Equacao de Poisson em Tres Dimensoes828
17.1.2 A Equacao de Difusao Nao-Homogenea829
17.1.3 A Equacao de Ondas Nao-Homogenea em n + 1-Dimensoes831
17.1.3.1 A Equacao de Ondas Nao-Homogenea em 3 + 1-Dimensoes835
17.1.3.2 Aplicacoes a Eletrodinamica. Potenciais Retardados837
17.1.3.3 A Equacao de Ondas Nao-Homogenea em 2 + 1-Dimensoes840
17.1.3.4 A Equacao de Ondas Nao-Homogenea em 1 + 1-Dimensoes842
17.12 Exercıcios Adicionais844
17.12.1 Problemas Selecionados de Eletrostatica844
17.12.2 Barras Condutoras de Calor em uma Dimensao847
17.12.3 Cordas Vibrantes em uma Dimensao850
17.12.4 Modos de Vibracao de Membranas854
17.12.5 Problemas sobre Ondas e Difusao em Tres Dimensoes Espaciais858
17.12.6 Problemas Envolvendo Funcoes de Green860
APENDICES861
17.A Duas Transformadas de Laplace861

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 17 744/1730 este capıtulo discutiremos aplicacoes em problemas fısicos de varios dos metodos que discutimos alhures de resolucao de equacoes diferenciais e integrais. Por exemplo, trataremos de alguns problemas fısicos dos quais emergem algumas das equacoes diferenciais ordinarias que estudamos em capıtulos anteriores, tais como as equacoes de Euler, de Bessel, de Legendre, de Legendre associada, de Bessel esferica, de Hermite, de Laguerre e de Laguerre associada. O estudante que estiver procurando a motivacao e a origem fısica daquelas equacoes podera ler parcialmente o presente capıtulo sem precisar dominar totalmente o material anteriormente apresentado, pelo menos ate o ponto em que apresentarmos as solucoes das equacoes. Tambem evocaremos no que segue o chamado metodo de separacao de variaveis e alguns teoremas de unicidade de solucao de equacoes a derivadas parciais. Tais assuntos sao discutidos no Capıtulo 13 ao qual o estudante podera (devera) passar sem perdas, se julgar necessario. Faremos uso de diversas das propriedades estudadas no Capıtulo 12, pagina 527, especialmente das relacoes de ortogonalidade.

Na Secao 17.1 apresentamos a deducao de algumas equacoes a derivadas parciais de maior interesse em aplicacoes fısicas, como a equacao de difusao e a equacao da corda vibrante. Nosso tratamento sera primordialmente informal, mas procuraremos obter equacoes bastante gerais e discutir a origem fısica das condicoes de contorno mais comummente usadas.

A Secao 17.12, pagina 844, contem diversos outros problemas de interesse na forma de exercıcios.

17.1 Deducao de Algumas Equacoes Diferenciais de Interesse

Nesta secao apresentaremos deducoes de natureza matematicamente informal (mas fisicamente geral) das equacoes de difusao de calor e das equacoes da corda vibrante (em particular, da equacao de ondas em uma dimensao). Essa apresentacao e aqui realizada em benefıcio do estudante e esta secao diferencia-se das demais secoes deste capıtulo pois nela nao trataremos de metodos de solucao das equacoes. A escolha das equacoes de difusao de calor e das equacoes da corda vibrante decorre de serem essas equacoes frequentemente encontradas em problemas fısicos, assim como as equacoes de Helmholtz e de Laplace, as quais encontraremos na Secao 17.2, pagina 754. Essas sao tambem prototipos de equacoes a derivadas parciais de segunda ordem de tipo parabolico (equacao de difusao), hiperbolico (equacao de ondas) e elıptico (equacao de Laplace), conforme a classificacao discutida no Capıtulo 13, pagina 597 (vide Secao 13.2.2, pagina 608).

17.1.1 Deducao Informal da Equacao de Difusao de Calor

Nesta secao apresentaremos uma deducao informal da equacao de difusao de calor em materiais solidos. Nosso tratamento e informal por duas razoes fortemente relacionadas. Em primeiro lugar, pois fazemos uso da chamada Lei de Fourier da difusao de calor (vide adiante), a qual, ainda que largamente validada empiricamente, carece ate o presente de uma justificativa microscopica em termos de um tratamento estatıstico do movimento de atomos e moleculas que compoe o material estudado e suas interacoes. De fato, a justificativa teorica da Lei de Fourier e assunto corrente de pesquisa, sendo um dos mais importantes problemas em aberto da Mecanica Estatıstica. Em segundo lugar, nosso tratamento pressupoe a validade do equilıbrio termodinamico local e da existencia de uma temperatura bem definida em cada ponto do material em cada instante de tempo, mesmo em situacoes nas quais ocorra troca de calor. Essa hipotese, ainda que aceitavel em situacoes nas quais o fluxo termico nao seja grande, carece de validade geral e sua justificativa em termos dos princıpios da Mecanica Estatıstica ainda esta longe de ser satisfatoria.

Consideremos um material solido no qual calor possa ser transferido por difusao de um ponto a outro (nao consideraremos, portanto, transporte de calor por conveccao, como ocorre em lıquidos e gases, ou por radiacao). Denotemos por u(~x, t) a temperatura desse material no ponto ~x no instante t. Nossa tarefa e encontrar uma equacao diferencial que permita determinar a evolucao temporal e espacial de u(~x, t) e que, portanto, expresse as leis fısicas que regem a difusao de calor em corpos solidos.

O princıpio fısico fundamental que rege o processo de difusao de calor e a chamada Lei de Fourier, proposta com base

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 17 745/1730 em informacoes empıricas por J. Fourier1 em seu importante trabalho “Theorie Analytique de la Chaleur”, publicado em 18222, a qual afirma o seguinte: seja uma superfıcie orientada infinitesimal de area dσ situada em uma posicao ~x cujo vetor normal seja ~n (com ‖~n‖ = 1). Entao, a quantidade de calor que atravessa essa superfıcie por unidade de tempo no sentido definido por ~n e dada por

onde d~σ := ~ndσ e onde κ(~x, t) ≥ 0 e uma quantidade caracterıstica do material (e que pode depender da posicao, do tempo e mesmo da temperatura u(~x, t)) denominada condutibilidade termica.

Assim, dado um volume V do material (suporemos V compacto) delimitado por uma superfıcie orientada ∂V , a quantidade de calor que entra em V atraves de ∂V por unidade de tempo e, segundo a Lei de Fourier, dada pela integral

de superfıcie δQ∂V

(Acima, d~σ e orientada para o exterior de V ). Naturalmente, aplicando o Teorema de Gauss, podemos escrever o lado direito em termos de uma integral de volume:

Se houver em V uma fonte de calor interna (por exemplo, radioatividade, reacoes quımicas etc.), produzindo uma quantidade de calor por unidade de volume descrita por uma funcao Φ(~x, t) (e que pode tambem depender de u(~x, t)), o calor total produzido por essa fonte interna em V por unidade de tempo sera dada por

Assim, a quantidade de calor total que entra ou e produzida em V por unidade de tempo e dada por

Em um intervalo de tempo ∆t a quantidade de calor δQ que entra ou e produzida em V e distribuıda nesse volume, provocando uma variacao de temperatura em cada ponto de u(~x, t) a u(~x, t + ∆t). Sejam ρ(~x, t) e c(~x, t) a densidade de massa do material e, respectivamente, o calor especıfico do material, no ponto ~x no instante de tempo t. Com isso, a quantidade de calor que entra em um volume dv no material (cuja massa e ρ(~x, t)dv) durante o intervalo ∆t sera dada por ρ(~x, t)c(~x, t)( u(~x, t + ∆t) − u(~x, t)) dv. Logo, a quantidade de calor δQ que entra em V e dada por

) dv e tomando-se o limite ∆t → 0, obtemos

Como essa igualdade e valida para qualquer volume V como especificado, concluımos que

A expressao (17.4) e a procurada equacao que rege o processo de difusao de calor e e, naturalmente, denominada equacao de difusao de calor. Lembremos que ρ, c, assim como κ e Φ podem depender nao so da posicao e do tempo, mas tambem da temperatura u.

1Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830). 2As raızes do trabalho de Fourier podem ser tracadas ate Newton, com sua lei do esfriamento dos corpos.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 17 746/1730

Como o estudante pode constatar, a equacao (17.4) e uma equacao a derivadas parciais de segunda ordem de tipo parabolico. Vide Secao 13.2.2, pagina 608.

Um caso de particular interesse se da quando o termo de fonte Φ esta ausente e o meio material considerado e homogeneo, situacao na qual ρ, c e κ sao constantes. Nesse caso, (17.4) reduz-se a onde D = κ ρc e a chamada constante de difusao termica e ∆u, o chamado Laplaciano de u, e definido por ∆u := ∇ · ~∇u.

A equacao (17.5) e tambem denominada equacao de difusao de calor ou equacao de difusao de calor homogenea. Se incluirmos uma fonte termica interna, a equacao para um meio homogeneo (17.5) ficara na forma

• Comentarios sobre condicoes de contorno em processos de difusao de calor

Para a resolucao de equacoes como (17.4), (17.5) ou (17.6) sao tipicamente fornecidas informacoes sobre a funcao u no instante de tempo inicial, digamos, t = 0, ou seja, sendo u0 uma funcao dada que descreve a distribuicao inicial de temperatura no material considerado (condicao inicial). E necessario, porem, agregar informacoes que descrevam o processo de troca de calor entre a superfıcie do meio material considerado e o meio externo. Em geral, essas informacoes sao tambem resultantes da imposicao da Lei de Fourier, como discutiremos a seguir.

Vamos supor que o meio material que estamos a considerar ocupe um volume finito W do espaco delimitado por uma superfıcie orientada ∂W, estando em cada ponto ~y ∈ ∂W em contacto com um meio externo. De acordo com a Lei de

Fourier, o fluxo de calor por unidade de area para dentro de W atraves de ∂W em ~y e dado por −κ(~y, t)∂u ∂n(~y, t), onde

∂n(~y, t) e a derivada normal de u em ~y no instante t, ou seja, ∂u ∂n = ~∇u · ~n, com ~n sendo o vetor normal a ∂W em ~y apontando para fora de W com ‖~n‖ = 1.

Assim, se o meio material estiver em contacto termico com uma fonte de calor que injete no mesmo um fluxo de calor por unidade de area q(~y, t) na posicao ~y ∈ ∂W, devemos impor a condicao

Se, por exemplo, a fonte de calor for um meio externo a temperatura T(~y, t) para cada ~y ∈ ∂W, entao, de acordo com a Lei de Fourier, esse fluxo de calor deve ser proporcional a diferenca de temperatura entre o meio material e o meio externo em cada ponto ~y ∈ ∂W, ou seja, deve-se impor

onde σ(~y, t) ≥ 0 e uma constante, denominada condutibilidade termica, e que caracteriza o contacto termico entre o meio material e o meio externo. σ(~y, t) pode tambem ser dependente das temperaturas T(~y, t) e u(~y, t), ainda que essa dependencia seja, em geral, muito fraca para ser considerada. O estudante deve atentar para o fato que os sinais em (17.8) sao escolhidos de forma que o calor flua de um ponto mais quente para um mais frio.

As relacoes (17.7) e (17.8) representam a lei fısica (Lei de Fourier) que rege a troca de calor com o meio externo atraves da superfıcie ∂W. A relacao (17.8) pode ser escrita como

como facilmente se ve.

As expressoes (17.7) e (17.8) ou (17.9) representam as formas mais gerais de condicao de contorno a serem impostas em processos de difusao de calor que levem em conta a Lei de Fourier, mas ha alguns casos particulares de interesse. Se

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 17 747/1730 valer que κ(~y, t)/σ(~y, t) ≪ 1/∣∣∂u ∂n(~y, t)∣∣ para todo ~y ∈ ∂W e todo t, o que ocorre se o contacto termico entre o meio material e o meio externo for muito bom, entao (17.8) pode ser aproximada por o que significa que a temperatura do meio material e o meio externo igualam-se na superfıcie ∂W.

Outro caso particular de interesse se da quando σ(~y, t)/κ(~y, t) ≪ 1/∣∣u(~y, t) − T(~y, t)∣∣ para todo ~y ∈ ∂W e todo t, o que ocorre se o meio material estiver em mau contacto termico com o meio externo (isolamento termico). Nesse caso,

Esses comentarios justificam considerar-se em problemas de difusao de calor os seguintes tipos de condicao de contorno lineares em ∂W:

1. Condicao de Dirichlet3:

2. Condicao de Neumann4: ∂u

3. Condicao mista:

as funcoes h, q, g, α1 e α2 sendo dadas pelo problema. Em muitos casos considera-se tambem condicoes ditas homogeneas:

2. Condicao de Neumann homogenea:

3. Condicao mista homogenea:

α1 e α2 sendo funcoes dadas pelo problema.

Em secoes que se seguirao teremos a oportunidade de resolver alguns problemas nos quais algumas das condicoes de acima sao impostas.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 17 748/1730

17.1.2 Deducao Informal da Equacao da Corda Vibrante

(Parte 1 de 13)

Comentários