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Capıtulo 15 Alguns Resultados sobre Equacoes Integrais

15.1 Descricao715
15.2 O Metodo dos Determinantes de Fredholm717
15.2.1 A Equacao Integral de Fredholm Linear Nao-Homogenea717
15.2.2 A Equacao Integral de Fredholm Linear Homogenea721
15.3 Exercıcios Adicionais723
APENDICES724
15.A Obtendo os Determinantes de Fredholm724

Conteudo teoria das equacoes diferenciais ordinarias depende, sob diversos aspectos, de resultados procedentes da teoria das equacoes integrais. Tal fato e notavel na demonstracao do Teorema de Picard-Lindeloff, Teorema 8.2, pagina 373, que garante condicoes de existencia e unicidade para equacoes diferenciais ordinarias, e cuja demonstracao, apresentada na Secao 2, pagina 1052 (vide Teorema 2.4, pagina 1068), envolve um procedimento iterativo de resolucao de uma equacao integral do tipo de Volterra. Alem do seu interesse intrınseco, essa relacao estreita com equacoes diferenciais ordinarias e o principal motivo para o estudo de equacoes integrais.

Equacoes integrais diferem de equacoes diferenciais por envolverem integrais, e nao derivadas, de uma funcao incognita.

Certas equacoes integrais sao diretamente relacionadas a problemas de valor inicial o problemas de contorno de equacoes diferenciais ordinarias, notadamente as equacoes de integrais de Fredholm1 e de Volterra2. Nesta breve introducao as equacoes integrais apresentaremos as definicoes basicas e discutiremos com certo detalhe o tratamento de equacoes integrais lineares de Fredholm usando o chamado metodo dos determinantes de Fredholm. Metodos iterativos para a resolucao de equacoes integrais de Fredholm e de Volterra serao apresentados no Capıtulo 2, pagina 1052. Vide para tal especialmente a Secao 2.3, pagina 1061.

A existencia de metodos itarativos para a resolucao de equacoes integrais (e, portanto, das equacoes diferenciais a elas eventualmente associadas) reveste-se de interesse pratico por ser um atrativo a resolucao numerica de tais problemas. Historicamente o estudo de equacoes integrais foi de grande importancia, tendo engendrado diversos desenvolvimentos na Matematica, como o nascimento da Analise Funcional no inıcio do Seculo X.

Alguns fatos essenciais sobre as equacoes integrais de Fredholm e de Volterra podem ser encontrados em [205]. Para um estudo mais detalhado, vide [196] e, em especial para a equacao integral de Volterra, vide [136]. Passemos as principais definicoes.

Dada uma funcao de tres variaveis K : [a, b] × [a, b] × C → C e uma funcao de uma variavel f : [a, b] → C, a expressao∫ b

define uma equacao denominada equacao integral de Fredholm de primeiro tipo para a funcao incognita u. A expressao

define uma equacao denominada equacao integral de Fredholm de segundo tipo para a funcao incognita u. As equacoes de segundo tipo sao frequentente denominadas simplesmente equacoes integrais de Fredholm, pois sao mais comuns que a de primeiro tipo.

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A expressao ∫ x

define uma equacao denominada equacao integral de Volterra de primeiro tipo para a funcao incognita u. A expressao

define uma equacao denominada equacao integral de Volterra de segundo tipo para a funcao incognita u. As equacoes de segundo tipo sao frequentente denominadas simplesmente equacoes integrais de Volterra, pois sao mais comuns que a de primeiro tipo.

Note-se que as equacoes de Volterra diferem das de Fredholm pois o limite de integracao e variavel. Assim, as equacoes de Volterra sao um caso particular das de Fredholm para funcoes K que satisfazem K(x, y, u) = 0 sempre que y > x.

Nos varios casos de acima a equacao e dita ser linear se K(x, y, u) for linear em u, ou seja, se for da forma K(x, y, u) = k(x, y)u. A equacao e dita ser homogenea se f for identicamente nula.

Em muitas situacoes o intervalo [a, b] pode ser substituido pelo intervalo infinito R ou por um intervalo semi-infinito, como R+. Hipoteses a respeito das funcoes K e f sao por vezes necessarias para que as equacoes facam sentido ou para garantir existencia e/ou unicidade de solucao. Por exemplo, as diversas equacoes acima nao farao sentido se K nao for integravel em y no intervalo [a, b]. Analogamente, e preciso definir precisamente em que sentido uma solucao u e procurada, se em todo ponto x do intervalo [a, b] ou de R – em cujo caso falamos de solucoes classicas da equacao integral – ou se a solucao e procurada, por exemplo, entre as funcoes de quadrado integravel ou em um espaco de Banach conveniente ao problema considerado.

Como dissemos, algumas equacoes integrais sao fortemente relacionadas a problemas de equacoes diferenciais or- dinarias. Seja, por exemplo, a equacao diferencial de primeira ordem y(t) = F(t, y(t)) com a condicao inicial y(0) = y0. Integrando ambos os lados da equacao de 0 e t, obtemos

que e uma equacao integral de Volterra de segundo tipo para a funcao y(t). No Capıtulo 14, pagina 670, vemos que o chamado problema de Sturm-Liouville, um problema de equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem envolvendo condicoes de contorno nos extremos de um intervalo [a, b], pode ser transformado em um problema envolvendo uma equacao integral de Fredholm linear de segundo tipo.

Sob hipoteses adequadas as equacoes integrais de Fredholm lineares de segundo tipo podem ser resolvidas por um metodo denominado metodo dos determinantes de Fredholm, o qual apresentamos na Secao 15.2, pagina 717. As equacoes de Volterra de segundo tipo (assim como certas equacoes de Fredholm de segundo tipo) podem ser resolvidas por metodos iterativos. Tais desenvolvimentos serao estudados no Capıtulo 2, pagina 1052. Vide para tal especialmente a Secao 2.3, pagina 1061.

• Relacao entre equacoes de Volterra lineares de primeiro e segundo tipo

Facamos aqui brevemente a observacao que, sob certas hipoteses, uma equacao de Volterra linear de primeiro tipo pode ser transformada em uma equacao de Volterra linear de segundo tipo e tratada, entao, pelos metodos iterativos disponıveis para a resolucao daquelas equacoes. De fato, seja a equacao de Volterra linear de primeiro tipo∫ x

Diferenciando-se essa expressao em relacao a x, obtem-se

A validade dessa expressao pressupoe que f seja diferenciavel, assim como pressupoe que k(x, y) seja diferenciavel em relacao a x. Se k(x, x) nao se anular em algum ponto da regiao de interesse, teremos

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 15 717/1730 que e uma equacao de Volterra linear de segundo tipo. Caso k(x, x) anule-se em algum ponto da regiao de interesse temos uma equacao singular que merece tratamento especial. Vide [196] para referencias sobre essa situacao.

Um segundo procedimento para transformar a equacao de Volterra linear de primeiro tipo (15.5) em uma de segundo tipo e o seguinte. Defina-se v(x) := ∫ x a u(s)ds. Entao, por integracao por partes, o lado esquerdo de (15.5), fica∫ x

pois v(a) = 0. A equacao fica que e uma equacao integral de Volterra linear de segundo tipo para v. Uma vez obtida a solucao desta equacao a funcao u e obtida derivando-se o resultado. Note-se que por esse proceder precisamos novamente supor que k(x, y) e diferenciavel em relacao a y, que k(x, x) nao se anula e que f(x)/k(x, x) e diferenciavel.

15.2 O Metodo dos Determinantes de Fredholm

Vamos nesta secao apresentar a teoria de Fredholm para o tratamento das equacoes integrais de Fredholm lineares. Historicamente, o trabalho de Fredholm precedeu o estudo de Hilbert daquelas equacoes integrais, trabalho esse que levou ao desenvolvimento da teorias dos espacos de Hilbert e dos operadores compactos. Apesar de superado pelo de Hilbert, o tratamento de Fredholm e de interesse, pois envolve um metodo de solucao explıcita das equacoes integrais de Fredholm em termos de uma serie envolvendo determinantes de certas matrizes construıdas com o nucleo k(x, y). Esses determinantes passaram a ser conhecidos como determinantes de Fredholm.

Iniciaremos nossa exposicao considerando a equacao de integral de Fredholm linear nao-homogenea.

15.2.1 A Equacao Integral de Fredholm Linear Nao-Homogenea Consideremos a equacao integral de Fredholm linear e nao-homogenea definida em um intervalo compacto [a, b] ⊂ R

f : [a, b] → C e k : [a, b] × [a, b] → C sendo ambas contınuas. A funcao k e denominada nucleo da equacao integral.

Vamos supor que k seja da forma k(x, y) = n∑ l=1 al(x)bl(y), as funcoes al e bl sendo igualmente contınuas em [a, b].

Esse tipo de nucleo e denominado por alguns autores nucleo de Pincherle-Gousat3. A equacao (15.6) assume a forma

onde, para funcoes contınuas g e h, definimos 〈g, h〉 := ∫ b

Multiplicando a ultima expressao por bm(x) e integrando em [a, b], ficamos com

ou seja,

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definindo-se xj ≡ 〈bj, u〉, yj ≡ 〈bj, f〉 e kij ≡ 〈bi, aj〉, i, j = 1,, n, com o que a equacao acima fica

que deve ser encarada como um sistema linear de equacoes para as quantidades 〈bj, u〉. Isso talvez fique mais transparente

sendo x =

) e k sendo a matriz formada pelos elementos kij. A solucao dessa equacao em forma matricial e x = ( − λk)−1y, caso a inversa de − λk exista (o que sera encarado como uma restricao para λ).

Vamos agora cuidar de encontrar uma forma conveniente de expressar essa relacao com uso da regra de Laplace, expressao (6.19), pagina 241, para o calculo de inversa de matrizes: para uma matriz inversıvel A vale onde Men(A)ij e o determinante da matriz (n − 1) × (n − 1) obtida eliminando-se a i-esima linha e a j-esima coluna da matriz A. (A matriz Men(A) e por vezes denominada matriz dos menores de A). Temos que assim que ij yj =

Portanto, onde

E bastante claro pelas expressoes acima que Kn(x, y; λ) e a razao de dois polinomios em λ. Mais especificamente, vale para Kn(x, y; λ) a seguinte expressao a det

a det

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Os determinantes que aparecem nas duas expressoes acima sao denominados determinantes de Fredholm e as expressoes acima sao denominadas formulas dos determinantes de Fredholm, em honra a seu descobridor. Suas demonstracoes que, infelizmente, sao bastante complexas, podem ser encontradas em toda sua gloria no Apendice 15.A, pagina 724.

Resumindo nossas conclusoes ate aqui, vimos que a solucao da equacao de Fredholm linear nao-homogenea (15.6) para nucleos k na forma de uma soma finita k(x, y) = n∑ l=1 al(x)bl(y), as funcoes al e bl sendo contınuas em [a, b], e dada por

com Kn definida em (15.1) e (15.12). A questao importante que se coloca agora e saber se podemos tomar o limite n → ∞ nas expressoes acima, obtendo

l=1 al(x)bl(y), supondo que essa serie seja uniformemente convergente e que, como acima, as funcoes al e bl sejam todas contınuas.

A resposta a essa questao e obtida primeiramente mostrando que, sob as hipoteses acima, os limites n → ∞ de (15.1) e de (15.12) existem e, em seguida, provando que a expressao obtida tomando-se o limite n → ∞ no lado direito de (15.13) e, de fato, uma solucao da equacao (15.6). Para a prova de convergencia necessitamos de uma boa estimativa para o crescimento com n de determinantes de matrizes n×n e a estimativa que se faz util e a estimativa de Hadamard4, equacao (6.151), enunciada no Teorema 6.34, pagina 319: para toda matriz A ∈ Mat(C, n) vale

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