nc - cap14

nc - cap14

(Parte 1 de 11)

Capıtulo 14 Introducao ao Problema de Sturm-Liouville

14.1 Comentarios Iniciais670
14.2 O Problema de Sturm675
14.2.1 Solucoes Fundamentais e Funcoes de Green676
14.2.2 A Funcao de Green. Resolvendo o Problema de Sturm677
14.2.3 O Teorema de Green680
14.3 O Problema de Sturm-Liouville682
14.3.1 Propriedades Basicas dos Auto-Valores e Auto-Funcoes de Problemas de Sturm-Liouville684
14.3.1.1 A Simplicidade dos Auto-Valores684
14.3.1.2 O Lema de Green685
14.3.1.3 Realidade dos Auto-Valores e Auto-funcoes. Ortogonalidade de Auto-funcoes687
14.3.1.4 Propriedades dos Autovalores688
14.3.2 A Equacao Integral de Fredholm692
14.3.3 Uma Aplicacao do Problema de Sturm-Liouville695
14.3.4 Metodos Variacionais de Determinacao de Autovalores698
14.4 Comentarios Finais700
14.4.1 Um Problema de Sturm-Liouville Singular700
14.5 Exercıcios Adicionais703
APENDICES707
14.A Prova do Teorema 14.1. Existencia e Unicidade707
14.B Prova da Proposicao 14.2708
14.C Comentario Sobre o Determinante Wronskiano709
14.D Demonstracao do Teorema 14.3710
14.D.1 Prova da Desigualdade (14.D.17)713

Conteudo presente capıtulo e dedicado ao problema de Sturm1-Liouville2, um classico problema da teoria das equacoes diferenciais, com diversas aplicacoes em Fısica. Historicamente o problema de Sturm-Liouville engendrou uma serie de desenvolvimentos que conduziram, no comeco do seculo X, ao nascimento de uma nova e importante area da Matematica, a Analise Funcional, area essa que e de importancia fundamental para a Fısica Quantica.

Ha uma vasta literatura sobre o problema de Sturm-Liouville, sendo seus rudimentos tratados na grande maioria dos livros dedicados a teoria das equacoes diferenciais ordinarias. Para uma referencia geral sobre o problema de Sturm-Liouville regular, centrada em aspectos analıtico-funcionais, vide [94]. Para uma referencia recente, vide [209]. No presente capıtulo trataremos apenas de problemas de Sturm-Liouville de segunda ordem, i.e., envolvendo equacoes diferenciais lineares de segunda ordem, e nos restringiremos tambem a uma classe de problemas ditos regulares. Para problemas de Sturm-Liouville de ordem superior, vide [97]. Na Secao 12.1 do Capıtulo 12, pagina 527, sao feitas algumas generalizacoes a problemas nao-regulares.

14.1 Comentarios Iniciais

Inumeros problemas em Fısica envolvem a resolucao de equacoes diferenciais ordinarias lineares de segunda ordem e o estudo de propriedades gerais de suas solucoes. De modo geral, uma equacao diferencial desse tipo e da forma

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 14 671/1730 onde g, a0 e a1 sao certas funcoes conhecidas de numeros reais em (na maioria dos casos) numeros reais, das quais eventualmente exige-se certas condicoes (como continuidade, diferenciabilidade etc.). A funcao u representa alguma grandeza fısica e a equacao (14.1) e a expressao matematica de uma lei fısica que essa grandeza deve obedecer.

Em muitos casos a funcao u e definida em um intervalo fechado finito [a, b] da reta real, b > a, e e obrigada a satisfazer certas condicoes nos extremos desse intervalo. Tais condicoes sao chamadas de condicoes de contorno.

Condicoes de contorno sao ditadas ou por leis fısicas ou por restricoes fısicas ou geometricas que devem ser impostas nos pontos a e b a grandeza representada por u. O caso mais tıpico e aquele no qual impoe-se que a funcao u ou sua primeira derivada (ou combinacoes lineares de ambas) assumem certos valores fixos nos pontos a e b.

Ha tambem muitas situacoes nas quais a funcao u e definida em intervalos semi-infinitos, como [0, ∞) ou infinitos, como (−∞, ∞), e as condicoes impostas podem exigir, por exemplo, que u se anule no infinito, que seja limitada ou que seja de quadrado integravel. No presente capıtulo nao trataremos de tais casos.

• Condicoes de contorno lineares e homogeneas

Ha muitos tipos distintos de condicoes de contorno. De particular importancia sao as condicoes de contorno lineares que, no caso de equacoes de segunda ordem, tem a seguinte estrutura. A funcao u esta definida em um intervalo finito

Condicoes de contorno desse tipo sao ditas lineares devido a dependencia linear em u do lado esquerdo de (14.2) e (14.3).

Estaremos interessados particularmente em condicoes do seguinte tipo: suporemos que u esta definida em um intervalo

Condicoes de contorno lineares desse tipo sao ditas homogeneas devido ao lado direito de (14.4) e (14.5) ser zero.

Condicoes de contorno sao restricoes de crucial importancia na resolucao de equacoes diferenciais. Para verificar essa importancia, faca os seguintes exercıcios simples:

E. 14.1 Exercıcio. Verifique que o problema de determinar uma funcao u tal que u′′ = 0 tal que u′(0) = 0 e u′(1) = 1 nao tem solucoes. 6

E. 14.2 Exercıcio. Verifique que o problema de determinar uma funcao u tal que u′′ = 0 tal que u′(0) = 0 e u′(1) = 0 tem infinitas solucoes. 6

E. 14.3 Exercıcio. Verifique que o problema de determinar uma funcao u tal que u′′ + u = 0 com u(0) = ϕ1 e u(π) = ϕ2 tem infinitas solucoes se ϕ1 = −ϕ2 e nao tem solucao se ϕ1 6= −ϕ2. 6

• Um teorema sobre existencia e unicidade de solucoes

Os exemplos dos exercıcios acima mostram que a questao da existencia e unicidade de solucoes em problemas que envolvem condicoes de contorno nao e uma questao trivial. E importante nesse contexto mencionar um teorema, o Teorema 14.1, abaixo, o qual expressa certas condicoes necessarias e suficientes para garantir a existencia e a unicidade de solucoes. Antes de enuncia-lo precisamos do seguinte fato.

Lema 14.1 Seja a equacao diferencial linear homogenea de segunda ordem u′′ + a1(x)u′ + a0(x)u = 0, onde a0 e a1 sao funcoes reais e contınuas definidas num intervalo finito e fechado [a, b]. Sejam u1, u2 duas solucoes linearmente

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 14 672/1730 independentes dessa equacao definidas em [a, b] e sejam v1 e v2 duas outras solucoes linearmente independentes da

Prova. O espaco de solucoes linearmente independentes de uma equacao homogenea de segunda ordem e bidimensional3.

Assim, se u1 e u2 sao duas solucoes linearmente independentes e v1 e v2 tambem, entao para todo x ∈ [a, b] vale v1(x) v2(x)

onde γij sao constantes com det(γ γ γ γ

e, portanto, (14.6) segue do fato bem conhecido4 que o determinante de uma matriz e igual ao da sua transposta.

Teorema 14.1 Seja a equacao diferencial linear de segunda ordem onde g, a0 e a1 sao funcoes reais e contınuas definidas num intervalo finito e fechado [a, b]. O problema de encontrar solucoes dessa equacao que satisfacam condicoes de contorno do tipo para certas constantes reais α1, α2, β1, β2, ϕ1 e ϕ2 tais que (α1, α2) 6= (0, 0), (β1, β2) 6= (0, 0) tem solucao unica se e somente se existir ao menos um par de solucoes independentes u1 e u2 da equacao homogenea

Pela Lema 14.1, basta que (14.1) seja satisfeita por um par de solucoes independentes de (14.10), que sera satisfeita por todo outro par de solucoes independentes da mesma equacao.

A demonstracao do Teorema 14.1 e apresentada no Apendice 14.A, pagina 707.

3Para estudante para o qual isso nao e obvio, o enunciado preciso e feito na Proposicao 10.1, pagina 402. 4Vide Teorema 6.1, pagina 241.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 14 673/1730

Exemplo 14.1 No Exercıcio E. 14.3, pagina 671, verificamos que o problema de determinar uma funcao u tal que u′′ + u = 0 com u(0) = ϕ1 e u(π) = ϕ2 ou tem infinitas solucoes (caso ϕ1 = −ϕ2) ou nao tem nenhuma solucao (caso ϕ1 6= −ϕ2). Vamos analisar isso sob a luz do Teorema 14.1. Aqui temos [a, b] = [0, π]. Com as condicoes u(0) = ϕ1 e u(π) = ϕ2 tem-se α1 = β1 = 1 e α2 = β2 = 0. Duas solucoes independentes da equacao homogenea u′′ + u = 0 sao

cujo determinante e nulo. Logo, a condicao (14.1) (necessaria e suficiente para a existencia e para a unicidade de solucao) e violada e, portanto, ou a solucao nao existe ou nao e unica, como constatado no referido Exercıcio. ◊

• Relacionando problemas com condicoes de contorno nao-homogeneas e homogeneas

Adiante, consideraremos apenas problemas com condicoes de contorno lineares e homogeneas. Por que nao consideraremos tambem as condicoes de contorno nao-homogeneas? A razao e que, como veremos, podemos sempre obter solucoes de problemas com condicoes de contorno nao-homogeneas a partir das solucoes de problemas com condicoes de contorno homogeneas. A argumentacao e bem simples. Seja w uma funcao em princıpio arbitraria (duas vezes diferenciavel) mas que satisfaca

Determinar uma funcao tal w satisfazendo essas condicoes sempre e possıvel (supondo (α1, α2) 6= (0, 0) e (β1, β2) 6= (0, 0)). Isso pode ser feito, por exemplo, procurando w na forma de um polinomio de grau suficientemente alto (pelo menos 3, no caso geral) e procurando ajustar os coeficientes desse polinomio de modo que (14.12)-(14.13) sejam satisfeitas.

Para uma tal funcao w, vamos definir uma funcao h(x) da seguinte forma:

com as condicoes de contorno homogeneas

Isso diz-nos, em resumo, que para resolver problemas com condicoes de contorno nao-homogeneas e suficiente saber determinar uma funcao como w acima e saber determinar a solucao de uma equacao diferencial linear com condicoes de contorno homogeneas. Por essa razao, daqui por diante so consideraremos problemas com condicoes de contorno homogeneas.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 14 674/1730

• Reescrevendo a equacao diferencial na forma de Liouville

Uma observacao importante que devemos fazer sobre equacoes como (14.1) e que, para muitos casos, as mesmas sempre podem ser reescritas da seguinte forma equivalente, conhecida como forma de Liouville:

equacao mais frequentemente que a forma anterior.

E. 14.4 Exercıcio. Verifique a equivalencia das duas formas da equacao multiplicando (14.1) por p(x) e usando o fato que, pela definicao, p′(x) = a1(x)p(x). 6

• Condicoes de contorno homogeneas caracterizam um espaco vetorial

Um fato importante sobre problemas com condicoes de contorno homogeneas e que sera implicitamente utilizado no que seguira e o seguinte:

Sejam fixadas as constantes α1, α2, β1 e β2. Se g1 e g2 sao duas funcoes duas vezes diferenciaveis definidas no intervalo [a, b] tais que ambas satisfazem as condicoes de contorno homogeneas (14.4)-(14.5) entao qualquer combinacao linear de ambas γ1g1(x) + γ2g2(x) e tambem uma funcao duas vezes diferenciavel no intervalo [a, b] que satisfaz as mesmas condicoes de contorno homogeneas (14.4)-(14.5).

E. 14.5 Exercıcio. Verifique essa afirmacao. 6

Em outras palavras, o conjunto de todas as funcoes duas vezes diferenciaveis definidas no intervalo [a, b] que satisfazem as condicoes de contorno homogeneas (14.4)-(14.5) e um espaco vetorial (real ou complexo, dependente do caso). Esse espaco sera denotado aqui por V(α1, α2, β1, β2), ou simplesmente por V, quando nao houver confusao.

A seguinte proposicao, valida para funcoes do espaco vetorial V(α1, α2, β1, β2), sera frequentemente usada no que segue.

(Parte 1 de 11)

Comentários