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Capıtulo 7

Topicos de Algebra Linear. I

7.1 Uma Topologia Metrica em Mat(C, n)325
7.2 Exponenciais, Logaritmos e Funcoes Analıticas de Matrizes328
7.2.1 A Exponenciacao de Matrizes e os Grupos GL(C, n) e GL(R, n)335
7.3 A Formula de Lie-Trotter e a Formula do Comutador337
7.4 Aplicacoes Lineares em Mat (C, n)340
7.5 A Formula de Baker, Campbell e Hausdorff345
7.6 A Formula de Duhamel e Algumas de suas Consequencias350
7.7 Exercıcios Adicionais354

Conteudo presente capıtulo diferencia-se do anterior por explorar aspectos mais topologicos de algebras de matrizes. Portanto, uma certa familiaridade com as nocoes basicas de espacos metricos (vide Capıtulo 21, pagina 1003) e util. Discutiremos a definicao de funcoes analıticas de matrizes, em particular, a exponencial e o logaritmo. Nosso principal objetivo, porem, e provar as seguintes relacoes: para matrizes A, B ∈ Mat(C, n), valem:

• Formula de Lie-Trotter1:

[ exp

A) exp

m B

• Formula do comutador:

[ exp

A) exp

m B

• Serie de Lie:

B,, [B︸ ︷︷ ︸

B, [ m vezes

• Formula de Baker-Campbell-Hausdorff2 (sobre a convergencia, vide comentario adiante):

• Formula de Duhamel3:

da qual se obtem a serie de Duhamel:

A serie dentro da exponencial no lado direito de (7.4) e um tanto complexa, mas envolve apenas comutadores multiplos de ordem cada vez maior de A e B. A expressao completa encontra-se em (7.45), pagina 345. Ao contrario das formulas que lhe precedem e sucedem, a formula de Baker-Campbell-Hausdorff nao e valida para quaisquer matrizes A e B pois, no caso geral, a convergencia da serie do lado direito so pode ser estabelecida para matrizes suficientemente “pequenas”,

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 7 325/1730 a saber, tais que ‖A‖C e ‖B‖C sejam ambas menores que 12 ln( 2− √

≈ 0,12844(a definicao da norma operatorial

‖·‖C de matrizes sera apresentada adiante). Claro e que, nos casos felizes em que os comutadores multiplos das matrizes A e B se anulam a partir de uma certa ordem, a serie do lado direito sera finita e, portanto, convergente.

Comentamos ao leitor mais avancado que as expressoes acima (e suas demonstracoes abaixo) valem nao apenas para algebras de matrizes, mas tambem no contexto mais geral de algebras-∗ de Banach com unidade.

As formulas acima sao empregadas em varias areas da Fısica (como na Mecanica Quantica, na Mecanica Estatıstica e na Teoria Quantica de Campos) e da Matematica (como na Teoria de Grupos). Faremos uso delas, por exemplo, nos Capıtulos 18 e 19. Suas provas serao apresentadas, pela ordem, na Proposicao 7.12, pagina 338, na Proposicao 7.13, pagina 341, no Teorema 7.1 da Secao 7.5, pagina 345 e na Secao 7.6, pagina 350. A unica demonstracao que se pode classificar como complexa e a da formula de Baker-Campbell-Hausdorff, as demais sao simples. No correr das paginas seguintes outras identidades uteis, nao listadas acima, serao obtidas.

7.1 Uma Topologia Metrica em Mat(C, n)

Discutiremos nesta secao uma topologia metrica natural em Mat(C, n) a qual usaremos na Secao 7.2 para definir certas funcoes analıticas de matrizes, tais como a exponencial e o logaritmo.

Recordando, Mat(C, n) e o conjunto de todas as matrizes complexas n × n e GL(C, n) ⊂ Mat(C, n) e o conjunto de todas as matrizes complexas n × n inversıveis. Como ja observamos, GL(C, n) e um grupo.

• Normas de matrizes. A norma operatorial

(u1,,un), por exemplo, podemos adotar ‖u‖C := √

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, como Cn ou Rn, dotado de uma norma ‖ · ‖V . Para Cn ∋ u = |u1|2 + · + |un|2. Vamos denotar por L(V ) o conjunto de todas as aplicacoes lineares de V em V . E bem sabido que L(V ) e igualmente um espaco vetorial. Por exemplo, L(Cn) = Mat(C, n) e L(Rn) = Mat(R, n).

Com uso da norma de V e possıvel definir uma norma tambem em L(V ). Para A ∈ L(V ) define-se

E. 7.1 Exercıcio. Mostre que ‖ · ‖L(V) assim definida e, de fato, uma norma no espaco vetorial L(V ). 6

Observacoes. Note que

Para A ∈ L(V ), a norma ‖A‖L(V) definida acima e denominada norma operatorial induzida pela norma ‖ · ‖V . Como comentaremos abaixo, ha outras normas em L(Cn) e L(Rn) que nao a norma operatorial, mas que sao equivalentes aquela. E uma consequencia imediata da definicao de norma operatorial que para todo vetor u ∈ V . ♣

A norma operatorial tem a seguinte propriedade importante: para A, B ∈ L(V ) quaisquer, tem-se

Essa propriedade e denominada sub-multiplicatividade da norma ‖ · ‖L(V). Nem toda norma em Mat(C, n) possui essa propriedade.

E. 7.2 Exercıcio importante. Mostre isso. Sugestao: use (7.7). 6

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E importante comentar que o procedimento de construcao de normas em L(V ) pode ser repetido. Como L(V ) e igualmente um espaco vetorial normado e de dimensao finita, podemos definir uma norma em L(L(V )) (o conjunto de todas as aplicacoes lineares de L(V ) em L(V )) definindo para A ∈ L(L(V ))

E assim por diante para todos os espacos de aplicacoes L(L(·L(V ))·).

Vamos a um exemplo. Tomemos V = Cn, L(V ) = Mat(C, n). Seja uma matriz X ∈ Mat(C, n) fixa. Com ela poderemos definir um elemento denotado por ad[X] de L(Mat(C, n)) por

E evidente que ad[X] e uma aplicacao linear de Mat(C, n) em Mat(C, n), ou seja, um elemento de L(Mat(C, n)). Note-se que

Daqui para a frente denotaremos a norma operatorial de matrizes em Cn por ‖·‖C ou simplesmente por ‖·‖. Alem da norma operatorial, ha outras normas que podem ser definidas em L(Cn). Para A ∈ Mat(C, n) podemos, por exemplo, definir as seguintes normas:

a, b =1,, n

A expressao (7.1) generaliza (7.9) e (7.10). A norma ‖A‖2 e por vezes denominada a norma de Frobenius4 da matriz A.

E. 7.4 Exercıcio. A norma de Frobenius (7.10) tem uma interpretacao interessante. Mostre que, 〈A, B〉 = Tr(A∗B), A, B ∈ Mat(C, n) , define um produto escalar em Mat(C, n). Mostre que (7.10) e a norma associada a esse produto escalar, ou seja, ‖A‖2 =√

Observacao. E importante lembrar o Teorema 3.2, pagina 162, que afirma que em espacos vetoriais de dimensao finita todas as normas sao equivalentes. Assim, em Mat(C, n) a norma operatorial ‖A‖C e as normas ‖A‖∞ e ‖A‖p com p ≥ 1 sao todas equivalentes. Note-se, porem, que a propriedade de sub-multiplicatividade ‖AB‖C ≤ ‖A‖C ‖B‖C da norma operatorial nao e necessariamente compartilhada por outras normas. Devido a equivalencia de todas as normas matriciais, tem-se em geral ‖AB‖ ≤ c‖A‖‖B‖ para alguma constante c > 0. ♣

E. 7.5 Exercıcio. Seja D ∈ Mat(C, n) uma matriz diagonal: D = diag(d1,, dn) com dk ∈ C. Mostre que
‖D‖C = max{|d1|,, |dn|}, ou seja, para matrizes diagonais ‖D‖C = ‖D‖∞. 6

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• Equivalencia entre normas matriciais Aqui denotaremos a norma operatorial de uma matriz A por ‖A‖.

Sejam ei, i = 1,, n os vetores da base canonica de Cn, ou seja, os vetores cuja j-esima componente e (ei)j = δij.

Se A ∈ Mat(C, n), e claro que a i-esima componente do vetor Aej e (Aej)i = Aij. Daı,

Logo, para todo j,

j=1,, n

≥ max

j=1,, n

Tem-se tambem o seguinte. Para qualquer vetor v ∈ Cn, vale (Av)i = ∑n j=1 Aijvj. Assim, pela desigualdade de

Logo,

Como n∑

i=1,, n
j=1,, n
i=1,, n

A expressao (7.14) mostra-nos que caso tenhamos uma sequencia de matrizes Am com ‖Am‖ → 0 quando m → ∞, entao cada elemento de matriz (Am)ij tambem converge a zero quando m → ∞. E vice-versa: Se (Am)ij → 0 para todos ij quando m → ∞, entao ‖Am‖ → 0 quando m → ∞.

Nota. Antes de prosseguirmos, comentemos tambem que as duas desigualdades (7.14) sao optimais, ou seja, nao podem ser melhoradas para matrizes genericas. Por exemplo, e evidente que ‖ ‖∞ = 1 e que ‖ ‖ = 1. Assim, pelo menos nesse caso tem-se a igualdade na primeira desigualdade de (7.14). Ha tambem um caso em que se tem a igualdade na segunda desigualdade de (7.14). Considere-se a matriz M cujos elementos de matriz sao todos iguais a 1, ou seja, Mij = 1 para todos i, j. Seja o vetor u de Cn cujas componentes sao todas iguais a 1, ou

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 7 328/1730 seja, ui = 1 para todo i. E elementar ver que Mu = nu. Logo ‖Mu‖C segunda desigualdade de (7.14), concluımos que, nesse caso, ‖M‖ = n‖M‖∞. ♣

A desigualdade (7.13) significa que ‖A‖ ≤ ‖A‖2. Ao mesmo tempo, a desigualdade (7.12) mostra que

Logo, concluımos que em Mat(C, n)

E. 7.6 Exercıcio. Mostre que em Mat(C, n)

Sugestao: Mostre primeiro que ‖A‖∞ ≤ n∑

E. 7.7 Exercıcio. Mostre que as desigualdades (7.17) tambem nao podem ser melhoradas. 6

Nota. As expressoes (7.14), (7.15), (7.16) e (7.17) mostram-nos de modo explıcito que em Mat(C, n) as normas ‖·‖, ‖·‖∞, ‖·‖1 e ‖·‖2 sao equivalentes (vide definicao a pagina 162). Como ja mencionamos, em espacos de dimensao finita todas as normas matriciais sao equivalentes

A importancia de se introduzir uma norma em L(V ) e que podemos dessa forma introduzir uma nocao de distancia entre elementos desse conjunto, ou seja, podemos definir uma metrica em L(V ) por d(A, B) = ‖A−B‖. Deixamos para o leitor a tarefa de demonstrar que isso de fato define uma metrica em L(V ). Com isso, fazemos de L(V ) um espaco dotado de uma topologia metrica. Fora isso, o importante Teorema 3.2 demonstrado a pagina 1567 afirma que L(V ) sera um espaco metrico completo se V o for. Logo, como Cn e Rn sao sabidamente espacos vetoriais completos, assim o serao Mat(C, n), Mat(R, n), assim como L(Mat(C, n)) etc. E possıvel dessa forma falar de convergencia de sequencias e series de matrizes de Mat(C, n), Mat(R, n), assim como de elementos de L(Mat(C, n)) etc. Abaixo faremos uso repetido desse fato fundamental.

7.2 Exponenciais, Logaritmos e Funcoes Analıticas de Matrizes

No estudo da teoria de grupos e em outras areas e muito conveniente definir certas funcoes de operadores lineares, tais como exponenciais, logaritmos etc. Ja abordamos a definicao da exponenciacao de matrizes nos capıtulos 6 e 10. Vamos aqui tentar uma abordagem mais geral.

• Series de potencias de matrizes Seja A ∈ Mat(C, n) uma matriz n × n complexa e seja {am m ∈ N} uma sequencia de numeros complexos. A expressao ∞∑

amAm = lim N→∞

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 7 329/1730 e dita ser uma serie de potencias convergente, caso o limite acima exista em Mat(C, n).

Nota. Adotaremos sempre a convencao que A0 = . ♣ A seguinte proposicao e fundamental:

Proposicao 7.1 A seria de potencias ∞∑

m=0 amAm e convergente se

A importancia dessa proposicao reside no fato que ∑∞ m=0|am|‖A‖mC e uma serie numerica e, portanto, mais simples de lidar.

Prova. Sejam as somas parciais SN := N∑ m=0 amAm. Teremos para M < N, amAm

Agora, como a serie numerica ∑∞ m=0|am|‖A‖mC e uma sequencia de Cauchy. Logo∑N m=M+1 |am|‖A‖mC pode ser feito menor que qualquer ǫ > 0 dado, desde que escolhamos M e N grandes o suficiente.

Logo SN e tambem uma sequencia de Cauchy no espaco metrico completo Mat(C, n). Portanto, SN converge em Mat(C, n) quando N → ∞.

• Funcoes analıticas de matrizes

A Proposicao 7.1 conduz a seguinte definicao. Seja r > 0 e Dr = {z ∈ C| |z| < r} o disco aberto de raio r centrado em 0 no plano complexo. Seja f : Dr → C uma funcao analıtica em Dr. Como bem sabemos, f pode ser expressa em termos de uma serie de potencias (serie de Taylor centrada em z0 = 0): f(z) = ∑∞

E bem sabido tambem que essa serie e absolutamente convergente em Dr: ∑∞ entao definir

m=0 fmAm para toda a matriz A com ‖A‖C < r, pois a proposicao acima garante que a serie de matrizes do lado direito converge a alguma matriz de Mat(C, n), que denotamos por f(A), fazendo uma analogia obvia com a funcao numerica f.

A seguinte proposicao sobre essas funcoes de matrizes sera frequentemente usada no que seguira.

Proposicao 7.2 I. Sejam f e g duas funcoes analıticas no mesmo domınio Dr. Definamos (f + g)(z) := f(z) + g(z)

I. Sejam f e g duas funcoes analıticas, com domınios Dr e Dr

, respectivamente, e tais que a imagem de g esteja contida no domınio de f. Podemos entao definir f ◦ g(z) := f(g(z)). Entao, para A ∈ Mat(C, n) com ‖A‖C < rg teremos f(g(A)) = f ◦ g(A). 2

Prova. ←→ Exercıcio.

Note-se que a parte I da proposicao acima afirma que existe um homomorfismo da algebra das funcoes analıticas em um domınio Dr ⊂ C e Mat(C, n).

Vamos mais adiante usar o seguinte resultado, que essencialmente afirma que as matrizes f(A) definidas acima, com f analıtica em um domınio Dr ⊂ C, dependem continuamente de A.

Proposicao 7.3 Seja f funcao complexa analıtica em um domınio Dr ⊂ C, com f tendo a serie de Taylor absolutamente convergente f(z) = ∑∞ k=0 fk zk, |z| < r. Seja tambem Bm, m ∈ N, uma sequencia de matrizes de Mat(C, n) tais que

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 7 330/1730 lim

Prova. Comecemos com um comentario sobre o enunciado do teorema. Para que f(A + Bm) esteja definido e necessario que ‖A+Bm‖C < r. Como ‖A+Bm‖C ≤ ‖A‖C+‖Bm‖C e ‖A‖C < r, a condicao e satisfeita para m grande o suficiente, pois limm→∞ ‖Bm‖C = 0. Assim, estaremos supondo que m e grande o suficiente de modo que ‖Bm‖C < ǫ para algum ǫ tal que ‖A‖C + ǫ < r. Feita essa ressalva, passemos a demonstracao.

A prova da proposicao segue como consequencia das duas observacoes seguintes. A primeira e que para quaisquer matrizes X, Y ∈ Mat(C, n) e qualquer k inteiro positivo tem-se a seguinte identidade algebrica:

Para provar isso, basta expandir a soma do lado direito e mostrar, apos alguns cancelamentos, que obtem-se o lado esquerdo (faca!).

A segunda observacao e que se f e analıtica em Dr, sua derivada tambem o e. Assim, f′(z) = ∑∞ k=0 kfk zk−1 converge absolutamente para |z| < r, ou seja, ∑∞

Assim,

Logo,

Agora, como dissemos, ‖A + Bm‖C < ‖A‖C + ǫ < r e, obviamente, ‖A‖C < ‖A‖C + ǫ < r. Portanto,

Como comentamos acima, a soma do lado direito e finita. Como, porem, ‖Bm‖C → 0 para m → ∞, teremos limm→∞ ‖f(A + Bm) − f(A)‖C = 0, que e o que querıamos provar.

• Exponenciais e logaritmos de matrizes Com as definicoes apresentadas acima, podemos definir exponenciais e logaritmos de matrizes. Temos,

para toda matriz A ∈ Mat(C, n), pois a serie de Taylor da funcao exponencial converge absolutamente em todo o plano complexo.

Analogamente, podemos definir

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 7 331/1730 para toda matriz A ∈ Mat(C, n) com ‖A‖C < 1, pois a serie de Taylor da funcao ln(1 + z) converge absolutamente em D1.

E. 7.8 Exercıcio. Usando a Proposicao 7.2, mostre que (exp(A))m = exp(mA) para toda matriz A ∈ Mat(C, n) e todo m ∈ Z. Mostre tambem que exp(ln( + A)) = + A para toda matriz A ∈ Mat(C, n) com ‖A‖C < 1 e que ln(exp(B)) = B para toda matriz B ∈ Mat(C, n) com ‖exp(B) − ‖C < 1. Note que

m! Bm

Sobre a exponencial de matrizes temos o seguinte:

Proposicao 7.4 Existe uma bola aberta Br(0) de raio r > 0 centrada em 0 em Mat(C, n) tal que a aplicacao exp : Mat(C, n) → Mat(C, n) definida acima e um homeomorfismo (em verdade, um difeomorfismo) entre Br(0) e sua imagem, exp(Br(0)), a qual e uma vizinhanca aberta da matriz identidade . 2

m! Am . E facil ver que

‖ϕ(A)‖ ‖A‖ → 0 para ‖A‖ → 0. exp(A)− e contınua e diferenciavel em uma vizinhanca de 0 (em verdade, em toda parte) e sua derivada em 0 e a identidade. A afirmacao da Proposicao 7.4 segue entao do bem conhecido Teorema da Aplicacao

Junto com o ultimo exercıcio, isso prova a seguinte proposicao:

• Exponenciais de matrizes. Comutatividade

Para dois numeros complexos z e w e bem conhecida a validade da propriedade exp(z)exp(w) = exp(z+w) da funcao exponencial. Podemos nos perguntar: sera essa propriedade valida tambem para matrizes? A resposta e que em geral tal relacao nao e valida, apenas em certos casos especiais. A questao de determinar o produto de exponenciais de matrizes tem grande importancia em varias manipulacoes algebricas e muito do que seguira abordara esse problema.

Lembremos a primeiramente a seguinte proposicao.

Proposicao 7.6 Se A, B ∈ Mat(C, n) sao duas matrizes que comutam, ou seja, AB = BA, entao eA+B = eAeB = eBeA . (7.2) 2

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A propriedade (7.2) e familiar quando A e B sao numeros, mas nao e obvia quando A e B sao matrizes. De fato a relacao acima e geralmente falsa caso A e B sejam matrizes que nao comutam. No caso em que A e B nao comutam o produto eAeB pode ser computado com uso da formula de Baker-Campbell-Hausdorff, discutida na Secao 7.5, pagina 345.

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