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Capıtulo 5

A Funcao Gama de Euler

5.1 Introducao e Motivacao191
5.2 A Funcao Gama. Definicao e Primeiras Propriedades193
5.3 Outras Representacoes para a Funcao Gama198
5.4 A Funcao Beta e Propriedades Adicionais da Funcao Gama202
5.4.1 A Formula de Reflexao de Euler203
5.4.2 A Formula de Duplicacao de Legendre207
5.5 Teoremas sobre a Unicidade da Funcao Gama e Outros Resultados208
5.5.1 O Teorema de Bohr-Mollerup208
5.5.2 Formulas de Duplicacao e Unicidade210
5.5.3 O Teorema de Wielandt e Algumas de Suas Consequencias211
5.5.3.1 A Formula de Multiplicacao de Gauss da Funcao Gama212
5.6 A Aproximacao de Stirling e suas Correcoes214
5.6.1 A Aproximacao de Stirling para Fatoriais e suas Correcoes. A Serie de Gudermann216
5.6.2 A Aproximacao de Stirling para a Funcao Gama e suas Correcoes. A Serie de Gudermann2
5.7 Exercıcios Adicionais226
APENDICES232
5.A Notas Sobre Convergencia de Produtorias232
5.A.1 Uma Deducao Elementar do Produto de Wallis233

Conteudo presente capıtulo e dedicado a chamada funcao gama de Euler1, ou simplesmente funcao gama, denotada por Γ(z), com z sendo uma variavel complexa. A funcao gama frequentemente aparece na resolucao de equacoes diferenciais ordinarias pelo metodo de expansao em series de potencias ou pelo metodo de Frobenius (como no caso da equacao de Bessel e da equacao hipergeometrica. Vide Secao 1.2.3, pagina 493 e Secao 1.2.7, pagina 508), assim como em varias areas da Fısica e da Matematica. Na Mecanica Quantica nao-relativıstica, por exemplo, a funcao gama surge em diversos problemas, como no computo de amplitudes de espalhamento para o espalhamento de Coulomb (vide e.g., [117], [135], [60] ou [80]). Na Teoria Quantica de Campos Relativıstica, propriedades da funcao gama sao relevantes no chamado metodo de regularizacao dimensional. A funcao gama de Euler desempenha tambem um papel muito importante em Analise, por representar uma especie de generalizacao contınua do fatorial de numeros naturais, como sera precisado adiante, sendo possuidora de muitas propriedades interessantes. Seu estudo e tambem, pelo mesmo motivo, um otimo laboratorio para estudantes interessados em fixar seu aprendizado da teoria das funcoes de variavel complexa. A funcao gama de Euler e relevante, por exemplo, no estudo de propriedades da funcao zeta de Riemann, de importancia na Teoria de Numeros.

Para outros tratamentos, por vezes mais extensos, dessa funcao e suas aplicacoes, recomendamos [1], [156], [91], [121], [205], ou ainda [120]. Ainda que nem todos esses textos primem por escolher as demonstracoes mais simples para seus resultados, vale a pena o estudante inteirar-se de abordagens diversas. A referencia [156] contem diversas notas historicas interessantes sobre a funcao gama de Euler2. A referencia [205] lista diversas identidades envolvendo Γ que nao serao tratadas aqui.

5.1 Introducao e Motivacao

A funcao gama de Euler foi inicialmente concebida por esse autor como uma generalizacao contınua do fatorial de numeros naturais: n!, n ∈ N, definido como o produto n! = n(n − 1)···1. A ideia que Euler perseguiu foi a de encontrar uma

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 5 192/1730 funcao G que satisfizesse G(1) = 1 e satisfizesse a equacao funcional G(x + 1) = xG(x) para todo x real positivo. Com essas duas propriedades e elementar demonstrar (faca-o!) que G(n + 1) = n! para todo n ∈ N. Apos diversas tentativas, Euler concluiu (em 1729)3 que a funcao Γ(x), x > 0, definida por satisfazia as condicoes desejadas acima listadas. De fato, e claro por (5.1) que Γ(1) = 1 e tem-se formalmente

(verifique!). Euler estudou diversas propriedades da funcao definida por (5.1), que posteriormente passou a ser chamada funcao gama de Euler, ou simplesmente funcao gama. Uma dessas propriedades identificadas por Euler foi o fato que Γ(x) pode ser escrita na forma de uma simples integral:

Que a funcao definida pelo lado direito de (5.2) vale 1 quando x = 1 e elementar de se provar (faca-o!) e usando-se que e−t = − d dte−t e integracao por partes, constata-se facilmente tambem a validade da relacao funcional Γ(x + 1) = xΓ(x) para todo x > 0:

Por diversas razoes nao e conveniente seguirmos os passos historicos de Euler e iniciarmos nosso tratamento da funcao gama definindo-a por (5.1). Na literatura moderna ha dois procedimentos mais comuns: definir-se Γ por (5.2) e depois obter-se (5.1) como uma propriedade derivada ou definir-se Γ a partir de uma outra expressao, a chamada representacao produto de Weierstrass, a qual encontraremos a pagina 200 (eq. (5.27)).

Nestas notas optamos pelo primeiro procedimento4 e optamos tambem por apresentar a funcao gama de Euler ja de inıcio como uma funcao de variavel complexa, pois varias de suas propriedades mais profundas sao melhor compreendidas com esse tipo de tratamento.

Alem do estudo das propriedades da funcao gama de Euler ha uma questao que ira especialmente nos interessar e que sera discutida na Secao 5.5, pagina 208. Trata-se da questao da unicidade: sera a funcao definida em (5.2) a unica funcao satisfazendo G(1) = 1 e a equacao funcional G(x + 1) = xG(x)? A resposta e claramente nao, pois se P e uma funcao periodica de perıodo 1 satisfazendo P(1) = 1 (por exemplo, P(x) = cos(2πx) ou P(x) = esen(2πx)), entao G(x) := P(x)Γ(x) tambem satisfaz ambas as propriedades5. Mas, entao, que outras condicoes podem ser adicionadas de forma a garantir-se que Γ(x) definida em (5.2) e a unica solucao? Ha varias respostas a essa pergunta e a primeira resposta (historicamente) e o conteudo de um elegante teorema, denominado Teorema de Bohr-Mollerup, o qual sera apresentado na Secao 5.5.1, pagina 208. A questao da unicidade e uma questao interessante por si so, mas sua resposta tem conteudo pratico pois, como veremos, diversas propriedades da funcao gama de Euler podem ser obtidas a partir da verificacao de condicoes de unicidade.

3 Euler foi antecedido em alguns dias por Daniel Bernoulli, o qual encontrou uma outra solucao equivalente. Para notas historicas precisas sobre o nascimento da funcao gama de Euler e seus primeiros desenvolvimentos, vide Detlef Gronau “Why is the gamma function so as it is?”, Teaching Mathematics and Computer Science, 1/1, 43–53 (2003). 4Para um texto que segue a segunda via, vide e.g. [156]. Em verdade, [156] define primeiramente ∆(z) = 1/Γ(z) que, por ser uma funcao inteira, e de tratamento mais simples. 5Veremos que isso esgota as possibilidades: todas as funcoes que satisfazem G(1) = 1 e G(x + 1) = xG(x) sao da forma G(x) = P(x)Γ(x) com P periodica de perıodo 1 satisfazendo P(1) = 1.

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Um outro tema que nos ira interessar e o estudo de propriedades assintoticas da funcao Γ para valores “grandes” de seu argumento. Essa questao e importante por sua conexao com uma interessante e util aproximacao: a chamada aproximacao de Stirling para n! quando n e “grande”, utilizada na Teoria das Probabilidades e na Mecanica Estatıstica. Esse sera o assunto da Secao 5.6, pagina 214.

Por fim, nao podemos deixar de mencionar uma das maiores utilidades praticas da funcao gama de Euler: o calculo de certas integrais definidas, assunto que desenvolveremos especialmente em exercıcios.

5.2 A Funcao Gama. Definicao e Primeiras Propriedades

• Definindo a funcao gama de Euler

A funcao Γ, pode ser definida em todo plano complexo (exceto, como veremos, no conjunto dos inteiros nao-positivos, onde possui polos simples). No semiplano Re(z) > 0, Γ(z) e definida por

A seguinte proposicao contem informacoes relevantes sobre (5.3) e sobre a estrutura analıtica de Γ:

z = 0, −1, −2, os inteiros nao-positivos, que sao polos simples de Γ. E valida a chamada representacao de Mittag-

Proposicao 5.1 A integral em (5.3) converge absolutamente para todo z ∈ C com Re(z) > 0. A funcao Γ definida por (5.3) e analıtica no semiplano Re(z) > 0 e pode ser analiticamente estendida a todo C, exceto para os pontos Leffler da funcao Γ, ou representacao em soma de fracoes parciais da funcao Γ:

sendo que a integral no lado direito e analıtica para todo z ∈ C e soma no lado direito converge uniformemente em regioes finitas de C que excluam os inteiros nao-positivos e, portanto, representa uma funcao analıtica para todo z ∈ C, exceto nos inteiros nao-positivos, onde possui polos simples. O resıduo de Γ em z = −n e dado por (−1) n! para todo

n = 0, 1, 2,2

Prova. Para ver que a integral em (5.3) converge absolutamente para Re(z) > 0, escrevemos z = x + iy com x = Re(z),

Agora, a integral ∫ 1

0 e−t tα−1dt e finita, pois, para α > 0 enquanto que ∫∞

1 e−t tβ−1dt e finita para qualquer β ∈ R pois, devido ao rapido decaimento da exponencial, tem-se lim t→∞ e−γtβ−1 = 0, para todo γ > 0, o que implica que existe constante Cγ,β > 0 tal que para todo t > 1. Assim, tomando 0 < γ < 1, vale∫ ∞

Isso prova que a integral em (5.3) converge absolutamente se Re(z) > 0.

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Para provar que Γ(z) e analıtica no semiplano Re(z) > 0, comecamos observando que, para 0 < a < A < ∞, a funcao

a e−ttz−1 dt e analıtica na regiao Re(z) > 0. Isso se deve ao fato de ser possıvel verificar a validade das relacoes de Cauchy-Riemann para Γa,A(z), diferenciando-a sob o sımbolo de integracao e usando o fato de que tz−1 = e(z−1)ln(t) e analıtica em z para t > 0. Que e possıvel diferenciar sob o sımbolo de integracao segue do fato de o integrando ser contınuo em t e a regiao de integracao ser o intervalo compacto [a, A].

Uma vez estabelecido que Γa,A(z) e analıtica em Re(z) > 0, podemos provar que ΓA(z), definida por

e tambem analıtica em Re(z) > 0. Para tal, tomemos z ∈ Fα,β, onde Fα,β ⊂ C e a faixa definida por

que pode ser feito menor que qualquer ǫ > 0 dado, para todos a e a′ pequenos o suficiente. Dessa forma, o limite que define ΓA(z) em (5.6) e uniforme em Fα,β, Assim, por ser o limite uniforme de funcoes analıticas, ΓA(z) e igualmente analıtica em Fα,β (esse e um teorema bem-conhecido da teoria das funcoes de variavel complexa). Como α e β sao arbitrarios (0 < α < β), ΓA(z) e analıtica para todo o semiplano Re(z) > 0.

Para provar que e analıtica para todo o semiplano Re(z) > 0 temos que provar que esse limite e uniforme nas faixas z ∈ Fα,β e evocar o mesmo teorema da teoria das funcoes de variavel complexa mencionado acima. Para provar a uniformidade do limite,

que pode ser feito menor que qualquer ǫ > 0 prescrito para todos A e B grandes o suficiente. Isso provou que o limite em (5.7) e uniforme em cada faixa Fα,β com 0 < α < β, mostrando que Γ(z) e analıtica em cada uma dessas faixas Fα,β e, portanto, em todo o semiplano Re(z) > 0.

Para provar que Γ possui uma extensao analıtica para a regiao Re(z) ≤ 0 (exceto, como mencionamos, os inteiros nao-positivos), notamos que para Re(z) > 0 podemos escrever (5.3) trivialmente como

Agora, a integral impropria I(z) := ∫∞

1 e−ttz−1 dt e analıtica para todo z ∈ C, o que pode ser visto repetindo os argumentos de convergencia uniforme de acima: para 1 < A < A′ < ∞, escrevendo x = Re(z) e restringindo-nos

provisoriamente a regiao x < β, para algum β ∈ R, temos∣∣∣∣∣ ∫ A

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 5 195/1730 que, escolhendo-se 0 < γ < 1, pode ser feita menor que qualquer ǫ > 0 prescrito para todos A, A′ grandes o suficiente.

Isso prova que o limite limA→∞ ∫A

1 e−ttz−1 dt e uniforme na regiao Re(z) < β, o que prova que a integral impropria I(z), sendo o limite uniforme de funcoes analıticas em Re(z) < β, e tambem analıtica nessa regiao. Como β ∈ R e arbitrario, concluımos que a integral impropria I(z) e analıtica em todo o plano complexo C.

Ja para a integral Γ1(z) = ∫ 1

(a inversao da serie pela integral na segunda igualdade acima e justificada pois, como e bem sabido, a serie de Taylor da funcao exponencial converge uniformemente em intervalos compactos, como o intervalo de integracao [0, 1]. Vide Teorema 30.6, pagina 1403). Dessa forma, obtemos a representacao de Mittag-Leffler6 da funcao Γ, ou representacao em soma de fracoes parciais da funcao Γ:

converge uniformemente (devido ao n! no denominador) em regioes finitas de C que excluam os pontos 0, −1, −2, −3,

Como dissemos, a integral no lado direito de (5.9) e analıtica para todo z ∈ C. Ja a soma no lado direito de (5.9) e, portanto, representa uma funcao analıtica para todo z ∈ C, exceto nos inteiros nao-positivos, como mencionado, onde possui polos simples. Como se constata inspecionando (5.9), o resıduo de Γ em z = −n e dado por (−1) n! para todo

n = 0, 1, 2, 3,Isso completa a demonstracao.

Do exposto acima podemos facilmente concluir que para todo z ∈ C com Re(z) > 0 tem-se∣∣Γ(z)∣∣ ≤ Γ(

O grafico de Γ(x) para x real no intervalo (0, 5] pode ser visto na Figura 5.1, pagina 196. A Figura 5.2, pagina 197, exibe o grafico de Γ(x) para valores negativos de x, a saber, no intervalo (−4, 0) .

A demonstracao acima da existencia da mencionada extensao de Γ para argumentos com parte real negativa mostra que essa extensao pode ser calculada por meio da representacao de Mittag-Leffler (5.9). Como veremos mais abaixo, porem, ha uma outra forma, talvez mais conveniente, de expressar essa extensao, a saber, com uso da chamada formula de reflexao (provada adiante):

valida para z nao-inteiro e que permite escrever

com a qual, caso Re(z) > 0, a extensao de Γ para argumentos com parte real negativa (lado esquerdo) pode ser calculada em termos de Γ(z) com Re(z) > 0 (no lado direito), dada concretamente pela integral (5.3).

Mais abaixo (vide (5.14)) apresentaremos outro argumento, talvez mais elementar, para provar que Γ possui uma extensao analıtica para o semiplano Re(z) ≤ 0 (exceto os inteiros nao-positivos).

Antes disso, facamos alguns comentarios importantes.

• Convexidade de Γ e de lnΓ E imediato da definicao (5.3) que para Re(z) > 0 valem

6Magnus Gosta Mittag-Leffler (1846–1927). Para a definicao geral da nocao de serie de Mittag-Leffler, vide [156] ou [110]. Um outro exemplo da serie de Mittag-Leffler e a representacao de Euler da funcao cotangente, expressao (12.237), pagina 592.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 5 196/1730

Figura 5.1: Grafico de Γ(x) para x ∈ (0, 5]. Observe que Γ diverge em 0.

A segunda expressao acima diz-nos que se z for real e positivo (z ≡ x > 0) entao Γ′′(x) > 0 e, portanto, Γ e uma funcao convexa em R+. Em verdade, vale que tambem lnΓ e convexa em R+, fato de certa relevancia como veremos abaixo quando enunciarmos e demonstrarmos o Teorema de Bohr-Mollerup, Teorema 5.1, pagina 209. Para mostrar isso,

o que implica d2

(Γ(x))2 ≥ 0, mostrando que lnΓ e convexa em R+.

• A funcao Γ e o fatorial de numeros naturais Usando integracao por partes, segue que, para Re(z) > 0,

A relacao (5.13) e for vezes denominada formula do complemento da funcao Gama e e de grande importancia, representando a razao de ser da funcao gama de Euler.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 5 197/1730 Γ

Figura 5.2: Grafico de Γ(x) para x ∈ (−4, 0). Observe que Γ diverge em 0 e para inteiros negativos.

para todo n ∈ N0. Assim, a funcao Γ e uma especie de extensao complexa do fatorial de numeros inteiros positivos.

Essa ultima observacao merece um comentario. Ha certamente muitas funcoes f em R+ satisfazendo f(n + 1) = n! para todo n ∈ N0. Se f e uma funcao satisfazendo f(x + 1) = xf(x) para todo x ∈ R+, entao f(x)/Γ(x) e periodica de

n ∈ N0. Um celebre e elegante teorema, o Teorema de Bohr-Mollerup, garante que a funcao gama de Euler e a unica funcao em R+ que satisfaz as seguintes condicoes: 1. Γ(1) = 1, 2. Γ(x + 1) = xΓ(x) e 3. lnΓ e convexa.

O Teorema de Bohr-Mollerup sera enunciado e demonstrado na Secao 5.5.1, pagina 208 (vide Teorema 5.1, pagina 209). Na Secao 5.5, pagina 208, sao demonstrados outros teoremas de unicidade da funcao gama de Euler sob outras caracterizacoes. Um deles e o notavel Teorema de Wielandt, Teorema 5.3, pagina 211, que em um certo sentido e uma generalizacao aos complexos do Teorema de Bohr-Mollerup.

• Revisitando a extensao de Γ para Re(z) ≤ 0

A expressao (5.3) permite definir Γ(z), mas somente se Re(z) > 0 pois, de outra forma, a integral no lado direito de (5.3) nao esta definida. E possıvel, no entanto, estender analiticamente a funcao Γ a todo C, exceto aos inteiros nao-positivos. Ja demonstramos esse fato acima, mas o mesmo pode tambem ser diretamente derivado da relacao (5.13). Trataremos disso agora.

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