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Capıtulo 4

Recordacoes de Calculo Vetorial em Tres

Dimensoes

4.1 Alguns Operadores Diferenciais de Interesse183
4.2 Teoremas Classicos sobre Integrais de Volume e de Superfıcie187
4.3 O Laplaciano em Sistemas de Coordenadas Gerais189

Conteudo este capıtulo listamos, em parte na forma de exercıcios, alguns resultados importantes sobre calculo vetorial em tres dimensoes. As identidades aqui listadas sao uteis em diversas areas da Fısica, como no Eletromagnetismo e na Mecanica dos Fluidos. Todos os resultados que aqui apresentamos podem ser formulados com mais elegancia e generalizados a mais dimensoes na teoria das formas diferenciais. Vide e.g., [144].

4.1 Alguns Operadores Diferenciais de Interesse

• Os sımbolos de Kronecker e de Levi-Civita

O chamado sımbolo de Kronecker1 (ou delta de Kronecker) em tres dimensoes, denotado por δij, com i, j ∈ {1, 2, 3}, e definido por

O chamado sımbolo de Levi-Civita2 (ou tensor de Levi-Civita) em tres dimensoes, denotado por εijk, com i, j, k ∈ {1, 2, 3}, e definido por

Note as seguintes propriedades: 1. (simetria) o sımbolo de Kronecker nao se altera se os ındices forem permutados, ou seja, δij = δji; 2. εijk e nulo se e somente se pelo menos dois dos ındices sao iguais; 3. (anti-simetria) εijk troca de sinal se quaisquer dois dos ındices forem permutados; 4. (ciclicidade) εijk nao se altera se os ındices forem permutados ciclicamente, ou seja, εijk = εjki = εkij.

No que segue apresentamos algumas identidades uteis envolvendo o sımbolo de Kronecker e o sımbolo de Levi-Civita.

E. 4.1 Exercıcio. a. Mostre que se M e uma matriz 3 × 3, valem 3∑ j=1 δijMjk = Mik e j=1 Mijδjk = Mik . Em particular, vale

b. Mostre que, para todos i, j e k, vale

Sugestao para o item b. Siga os seguintes passos: 1. Mostre que o lado direito nao se altera por permutacoes cıclicas dos ındices i, j e k. 2. Mostre que o lado direito anula-se se pelo menos dois dos ındices sao iguais. 3. Mostre que o lado direito

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c. Mostre que vale a identidade εijkεlmn = δilδjmδkn + δimδjnδkl + δinδjlδkm − δilδjnδkm − δinδjmδkl − δimδjlδkn , (4.5) para todos i, j e k e para todos l, m e n, ou seja,

εijkεlmn = det δil δim δin δjl δjm δjn δkl δkm δkn

Sugestao para o item c. Siga os seguintes passos: 1. Constate que o lado direito de (4.5) reduz-se a (4.4) quando (l, m, n) = (1, 2, 3). 2. Constate que o lado direito de (4.5) nao se altera por permutacoes cıclicas de (l, m, n). Constate que o lado direito de (4.5) e nulo se e somente se pelo menos dois dos ındices (l, m, n) sao iguais. 3. Constate que o lado direito de (4.5) troca de sinal se quaisquer dois dos ındices (l, m, n) sao permutados. 4. Conclua dos passos anteriores a validade de (4.5).

A identidade (4.5) e muito util e implica as identidades (4.7) e (4.8), abaixo, cuja utilidade podera ser constatada nos exercıcios posteriores.

d. Mostre que vale a identidade 3∑

e. Mostre que vale a identidade 3∑ j=1 3∑

E. 4.2 Exercıcio. Se S e uma matriz 3 × 3 simetrica, ou seja, satisfaz Sij = Sji para todos i, j ∈ {1, 2, 3}, mostre que 3∑

k=1 εijkSjk = k=1 εikjSkj e em seguida use a simetria de S e a anti-simetria do sımbolo de Levi-Civita. 6

• O produto escalar e o produto vetorial

Sejam x, y e z tres versores ortogonais dois a dois no espaco tridimensional (R3) tais que a tripla (x, y, z) seja positivamente orientada. Cada vetor ~v do espaco tridimensional pode ser escrito na forma ~v = v1x + v2y + v3z, os numeros vi, i = 1, 2, 3, sendo as componentes de ~v na base {x, y, z}.

O chamado produto escalar de dois vetores quaisquer ~a e ~b, denotado por ~a ·~b, e definido por

O chamado produto vetorial de dois vetores quaisquer ~a e ~b, denotado por ~a ×~b, e definido como sendo o vetor cuja i-esima componente na base {x, y, z}, (~a ×~b)i, e dada por

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E importante notar as propriedades ~a ·~b =~b ·~a e ~a ×~b = −~b ×~a, validas para quaisquer vetores ~a e ~b. E. 4.3 Exercıcio. a. Demonstre as igualdades

validas para quaisquer vetores ~a, ~b e ~c. Sugestao: use a ciclicidade do sımbolo de Levi-Civita.

b. Demonstre a identidade

valida para quaisquer vetores ~a, ~b e ~c. Sugestao: use (4.7). c. Demonstre a identidade de Jacobi3, valida para quaisquer vetores ~a, ~b e ~c:

d. Demonstre a identidade (

valida para quaisquer vetores ~a, ~b, ~c e ~d. Sugestao: use (4.7). 6

• Gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano

Com as convencoes de acima denotamos o vetor posicao no espaco tridimensional R3 em coordenadas Cartesianas4 por ~x = x1x + x2y + x3z. Para um campo vetorial ~v = v1x + v2y + v3z, onde as coordenadas vi ≡ vi(x1, x2, x3) sao funcoes diferenciaveis das coordenadas Cartesianas x1, x2 e x2, definimos o divergente de ~v, denotado por ∇ ·~v, por

∂xi δij .

Definimos o rotacional de ~v, denotado por ~∇ ×~v, como sendo o campo vetorial cuja i-esima componente e dada por εijk ∂

Para um campo escalar φ ≡ φ(x1, x2, x3), suposto uma funcao diferenciavel das coordenadas Cartesianas x1, x2 e x2, definimos o gradiente de φ, denotado por ~∇φ, como sendo o campo vetorial dado por

Para um campo vetorial ~v = v1x + v2y + v3z denotamos por ~v · ~∇ o operador diferencial

Assim, se φ e um campo escalar, ( ~v · ~∇) φ coincide com o produto escalar de ~v com o gradiente de φ:

vi ∂φ

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 4 186/1730 enquanto que se ~u e um campo vetorial, ( ~v · ~∇)

~u denota o campo vetorial cuja j-esima componente e ou seja, (

Acima φ e ψ sao campos escalares e ~a e ~b sao campos vetoriais, todos diferenciaveis.

E. 4.5 Exercıcio. Mostre que se ~a e um campo vetorial duas vezes diferenciavel vale

Mostre que se φ e um campo escalar duas vezes diferenciavel vale

Se φ e um campo escalar duas vezes diferenciavel, o chamado Laplaciano5 de φ, denotado por ∆φ, por ∆2φ ou por ∇2φ, e definido como sendo o campo escalar dado por

Assim, tem-se em coordenadas Cartesianas

Se ~v = v1x + v2y + v3z e um campo vetorial duas vezes diferenciavel, define-se Laplaciano de ~v, denotado por ∆~v, como sendo o campo vetorial cuja i-esima componente em coordenadas Cartesianas e

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Assim,

E. 4.6 Exercıcio. a. Mostre que se φ e ψ sao dois campos escalares duas vezes diferenciaveis, vale

Sugestao: use a definicao (4.23) e as identidades (4.15) e (4.17) ou use (4.24) e a regra de Leibniz. b. Mostre que se ~a e um campo vetorial duas vezes diferenciavel, vale

4.2 Teoremas Classicos sobre Integrais de Volume e de Superfıcie

No que segue, listamos alguns teoremas classicos importantes envolvendo integrais de volume e de superfıcie de campos em R3.

Teorema 4.1 (Teorema de Gauss) 6 Se ~v e um campo vetorial diferenciavel definido em um volume compacto e conexo V ⊂ R3, limitado por uma superfıcie fechada, retificavel e orientavel ∂V , entao∫

onde d~σ(~x) := n(~x)dσ(~x), n(~x) sendo um vetor unitario normal a ∂V em ~x ∈ ∂V , direcionado no sentido do exterior de V e dσ(~x) sendo a medida de area de ∂V . 2

A demonstracao desse resultado classico pode ser encontrada em qualquer bom livro de Calculo de funcoes de varias variaveis.

Teorema 4.2 (Teorema de Stokes) 7 Se ~v e um campo vetorial diferenciavel definido em uma superfıcie compacta,

conexa, orientada e retificavel S ⊂ R3, limitada por uma curva fechada, retificavel e orientavel ∂S, entao∫S

onde d~σ(~x) := n(~x)dσ(~x), n(~x) sendo um vetor unitario normal a S em ~x ∈ S, direcionado no sentido positivo de S e d~ℓ(~x) = t(~x)dℓ, t(~x) sendo um vetor tangente a ∂S em ~x ∈ ∂S orientado no sentido positivo de ∂S e dℓ e a medida de comprimento de ∂S. 2

A demonstracao desse resultado classico pode ser encontrada em qualquer bom livro de Calculo de funcoes de varias variaveis.

Teorema 4.3 (Identidades de Green) 8 Sejam f e g funcoes definidas em um volume compacto e conexo V ⊂ R3, limitado por uma superfıcie fechada, retificavel e orientavel ∂V , ambas as funcoes sendo duas vezes diferenciaveis no interior V 0 de V e diferenciaveis em V . Entao, valem as seguintes identidades:

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Primeira identidade de Green: ∫V

Segunda identidade de Green: ∫

Terceira identidade de Green: ∫

Prova. A expressao (4.27) segue imediatamente do Teorema de Gauss, Teorema 4.1, pagina 187, para ~v = f ~∇g, pois

~∇g) , como facilmente se constata por (4.17). A expressao (4.28) segue imediatamente do

A expressao (4.29) segue imediatamente do Teorema de Gauss para ~v = ~∇f.

As identidades de Green sao amplamente empregadas no estudo das equacoes de Poisson e Laplace.

Teorema 4.4 (Teorema do gradiente) Se φ e um campo escalar diferenciavel definido em um volume compacto e conexo V ⊂ R3, limitado por uma superfıcie fechada, retificavel e orientavel ∂V , entao

onde d~σ(~x) := n(~x)dσ(~x), n(~x) sendo um vetor unitario normal a ∂V em ~x ∈ ∂V , direcionado no sentido do exterior de V e dσ(~x) sendo a medida de area de ∂V . 2

Prova. Basta aplicar o Teorema de Gauss para o campo ~v(~x) = ~αφ(~x), ~α sendo um vetor constante arbitrario.

Teorema 4.5 (Teorema do rotacional) Se ~v e um campo escalar diferenciavel definido em um volume compacto e conexo V ⊂ R3, limitado por uma superfıcie fechada, retificavel e orientavel ∂V , entao

onde d~σ(~x) := n(~x)dσ(~x), n(~x) sendo um vetor unitario normal a ∂V em ~x ∈ ∂V , direcionado no sentido do exterior de V e dσ(~x) sendo a medida de area de ∂V . 2

Prova. A demonstracao pode ser feita componente a componente. Para a componente 1, definimos o campo vetorial

1 = ∇ · ~w. Assim, usando o Teorema de Gauss, Teorema

como facilmente se constata. Para as demais componentes a prova e analoga.

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4.3 O Laplaciano em Sistemas de Coordenadas Gerais

Nesta secao apresentaremos uma identidade que permite, no espaco Rn, expressar o Laplaciano de uma funcao escalar em qualquer sistema de coordenadas9, ao menos localmente. Isso e particularmente util em duas e tres dimensoes espaciais, pois ha muitos problemas em Fısica (vide Capıtulo 17, pagina 744) nos quais coordenadas polares, esfericas, cilındricas ou outras se prestam melhor ao tratamento do que coordenadas Cartesianas, permitindo, por exemplo, explorar melhor as simetrias geometricas que se apresentam.

No que segue, denotaremos por (x1,, xn) um sistema de coordenadas Cartesianas em Rn e por (y1, ..., yn) um
segundo sistema de coordenadas, nao-necessariamente Cartesianas, em Rn. Suporemos que as funcoes xk(y1,, yn),
k = 1,, n, sejam definidas em algum aberto conexo Ω ⊂ Rn e sejam ao menos duas vezes diferenciaveis.
Definimos a matriz Jacobiana10, denotada por J ≡ J(y1,, yn), como sendo a matriz como sendo a matriz n × n

definida em Ω cujos elementos ab sao dados por

Jab(y1,, yn) :=
(y1,, yn) , a, b = 1, . . . , n .
Definimos o tensor metrico, ou matriz metrica, g ≡ g(y1,, yn) como sendo a matriz n × n definida em Ω dada por
g := JJT e, assim, para seus elementos de matriz gab ≡ gab(y1,, yn), temos
, a, b = 1,, n .
Se ~A : Rn → Rn e um campo vetorial, entao o divergente de ~A pode ser expresso nas coordenadas (y1,, yn) por
onde Aj e a j-esima componente de ~A no sistema (y1,, yn).
Se f : Rn → R e um campo escalar, entao seu Laplaciano pode ser expresso nas coordenadas (y1,, yn) por

jk ∂f sendo g−1 a matriz inversa da matriz g.

Observe-se que as expressoes (4.30) e (4.31) so sao validas nos pontos em que det(g) 6= 0 e observe-se tambem que √ det(g) = det(J) (por que?). Assim, (4.30) e (4.31) nao estao definidas nos pontos em que a transformacao de

coordenadas (x1,, xn) → (y1, ..., yn) for singular (ou seja, quando det(J) se anula).

Geometria Riemanniana. Ha tambem uma elegante maneira de obter essas expressoes fazendo uso de formas diferenciais. Vide para tal [144] ou qualquer outro bom livro sobre Geometria Diferencial.

Vamos agora tratar de exemplos simples de aplicacao de (4.31). Algumas das expressoes que obteremos serao usadas neste texto, notadamente no Capıtulo 17, pagina 744.

• Coordenadas polares em duas dimensoes

Em R2, alem das coordenadas Cartesianas usuais (x1, x2) ≡ (x, y), podemos definir tambem coordenadas polares (y1, y2) ≡ (ρ, ϕ), com 0 ≤ ρ < ∞ e −π < ϕ ≤ π e tem-se x = ρcosϕ , y = ρsenϕ .

9Naturalmente, o leitor mais avancado sabe que certas condicoes tem que ser supostas sobre o sistema de coordenadas e que tipicamente garantam a nao-singularidade e um grau suficiente de diferenciabilidade. 10Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

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E elementar constatar que a matriz Jacobiana e dada nesse caso por

J = cosϕ senϕ

−ρsenϕ ρcosϕ

Note-se que det(J) = ρ e, portanto, Ω = R2 \ {0} e a regiao onde a transformacao de coordenadas (x, y) → (ρ, ϕ) e nao-singular. A matriz metrica g e sua inversa g−1 sao dadas por

(verifique!) sendo que √ det(g) = ρ. De posse dessas informacoes e elementar obter de (4.31) a expressao que fornece o Laplaciano de f em duas dimensoes em coordenadas polares, expressao essa valida para ρ > 0.

• Coordenadas esfericas em tres dimensoes

Em R3, alem das coordenadas Cartesianas usuais (x1, x2, x3) ≡ (x, y, z), podemos definir tambem coordenadas esfericas (y1, y2, y3) ≡ (r, θ, ϕ), com 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π e −π < ϕ ≤ π e tem-se x = r senθ cosϕ , y = r senθsenϕ , z = rcosθ . A matriz Jacobiana J pode ser facilmente calculada e obtem-se

senθ cosϕ senθ senϕ cosθ r cosθcosϕ r cosθsenϕ −rsenθ −r senθsenϕ r senθ cosϕ 0

E facil constatar que detJ = r2 senθ e, portanto, a transformacao de coordenadas (x, y, z) → (r, θ, ϕ) e nao-singular na regiao Ω = R3 \ Z, onde Z e o eixo “z”: Z = {(x, y, z) ∈ R3, x = y = 0}. A matriz metrica g e sua inversa g−1 sao dadas por

(verifique!) e tem-se √ det(g) = r2 senθ. Com (4.31) obtem-se para o operador Laplaciano em tres dimensoes em coordenadas esfericas a expressao

senθ ∂ ∂θ senθ ∂f

que tambem pode ser escrita como

senθ ∂f

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