nc - cap08

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Capıtulo 8

Equacoes Diferenciais Ordinarias. Uma Introducao

8.1 Definicao e Alguns Exemplos356
8.1.1 Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares358
8.1.2 Equacoes Ordinarias de Segunda Ordem. Exemplos de Interesse361
8.2 Sistemas de Equacoes Diferenciais Ordinarias363
8.3 Discussao sobre Problemas de Valor Inicial367
8.3.1 Problemas de Valor Inicial. Patologias e Exemplos a se Ter em Mente369
8.3.2 Teoremas de Existencia e Unicidade de Solucoes372
8.3.3 Solucoes Globais374
8.3.4 Dependencia Contınua de Condicoes Iniciais e de Parametros376

Conteudo este capıtulo apresentaremos uma breve introducao a teoria das equacoes diferenciais ordinarias, abordando varios assuntos que serao aprofundados em outros capıtulos. Na Fısica, equacoes diferenciais sao representacoes matematicas diretas ou indiretas de leis naturais e nao e de surpreender, portanto, o papel central que as mesmas nela desempenham. Pode-se, sem medo de exagero, afirmar que o desenvolvimento da Fısica moderna pos-

Newtoniana so se tornou possıvel quando se compreendeu a importancia de se expressar as leis basicas da natureza em termos de equacoes diferenciais e quando se desenvolveram metodos de resolucao das mesmas. Desde o seculo XVIII as equacoes diferenciais tornaram-se nao apenas um dos principais instrumentos teoricos de trabalho dos fısicos, mas a linguagem mesma pela qual as leis da Fısica se expressam.

Um exemplo basico e a segunda lei de Newton da Mecanica Classica, que popularmente consiste na afirmacao que para uma partıcula de massa m (movendo-se em, digamos, uma dimensao, do ponto de vista de um referencial inercial) o produto de sua massa por sua aceleracao e igual a forca que age sobre ela. Se y(t) e a posicao da partıcula (em um sistema de referencia inercial) e a forca F que age sobre ela em um instante de tempo t depender apenas do tempo t, da posicao y(t) no instante t e da velocidade y(t) no mesmo instante t, entao a segunda lei de Newton assume a forma da equacao diferencial ordinaria de segunda ordem

A Fısica apresenta outros exemplos de leis que se expressam em termos de equacoes diferenciais (parciais), tais como as leis do Eletromagnetismo (equacoes de Maxwell), da Mecanica dos Fluidos (equacoes de Euler e de Navier-Stokes), da Mecanica Quantica (equacoes de Schrodinger, de Klein-Gordon e de Dirac), da Teoria da Relatividade Geral (equacao de Einstein) etc.

Atualmente, o estudo das equacoes diferenciais e suas aplicacoes estende-se a outras sub-areas da Fısica, tais como a quımica, a biologia, a economia, financas etc. , Para excelentes introducoes, legıveis, profundas e abrangentes, a teoria das equacoes diferenciais ordinarias, recomendamos [9] e [89].

8.1 Definicao e Alguns Exemplos

Vamos iniciar nossa discussao tentando, de um modo geral e abstrato, definir o que se entende por uma equacao diferencial ordinaria (que, seguindo a praxe, abreviaremos frequentemente por EDO).

• Definicao geral de EDOs

Em termos simples, uma equacao diferencial ordinaria e uma relacao a ser satisfeita em um determinado domınio por uma funcao de uma variavel e um conjunto finito de suas derivadas. Vamos tentar formalizar essa ideia.

Seja n ≥ 1 um numero natural e seja G(x1,, xn+2) uma funcao (real ou complexa) de n + 2 variaveis (reais ou

complexas). Entende-se por uma equacao diferencial ordinaria de ordem n de uma funcao (incognita) y de uma variavel

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 8 357/1730

G(t, y(t), y′(t),, y(n)(t)) = 0 . (8.1)

t associada a funcao G a equacao

Assim sendo, o numero n e dito ser a ordem da equacao. Como dissemos, apenas as derivadas de uma funcao incognita em relacao a uma das variaveis da qual eventualmente depende ocorrem em uma equacao diferencial ordinaria. Se ocorrerem derivadas em relacao a varias variaves, a equacao e dita ser uma equacao diferencial parcial. Equacoes diferenciais parciais serao discutidas em outros capıtulos, adiante.

Um exemplo (escolhido arbitrariamente, sem aplicacao pratica conhecida) seria o caso da funcao de tres variaveis

G(x1, x2, x3) = x21 + sen(x2) − 3x1 cos(x3) . (8.2) A equacao diferencial ordinaria de primeira ordem associada a essa funcao seria

se a mesma possuir zeros, ou seja, se a equacao algebrica G(x1,, xn+2) = 0 possuir solucoes (reais ou complexas,

E evidente que so faz sentido associar uma equacao diferencial a uma funcao G de n + 2 variaveis, como acima, dependendo do interesse). Por exemplo, se G(x1, x2, x3) e uma funcao de tres variaveis reais ou complexas da forma G(x1, x2, x3) = |x1|2 + |x2|2 + |x3|2 + 1 entao nao ha nenhuma equacao diferencial associada a mesma, ja que nao ha numeros reais ou complexos tais que G(x1, x2, x3) = 0 e, portanto, a equacao |t|2 + |y(t)|2 + |y′(t)|2 + 1 = 0, ainda que possa ser escrita, trivialmente nao possui qualquer solucao.

Em muitos casos a equacao algebrica G(x1,, xn+2) = 0 permite escrever de modo unico (ao menos em uma regiao

finita) a variavel xn+2 em termos das demais:

xn+2 = F(x1,, xn+1) , (8.4)

onde F e alguma funcao de n + 1 variaveis. Condicoes para isso sao garantidas pelo importante Teorema da Funcao Implıcita (vide Secao 2.5, pagina 1075, ou qualquer bom livro-texto sobre funcoes de varias variaveis). Nesses casos felizes, a equacao diferencial para G equivale (ao menos localmente) a equacao

y(n)(t) = F(t, y(t),, y(n−1)(t)) . (8.5)

Nos casos em que G e tal que nao permite a separacao global da dependencia de xn+2 como em (8.4) a equacao diferencial e dita ser uma equacao diferencial implıcita. Equacoes implıcitas sao por vezes difıceis de lidar. Trataremos da solucao de algumas delas no Capıtulo 9, pagina 377. Um exemplo de uma equacao implıcita foi apresentado em (8.2)-(8.3). Outro exemplo e a equacao diferencial (associada a conservacao de energia mecanica de uma partıcula de massa m se movendo em uma dimensao sob a acao de um potencial U):

onde E e uma constante.

Daqui por diante estaremos mais frequentemente interessados em equacoes diferenciais de ordem n da forma (8.5) para alguma funcao de n + 1 variaveis F. Para ilustrar equacoes do tipo (8.5), apresentemos mais alguns exemplos.

Exemplo 8.1 Sejam m, ρ e k constantes positivas e f uma funcao de uma variavel. Seja G a funcao de quatro variaveis

E evidente que para a equacao algebrica G(x1, x2, x3, x4) = 0 podemos escrever onde

A equacao diferencial (de segunda ordem) associada a essa funcao F e y(t) = F(t, y(t) y(t)), ou seja my(t) + ρy(t) + ky(t) = f(t) .

O estudante pode imediatamente reconhecer que se trata da equacao do oscilador harmonico amortecido submetido a uma forca dependente do tempo f(t). ◊

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 8 358/1730

Vamos a outros exemplos escritos diretamente em termos da funcao F. Exemplo 8.2 Sejam g e l duas constantes positivas e seja F a funcao

A equacao diferencial (de segunda ordem) associada a essa funcao F e

O estudante pode imediatamente reconhecer que se trata da equacao do pendulo simples. ◊ Exemplo 8.3 (Equacao de van der Pol) Sejam µ e k constantes e

F(x1, x2, x3) = −µx3(x22 − 1) − kx2 . A equacao diferencial (de segunda ordem) associada a essa funcao F e

Esta equacao e conhecida como equacao de van der Pol1, em honra ao engenheiro que a propos como a equacao basica para o triodo (uma especie de “avo” do transistor). ◊

Exemplo 8.4 Sejam α e β constantes e

F(x1, x2) = −αx2 + βx22 . A equacao diferencial (de primeira ordem) associada a essa funcao F e y′(t) = −αy(t) + βy(t)2 . Essa equacao aparece em varios problemas, por exemplo no estudo da evolucao de populacoes. ◊

Varios outros exemplos serao apresentados adiante.

• A nocao de solucao classica de uma EDO

Algumas palavras devem ser ditas sobre a nocao de solucao de uma equacao diferencial ordinaria. Uma solucao classica de uma equacao diferencial ordinaria de ordem m em um domınio Ω ⊂ R ou Ω ⊂ C (suposto conexo e de interior nao-vazio) e uma funcao m-vezes diferenciavel que satisfaz a equacao em todos os pontos do interior de Ω. Existem tambem outras nocoes de solucao, como a de solucao fraca, de solucao distribucional etc. Discutiremos por ora apenas as solucoes classicas e, por isso, abusando um pouco da linguagem, nos referiremos a elas simplesmente como “solucoes”, sem pender o qualificativo “classicas”.

8.1.1 Equacoes Diferenciais Ordinarias Lineares

No estudo das equacoes diferenciais e muito util classificar equacoes que possuam certas propriedades comuns. Uma classificacao muito importante e aquela que separa as equacoes diferenciais em lineares e nao-lineares e as primeiras em homogeneas e nao-homogeneas.

• Equacoes diferenciais ordinarias lineares Seja a equacao diferencial ordinaria de ordem n

y(n)(t) = F(t, y(t),, y(n−1)(t)) . (8.6)
Se a funcao F(x1,xn+1) for uma funcao linear das variaveis x2, ...xn+1, entao (8.6) e dita ser linear. Em um tal
caso, F(x1,xn+1) e da forma
F(x1,xn+1) = f1(x1) + f2(x1)x2 + · + fn+1(x1)xn+1 ,

1Balthazar van der Pol (1889–1959). Os trabalhos originais de van der Pol sobre a equacao que leva seu nome sao: B. van der Pol, Radio

Rev. 1, 704–754, (1920) e B. van der Pol, “Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance (reception with reactive triode)”, Phil. Mag. 3, 65–80, (1927).

para certas funcoes de uma variavel f1,, fn+1.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 8 359/1730 E facil constatar que toda equacao diferencial ordinaria e linear de ordem n e da forma

para funcoes reais ou complexas a0,,an−1 e f. Veremos inumeros exemplos adiante (vide Secao 8.1.2).

Equacoes nao-lineares sao em muitos sentidos mais “complexas” que equacoes lineares e tem sido objeto de intenso estudo nas ultimas decadas, especialmente no que concerne ao comportamento “caotico” observado em muitas delas. Nos capıtulos que seguem, nossa enfase sera o desenvolvimento de metodos de resolucao de equacoes lineares, mas trataremos de metodos de resolucao de algumas equacoes nao-lineares no Capıtulo 9, pagina 377, e tambem no Capıtulo 2 quando desenvolvermos metodos recursivos no tratamento das equacoes integrais de Fredholm e de Volterra.

Caso as funcoes a0,,an−1 em (8.7) sejam constantes, a equacao (8.7) e dita ser a equacao a coeficientes constantes.

• Equacoes diferenciais ordinarias lineares a coeficientes constantes Como discutiremos, ha um metodo geral para obter solucoes de equacoes diferenciais ordinarias lineares a coeficientes constantes (para qualquer ordem n).

• Equacoes lineares homogeneas e nao-homogeneas

Caso a funcao f seja identicamente nula, a equacao (8.7) e dita ser uma equacao diferencial homogenea. De outra forma, se f nao for identicamente nula, equacao (8.7) e dita ser uma equacao diferencial nao-homogenea.

Equacoes lineares e homogeneas tem uma propriedade de grande importancia, o chamado princıpio de sobreposicao, do qual trataremos agora.

• O princıpio de sobreposicao para equacoes lineares homogeneas Seja uma equacao diferencial ordinaria linear e homogenea de ordem n

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