Baixe Matematica Basica - ABRAMAN e outras Notas de estudo em PDF para Automação, somente na Docsity! Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 3 CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Manutenção Elétrica Matemática Básica π α φ χ β + − 1 % a b xn Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 4 Companhia Siderúrgica de Tubarão Matemática Básica - Elétrica © SENAI - ES, 1996 Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão) SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial DAE - Divisão de Assistência às Empresas Departamento Regional do Espírito Santo Av. Nossa Senhora da Penha, 2053 - Vitória - ES. CEP 29045-401 - Caixa Postal 683 Telefone: (027) 325-0255 Telefax: (027) 227-9017 CST - Companhia Siderúrgica de Tubarão AHD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos Humanos AV. Brigadeiro Eduardo Gomes, s/n, Jardim Limoeiro - Serra - ES. CEP 29160-972 Telefone: (027) 348-1322 Telefax: (027) 348-1077 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 7 Números Inteiros Números Naturais Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto. Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a última ovelha devia corresponder à última pedrinha. Tinham assim, a noção dos números naturais, embora não lhes dessem nomes nem os representassem por símbolos. Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo, os símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O conjunto dos números naturais é representado pela letra IN e escreve-se: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Operações Fundamentais Com Números Naturais Adição É a operação que permite determinar o número de elementos da união de dois ou mais conjuntos: 1.004 577 → parcelas 12 + 4 1.597 → total ou soma Subtração É a operação que permite determinar a diferença entre dois números naturais: 837 → Minuendo Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 8 Companhia Siderúrgica de Tubarão - 158 → Subtraendo 679 → Resto ou diferença Multiplicação A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de parcelas iguais: Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 × 2 (três parcelas iguais a 2) 381 → Multiplicando Fatores x 23 → Multiplicando 1143 + 762_ 8763 → Produto Atenção: Qualquer número natural multiplicado por zero é zero. Exemplo: 4 × 0 = 0 Divisão É a operação que permite determinar o quociente entre dois números. A divisão é a operação inversa da multiplicação. Exemplo: 18 × 4 = 72 → 72 ÷ 4 = 18 Termos Da Divisão: Dividendo → 4051 8 → Divisor - 40__ 506 → Quociente 051 - 48 03 → Resto Atenção: Quando o dividendo é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é exata. Exemplo: 16 ÷ 8 = 2 Quando o dividendo não é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é aproximada ou inexata. Exemplo: 16 ÷5 = 3 (resto = 1) Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 9 Numa divisão, em números naturais, o divisor tem de ser sempre diferente de zero, isto é, não existe divisão por zero no conjunto de números naturais (IN). Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 12 Companhia Siderúrgica de Tubarão b) O produto de vários fatores é zero, quando pelo menos um de seus fatores for ............................... 11) Complete: a) 4 × 5 × 0 = b) 6 × 0 × 9 = c) 0 × 5 × 8 = d) 1 × ...... × 8 = 0 e) 7 × 9 × ...... = 0 f) ......× 4 × 8 = 0 12) Escreva os termos da divisão: ............................... 107 5 ............................ 07 21 ............................ ...................... 2 13) Efetue: a) 810 ÷ 4 = b) 408 ÷ 4 = c) 560 ÷ 8 = d) 12.018 ÷ 6 = 14) O número 9 está contido em 3.663 ............................ vezes. 15) Arme, efetue e verifique a exatidão das operações através de uma prova. a) 8.750 + 3 + 1.046 = b) 37.600 - 28.935 = c) 2.091 × 45 = d) 9.327 × 814 = e) 3.852 × 208 = f) 68.704 ÷ 74 = Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 13 g) 1.419 ÷ 87 = h) 4.056 ÷ 68 = 16) Resolva os problemas: a) Um reservatório contém 400 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações: • retiramos 70 litros • colocamos 38 litros • retiramos 193 litros • colocamos 101 litros • colocamos 18 litros Qual a quantidade de água que ficou no reservatório? b) Em uma escola estudam 1.920 alunos distribuídos igualmente em 3 períodos: manhã, tarde e noite. Pergunta-se: • Quantos alunos estudam em cada período? • Quantos alunos estudam em cada sala, por período, se há 16 salas de aula? Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 14 Companhia Siderúrgica de Tubarão Mínimo Múltiplo Comum Múltiplos e Divisores Múltiplos de um Número Múltiplo de um número natural é o produto desse número por um outro número natural qualquer. Exemplo: M (2) { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} M (5) { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} Atenção: • Zero é múltiplo de todos os números. • Qualquer número natural é múltiplo de si mesmo. • O conjunto de múltiplos de um número é infinito. Divisores de um Número Um número é divisor de outro quando está contido neste outro certo número de vezes. Um número pode ter mais de um divisor. Por Exemplo, os divisores do número 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, e 12. O conjunto dos divisores de 12 representamos assim: D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Se um número é múltiplo de outro, ele é "divisível" por este outro. Atenção: • Zero não é divisor de nenhum número. • Um é divisor de todos os números. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 17 Observe agora, os Exemplos: 8 15 2 4 8 1 3 5 15 1 1 é o único divisor comum a 8 e 15, por isso dizemos que 8 e 15 são primos entre si. Dois ou mais números são primos entre si, quando só admitem como divisor comum a unidade. Agora, vamos recordar o que é decompor um número em fatores primos. A decomposição em fatores primos é feita através de divisões sucessivas por divisores primos. Exemplo: 30 15 5 1 2 3 5 o menor divisor primo de 30 é 2: 30 : 2 = 15 o menor divisor primo de 15 é 3: 15 : 3 = 5 o menor divisor primo de 5 é 5: 5 : 5 = 1 Para decompor um número em seus fatores primos: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) Dividimos o quociente pelo seu menor divisor primo; 3º) E assim sucessivamente, até encontrarmos o quociente 1. 1º Processo: Para determinar o m.m.c. através da decomposição em fatores primos ou fatoração, procedemos da seguinte forma: 1. Decompomos em fatores primos os números apresentados. Exemplo: 15 e 20 15 5 1 3 5 20 10 5 2 2 5 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 18 Companhia Siderúrgica de Tubarão 1 2. Multiplicamos os fatores primos comuns e não comuns com seus maiores expoentes. 15 = 3 x 5 - 20 = 22 x 5 3. O produto será o m.m.c. procurado: m.m.c. = (15, 20) = 22 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60 2º Processo: Podemos também determinar o m.m.c. através da decomposição simultânea (fatoração dos números ao mesmo tempo). Exemplo: a) Calcular o m.m.c. (12, 18). Solução: decompondo os números em fatores primos, teremos: 12 - 18 6 - 9 3 - 9 1 - 3 1 - 1 2 2 3 3 Portanto: m.m.c. = 22 x 32 ou 2 x 2 x 3 x 3 = 36 b) Determinar o m.m.c. (14, 45, 6) 14 - 45 - 6 7 - 45 - 3 7 - 15 - 1 7 - 5 - 1 7 - 1 - 1 1 - 1 - 1 2 3 3 5 7 Portanto: m.m.c. = 2 × 32 × 5 × 7 ou 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 630 Atenção: Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 19 O m.m.c. de números primos entre si é igual ao produto desses números. Mínimo Múltiplo Comum - Exercício 1) Escreva até 6 múltiplos dos números: a) M (3) = .............................................................. b) M (4) = .............................................................. c) M (5) = .............................................................. d) M (10) = .............................................................. e) M (12) = .............................................................. 2) Escreva os divisores dos números dados: a) D (8) = ............................................................... b) D (12) = ............................................................... c) D (36) = ............................................................... d) D (15) = ............................................................... e) D (24) = ............................................................... 3) Escreva um algarismo para que o número fique divisível por 3: a) 134 .............. b) 73 ............. 4) Risque os números divisíveis: a) por dois: 7120 - 621 - 162 - 615 - 398 - 197 - 1009 - 74 b) por três: 4414 - 173 - 315 - 222 - 302 - 706 - 207 c) por cinco: 217 - 345 - 1642 - 700 - 325 - 801 - 12434 - 97 d) por dez: 153 - 140 - 1000 - 315 - 304 - 12360 - 712 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 22 Companhia Siderúrgica de Tubarão Frações Números Racionais Consideremos a operação 4 : 5 = ? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números porque não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4. A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão, quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criou- se, então, o conjunto dos Números Racionais. Número racional é todo aquele que é escrito na forma a b onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero. São exemplos de números racionais: 3 5 1 2 4 3 10 5 12 24 36 18 , , , , , A seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais fracionários, também chamados de frações. Conceito de Fração: Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operação por uma fração. Veja: A figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes. Representamos, então, assim: 2 3 E lemos: dois terços. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 23 O número que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chama-se DENOMINADOR. O número que fica sobre o traço e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR. Leitura e Classificações das Frações Numa fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o denominador. a) Quando o denominador é um número natural entre 2 e 9, a sua leitura é feita do seguinte modo: 1 2 - um meio 1 3 - um terço 1 4 - um quarto 1 5 - um quinto 1 6 - um sexto 1 7 - um sétimo 1 8 - um oitavo 1 9 - um nono b) Quando o denominador é 10, 100 ou 1000, a sua leitura é feita usando-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou milésimo(s). 1 10 - um décimo 7 100 - sete centésimos 20 1000 - vinte milésimos c) Quando o denominador é maior que 10 (e não é potência de 10), lê-se o número acompanhado da palavra "avos". 1 15 - um quinze avos 3 29 - três vinte e nove avos 13 85 - treze oitenta e cinco avos Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 24 Companhia Siderúrgica de Tubarão Frações Ordinárias e Frações Decimais As frações cujos denominadores são os números 10, 100, 1000 (potências de 10) são chamadas Frações Decimais. As outras são chamadas Frações Ordinárias. Exemplos: 3 10 5 100 23 1000 , , são frações decimais 1 5 8 17 10 41 , , são frações ordinárias Frações Próprias Observe as frações abaixo: 1 2 2 3 Essas frações são menores do que a unidade. São chamadas Frações Próprias. Nas frações próprias, o numerador é menor do que o denominador. Frações Impróprias Observe as frações abaixo: 7 4 4 3 Essas frações são maiores que o inteiro, portanto são Frações Impróprias. Nas frações impróprias, o numerador é maior que o denominador. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 27 1 1 4 5 4 ou Para transformar 5 4 em número misto, ou seja, para verificar quantas vezes 4 4 cabe em 5 4 , procede-se assim: 5 4 1 1 1 1 4 É só dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira. O resto será o numerador e conserva-se o mesmo denominador. Transformação de Números Mistos em Frações Impróprias. Observe o exemplo e a ilustração: Transformar 1 1 4 em fração imprópria. Solução: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o outro quarto. 1 1 4 4 + 1 = 5 1 + 1 4 4 4 4 1 1 ou 5 4 4 Resumidamente, procede-se assim: Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 28 Companhia Siderúrgica de Tubarão 1 1 4 1 4 1 4 5 4 = × + = ( ) Simplificação de Frações Simplificar uma fração significa transforma-la numa fração equivalente com os termos respectivamente menores. Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo número natural (diferente de 0 e de 1). Exemplo: Simplificar 8 16 8 2 16 2 4 2 8 2 2 2 4 2 1 2 ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que ela é IRREDUTÍVEL ou que está na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si. Redução de Frações ao mesmo Denominador Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o mesmo número para denominador. Exemplo: As frações 1 2 , 2 3 e 3 4 são equivalentes a 6 12 , 8 12 e 9 12 respectivamente. Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos: 1º - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das frações que será o menor denominador comum. 2º - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das frações dadas. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 29 3º - Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 32 Companhia Siderúrgica de Tubarão Frações com os Numeradores e Denominadores Diferentes Observe: 2 3 1 2 3 4 Para fazer a comparação de frações com numeradores e denominadores diferentes, reduzem-se as frações ao mesmo denominador. Exemplo: 2 = 8 3, 2, 4 2 3 12 3, 1, 2 2 3, 1, 1 3 1 = 6 1, 1, 1 12 2 12 3 = 9 4 12 Já aprendemos que comparando frações com denominadores iguais a maior fração é a que tem o maior numerador. Daí, 9 12 8 12 6 12 . Então: 3 4 > 2 3 > 1 2 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 33 Adição e Subtração de Frações A soma ou diferença de duas frações é uma outra fração, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos": 1º As Frações tem o mesmo Denominador. Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador. Exemplo: 2 5 1 5 + = 2 1 5 3 5 + = 6 7 4 7 − = 6 4 7 2 7 − = 2º As Frações tem Denominadores diferentes. Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procede- se como no 1º caso. Exemplo: 2 + 3 = 8 + 9 = 17 3, 4 2 3 4 12 12 12 3, 2 2 3, 1 3 1, 1 12 3º Números Mistos. Transformam-se os números mistos em frações impróprias e procede-se como nos 1º e 2º casos. Exemplo: + + 2 1 + 1 1 3 4 x x 7 + 5 = 28 + 15 = 43 = 3 7 3 4 12 12 12 12 Atenção: Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 34 Companhia Siderúrgica de Tubarão Nas operações com frações, é conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possível. Multiplicação de Frações A multiplicação de duas ou mais frações é igual a uma outra fração, obtida da seguinte forma: O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la. Exemplo: 2 3 5 2 1 1 5 2 51 13 / × = × = / / / × / / / × / / = × × = = 6 5 10 3 6 9 2 1 2 1 2 3 8 3 2 2 3 2 1 2 1 2 3 Divisão de Frações Ordinárias O quociente da divisão de duas frações é uma outra fração obtida da seguinte forma: Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda. Para isso, exige-se: 3º - Transformar os números mistos em frações impróprias. 4º - Transformar os números inteiros em frações aparentes. 5º - Simplificar. 6º - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. 7º - Extrair os inteiros. Exemplo: 3 4 5 7 3 4 7 5 21 20 1 1 20 ÷ = × = = Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 37 d) ( ) 3 1 é uma fração. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 38 Companhia Siderúrgica de Tubarão 7) Faça a leitura de cada uma das frações seguintes: a) 3 4 .................................................................................... b) 5 8 .................................................................................... c) 1 2 .................................................................................... d) 5 100 ................................................................................ 8) Classificar as frações seguintes em própria, imprópria ou aparente: a) 2 3 ..................................................................... b) 5 2 ..................................................................... c) 8 4 ..................................................................... d) 12 15 .................................................................... e) 24 6 .................................................................... 9) Circule as frações equivalentes a: a) 2 = 10 3 5 8 6 5 25 4 20 20 15 b) 6 = 2 18 7 30 1 7 5 21 9 35 7 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 39 10) Numere a 2a coluna de acordo com a 1a: 1. fração ordinária 2. fração decimal ( ) ( ) ( ) ( )1 2 7 10 359 1000 6 35 11) Transforme os números mistos em frações impróprias: a) 2 7 9 = b) 3 1 2 = c) 5 7 13 = d) 11 8 = e) 12 3 4 = 12) Extraia os inteiros das frações: a) 17 5 = b) 38 7 = c) 87 4 = d) 25 13 = e) 42 19 = 13) Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis: a) 4 6 = b) 6 15 = c) 8 14 = d) 14 28 = Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 42 Companhia Siderúrgica de Tubarão ( e ) 5 8 ( ) 8 16 21) Torne as frações irredutíveis: a) 24 32 = b) 100 128 = c) 12 15 = d) 4 32 = e) 48 64 = f) 25 100 = 22) Circule as frações irredutíveis: 1 3 4 6 12 15 12 13 7 8 18 24 1 8 , , , , , , 23) Determine a soma: a) 5 16 3 16 7 16 + + b) 2 3 4 5 1 2 + + c) 3 8 7 16 15 32 + + 24) Efetue as adições e simplifique o resultado quando possível: a) 2 1 2 13 4 + + = b) d 13 16 1 5 1 8 + + = c) 25 3 11 4 1+ + = d) 2 1 2 2 3 1 4 + + = Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 43 25) Quanto falta a cada fração para completar a unidade? Exemplo: 5 8 8 8 5 8 3 8 → − = a ) 1 4 b) 13 16 c ) 5 32 d) 17 64 26) Efetue as subtrações indicadas: a) 15 10 3 10 − = b) 7 9 5 9 − = c) 8 5 2 7 − = d) 3 4 13 11 2 − = e) 5 2 3 1 8 − = 27) Resolva: a) 1 2 3 5 1 4 x x = b) 2 5 9 7 14 27 x x = c) 5 21 3 10 7 15 x x = d) 3 4 2 2 5 x x = e) 3 1 2 5 16 3 5 x x = Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 44 Companhia Siderúrgica de Tubarão 28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em sentido longitudinal medindo cada uma 5 3 4 ′′ ? 29) Calcule: a) 2 2 3 11 2 ÷ = b) 3 1 2 2 3 5 ÷ = c) 4 2 3 5 1 2 ÷ = d) 6 1 3 5 1 2 ÷ = e) 15 16 5÷ = f) 2 1 3 7÷ = g) 3 10 1 5 ÷ = h) 2 4 32de = i) 5 7 350de = j) 1 3 930de = Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 47 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 48 Companhia Siderúrgica de Tubarão Números Decimais Conceito e Leitura Já estudamos que uma fração é decimal, quando o seu denominador é o número 10 ou potência de 10. Exemplos: 5 10 Lê-se cinco décimos 45 1000 Lê-se quarenta e cinco milésimos As frações decimais podem ser representadas através de uma notação decimal que é mais conhecida por "número decimal". Exemplos: 1 10 01= , Lê-se um décimo 1 100 0 01= , Lê-se um centésimo 1 1000 0 001= , Lê-se um milésimo Essa representação decimal de um número fracionário obedece ao princípio da numeração decimal que diz: "Um algarismo escrito à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro. ...Milhar Centena Dezena Unidade Simples Décimo Centésimo Milésimo... ... 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001... Em um número decimal: • Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a parte inteira. • Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte decimal. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 49 Exemplo: Parte inteira → 12,63 ← Parte decimal Lê-se doze inteiros e sessenta e três centésimos. Para fazer a leitura de um número decimal, procede-se da seguinte maneira: 1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe. 2- Enuncia-se o número formado pelos algarismos da parte decimal, acrescentando o nome da ordem do último algarismo. Exemplos: a) 0,438 - Lê-se: quatrocentos e trinta e oito milésimos. b) 3,25 - Lê-se: três inteiros e vinte cinco centésimos. c) 47,3 - Lê-se: quarenta e sete inteiros e três décimos. Observações: 1- O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou suprimirmos zeros à direita do último algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 2- Todo número natural pode ser escrito na forma de número decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e zero (s) a sua direita. Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00 Transformação de Fração Decimal em Número Decimal Para escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de "Número Decimal", escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos: a) 25 10 2 5= , b) 43 1000 0 043= , c) 135 1000 0135= , e) 2343 100 23 43= , Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 52 Companhia Siderúrgica de Tubarão Divisão Para efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos do seguinte modo: 1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros; 2) eliminamos as vírgulas; 3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos. Atenção: Se a divisão não for exata, para continua-la colocamos um zero à direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no quociente. 1º Exemplo: 3,927 ÷ 2,31 = 1,7 3,927 2,310 16170 0000 1,7 2º Exemplo: 47,76 ÷ 24 = 1,99 47,76 24,00 23 7 2 16 00 1,99 Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca- se a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor. Exemplos: a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vírgula uma ordem para esquerda. 47,235 ÷ 10 = 4,7235 b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vírgula duas ordens para a esquerda. 58,4 ÷ 100 = 0,584 Quando a divisão de dois números decimais não é exata, o resto é da mesma ordem decimal do dividendo original. Exemplo: 39,276 ÷ 0,7 = 56,108 resto 0,004 39,276 0,700 4 2 07 56,108 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 53 060 0,004 Números Decimais - Exercícios 1) Escreva com algarismos, os seguintes números decimais: a) Um inteiro e três décimos.............................................. b) Oito milésimos............................................................... c) Quatrocentos e cinqüenta e nove milésimos ................. d) Dezoito inteiros e cinco milésimos................................. e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milésimos ................. 2) Represente em forma de números decimais: a) 97 centésimos = b) 8 inteiros e 5 milésimos = c) 2 inteiros e 31 centésimos = d) 475 milésimos = 3) Observe os números decimais e complete com os sinais: > < = a) 1,789 ......................................................... 2,1 b) 3,78 ......................................................... 3,780 c) 4,317 ......................................................... 43,27 d) 42,05 ......................................................... 42,092 e) 8,7 ......................................................... 8,512 4) Escreva em forma de número decimal as seguintes frações decimais: a) 36 100 = .......................................................... b) 5 1000 = .......................................................... Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 54 Companhia Siderúrgica de Tubarão c) 3 8 10 = .......................................................... 5) Escreva na forma de fração decimal: a) 0,5 = ................... f) 8,71 = ................ b) 0,072 = ................... g) 64,01 = ................ c) 0,08 = ................... h) 347,28 = ................ d) 0,481 = ................... i) 0,12 = ................ e) 1,3 = ................... j) 0,201 = ................ 6) Arme e efetue as adições: a) 0,8 + 6,24 = b) 2,9 + 4 + 5,432 = c) 6 + 0,68 + 1,53 = d) 19,2 + 2,68 + 3,062 = 7) Arme e efetue as subtrações: a) 36,45 - 1,2 = b) 4,8 - 1,49 = c) 9 - 2,685 = d) 76,3 - 2,546 = 8) Arme, efetue e tire a prova: a) 650,25 × 3,8 = b) 48 ÷ 2,4 = c) 0,60 ÷ 0,12 = d) 6,433 + 2 + 1,6 = e) 9 - 2,5 = 9) Resolva: a) 36,4 + 16,83 + 2,308 = Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 57 15) Relacione os elementos por igualdade: a) 3 1 10 b) 0,3 31 100 3,1 3 10 3,01 3 1 100 0,31 Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as sentenças que são verdadeiras: a) Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1. b) Todos os elementos de A são maiores que zero. c) Nenhum elemento de B é menor que 1. d) Todos os elementos de B são menores que 10. 16) a) 8 2 10 b) 0,82 8 2 100 8,002 82 1000 82 100 8,02 0,082 8 2 1000 8,2 a) Relacione os elementos dos conjuntos A e B e escreva verdadeiro ou falso. ( ) 1 - Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1. ( ) 2 - Todos os elementos de B são maiores que zero. ( ) 3 - Nenhum elemento de B é menor do que 1. ( ) 4 - Todos os elementos de A são maiores que 10. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 58 Companhia Siderúrgica de Tubarão 17) Arme e efetue as operações abaixo: a) 3 ÷ 0,05 = b) 6,52 × 38 = c) 26,38 + 2,953 + 15,08 = d) 7,308 - 4,629 = e) 63,50 ÷ 4,9 = 18) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais: a) 2,4 ÷ 0,12 = b) 5,85 ÷ 0,003 = c) 0,3 ÷ 0,008 = d) 48,6 ÷ 0,16 = Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 59 Medidas de Comprimento Conceito de Medida Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie tomada como unidade. Exemplo: Consideremos dois pontos quaisquer de uma reta r, aos quais daremos as letras A e B. A B r A parte de reta compreendida entre os pontos A e B é chamada segmento de reta. Para medir o segmento de reta AB , escolhemos um segmento unitário u que será a unidade de medida. Exemplo: A B 1º ‘ ‘ ‘ ‘ AB = 3u ‘ ‘ u A B 2º ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ AB = 5u ‘ ‘ u Qualquer segmento pode ser escolhido para unidade de comprimento. Porém se cada pessoa pudesse escolher livremente uma unidade de comprimento para medir um Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 62 Companhia Siderúrgica de Tubarão d) 1 metro e 17 centímetros:.............................................. e) 15 decímetros e 1 milímetro: ......................................... 3) Transforme cada medida apresentada para a unidade indicada: a) 527m = ...................................................................cm b) 0,783m = ................................................................mm c) 34,5dam = ..............................................................cm d) 0,8m = ....................................................................mm e) 22,03m = ................................................................dm 4) Reduza para a unidade indicada: a) 5m = .......................................................................dm b) 6m = .......................................................................cm c) 7m = .......................................................................mm d) 9dm = .....................................................................cm e) 12dm = ...................................................................mm f) 18cm = ...................................................................mm g) 0,872m = ................................................................mm 5) Como se lêem as medidas: a) 38,65m = ...................................................................... b) 1,50m = ........................................................................ c) 13,08km = .................................................................... d) 2,37hm = ...................................................................... e) 9,728m = ...................................................................... 6) Marque as afirmativas com V ou F: a) ( ) A unidade 100 vezes menor que o metro é o centímetro. b) ( ) O metro é a medida usada para medir comprimento. c) ( ) A abreviatura de decâmetro é dm. d) ( ) 1m = 10cm. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 63 e) ( ) 1000mm corresponde a 1 metro. a) ( ) As unidades de comprimento variam de 10 em 10. 7) Com base na tabela , represente: km hm dam m dm cm mm a) oito hectômetros e cinco metros. b) doze decâmetros e sete centímetros. c) cinqüenta e um metros e nove milímetros. d) vinte e cinco hectômetros e dezenove decímetros. e) dois metros e cinco milímetros. 8) Descubra as medidas representadas no quadro e a seguir, escreva por extenso: km hm dam m dm cm mm 1 0, 0 3 4, 5 2, 1 6 3, 0 0 7 1 6, 0 5 a) ...................................................................................... b) ...................................................................................... c) ...................................................................................... d) ...................................................................................... e) ...................................................................................... 9) Resolva os problemas com toda a atenção: a) Júlio tem 1,72m de altura e Paulo tem 1,58m. Qual a diferença de altura dos dois meninos? Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 64 Companhia Siderúrgica de Tubarão b) Alice que colocar o rodapé na sala. A sala tem forma retangular com medidas iguais 3,5m e 4,2m. Quantos metros de rodapé serão colocados nesta sala? c) Um vendedor tinha uma peça de tecido com 6,5m. Ontem, vendeu 2,4m deste tecido a uma freguesa e hoje vendeu mais 1,3m da mesma fazenda. Quantos metros sobraram? d) Uma barra de ferro com 8m será repartida em 32 pedaços do mesmo tamanho. Quanto medirá cada pedaço? e) Um lote de forma quadrada será cercado com 3 voltas de arame. Quantos metros de arame serão gastos, se o lado do lote tem 22,5m? Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 67 Proporção Chama-se proporção à igualdade entre duas razões. De um modo genérico, representa-se uma proporção por uma das formas: a b c d = ou a : b :: c : d Lê-se "a está para b, assim como c está para d". (b ≠ 0 e d ≠ 0) Exemplos: a) As razões 2 3 e 6 9 formam a proporção 2 3 = 6 9 b) As razões 3 : 2 e 9 : 6 formam a proporção 3 : 2 :: 9 : 6 Observação: Uma proporção representa uma equivalência entre duas frações. Os números que se escrevem numa proporção são denominados termos, os quais recebem nomes especiais: o primeiro e o último termo recebem o nome de extremos e os outros dois recebem o nome de meios Exemplo: extremo meio meios 9 12 6 8 9 : 12 : : 6 : 8 meio extremo extremos Propriedade fundamental das proporções Observe a proporção 6 8 = 9 12 e examine o que ocorre com os produtos dos termos do mesmo nome. produto dos meios = 8 x 9 produto dos extremos = 6 x 12 Com isso, podemos concluir que: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 72 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 68 Companhia Siderúrgica de Tubarão Se numa proporção, três termos forem conhecidos e um desconhecido pode-se determina-lo aplicando a propriedade fundamental das proporções. Exemplos: na proporção a 2 3 6 = , determinar o valor de a. a) a 2 3 6 = , tem-se: 6.a = 2.3 6a = 6 a = 6 6 a = 1 b) Determinar o valor de x na proporção 2 3 9 = x 2 3 9 = x , tem-se: 2.9 = 3.x 3.x = 2.9 18 = 3x 3x = 18 18 3 = x x = 18 3 6 = x x = 6 Importante: Nas proporções, costuma-se guardar o lugar do termo desconhecido pelas letras a, x, y, z ou qualquer outro símbolo. Se forem desconhecidos os dois meios ou os dois extremos caso sejam iguais, deverá multiplicar os termos conhecidos e extrair a raiz quadrada do produto obtido. Exemplo: Calcular o valor de y na proporção 9 4y y = y . y = 9 . 4 ∴ y2 = 36 ∴ y = 36 ∴ y = 6 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 69 Grandezas proporcionais Na matemática, entende-se por GRANDEZA tudo que é suscetível de aumento ou diminuição. Duas ou mais grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais Suponhamos que um parafuso custe Cr$ 10,00 e observamos que, aumentando-se a quantidade de parafusos, aumentará o custo da quantidade, ou seja: 1 parafuso custa R$ 10,00 2 parafusos custam R$ 20,00 3 parafusos custam R$ 30,00 Diz-se que essas grandezas "quantidade de um produto" e "custo" são diretamente proporcionais porque ao dobro de uma corresponde o dobro da outra, ao triplo de uma, corresponde o triplo da outra e assim sucessivamente. Desse modo afirma-se que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Grandezas inversamente proporcionais Suponhamos que a distância entre duas cidades é de 240 Km e que um automóvel faz este percurso em 4 horas, a uma velocidade de 60 Km por hora (60 Km/h). Observemos que, aumentando-se a velocidade, diminuirá o tempo gasto no percurso, ou diminuindo a velocidade, aumentará o tempo. Exemplo: 30 Km/h gastará 8 h 40 Km/h gastará 6 h 60 Km/h gastará 4 h Pode-se observar que essas grandezas "velocidade" e "tempo de percurso" são inversamente proporcionais porque, quando a velocidade duplica, o tempo se reduz à metade e assim por diante. Desse modo afirma-se que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui na mesma proporção. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 72 Companhia Siderúrgica de Tubarão 9) Complete: a) a) A igualdade entre duas razões é chamada ......................................................................................... b) Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos ..................................................................... c) Em toda proporção, a diferença entre os antecedentes está para a diferença dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu............................... ......................................................................................... 10) Determine o valor de x em cada uma das proporções seguinte a) x 2 8 4 = b) 6 12 8x = c) 5 7 14 = x d) 8 3 8 = x e) x 5 2 10 = Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 73 Regra de Três Uma regra de três é uma regra prática que permite resolver problemas através de proporções, envolvendo duas ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Uma regra de três é comumente classificada em simples ou composta. Regra de Três Simples Uma regra de três é simples quando envolve apenas duas grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Para resolver uma regra de três simples, segue-se a seguinte orientação: − escrever, numa mesma linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem; − escrever, numa mesma coluna, as grandezas de mesma espécie; − determinar quais são as grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais; − formar a proporção correspondente; − resolver a equação obtida. Observação: Ao formar a proporção, deve-se considerar o inverso da razão correspondente às grandezas inversamente proporcionais. Exemplos: a) Se três limas custam R$ 144,00, quanto se pagará por 7 limas iguais às primeiras? Para resolver o problema, procede-se assim: Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 74 Companhia Siderúrgica de Tubarão 1º) Organizam-se as sucessões com elementos da mesma espécie. É comum organizar as sucessões verticalmente para depois calcular: limas R$ 3 144 7 x 2º) Valendo-se do seguinte raciocínio: "se três limas custam R$ 144,00, aumentando as limas, aumentarão os cruzeiros, logo, a regra é simples. 3º) A proporção correspondente será: 3 7 144 = x 4º) De acordo com a propriedade fundamental das proporções, tem-se: 3 144 7⋅ = ⋅x 5º) Resolvendo a equação formada, tem-se: x x = / = 144 7 3 336 48 1 . RESPOSTA: O preço das limas será R$ 336,00 a) Um automóvel, em velocidade constante de 80 Km/h, percorre uma certa distância em 6 horas. Em quantas horas fará o mesmo percurso se diminuir a velocidade para 60 Km/h? SOLUÇÃO: As grandezas são inversamente proporcionais, pois, diminuindo a velocidade, aumentará o tempo de percurso. Daí escreve-se: 80km/h 6h 60km/h x • Logo, a proporção correspondente será: 80 60 1 6= x ou 80 60 6 = x • Pela propriedade fundamental das proporções, tem-se: 60 . x = 6 . 80 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 77 • Comparando cada grandeza com a que tem o termo desconhecido: − As grandezas "operários" e "bicicletas" são diretamente proporcionais (aumentando uma, aumentará a outra), logo, as setas devem ter o mesmo sentido, ou seja: OPERÁRIOS DIAS BICICLETAS 4 9 48 10 6 x − As grandezas "dias" e "bicicletas" são diretamente proporcionais, logo, as setas devem ter o mesmo sentido, ou seja: OPERÁRIOS DIAS BICICLETAS 4 6 48 10 9 x • As razões correspondentes a essas grandezas são: 4 10 6 9 48 x • Uma vez que as grandezas envolvidas são todas diretamente proporcionais, tem-se que: 48 x é proporcional a 6 9 e, ao mesmo tempo, é proporcional a 4 10 , logo, será proporcional ao produto 6 9 4 10 ⋅ . • Portanto, para escrever a proporção correspondente, deve-se igualar a razão que tem o termo desconhecido, com o produto das razões relativas às outras grandezas. Escreve-se: 48 6 9 4 10x = ⋅ ou 48 24 90x = • Pela propriedade fundamental das proporções, tem-se: 24 . x = 48 . 90 x = / / ⋅ / / 48 90 24 2 1 • Resolvendo-se essa equação, vem: x = 180 • RESPOSTA: serão montadas 180 bicicletas. Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 78 Companhia Siderúrgica de Tubarão b) Se 8 operários constroem, em 6 dias, um muro com 40 m de comprimento, quantos operários serão necessários para construir um outro muro com 70 m, trabalhando 14 dias? SOLUÇÃO: Escrevendo-se as linhas e as colunas: OPERÁRIOS DIAS BICICLETAS 8 6 40 x 14 70 • Comparando-se cada grandeza com a que tem o termo desconhecido: − As grandezas "operários" e "metros" são diretamente proporcionais (aumentando uma, aumentará a outra), logo, as setas devem ter o mesmo sentido, ou seja: OPERÁRIOS DIAS BICICLETAS 8 6 70 x 14 40 − As grandezas "operários" e "dias" são inversamente proporcionais (aumentando uma, diminuirá a outra), logo, as setas devem ter sentido contrário, ou seja: OPERÁRIOS DIAS BICICLETAS 8 6 40 x 14 70 • As razões relativas a essas grandezas são: 8 x 6 14 70 40 • Para escrever a proporção correspondente, deve-se igualar a razão da grandeza desconhecida no produto do inverso das razões relativas às grandezas inversamente proporcionais: 8 1 6 14 40 70x = ⋅ ou 8 14 6 40 70x = ⋅ ou 8 560 420x = • Pela propriedade fundamental das proporções: 560 . x = 8 . 420 x x = / ⋅ / / / / = 8 420 560 6 1 7 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 79 • RESPOSTA: Serão necessários 6 operários. Exercícios - Regra de Três 1) Um automóvel percorreu em 5 h uma estrada de 325 Km. Na mesma velocidade, quantas horas precisará para percorrer 520 Km? 2) Um volante gira dando 180 rotações em 30 segundos. Em quantos segundos dará 120 rotações? 3) 18 máquinas produzem 2.400 peças se trabalharem 8 horas. Quantas horas deverão trabalhar 36 máquinas iguais às primeiras para produzirem 7.200 peças? 4) Dispondo de uma engrenagem de 60 mm de diâmetro com 30 dentes, determinar o diâmetro que deve ter outra engrenagem com 12 dentes, a fim de utiliza-la numa transmissão. 5) Uma polia de 20 mm de diâmetro tem de circunferência 62,8 mm. Qual é a circunferência de outra com 50 mm de diâmetro? 6) Uma bomba eleva 180 litros de água em 6 minutos. Quantos litros elevará em 1 hora e 15 minutos? Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 82 Companhia Siderúrgica de Tubarão Porcentagem Você já deve, muitas vezes, ter ouvido falar na expressão "por cento". Por exemplo: − O preço da gasolina aumentou trinta por cento. − Esta roupa tem vinte por cento de desconto. − Quinze por cento dos alunos não compareceram à escola hoje. Para a expressão "por cento" usamos o símbolo %. "Por cento" quer dizer uma determinada quantidade em cada cem. Se, por exemplo, numa avaliação de matemática de 100 questões, Paulo acertou 70, isto quer dizer que ele acertou 70% das questões dadas, isto é, acertou 70 em 100. Você percebeu que: O "cento" é uma maneira diferente de dizer "centésimos": 70 em 100 = 70 100 0 70 70%= =, Há diversos modos de calcular porcentagem. Vejamos alguns: Calcular 30% de Cr$ 800,00. 1) 30% 30 100 = 30 100 de 800 300 100 800 1 24 000 100 240= = =x . 2) 800 x 30 = 24.000 24.000 : 100 = 240 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 83 Exercícios - Porcentagem 1) Observe a forma fracionária dada e represente-a sob a forma de porcentagem: a) 2 100 b) 100 100 c) 49 100 2) Represente a porcentagem dada sob a forma de fração: a) 99% b) 42% c) 50% 3) Calcule: a) 20% de 800 = b) 10% de 350 = c) 18% de 1.400 = 4) Observe o quadro abaixo dividido em 100 partes iguais e marque 38%: AGORA RESPONDA: a) Quantos quadradinhos você marcou?............................. b) Quantos sobraram?......................................................... Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 84 Companhia Siderúrgica de Tubarão c) Qual a porcentagem que sobrou?................................... 5) Num colégio, 40% dos alunos são meninos. Qual é a porcentagem de meninas? 6) Uma cidade tem 987.500 habitantes, 36% são crianças com menos de 12 anos de idade. Quantas crianças tem a cidade? Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 87 Observação: O oposto de zero é o próprio zero. Valor Absoluto Valor absoluto de um número inteiro relativo é o número natural que o representa, sem o sinal. Exemplos: Indicação: O valor absoluto de + 5 é 5 +5 = 5 O valor absoluto de - 5 é 5 −5 = 5 O valor absoluto de - 8 é 8 −8 = 8 O valor absoluto de zero é zero Verifique: 1) -3 está à esquerda de +1 -3 < +1 Então, -3 é menor que +1 2) +2 está à direita de -3 +2 > -3 Então + 2 é maior que -3 Outros Exemplos: a) -2 < + 2 b) 0 > -4 c) -1 > -3 Operações com números Inteiros Relativos Adição 1) Adição de números positivos Observe os exemplos: a) ( +2 ) + ( +5 ) = +7 b) ( +1 ) + ( +4 ) = +5 c) ( +6 ) + ( +3 ) = +9 Verificando os resultados anteriores, podemos concluir que: A soma de dois números positivos é um número positivo. 2) Adição de números negativos Observe os exemplos: a) ( -2 ) + ( -3 ) = -5 b) ( -1 ) + ( -1 ) = -2 c) ( -7 ) + ( -2 ) = -9 Verificando os resultados acima, podemos concluir que: Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 88 Companhia Siderúrgica de Tubarão A soma de dois números negativos é um número negativo. 3) Adição de números com sinais diferentes Observe os exemplos: a) ( +6 ) + ( -1 ) = +5 b) ( +2 ) + ( -5 ) = -3 c) ( -10) + ( +3) = -7 Observe que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto. Conclusão: A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto. Subtração A operação de subtração é uma operação inversa da adição. Exemplos: a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4 b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15 c) (+5) - (-2 ) = (+5) + (+2) = +7 Conclusão: Para subtrairmos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o simétrico do segundo. Expressões com números Inteiros Relativos Lembre-se que os sinais de associação são eliminados, obedecendo à seguinte ordem: 1º- Parênteses 2º- Colchetes 3º- Chaves Exemplos: 1) +10 - (-4+6) +10 - (+2) +10 - 2 = +8 2) (+7-1) + (-3+1-5) (+6) + (-7) +6 -7 = -1 3) 10 + [-3+1-(-2+6)] 10 + [-3+1-(+4)] 10 + [-3+1-4] Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 89 10 + [-6] 10 - 6 = +4 Multiplicação Consideremos os seguintes casos: 1) Multiplicação de dois números positivos: a) (+5) . (+2) = +10 ( + ) . ( + ) = + b) (+3) . (+7) = +21 ( - ) . ( - ) = + ( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( + ) = - Conclusão: O produto de dois números positivos é um número positivo. 2) Multiplicação de dois números negativos: a) (-3) . (-5) = +15 b) (-8) . (-2) = +16 c) (-7) . (-1) = +7 Conclusão: O produto de dois números negativos é um número positivo. 3) Multiplicação de dois números de sinais diferentes: a) (+3) . (-2) = -6 b) (-5) . (+4) = -20 c) (+6) . (-5) = -30 d) (-1) . (+7) = -7 Conclusão: Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 92 Companhia Siderúrgica de Tubarão Exercícios: Calcule: a) ( ) ( ) ( ) ( )+ + − − + + − =5 3 2 1 b) 10 5 3 1+ − − + ={ ( )} c) 23 1 5 3 2 1− + − + − + ={ [ ( )]} d) ( ) ( )+ − − + =5 3 1 3: e) ( ) ( )− − + − =16 8 3 4: . . Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 93 Potenciação e Radiciação Seja: 5 x 5 x 5 Essa multiplicação tem todos os fatores iguais. Podemos escrevê-la assim: 5 x 5 x 5 = 53 = 125 Lê-se: "cinco à terceira potência ou cinco ao cubo". No exemplo: EXPOENTE 53 = 125 → POTÊNCIA BASE 5 é a base (fator que se repete) 3 é o expoente (indica o número de fatores iguais) 125 é a potência O resultado da potenciação chama-se potência. Casos Particulares 1) Todo número elevado ao expoente 1 é igual ao próprio número. Exemplos: 81 = 8 31 = 3 151 = 15 2) Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1. Exemplos: 70 = 1 40 = 1 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 94 Companhia Siderúrgica de Tubarão 200 = 1 Propriedades das Potências 1) Multiplicação de Potências de Mesma Base. Observe: 32 x 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 37 Logo: 32 x 35 = 32 + 7 = 37 Conclusão: Conservamos a base e somamos os expoentes. No exemplo: ( -4 )3 = -64 • a base é - 4 • o expoente é 3 • a potência (resultado) é - 64 Propriedades: Para as operações com potências indicadas de mesma base, valem as mesmas propriedades já estudadas no conjunto IN . 1ª) Observe: 53 . 54 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 57 Você notou que: 53 . 54 = 53 + 4 = 57 De um modo geral: am . an = am + n Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 97 d) 2 . 2 . 2 . 2 = 2) Calcule o valor das potência: a) 23 = b) 72 = c) 52 = d) 32 = e) 43 = f) 24 = g) 82 = h) 53 = i) 34 = j) 25 = k) 04 = l) 22 = m) 63 = n) 15 = o) 35 = p) 18 = q) 132 = r) 102 = 3) Calcule o valor das expressões: a) 23 + 10 = b) 5 + 32 . 4 = c) 52 + 42 - 1 = d) 34 - 6 + 23 = 4) Complete: a) 80 = b) 06 = c) 31 = d) 072 = e) 141 = f) 172 = g) 101 = h) 102 = i) 103 = 5) Observe e complete: a) 23 . 25 =...................................= b) 52 . 52 =...................................= c) 75 . 7 =....................................= d) 34 . 32 =...................................= e) 92 . 9 . 9 =.............................= f) 4 . 4 . 4 = ..............................= g) 86 ÷ 82 =..................................= h) 54 ÷ 5 =...................................= i) 37 ÷ 37 =..................................= j) a6 ÷ a5 =..................................= k) ( 74 )2 = .....................................= Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________________________________ _ CST 98 Companhia Siderúrgica de Tubarão l) ( 23 )9 = ..................................... = m) ( a5 )3 = ..................................... = 6) Calcule: a) 2 3 2     = b) 4 7 2     = c) 3 5 2     = d) 1 3 2     = e) 2 3 3     = 7) Determine o valor das expressões numéricas: a) 1 2 1 2 2 3     +     = b) 1 3 5 2 −     = c) 2 3 9 8 3     ⋅ = d) 3 5 2 5 2 2     ÷     = Exercícios - Radicais 1) Complete: a) 92 = ....................................pois 32 = 9 b) 162 = ....................................pois 42 = 16 c) 362 =....................................pois 62 = 36 Espírito Santo __________________________________________________________________________________________________ __ __________________________________________________________________________________________________ __ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 99 d) 492 = ....................................pois 72 = 49 e) 42 = ....................................pois 22 = 4 2) Complete: a) 8 3 = .............................pois 23 = b) 16 4 = .............................pois 24 = c) 27 3 = .............................pois 33 = d) 64 3 = .............................pois 43 = e) 81 4 =..............................pois 34 =