SENAI Resistencia dos Materiais I

SENAI Resistencia dos Materiais I

(Parte 1 de 2)

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Mecânica Grupo de Análise e Projeto Mecânico

ProfJosé Carlos Pereira

CURSO DE MECÂNICA DOS SSÓÓLLIIDOS A Agosto de 203

1 –– CÁLCULO DAS REAÇÕES1
1..1 –– Tipos de suportes ((ou apoios))1
1..2 –– Tipos de caregamentos2
1..3 –– Clasificação de vigas3
1..4 –– Cálculo das reações nas vigas4
2 –– DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL,, CORTANTE E DE MMOOMMENNTTOOSS6
2..1 –– Método das seções6
2..1..1 –– Força cortante nas vigas ((V))6
2..1..2 –– Força axial nas vigas ((P))7
2..1..3 –– Momentofletor ((M))..................................................................................................................................................................7
2..1..4 –– Diagramas de forças cortante e axial e do mmoommennttoo ffllettoorr8
2..2 –– Método do somatório211
2..2..1 –– Equações diferenciais de equilíbrio21
3 –– TENSÃO28
3..1 –– Definição de Tensão28
3..2 –– Tensor de Tensões288
3..3 –– Tensões em mmembbrrooss com caregamento axial29
3..3..1 –– Carga axial29
3..3..2 –– Tensão média de cisalhamento300
3..4 –– Tensões Admisíveis;; Fator de segurança355
3..5 –– Projeto de membros e pinos com ccaarrrreggaammennttoo axial366
4 –– DEFORMAÇÃO44
4..1 –– Significado físico da deformação44
4..2 –– Definição matemática de deffoorrmmaaççããoo44
4..3 –– Propriedades mecânicas dos materiais isotrópicos466
4..3..1 –– Diagrama tensão--deformação466
4..3..2 –– Coeficiente de poison para materiais isotrópicos51
4..3..3 –– Lei de Hoke para materiais isotrópicos ((Estado triaxial de tensões))52
4..4 –– Energias de deffoorrmmaaççããoo elástica554
4..4..1 –– Energia de deffoorrmmaaççããoo elástica para tensão uniaxial554

SUMÁRIO 4..4..2 –– Energia de deffoorrmmaaççããoo elástica para tensão de cisalhamento..........................554

4..5 –– Deformação de membros caregados axialmente55
4..6 –– Tensões Residuais622
5 –– TORÇÃO67
5..1 –– Aplicação do mmééttoodo das seções67
5..2 –– Premisas Básicas67
5..3 –– A fórmula da torção68
5..4 –– Observações sobre a ffóórrmmuulla dda torção69
5..5 –– Projeto de membros circulares em torção73
5..6 –– Ângulo de torção de membros circulares74
5..7 –– Fórmula da torção para eixos com diferentes materiais81
5..8 –– Membros maciços não circulares844
6 –– TENSÃO DE FLEXÃO EM VIGAS85
6..1 –– Premisa cinemática básica85
6..2 –– Fórmula da flexão elástica886
6..3 –– Centróide de área8
6..4 –– Momento de inércia de área90
6..5 –– Flexão pura de vigas com seção asimétrica94
equivalente))97
7 –– TENSÃO DE CISALHAMENTO EM VIGAS102
7..1 –– Preliminares10022
7..2 –– Fórmula da tensão de cisalhamento em vigas11002
7..3 –– Distribuição da tensão de cisalhamento em vigas105
rigidez equivalente))109
7..5 –– Fluxo de cisalhamento13
8 –– TENSÕES COMPOSTAS120
8..1 –– Superposição e suas lliimmiittaaççõõess12200
8..2 –– Flexão oblíqua11233
8..3 –– Elementos estruturais com caregamento excêntrico126
8..4 –– Superposição de tensões de cisalhamento129
9 –– TRANSFORMAÇÃO DE TENSÔES13
9..3 –– Círculo de tensões de Mohr1139
9..3 –– Construção do círculo de tensões de Mohr141
9..4 –– Importante transformação de tensão11466
9..6 –– Tensões principais para o eessttaaddo geral de tensões148
9..7 –– Círculo de Mohr para o eessttaaddo geral de tensões150
9..7 –– Critérios de escoamento e de fratura151
9..7..1 –– Observações preliminares1551
9..7..2 –– Teoria da máxima tensão de cisalhamento ((Tresca)) ((matdúcteis))..........11552
9..7..3 –– Teoria da máxima energia de distorção ((von Mises)) ((matdúcteis))..........15
1 –– CÁLCULO DAS REAÇÕES

Curso de Mecânica dos Sólidos A 1

1..1 –– Tipos de suportes ((ou apoios)) a) Articulação: (Resiste à uma força em apenas uma direção)

b) Rolete: (Resiste à uma força em apenas uma direção)

=

c) Pino: (Resiste à uma força que age em qualquer direção)

d) Engastamento: (Resiste à uma força que age em qualquer direção e à um momento)

RAy

A RAx MA

RAy

A RAx

RAy pino

RAx = rolete A viga RA roletes

A viga 90°

RB pinos

A B viga

1..2 –– Tipos de caregamentos

Cálculo das reações 2 a) Forças concentradas

=

b) Carga uniforme distribuída

Observação: Para o cálculo das reações de apoio, a carga uniforme distribuída é substituída por uma força concentrada equivalente W igual a área da figura geométrica da carga e que passa pelo seu centróide: W = p . L c) Carga uniformemente variável

RAy RAx carga

A B RAy

RAx w (kgf/m)

RAy RAx w(kgf/m) carga A B

Curso de Mecânica dos Sólidos A 3

Observação: Para o cálculo das reações de apoio, a carga uniforme variável é substituída por uma força concentrada equivalente W igual a área da figura geométrica da carga e que passa pelo seu centróide: W = (p . L) /2 d) Momento concentrado

1..3 –– Clasificação de vigas

a) Simplesmente apoiadas

b) Bi-engastada (fixa) c) Engastada- Apoiada

L w (kgf/m) L

W d RAy

RAx

RB M = W.d

Cálculo das reações 4 d) Em balanço

e) Em balanço nas extremidades

1..4 –– Cálculo das reações nas vigas

Exemplo 1.1: Calcular as reações nos apoios da viga. Desprezar o peso da viga.

Diagrama de corpo livre (D.C.L.):

L w (kgf/m)

0,5 m

100 kgf 0,5 m

160 kgf

0,5 m 0,5 m

200 kgf.m A B

100 kgf 0,5 m

160 kgf

0,5 m 0,5 m 0,5 m

200 kgf.m

RAy

RAx w (kgf/m)

Curso de Mecânica dos Sólidos A 5

0=∑AM ,200 + 100 . 1+160 . 1,5 – RB . 2 = 0 RB = 270 kgf
↑ 0=∑yF, RAy - 100 - 160 + 270 = 0RAy = - 10 kgf
0=∑BM - 10 . 2 + 200 - 100 . 1-160 . 0,5 = 0OK

Verificação:

Observação: Nenhum momento é transmitido por uma junta articulada, apenas as forças horizontais e verticais são transmitidas.

Diagrama de corpo livre (D.C.L.):

L/2 C articulação

L/2

P/2 P/2 a C

P/2

P/2 Mc = P/2.a

Diagramas de força axial, cortante e de momento 6

2 –– DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL,, CORTANTE E DE MMOOMMENNTTOOSS

2..1 –– Método das seções

O método das seções estabelece procedimentos para a determinação dos esforços internos ao longo do comprimento da viga. O conceito de equilíbrio das partes de um corpo é utilizado quando o corpo com um todo está em equilíbrio.

Figura 2.1 – Esforços internos em vigas onde V é a força cortante, P é a força axial e M é o momento fletor.

2..1..1 –– Força cortante nas vigas ((V)) w2 w1

RAy

RAx

M P2 w2 w1

RAy

RAx

Curso de Mecânica dos Sólidos A 7

A força cortante é definida positiva quando girar a seção no sentido antihorário.

2..1..2 –– Força axial nas vigas ((P))

Figura 2.2 – Força cortante

A força axial P, paralela ao eixo da viga e que passa pelo centróide da seção, deve ser introduzida na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio

A força axial é definida positiva ou de tração quando agir de dentro para fora da seção e negativa ou de compressão em caso contrário.

2..1..3 –– Momentofletor ((M))

Figura 2.3 – Força axial

O momento fletor M, que gira em torno de um eixo perpendicular ao plano que contêm a viga, deve ser introduzido na seção A-A para satisfazer a equação de

O momento fletor é definido positivo quando tracionar a parte interior da viga e comprimir a parte superior da viga , e negativo em caso contrário.

Figura 2.4 – Momento fletor a b b a b b a b b

2..1..4 –– Diagramas de forças cortante e axial e do mmoommennttoo ffllettoorr

Diagramas de força axial, cortante e de momento 8

Os diagramas de esforços internos são traçados para se determinar a evolução das forças cortante e axial e do momento fletor ao longo da viga, respectivamente.

Exemplo 2.1: Traçar os diagramas de forças cortante, força axial e de momento fletor para a viga abaixo, sujeita à força inclinada de P = 5 t . Desprezar o peso da viga.

a - Determinar as reações de apoio. Diagrama de corpo livre (D.C.L.):

→ 0Fx=∑ , RAx – 3 = 0, RAx = 3 t
0MB=∑ , RAy . 10 – 4 . 5 = 0, RAy = 2 t
↑ 0Fy=∑ , 2 – 4 + RAB = 0, RB = 2 t

Verificação:

AM∑ = 4 . 5 – 2 . 10 = 0(OK)

b - Determinar as forças cortante e axial e o momento fletor em seções entre duas forças concentradas. Seção c-c (0<x<5):

RAy RAx

4 t 3 t

P = 5 t

5 m5 m

→ 0Fx=∑, P + 3 = 0 ,P = - 3 (t)
↑ 0Fy=∑, V + 2 = 0 ,V = - 2 (t)
0Mc=∑, -2 . x + M = 0 ,M = 2 x (t.m)

Curso de Mecânica dos Sólidos A 9 Seção d-d (5 < x < 10):

→ 0Fx=∑,P = 0
↑ 0Fy=∑, - V + 2 = 0 ,V = 2 (t)
0Md=∑, -2 . ( 10 – x ) + M = 0 ,M = - 2 x + 20 (t.m)

c - Traçar os diagramas de força cortante, força axial e do momento fletor.

2 t 3 t

4 t 3 t c c

2 t 3 t

3 t d

2 t V

Diagramas de força axial, cortante e de momento 10

Conclusões Importantes:

¾ Ponto de força concentrada vertical ⇒ Discontinuidade no diagrama de força cortante igual a força concentrada vertical.

¾ Ponto de força concentrada axial ⇒ Discontinuidade no diagrama de força axial igual a força concentrada axial.

Exemplo 2.2: Traçar os diagramas de força cortante e de momento fletor para a viga apresentada abaixo, sujeita à uma força distribuída e a um momento concentrado.

a - Determinar as reações nos apoios (D.C.L.):

M =8 t.m 2 m 2 m2 m w = 2 t/m

2 t 3 t

4 t 3 t

- -3 3
- +

-2 Força cortante (t)4

Força axial (t) Momento fletor (t.m)

Curso de Mecânica dos Sólidos A 1

0MB=∑ , - 4 . 5 + RA .4 + 8 = 0, RA = 3 t
↑ 0Fy=∑, - 4 + 3 + RBy = 0 ,RBy = 1 t
AM∑ = - 4 . 1 + 8 - 1 . 4 = 0(OK)

Verificação:

2 - Determinar as forças cortante e o momento fletor em seções entre forças e momentos concentrados e ao longo de uma carga distribuída. Seção c-c (0 < x < 2):

→ 0Fx=∑,P = 0
↑ 0Fy=∑,- 2.x + V = 0 , V = 2 x (t)
0MC=∑,2 . x . x / 2 + M = 0 , M = - x2 (t.m)

8 t.m

2 m 2 m2 m 2 t/m

RA RBy

RBx

8 t.m 2 t/m

3 t 1 t c x

Diagramas de força axial, cortante e de momento 12 Seção d-d (2 < x < 4):

→ 0Fx=∑,P = 0
↑ 0Fy=∑ ,- 4 + 3 + V = 0 , V = 1 (t)
0Md=∑,4 . (x – 1) – 3 . ( x – 2) + M = 0 , M = - x - 2 (t.m)

Seção e-e (4 < x < 6):

→ 0Fx=∑,P = 0
↑ 0Fy=∑,- V + 1 = 0 , V = 1 (t)
0ME=∑,- 1 . ( 6 – x ) + M = 0 , M = - x + 6 (t.m)

8 t.m 2 t/m d x 3 t 4 t

8 t.m 2 t/m

3 t 1 t x e e

Curso de Mecânica dos Sólidos A 13 c -Traçar os diagramas de força cortante e do momento fletor.

Conclusões Importantes (além das anteriores):

¾ Ponto de momento concentrado ⇒ Discontinuidade no diagrama de momento fletor igual ao momento concentrado.

Exemplo 2.3: Os skis suportam um homem de 80 kg. Se o carregamento da neve na superfície inferior de um ski é trapezoidal como mostrado abaixo, determine a intensidade w e traçe os diagramas de força cortante e de momento fletor para um ski. Tome g=10 m/s2.

↑ 0Fy=∑ , 0,25 w + w + 0,25 w – 400 = 0, w = 266,67 N/m

P 1 m

1 m0,5 m0,5 m w w

8 t.m 2 t/m

3 t 1 t

3 Força cortante (t)

-8 -

Momento fletor (t.m)

Diagramas de força axial, cortante e de momento 14 Trecho AB

Trecho BC w 0,5/ 2

V M 0,5 w . x w’ x / 2 w’ = w x / 0,5

Curso de Mecânica dos Sólidos A 15 Devido à simetria temos:

Exemplo 2.4: Determine os diagramas de força cortante e de momento fletor para a viga abaixo.

Diagrama de Corpo Livre (DCL): Viga CDE:

4 t1 t

2,5 m 1,25 m

2,5 m 0 ,5 m

0 ,5 m

Força total

3,75 m

Força total

+ Momento fletor (N.m)

Força cortante (N)

→ 0Fx=∑,Rcx – REx = 0 ⇒ Rcx = REx
↑ 0Fy=∑,Rcy + REy – 4 – 1 = 0 ⇒ Rcy = 3 t

Diagramas de força axial, cortante e de momento 16 0MC=∑, REx . 2,5 – 1 . 3 – 4 . 0,5 = 0 ⇒ REy = 2 t Viga ABC:

→ 0Fx=∑,RBx – RCx = 0 ⇒ RBx = RCx
0MA=∑, RBy . 3 – 6 . 1,5 – Rcy . 3,5 = 0 ⇒RBy = 6,5 t
↑ 0Fy=∑,RAy + REy – 6 – RCy = 0 ⇒ RAy = 2,5 t

Viga EFG:

0 ,5 m

A C6t Rcy = 3 t

3,75 m

1t FE

1,25 m

REy=2 REx

RFy RGy

4 t 1 t

2,5 m

2,5 m 0 ,5 m

EC 5 t

2,5 m 2,5 t.m D

→ 0Fx=∑,REx = 0 ⇒ RBx = RCx = REx = 0
↑ 0Fy=∑,– 6 + RFy – 1 + RGy = 0 ⇒ RGy = 0 t

Curso de Mecânica dos Sólidos A 17 0ME=∑, 2 . (1,25 + 3,75) – RFy . 3,75 + 1 . 3,75/3 = 0 ⇒ RFy = 3 t

Viga ABC

w = 2 t/m

Trecho AB (0 < x < 3): w . 3 = 6 t (força total)

p/ x = 0 , VA = – 2,5 t p/ x = 3 , VB = 3,5 t

p/ x = 0 , MA = 0 t.m p/ x = 3 , MB = – 1,5 t.m

Momento máximo: 0dx dM=, – 2 x + 2,5 = 0 ⇒ x = 1,25 m

Mmax (x = 1,25m) = – (1,25)2 + 2,5 . 1,25 ⇒Mmax = 1,5625 (t.m)

Trecho BC (0 < x < 0,5):

2,5 V

2 x M x w =2

M x

Diagramas de força axial, cortante e de momento 18 p/ x = 0 , VB = – 3 t p/ x = 0,5 , VC = – 3 t

0M=∑, – 3 . (0,5 – x) – M = 0 ⇒M = 3 x – 1,5 (t.m)

p/ x = 0 , MB = – 1,5 t.m p/ x = 0,5 , MC = 0 t.m

Viga CDE Trecho CD (0 < x < 0,5):

p/ x = 0 , VC = – 3 t p/ x = 0,5 , VD = – 3 t

p/ x = 0 , MC = 0 t.m p/ x = 0,5 , MD = 1,5 t.m

Trecho DE (0 < x < 2):

p/ x = 0 , VD = 2 t p/ x = 2 , VE = 2 t

p/ x = 0 , MD = 4 t.m p/ x = 2 , ME = 0 t.m

V M x

M x

Curso de Mecânica dos Sólidos A 19

Viga EFG Trecho EF (0 < x < 1,25):

p/ x = 0 , VE = 2 t p/ x = 1,25 , VF = 2 t

p/ x = 0 , ME = 0 t.m p/ x = 1,25 , MF = - 2,5 t.m

Trecho FG (0 < x < 3,75):

p/ x = 0 , VF = – 1 t p/ x = 3,75 , VG = 0 t

p/ x = 0 , MF = – 2,5 t.m p/ x = 3,75 , MG = 0 t.m

V M x w’x / 2

Diagramas de força axial, cortante e de momento 20 Viga ABC:

Viga CDE Viga EFG:

BA C Rcy = 3 t

RAy

Momento fletor (t.m)

-1,5

1,5625 Força cortante (t)

2,5 t.mD EC

-3 t 2 t Força cortante (t)

2..2 –– Método do somatório

Curso de Mecânica dos Sólidos A 21

2..2..1 –– Equações diferenciais de equilíbrio Considere a viga com uma carga distribuída w(x).

w(x)

∆x x

∆x x

REy=2 REx

RFy RGy

Momento fletor (t.m) -2,5

Diagramas de força axial, cortante e de momento 2

V−=∆∆(2.1)
M∆+−=∆∆(2.2)

As eqs. (2.1) e (2.2) sendo avaliadas no limite, quando ∆x ⇒ 0, fornecem as duas equações diferenciais básicas:

w dxdVx

Vlim

1Cdx.)x(w)x(V(2.3)

V dxdMx

Mlim

2Cdx.)x(V)x(M(2.4)

Exemplo 2.5: Traçar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga usando o método do somatório.

a - Determinar as reações nos apoios.

↑ 0Fy=∑ , RA - P – P + P = 0⇒ RA = P

Da eq. (2.3), sabendo que w(x) = 0 ⇒ V(x) = constante = V. Da eq.(2.4), como V é constante, a equação de momento fletor no trecho é da forma: M(x) = - V x

L/4 L/2 L/4 RA RB

Curso de Mecânica dos Sólidos A 23 b - Traçar os diagramas de força cortante e momento fletor.

Exemplo 2.6: Construir os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga com o carregamento mostrado abaixo, usando o método do somatório.

a - Determinar as reações nos apoios.

3 m 3 m 1 m

2 t/m A BC D

3 t 10 t 8 t

1 m 2 m 1 m RAy RB

RAx

1 t/m 2 t

- P - + Força Cortante

PL/4 Momento Fletor

2 t/m A BC D

F E G 1 t/m

3 m 3 m 1 m 1 m 2 m 1 m

Diagramas de força axial, cortante e de momento 24

0MA=∑ , 3 . 2 - 8 . 3 + RB .4 – 2 . 6 = 0⇒ RB = 7,5 t

→ 0Fx=∑ , RAx – 6 = 0 ⇒ RAx = 6 t ↑ 0Fy=∑ , - 3 + RAy – 8 + 7,5 – 2 = 0 ⇒ RAy = 5,5 t b - Determinar as funções da força cortante V(x) e do momento fletor M(x) para cada trecho da viga. Partir da extremidade mais a esquerda, ponto C: Trecho C-A:

2)x(V⇒ 1Cx22x3

p/ x = 0 , Vc = 0 ⇒ C1 = 0 (não há força concentrada em C)

p/ x = 3 ⇒ VA = 3 t

p/ x = 0 , Mc = 0 ⇒ C2 = 0 (não há momento concentrado em C)

p/ x = 3 ⇒ MA = -6 t . m

Curso de Mecânica dos Sólidos A 25 força axial: P = O

Trecho A-D:

como w(x) = 0 ⇒ V(x) = constante = C1 = - 2,5 t

p/ x = 0 , MA = -6 ⇒ C2 = - 6 (não há momento concentrado em A)

força axial: P = - 6 t

Trecho D-B:

como w(x) = 0 ⇒ V(x) = constante = C1 = 5,5 t

p/ x = 0 , MD = 1,5 ⇒ C2 = 1,5 (não há momento concentrado em D) M(x) = 5,5 x + 1,5 (t.m) p/ x =1 ⇒ MB = - 4 t . m

Força axial P = 0

Trecho B-E:

Diagramas de força axial, cortante e de momento 26 como w(x) = 0 ⇒ V(x) = constante = C1 = - 2 ⇒ V = - 2 t

p/ x = 0 , MB = - 4 ⇒ C2 = - 4 (não há momento concentrado em B) M(x) = 2 x - 4 (t.m) p/ x =1 ⇒ ME = - 2 t . m

Força axial P = 0

Trecho E-F:

p/ x = 2 ⇒ VF = 0

p/ x = 0 , ME = -2 ⇒ C2 = - 2 (não há momento concentrado em E)

p/ x = 2 ⇒ MF = 0 t . m

Força axial P = 0 não há forças e momentos concentrados: V = 0 , M = 0 , P = 0 Traçar os diagramas de forças cortante e axial e de momento fletor.

Curso de Mecânica dos Sólidos A 27

2 t/m ABCD

10 t8 t

5,5 t 7,5 t 6 t

1 t/m

2,5 5,5 2

-4 -2

--6

Força cortante (t)

Momento fletor (t.m)

Força axial (t)

Tensão 28

3..1 –– Definição de Tensão

3 –– TENSÃO

Considere um o corpo seccionado, submetido à forças externas P1 e P2 e à forças internas ∆P atuantes em áreas infinitesimais ∆A, Fig.3.1.

Figura 3.1 – Esforços externos einternos num corpo seccionado

A tensão normal à face seccionada é por definição da forma:

0Axxx∆∆=σ=τ→∆(3.1)

Plim x e, as tensões de cisalhamento que atuam na face seccionada são por definição da forma:

A Plim

P lim z 0Axz y 0Axy

→∆(3.2)

O primeiro índice da tensão de cisalhamento indica o eixo que é perpendicular à face onde atua a tensão e o segundo indica a direção da tensão.

3..2 –– Tensor de Tensões

x y

Curso de Mecânica dos Sólidos A 29

Considere um elemento infinitesimal de dimensões ∆x, ∆y e ∆z com todas as tensões que atuam sobre ele, Fig. 3.2.

Figura 3.2 – Elemento infinitesimal solicitado triaxialmente

O tensor de tensões é uma matriz de dimensão (3x3) onde são colocadas todas as tensões atuantes num elemento infinitesimal:

zzyzx yzyyx xzxyx zzzyzx yzyyyx

(3.3)

xzxyxx

Verifica-se que o tensor de tensões é simétrico: τyx = τxy , τzx = τxz , τyz = τzy. Demonstração:

3..3 –– Tensões em mmembbrrooss com caregamento axial
3..3..1 –– Carga axial

Considere uma barra sem peso e em equilíbrio, sujeita à duas forças F (tração ou compressão) em suas extremidades.

σz τzx τx τyτy σx σx σz σy τxz x z ∆x τxy τyz

Tensão 30

Figura 3.3 – Barra solicitada axialmente

A área da seção transversal no ponto onde se seccionou a barra é A e a força interna é igual a P e positiva (se tracionada) ou negativa (se comprimida), logo a tensão normal é da forma:

P=σ(3.4)

No caso da barra estar sendo comprimida, seu comprimento deve ser suficientemente pequeno para que não ocorra flambagem.

3..3..2 –– Tensão média de cisalhamento

Considere um corpo sendo arrastado sobre outro corpo por uma P.

Figura 3.4 – Corpo sendo cisalhado

Curso de Mecânica dos Sólidos A 31

Se o corpo que está sendo arrastado tem área A na interface de contato entre os corpos, a tensão média de cisalhamento1 é da forma:

AVm=τ(3.5)

A eq. (3.5) é frequentemente utilizada para dimensionar pinos, parafusos, rebites, etc. que estão sendo solicitados por esforços cisalhantes.

Corpos podem ser cisalhados de formas diferentes. Um corpo pode estar sendo submetido à um cisalhamento simples quando, Fig. 3.5:

Figura 3.5 – Corpo submetido à um cisalhamento simples

O rebite que une os dois corpos que estão sendo tracionados é cisalhado na interface da seguinte forma, Fig. 3.6:

Figura 3.6 – Rebite com cisalhamento simples

Se o rebite tem área A na interface e a força cortante V é P, a tensão de cisalhamento média é:

APAVm==τ(3.6)

Um corpo pode estar sendo submetido à um cisalhamento duplo quando, Fig. 3.7:

1 A tensão de cisalhamento é média pois a força que atua em cada área infinitesimal não é a mesma.

Tensão 32

Figura 3.7 – Corpo submetido à um cisalhamento duplo

O rebite que une os três corpos que estão sendo tracionados é cisalhado na interface entre cada corpo é da forma, Fig. 3.8:

Figura 3.8 – Rebite com cisalhamento duplo

Se o rebite tem área A na interface entre cada corpo, e a força cortante V é P/2, a tensão de cisalhamento média é:

A2PAVm==τ(3.7)

Exemplo 3.1: A barra abaixo tem largura de 35 m e espessura de 10 m, constantes ao longo de seu comprimento. Determine as tensões normais nos diferentes trechos da barra para o carregamento abaixo.

Trecho AB:

P P/2

P/2

V = P/2

P A V = P/2

B A C D 2 kN 12 kN

9 kN 9 kN 4 kN

4 kN

12 kN A P = 12 kN

Curso de Mecânica dos Sólidos A 3

m N34285714mN σAB = 34285714 Pa = 34,3 MPa Trecho BC:

Trecho CD:

Exemplo 3.2: Determine as tensões nos pinos localizados em A e B com diâmetros d = 8 m e a tensão na barra BC para o conjunto abaixo:

A P = 30 kN 12 kN

9 kN

9 kN

2 kN DP = 2 kN

15 kN b = 10 m

2 m1 m B t = 5 m

Tensão 34 DCL da Barra AB:

3.RB=− ⇒RB = 16,7 kN
3.R15RBAy=+− ⇒RAy = 5 kN
4.RRBAx=+− ⇒RAy = 13,4 kN
2/14300AVπ==ττA = 142,2 MPa

8 Pino B:

V = RA/2 RA=14,3 kN

RB 15 kN

RAx RAy RA 4

RA = 14,3 kN

RB = 16,7 kN V = RB

Curso de Mecânica dos Sólidos A 35

816700AVπ==ττBC = 332,2 MPa

4 Barra BC:

2BC===σ

3..4 –– Tensões Admisíveis;; Fator de segurança

Para garantir a segurança de uma estrutura, é necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada, a uma que seja menor que aquela que a estrutura possa suportar. Há vários motivos para isso: ¾ imprecisão de cálculo,

¾ imperfeições oriundas do processo de fabricação,

¾ variabilidade nas propriedades mecânicas dos materiais,

¾ degradação do material, etc.

Uma das maneiras de especificar a tensão admissível é definir um coeficiente de segurança dado por:

admissível ruptura admissível escoamento σσ=η (3.8)

As tensões de ruptura são determinadas experimentalmente e o coeficiente de segurança é selecionado baseado no tipo de estrutura e em suas aplicações.

Tensão 36 3..5 –– Projeto de membros e pinos com ccaarrrreggaammennttoo axial

Exemplo 3.3: Determine o diâmetro da barra BC, se a tensão admissível é σadm = 155 MPa. A viga é assumida ser parafusada em A.

D.C.L da barra AB:

R=σ ,

adm A

2BC2 π = ⇒ dBC = 1,1 m

Exemplo 3.4: Duas vigas de madeira são conectadas por um parafuso em B. Assumindo que as conexões em A, B, C, e D exercem somente forças verticais nas vigas. Determine o diâmetro do parafuso em B e o diâmetro externo de sua arruela se a tensão admissível do parafuso é σadm p. = 150 MPa e a tensão admissível da madeira é σadm m. = 28 MPa.

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