7303551 - Notas - de - Aula - de - Pr Atica - de - Ensino - de - Matem Atica - Vi

7303551 - Notas - de - Aula - de - Pr Atica - de - Ensino - de - Matem Atica - Vi

(Parte 1 de 2)

N O T A SD E A U L A DE

Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação x2 + 9 = 0 não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos

x2 = -9, x = ± , mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.

Primeiro, eles definiram um novo número i = . Isso conduz a i2 = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.

Para a equação acima fazemos

As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.

Definição

Um número complexo é uma expressão da forma a + bi onde a e b são números reais e i2 = -1.

No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.

Exemplos 2 + 5iparte real 2parte imaginária 5

iparte real parte imaginária 12iparte real 0parte imaginária 12 -9parte real -9parte imaginária 0

Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:

a + bi = c + di se Exemplos

2 + 5i = Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iPara adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias

Subtração

(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)iPara subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias

Exemplos (3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i

= - 4 + 12i Na prática, fazemos

(3 + 4i) + (-7 + 8i) = (- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i = - 9 + 8i

Na prática fazemos

(-5 + 6i)

(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)iMultiplicamos números complexos como multiplicamos binômios, usando i2 = - 1

Exemplos

= 6 – 8i + 9i – 12i2 Distributiva

= 18 + i

= – 8 – 4i + 4i + 2i2 Distributiva

= – 10

= – 3i . (4) – 3i . (-2i) = - 12i + 6i2

= - 12i + 6 . (-1)

= - 6 - 12i

1. ( USP ) O produto ( 5 + 7 i ) . ( 3 - 2 i ) vale:

2. ( UFPA ) O número complexo z = x + ( x2 - 4 ) i é real se, e somente se:

a.x 0 b.x = 2 c.x 2

d.x 0 e x 2 e.x = 0

3. ( UFPA ) Qual é o valor de m, real, para que o produto ( 2 + m i ) . ( 3 + i ) seja um imaginário puro ?

4. ( UCMG ) O produto ( x + y i ) . ( 2 + 3 i ) é um número real, quando x e y são reais e:

a.x - 3y = 0 b.2y - 3x = 0 c.2x + 2y = 0 d.2x + 3y = 0 e.3x + 2y = 0

5. ( UFU - MG ) Sejam os números complexos z1= 2x + 3 i e z2= 2 + y i, onde x e y são números reais. Se z1=z2, então o produto x . y é:

6. ( CEFET - MG ) O produto ( 1 - i ) . ( x + 2 i ) será um número real quando x for:

a.-2 b.-1 c.0 d.1 e.2

7. ( ACAFE - SC ) Se z = 2 + 2 i é um número complexo, então w = z + z i é:

8. ( UFSM - RS ) Para que o número z = ( x - 2 i ) . ( 2 + x i ) seja real, devemos ter: ( x IR )

a.x = 0 b.x = 1/2

c.x = 2

d.x = 4 e. nda

9. ( OSEC - SP ) Se f(z) = z2 - z + 1 então f ( 1 - i ) é igual a:

a.i b.- i + 1 c.i - 1 d.i + 1 e.-i

10. ( FATEC - SP ) Se o número complexo z é então z2 é:

a. b.

1. ( USP ) Os números reais x e y que satisfazem a equação 2x + ( y -3) i = 3y - 4 x i são tais que:

a.x + y = 7 b.x - y = 3/14 c.x.y = 10

d. e.yx = 32

12. (OSEC-SP) Determinando-se os valores reais de m e n de modo que se tenha 2 ( m - n ) + i ( m + n ) - i = 0 pode-se afirmar que a soma de m e n é igual a:

13. ( MACK - SP ) Sejam os números complexos z1 e z2 , onde z2 = 3 i e z1 . z2 = -9 + 6 i . Então z1 + z2 vale:

14. ( UEL - PR ) Sejam os números complexos w = ( x - 1 ) + 2 i e v = 2x + ( y -3 ) i, onde x, y IR. Se w = v, então:

a.x + y = 4 b.x . y = 5 c.x - y = -4 d.x = 2y e.y = 2x

15. ( UFBA ) O número complexo z que satisfaz a igualdade ( 2 + i ) z + 7 + 5 i = 8 - 3 i é:

16. ( JUNDIAI - SP ) Se o número complexo 2 + i é uma das raízes da equação x2 + kx + t = 0, sendo k e t números reais, então o valor de k + t é:

a.-2 b.-1 c.0 d.2 e.1

O CONJUGADO, A DIVISÃO E AS POTÊNCIAS DE i.

Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador

de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.

Complexos conjugados

O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.

Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.

Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i O conjugado de z = 5i é = - 5i O conjugado de z = 10 é = 10

Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:

z= (a + bi) . (a – bi)

= a2 – b2 . (-1)

= a2 + b2

A soma dos quadrados de dois números reais nunca é negativa

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexos

Para escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

= i = 1 – i POTÊNCIAS DE I

i0 = 1i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1
i1 = ii5 = i4 . i = 1 . i = i
i2 = -1i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1
i3 = i2 . i = -1 . i = -ii7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i

Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo 1, i, -1, -i repete-se indefinidamente.

Então, para simplificar ix para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x; por exemplo

= -i

1. ( UNIMAR - SP ) A forma mais simples do número complexo é:

a.-i b.-1 - i c.1 + i d.-1 + i e. 0

2. ( FESO - RJ ) O valor de i1996 é de:

a.1 b.-1 c.i d.-i e. 499

3. ( UPF - RS ) Dado o número complexo z = 3 - 4i, então (z)-1 vale:

4. ( USF - SP ) Se o número complexo z é tal que z = i45 + i28 então z é igual a:

a.1 - i b.1 + i c.-1 + i d.-1 - i e. i

5. ( MACK - SP ) O conjugado de vale:

6. ( UFRN ) Se z = 4 + 2i, então vale:

7. ( UFSE ) Se o número complexo z é tal que z = 3 - 2i, então ( )2 é igual a:

8. ( PUC - RJ ) Considere os números complexos z = 2 - i e . Então, se indica o complexo conjugado de w :

a.z = - w b.z =

c.z = - d.z = 1/w e.z = w

9. ( PUCCAMP-SP) O conjugado do número complexo , é:

a.1 - i b.-1 - i c.-1 + i d.-i e. i

10. ( FATEC - SP ) Seja , onde i2 = -1 , então z é igual a:

a.6i/5 b.i/20 c.2i/15 d.0 e. 5i

1. ( CESGRANRIO -RJ) Se , então z + + z . vale:

12. ( UEM - PR ) Sabendo que i = e que n = i + i2 + i3 ++ i78, então :

a.n = 0

d.n = i - 1 e.n = 1 - i

13. ( UEL - PR ) Indica-se por Re(z) e Im (z) as partes real e imaginaria de um

número complexo z, respectivamente. Se então :

a.Re(z) = - 3/2 b.Im(z) = - 3/2 c.Re(z) = - 1/2 d.Im(z) = 1/2 e.Re(z) = 3/2

14. ( UNIFENAS - MG ) O número complexo z, que verifica a equação iz + 2 + 1 - i = 0 , é:

a.-1 - i b.-1 + 2i c.-1 + i d.1 - i e.-1 - 2i

15. ( FEI - SP ) Se = 1+i, então o número complexo z é:

a.1 - 2i b.-1 + i c.1 - i d.1 + i e.-1 + 2i

16. ( MACK - SP ) Seja o número complexo . Então, z1980 vale:

a.1 b.-1 c.i d.-i e. -2i

17. ( PUC - BA ) Sejam os números reais x e y tais que 12 - x + ( 4 + y ) . i = y + xi. O conjugado do número complexo z = x + yi é:

18. ( UFGO ) Se i é a unidade imaginaria, então: é igual a:

A forma trigonométrica (ou polar) de um número complexo

Módulo e argumento Considere a figura a seguir:

Sendo P o afixo do número complexo z , de módulo z , no triângulo OaP, podemos escrever: cosα = a / z ∴ a = z . cosα e b = z . senα

•O ângulo α é denominado argumento do número complexo z e a distância OP é denominada módulo do complexo e representada por z , ou pela letra grega ρ (rô). •No triângulo retângulo AoP , podemos escrever a seguinte expressão para a determinação da tangente do ângulo α :

•Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo AoP, podemos escrever a seguinte relação para calcular o módulo do número complexo z:

Obs:

1) é usual representar o módulo de um número complexo, pela letra grega ρ (rô)

2) Um número complexo de módulo ρ e argumento θ , pode ser representado pelo símbolo z = ρ ∠ θ . (Esta simbologia é muito utilizada nos estudos mais avançados de Eletricidade. Para o vestibular, esta notação não tem grande interesse).

Dado o número complexo z = 1 + √ 3 i , determine o módulo e o argumento de z.

a) Módulo: ou seja ρ = 2.

b) Argumento: tg α = b / a = √ 3 / 1 = √ 3 ⇒ α = 60º = pi / 3 rad (radianos).

Forma polar de um número complexo

Sendo z = a + bi e substituindo os valores de a e b vistos acima, vem: z = z (cosα + i . senα ) , denominada forma polar ou trigonométrica do número complexo. Assim, o número complexo do exemplo anterior, poderá ser escrito na forma polar como segue: z = 2(cos60º + i.sen60º)

Exemplos:

z = 10(cos30º + i.sen30º) = 10(√ 3 / 2 + i . 1 /2) = 5√ 3 + 5i w = 2(cos0º + i.sen0º) = 2(1 + i .0) = 2 r = 5(cos90º + i . sen90º) = 5(0 + i . 1) = 5i s = 100(cos180º + i . sen180º) = 100( -1 + i . 0) = - 100 u = cos 270º + i . sen270º = 0 + i .(-1) = - i

Nota: A forma polar de um número complexo, é especialmente interessante para o cálculo de potências e raízes de números complexos, conforme veremos adiante.

1. ( UEL - PR ) Na figura abaixo, o ponto P é a imagem de um número complexo z, representado no plano de Gauss

Nessas condições, o módulo de z é igual a:

a. b.2

d.10 e.5

2. ( UEPG - PR ) A forma trigonométrica do complexo z = -1 + i é dada por:

b. c.

d. e.

3. ( PUC - RS ) Seja z um número complexo, cujo afixo P está representado abaixo no plano de Argand- Gauss

A forma trigonométrica do número z é:

a. ( cos 150º + i sen 150º ) b.( cos 30º + i sen 30º ) c.( - cos 150º + i sen 150º ) d.( cos 120º + i sen 120º ) e.( - cos 60º + i sen 60º )

4. ( FRANCISCACA-SP ) O número complexo z = -2-2ié escrito na forma trigonométrica como :

c. d.

5. ( FCC- BA ) Na figura, o ponto P é o afixo de um número complexo z, no plano de Argand-Gauss. A forma trigonométrica de z é:

a.4. ( cos 300º + i sen 300º ) b.4. ( cos 60º + i sen 60º ) c.16. ( sen 330º + i cos 330 º ) d.2. ( sen 300º + i cos 300º ) e.cos ( -60º) + i sen ( -60º )

6. ( USP ) O argumento do número complexo z = -2 + 2i é:

7. ( PUC - RS ) O número complexo escrito na forma a + bi é: a.2 + i

b.- + i c.- -i d.- i e.2- i

8. ( MACK - SP ) A forma trigonométrica do número complexo i - é:

9. ( UEL - PR ) A forma trigonométrica do número complexo z = - + i é:

a.sen 30º + i cos 30º b.2. ( cos 60º + i sen 60º ) c.2. ( cos 30º + i sen 30º ) d.2. ( cos 120º + i sen 120º ) e.2. ( cos 150º + i sen 150º )

10. ( USP - SP ) Na figura abaixo, o ponto P é a imagem do número complexo Z, no plano de Argand-Gauss. Então, Z é igual a:

a.1 + i b.+ i

d. e.

1. ( CESCEA - SP ) Seja z o produto dos números complexos e . Então, o módulo e o argumento de z são, respectivamente:

a.4 e 30º b.12 e 80º c.8 e 90º d.6 e 90º e.2 e 30º

12. ( UFBA ) Sendo e , a representação trigonométrica de é:

c. d.

13. ( S. CASA - SP ) Na figura, o ponto P é o afixo de um número conjugado z, no plano de Argand-Gauss. Então o argumento principal de z2 é:

a.0º b.30º c.60º d.45º e. 90º

14. ( UFPR ) Se o módulo de um número complexo é igual a e seu argumento ;e

igual a , a expressão algébrica desse número é:

a.1 + i b.2 i c.1 - i d.i e.-1 - i

15. ( UFPA ) A forma trigonométrica do número complexo é:

d. e.

Operações com números complexos na forma polar

Não é usual efetuar-se adições ou subtrações de números complexos na forma polar, devido ao fato de que estas operações com os números complexos na forma algébrica, são bem mais fáceis de realizar. Se os números complexos estiverem na forma polar, para somá-los (ou subtraí-los), primeiro converta-os para a forma binômia ou algébrica e efetue os cálculos.

Exemplo: z = 10(cos 0º + i . sen 0º) = 10 (1 + i . 0) = 10 w = 5(cos 90º + i . sen 90º) = 5 (0 + i . 1) = 5i z + w = 10 + 5i

Mostraremos a seguir, as fórmulas para multiplicação, divisão e potenciação de números complexos.

Sejam os números complexos:

z1 = ρ 1(cosθ 1 + i . senθ 2) , z2 = ρ 2(cosθ 2 + i . senθ 2) e z = ρ (cosθ + i . senθ ) .

Temos as seguintes fórmulas, demonstráveis sem excessivo trabalho:

PRODUTO z1 . z2 = ρ 1 . ρ 2 [cos(θ 1 + θ 2) + i . sen(θ 1 + θ 2)]

EXEMPLO: z1 = 15(cos30º + i . sen30º) e z2 = 3(cos60º + i . sen60º).

z1 . z2 = 15.3[cos(30º + 60º) + i . sen(30º + 60º)] = 45(cos90º + i . sen90º) = 45(0 + i . 1) = 45i

z1 = 10(cos120º + i . sen120º) e z2 = 5(cos30º + i . sen30º) z1 / z2 = 10 /5 [cos(120º - 30º) + i . sen(120º - 30º)] = 2(cos90º + i . sen90º) = 2(0+i . 1) = 2i

POTENCIAÇÃO zn = ρ n(cos n.θ + i . sen n.θ )

EXEMPLO z = 10(cos30º + i . sen30º) z3 = 103(cos3.30º + i . sen3.30º) = 1000(cos90º + i . sen90º) = 1000(0 + i . 1) = 1000i z9 = 109(cos9.30º + i . sen9.30º) = 109(cos270º + i . sen270º) = 109[0 + i . (-1)] = 109.i

1. Sejam Z1 e Z2 os números complexos z1 = 3 . ( cos 30º + i sem 30º ) e z2 = 5 . ( cos 45º + i sen 45º ). O produto de z1 por z2 é o número complexo:

a.15 . ( cos 1350º + i sen 1350º ) b.8 . ( cos 75º + i sen 75º ) c.8 . ( cos 1350º + i sen 1350º ) d.15 . ( cos 15º + i sen 15º ) e.15 . ( cos 75º + i sen 75º )

2. ( UEMT ) Sejam os complexos z1 = 4. ( cos 60º + i sen 60º ) e z2 = ( cos 90º + i sen 90º ). A forma algébrica do complexo z = z1 . z2 é:

b. c.- - i

d.-2 + 2i e. nda

3. Dados z1 = 10 . ( cos 90º + i sen 90º ) e z2 = 2 . ( cos 30º + i sen 30º ), o número complexo z1 : z2 é representado por:

a.20 . ( cos 120º + i sen 120º ) b.5 . ( cos 120º + i sen 120º ) c.20 . ( cos 60º + i . sen 60º ) d.5 . ( cos 60º + i . sen 60º ) e.100 . ( cos 120º + i sen 120º )

4. ( UCMG ) O produto dos três números complexos z1 = 2 . ( cos 40º + i sen 40º ) ; z2 = 3 . ( cos 135º + i sen 135º ) e z3 = ( cos 125º + i sen 125º ) é:

a.3 - i

d.6 + i e. ndai

5. ( CESGRANRIO - RJ ) O módulo do número complexo ( 1 + 3i )4 é:

a.256 b.100 c.81 d.64 e. 16

6. ( USP ) Dado o número complexo z = cos /6 + i sen /6 , o valor de z12 é:

b. c.- + i d.-1 + i e.- + i

7. ( UFPR ) Quando z1 = 2. ( cos /4 + i sen /4 )e z2 = 2 . ( cos 3/4 + i sen 3 /4 ), tem - se que z1 + z2 e z1 . z2 valem, respectivamente:

a.i e 0 b.2 i e -4 c.4 i e -4

d.2 + 2 i e 4 e.0 e 0

8. ( OSEC - SP ) Se um número complexo z tem módulo igual a e argumento igual a /4 então z7 tem parte real e parte imaginaria dadas, respectivamente, por:

a.8 e -8 b.-8 e 8

c.8 e -8

d.-8 e 8 e.8 e 8

9. ( FISS - RJ ) O valor de ( 1 + i ) 4 é :

a.-4 b.4 c.4i d.-4i e.4 + 4i

10. ( UEL - PR ) Um número complexo z é tal que o seu módulo é 2 e se argumento principal é 15º. A forma algébrica de z3 é:

a.4 + 4 i b.4 + 4i

d.16 + 16 i e.16 + 16 i

1. ( CESGRANRIO - RJ ) complexo é igual a:

c.( 1 + i )12 d.1/12 e.1/12 i

12. ( VUNESP - SP ) A expressão , onde i é a unidade imaginária dos complexos, é igual a:

d. e. 1

13. ( SANTA URSULA ) O valor de ( 1 + i )10 + ( 1 - i )10, onde i é a unidade imaginária, é:

14. ( CESULON - PR ) Calcular z5, sendo z = 2 + i . 2

a.512 - i12 b.512 - i 212 c.512 + i 512 d.512 - i 512 e.512 + i 212

Um aspecto interessante da fórmula de potenciação de números complexos, é obtido fazendo-se ρ = 1 ( ou seja, considerando o módulo ρ do complexo, igual a 1) na fórmula acima:

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