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IntroduçªoPirâmide, cone e esfera Dando continuidade à unidade de Geome- tria Espacial, nesta aula vamos estudar mais trŒs dos sólidos geomØtricos: a pirâmide, o cone e a esfera.

A pirâmide

A pirâmide Ø considerada um dos mais antigos sólidos geomØtricos construídos pelo homem. Uma das mais famosas Ø a pirâmide de QuØops, construída em 2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que pode ser comparado a um prØdio de 50 andares.

Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da pirâmide egípcia, cuja base Ø um quadrado. Contudo, o conceito geomØtrico de pirâmide Ø um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono. As figuras abaixo representam pirâmides:

Nossa aula

PirâmidePentagonalPirâmidequadrangular

Pirâmide Triângular(tetraedro) Pirâmide hexagonal

AULAAlgumas definiçıes:

Uma pirâmide Ø um sólido geomØtrico, cuja base Ø um polígono e cujas faces laterais sªo triângulos que possuem um vØrtice comum.

lA altura da pirâmide Ø um segmento perpendicular à base e que passa por

V (vØrtice). lUma pirâmide Ø regular se a base Ø um polígono regular e as faces sªo triângulos iguais. Com isso o pØ da altura Ø o centro do polígono da base, como mostram as figuras abaixo.

O cone

Um funil ou uma casquinha de sorvete dªo a idØia do sólido geomØtrico chamado coneconeconeconecone. Um cone (mais precisamente, um cone circular reto) Ø o sólido obtido da seguinte maneira: tome uma regiªo do plano limitado por uma circunferŒncia e, de um ponto P situado exatamente acima do centro da circunferŒncia, trace os segmentos de reta unindo P aos pontos da circunferŒncia do círculo.

base aresta da base altura aresta da facevérticeface

Pirâmide Triângular

Regular (a base é um triângulo equilátero)

Pirâmide Quadrangular

Regular (a base é um quadrado)

AULAA pirâmide e o cone

HÆ muita semelhança entre o cone e a pirâmide. A diferença Ø que a base do cone Ø delimitada por um círculo, em vez de um polígono. Ambos podem ser imaginados como um conjunto de segmentos que ligam um ponto P, exterior ao plano, a uma regiªo do plano, como mostra a figura abaixo.

O volume da pirâmide e do cone

Na Aula 63, vocŒ viu que o volume do prisma Ø igual ao produto da sua altura pela Ærea da base.

É possível mostrar que, se tivermos um prisma e uma pirâmide de mesma base e mesma altura, o volume do prisma serÆ o triplo do volume da pirâmide.

VocŒ pode comprovar esse fato, experimentalmente. Para isso, basta construir, em cartolina, um prisma e uma pirâmide de mesma base e mesma altura.

Usando areia ou grªos de arroz, encha a pirâmide e despeje seu conteœdo no prisma.

= 3 xh h

AULAVocŒ vai observar que serÆ necessÆrio despejar cerca de trŒstrŒstrŒstrŒstrŒs vezes o conteœdo da pirâmide no interior do prisma, para enchŒ-lo por completo.

Com isso, concluímos que o volume da pirâmide Ø um terço do volume do prisma:

Vpirâmide = 13 A · honde A representa a Ærea da base e h, sua altura.

Para determinar o volume do cone, podemos proceder de forma anÆloga.

Para isso, construa, em cartolina, um cone e um cilindro de mesma base e mesma altura.

Enchendo o cone com areia, serÆ necessÆrio despejar trŒstrŒstrŒstrŒstrŒs vezes seu conteœdo no interior do cilindro, para enchŒ-lo.

Portanto, podemos concluir que o volume do cone Ø a terça parte do volume do cilindro, de mesma base e mesma altura

Vcone = 13 A · honde A representa a Ærea da base e h, sua altura.

Assim, para toda pirâmide e para todo cone Ø vÆlida a fórmula:

Vamos ver alguns exemplos:

EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1

Qual o volume de uma pirâmide quadrangular, cuja altura mede 5 cm e a aresta da base, 3 cm?

O volume dessa pirâmide Ø de 15 cm3

AULAEXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Um copo de caldo de cana, no formato de um cone, tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual a capacidade desse copo?

Abase = pR2 = 3,14 · 16 = 50,24 cm2

Como 1 cm3 = 1 ml, concluímos que a capacidade do copo Ø de aproximadamente 200 ml.

A esfera

Sem dœvida alguma, a esfera Ø considerada um dos sólidos mais curiosos que existem, e sua forma tem sido extremamente œtil ao homem.

É possível que os homens tenham criado a forma esfØrica a partir da observaçªo e do estudo dos corpos celestes, como o Sol e a Lua. Ou da verificaçªo de fenômenos como a sombra da Terra projetada sobre a Lua. O formato de nosso planeta foi reproduzido em diversos objetos atØ chegar às bolas de futebol, vôlei e outros.

Matematicamente, a esfera Ø o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a um ponto 0 Ø igual a uma distância R dada.

0Þcentro da esfera R Þ Raio

AULAO volume da esfera

A fórmula que dÆ o volume da esfera foi demonstrada pelo matemÆtico grego Arquimedes, no sØculo I a.C., em seu livro sobre a esfera e o cilindro.

Usando o mØtodo de exaustªo, inventado por outro matemÆtico grego chamado Eudoxo, Arquimedes provou que o volume de uma esfera Ø igual a quatro vezes o volume do cone, cujo raio Ø o raio da esfera e cuja altura Ø tambØm o raio da esfera. Para tornar mais clara essa idØia, imagine a experiŒncia que poderia ser feita com as vasilhas da ilustraçªo abaixo. Observe que uma Ø semiesfØrica e a outra Ø cônica, lembrando uma taça.

Elas tŒm a mesma boca, isto Ø, o raio da semi-esfera Ø igual ao raio da circunferŒncia do cone. AlØm disso, elas tŒm a mesma altura, isto Ø, a altura do cone Ø igual ao raio da semi-esfera.

Despejando duas vezes o conteœdo da vasilha cônica no interior da vasilha semi-esfØrica, conseguimos enchŒ-la completamente (figura abaixo). Isso significa que a capacidade da semi-esfera Ø o dobro da capacidade do cone. Portanto, a capacidade da esfera serÆ quatro vezes a capacidade do cone.

Nªo Ø fÆcil fazer essa experiŒncia. Onde encontrar uma vasilha esfØrica e uma vasilha cônica? Entretanto, pela descriçªo da experiŒncia, vocŒ pode compreender a idØia de Arquimedes. Como dissemos, o grande matemÆtico grego demonstrou, por deduçªo, que o volume da esfera Ø quatro vezes o volume do cone, que tem o raio da esfera e cuja altura Ø o raio da esfera.

Posteriormente, outros matemÆticos criaram novos raciocínios para calcular o volume da esfera. Em alguns livros de 2” grau, vocŒ pode encontrar uma deduçªo para a fórmula do volume da esfera. Vamos retomar a afirmaçªo de Arquimedes. Observe a figura:

Volume do cone = Ah raio

AULAEXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3

Qual a quantidade de chumbo necessÆria para a confecçªo de 100 bolinhas esfØricas, maciças, de 1 cm de diâmetro?

Raio = 0,5 cm

· 3,14 · (0,5)3 =

@ 0,523 cm3 Sªo necessÆrios 0,523 cm3, que Ø o mesmo que 0,523 ml de chumbo.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1

Qual Ø o volume de uma pirâmide quadrangular de altura 9 cm e cujo perímetro da base Ø 20 cm?

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2

Qual Ø o volume de um cone de 12 cm de altura e com diâmetro da base medindo 10 cm?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3

Qual a quantidade de chocolate necessÆria para a fabricaçªo de 1.0 pirulitos em forma de guarda-chuva, de 5 cm de altura e 2 cm de diâmetro?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4

A ampulheta da figura consiste em dois cones idŒnticos, dentro de um cilindro. A altura do cilindro Ø de 6 cm e sua base tem 4 cm de diâmetro.

a)a)a)a)a)Determine o volume de areia necessÆrio para encher o cone. b)b)b)b)b)Determine a quantidade de espaço vazio entre os cones e o cilindro.

raio = 0,5 cm

Exercícios

AULAExercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5 O raio da Terra Ø de aproximadamente 6.400 km. Considerando que sua forma seja uma esfera, determine o volume do planeta Terra.

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6

O diâmetro da Lua Ø, aproximadamente, 14 do da Terra. Determine o volume da Lua.

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7

Uma fÆbrica de suco de laranja confeccionou suas embalagens em dois formatos: uma esfØrica de 8 cm de diâmetro e outra cilíndrica. Sabendo que as duas embalagens tŒm a mesma altura e a mesma largura, calcule seus volumes.

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8

Numa indœstria química, deseja-se instalar um reservatório esfØrico para armazenar determinado gÆs. A capacidade do reservatório deve ser de 3,5 m3. Qual deve ser, aproximadamente, o raio desse reservatório?

S U C O SUCO8 cm

8 cm

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