Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

(Parte 5 de 5)

Teorema 10.2 Teorema de Picard-Lindelof (Existencia e Unicidade de Solucoes). Seja a equacao diferencial ordinaria real de primeira ordem y(t) = F(t, y(t)) (10.30)

(F : R2 → R sendo nao-identicamente nula) com a condicao inicial

Suponha ainda que F seja Lipschitz contınua em R com relacao ao seu segundo argumento, ou seja, existe uma constante k (denominada constante de Lipschitz) tal que para todos (t, y), (t, v) ∈ R valha

Entao, o problema de valor inicial descrito pelas relacoes (10.30) e (10.31) apresenta uma unica solucao. Alem disso, essa solucao existe pelo menos no intervalo fechado [t0 − β, t0 + β], onde

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Uma condicao suficiente para que a condicao de Lipschitz acima se cumpra e que ∂yf(t, y) exista e seja limitada em todo R , em cujo caso a constante de Lipschitz seria dada por k := sup

A prova do Teorema de Picard-Lindelof sera apresentada com bastante generalidade no Capıtulo 24, pagina 1096. Vide Teorema 24.4, pagina 1112.

E importante notar que a condicao de F ser Lipschitz31 contınua em R com relacao ao seu segundo argumento pode ser obtida de uma condicao mais forte, a saber, que a derivada parcial ∂yF(t, y) de F em relacao ao segundo argumento seja contınua em R. De fato, da relacao

for contınua em R. Assim, em essencia, o que o Teorema de Picard-Lindelof afirma e que se pode garantir a existencia e a unicidade de solucoes do problema de valor inicial descrito pelas relacoes (10.30) e (10.31) se pelo menos a funcao F e sua derivada parcial ∂yF(t, y) forem contınuas em um retangulo centrado na condicao inicial.

Como comentario final, afirmamos que os teoremas de Peano e Picard-Lindelof podem ser facilmente estendidos para sistemas de equacoes diferenciais de primeira ordem (em verdade, o Teorema 24.4, pagina 1112, ja e enunciado com essa generalidade, o mesmo se dando com o Teorema de Peano, Teorema 30.21, pagina 1321). Como toda equacao diferencial de ordem n e equivalente a um tal sistema, essas generalizacoes garantem condicoes suficientes para existencia ou unicidade de solucao de equacoes diferenciais ordinarias de qualquer ordem.

No caso de equacoes diferenciais parciais nao existem teoremas tao fortes relativos a existencia e unicidade de problemas de valor inicial como ha no caso de equacoes diferenciais ordinarias. Um dos resultados mais importantes nessa direcao, porem, e o Teorema de Cauchy-Kovalevskaya32. Seu enunciado e sua demonstracao podem ser encontrados, por exemplo, em [42, 43].

Vimos nos Exemplos 10.1 a 10.15 (pagina 416) que ha equacoes diferencias cujas solucoes, ainda que existam e sejam eventualmente unicas, nao sao globais, ou seja, nao podem ser definidas em toda reta real. A questao que naturalmente se coloca e a de encontrar condicoes suficientes para garantir a existencia de solucoes globais. Essa e uma vasta questao e nos limitaremos aqui a apresentar o resultado mais simples, o Teorema 10.3, abaixo. Igualmente importante e a questao de se demonstrar que uma determinada equacao diferencial nao possui solucoes globais (se tal puder ser o caso). Um dos principais resultados da Teoria da Relatividade Geral e da Cosmologia, a existencia do chamado “big bang” em uma classe bastante grande de modelos para o universo, foi tratado como um problema de nao-existencia de solucoes globais de determinadas equacoes diferenciais. Vide [84].

O seguinte teorema, cuja demonstracao e apresentada com mais generalidade na Secao 24.4.2, pagina 1115, apresenta condicoes suficientes para a existencia de solucoes globais.

Teorema 10.3 (Existencia e unicidade de solucoes globais) Seja F : R2 → R contınua em todo R2. Suponhamos tambem que para todo a > 0, a funcao F seja Lipschitz contınua em relacao ao seu segundo argumento na faixa

ou seja, para cada a > 0 existe uma constante ka (eventualmente dependente de a e denominada constante de Lipschitz) de valor inicial x(t) = F(t, x(t)) com x(t0) = x0 apresenta uma solucao unica valida para todo t ∈ R.

Uma condicao suficiente para que a condicao de Lipschitz acima se cumpra e que ∂yF(t, y) exista em todo R2 e seja li- mitada em cada faixa Fa,t , em cujo caso as constantes de Lipschitz podem ser escolhidas como ka := sup

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E. 10.12 Exercıcio. Mostre que a equacao diferencial nao-linear x = cos(x) satisfaz as condicoes do Teorema 10.3 e, portanto, possui solucoes globais. Mostre explicitamente, por integracao, que as solucoes sao dadas por x(t) = arctan(senh(t + c)), onde c e uma constante a ser fixada pela condicao inicial. Por meio dessa expressao explıcita constata-se claramente que as solucoes existem para todo t ∈ R. 6

E. 10.13 Exercıcio(de [36]). Mostre que a equacao diferencial nao-linear

satisfaz as condicoes do Teorema 10.3. Sugestao: mostre que para esse caso

et − t2 sen(y) e, portanto, em cada faixa Fa,t , e podemos adotar ka = 3ea + a2 para cada a > 0. 6

E. 10.14 Exercıcio. A equacao diferencial nao-linear x = x2 nao satisfaz as condicoes do Teorema 10.3, pois a condicao de Lipschitz requerida nao e satisfeita em nenhuma faixa Fa,t . Mostre isso. Com efeito, vimos no Exemplo 10.12, da pagina

416, que essa equacao nao possui solucoes globais. Vide tambem os comentarios da pagina 420 sobre esse problema. 6

• Comentarios sobre solucoes globais. O Exemplo 10.9

Analisemos agora o Exemplo 10.9, pagina 415 sob a luz dos Teoremas de Peano e de Picard-Lindelof. Aqui,

Assim, o Teorema de Peano garante a existencia de solucao para o intervalo fechado [−β, β], onde β := min{ a, b

3 } (vide (10.29)). Os valores de a e de b podem ser escolhidos arbitrariamente grandes, sem violar a condicao de continuidade de F. Conclui-se disso que podemos tomar β arbitrariamente grande. Assim, nesse particular exemplo, o Teorema de Peano garante-nos a existencia de uma solucao global, para todo t. Isso condiz com a observacao que a solucao identicamente nula, bem como as solucoes (10.21) e (10.2) existem para todo t.

Por fim, e facil verificar que a funcao F(t, y) = 3y2/3 nao satisfaz a condicao de Lipschitz |F(t, y)−F(t, v)| ≤ k|y−v| para nenhum k em nenhum retangulo centrado em (0, 0). Para isso observe que se tomassemos v = 0 e y ≥ 0, a condicao de Lipschitz diria que 3y2/3 ≤ ky, ou seja, 3y−1/3 ≤ k. Mas uma tal desigualdade e impossıvel, pois para y → 0 o lado esquerdo diverge!

Isso justifica por que nao se pode aplicar Picard-Lindelof nesse caso (e a solucao, de fato, nao e unica).

• Comentarios sobre solucoes globais. O Exemplo 10.12

O fato de o Teorema de Peano em princıpio garantir apenas uma regiao conservadora de validade de solucao, a saber o intervalo [t0 − β, t0 + β], onde β e dado pela expressao (10.29), nao esta em desacordo com os exemplos: ha sistemas satisfazendo as condicoes do Teorema de Peano para os quais nao ha solucoes globais, ou seja, solucoes que existem para todo t ∈ R. O Exemplo 10.12, pagina 416, e um tal caso. Vamos reanalisa-lo sob a luz dos Teoremas de Peano e Picard-Lindelof, estudando particularmente o que o Teorema de Peano nos diz sobre a regiao de existencia de solucao.

E bastante claro que no Exemplo 10.12 tem-se F(t, y) = y2, e t0 = 0 com y0 > 0. Tomando-se um retangulo fechado

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O Teorema de Peano garante a existencia de solucao para o intervalo fechado [−β, β], onde β := min{ a, b

(y +b) } . O valor de a pode ser escolhido arbitrariamente grande, sem alterar o valor de M e sem violar a condicao de continuidade de F. Conclui-se disso que podemos tomar β = b (y +b) . Para qual escolha de b a constante β assume seu maior valor? E um exercıcio facil (faca-o!) mostrar que o lado direito da ultima expressao assume seu maximo em b = y0, em cujo caso β = 1 4y

. Assim, o Teorema de Peano garante existencia de solucao no intervalo [− 1 4y , 1 4y ].

Sabemos, porem que a solucao (10.23) existe em um intervalo maior (e que contenha t = t0 = 0), a saber (−∞, 1 y

O que se aprende disso e que o intervalo de solucao obtido pela estimativa (10.29) nem sempre e maximal, mas nem por isso contradiz-se o fato de nesse caso nao haver solucao valida para todo t.

Para sabermos se a solucao e unica, devemos estudar as condicoes do Teorema de Picard-Lindelof. Sabemos que F(t, y) − F(t, v) = y2 − v2 = (y + v)(y − v) . Logo, |F(t, y) − F(t, v)| = |y + v||y − v| e, para y e v no intervalo para todos (t, y), (t, v) ∈ R. Assim, a solucao do problema do Exemplo 10.12 sera unica para quaisquer a e b que se tome.

10.3.4 Dependencia Contınua de Condicoes Iniciais e de Parametros

Conforme mencionamos na pagina 413, e importante determinarmos condicoes sob as quais a solucao de um problema de valor inicial e contınua em relacao as condicoes iniciais e a parametros que ocorram na equacao diferencial. Essas questoes sao respondidas com bastante generalidade e detalhe na Secao 24.4.3, pagina 1116. Vide Teorema 24.7, pagina 1117, sua demonstracao e comentarios que se lhe seguem. Os resultados encontram-se resumidos nos dois teoremas abaixo, os quais valem tambem para sistemas de equacoes diferenciais ordinarias.

Teorema 10.4 Seja a equacao diferencial ordinaria real de primeira ordem y(t) = F(t, y(t)) com a condicao inicial y(t0) = y0, com y0 ∈ R, e suponhamos que sejam satisfeitas as condicoes descritas no Teorema 10.2, pagina 418, de modo que se garanta a existencia de uma solucao unica y(t, y0) do problema de valor inicial em um intervalo [t0 − β, t0 + β]. Entao, existe uma vizinhanca J de y0 ∈ R onde a solucao y(t, y0) depende continuamente de y0. Mais precisamente, existe uma constante κ > 0 e uma vizinhanca T de t0 contida em [t0 − β, t0 + β] tal que vale

Teorema 10.5 Seja a equacao diferencial ordinaria real de primeira ordem e dependente de um parametro p: y(t) =

F(t, y(t), p) com a condicao inicial y(t0) = y0, com y0 ∈ R, e suponhamos que sejam satisfeitas as condicoes descritas no Teorema 10.2, pagina 418, de modo que se garanta a existencia de uma solucao unica y(t, p) do problema de valor inicial em um intervalo [t0 − β, t0 + β]. Suponhamos tambem que F seja contınua e continuamente diferenciavel em relacao a p em alguma vizinhanca. Entao, y(t, p) depende continuamente de p nessa vizinhanca. 2

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