Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

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Exemplo 10.6 (Inexistencia de solucao) Considere-se o problema de valor inicial no qual procura-se a solucao da equacao

24A nocao de prolema bem-posto foi introduzida por Jacques Salomon Hadamard (1865–1963) ao listar propriedades que modelos matematicos de sistemas fısicos devem idealmente possuir. Jaques Hadamard: “Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique”. Princeton University Bulletin, 49–52 (1902).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 10 415/1861 que satisfaca a condicao inicial y(0) = 0. Esse problema nao possui nenhuma solucao que seja real para t > 0. ◊ E. 10.5 Exercıcio. Mostre isso. 6

Exemplo 10.7 (Inexistencia de solucao) Considere-se o problema de valor inicial no qual procura-se a solucao da equacao

que satisfaca a condicao inicial y(0) = 2. Esse problema nao possui nenhuma solucao real. ◊

Exemplo 10.8 (Inexistencia de solucao) (De [95]) Considere-se o problema de valor inicial no qual procura-se a solucao da equacao y(t) = H(y(t)) , onde

com a condicao inicial y(0) = 0. Esse problema nao possui nenhuma solucao. Para entender por que, observe que se y(0) = 0 entao, pela equacao diferencial, y′(0) = −1, o que implica y(t) e decrescente para t proximo de 0, tornando-se negativa para t positivo proximo de 0. Mas para y negativo y(t) vale 1 e y e crescente, uma contradicao. ◊

• Nao-unicidade de solucoes

Exemplo 10.9 (Nao-unicidade de solucoes) Considere-se o problema de valor inicial no qual procura-se a solucao da equacao y(t) = 3(y(t))2/3 que satisfaca a condicao inicial y(0) = 0. Esse problema nao tem solucao unica. Por exemplo, as funcoes

O Exemplo 10.9, acima, foi encontrado por Peano em 1890. Ha varias outras solucoes, como vemos na seguinte generalizacao.

Exemplo 10.10 (Nao-unicidade de solucoes) Seja 0 < β < 1. Considere-se o problema de valor inicial no qual procura-se a solucao da equacao

que satisfaca a condicao inicial y(0) = 0. Esse problema nao tem solucao unica: a funcao y(t) ≡ 0, ∀t ∈ R, assim como,

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 10 416/1861 para todos c1 ≤ 0, c2 ≥ 0, as funcoes

satisfazem a equacao diferencial e anulam-se em t = 0. ◊

E. 10.9 Exercıcio. Verifique! Desenhe graficos de varias funcoes yc ,c (t), yc (t) e yc (t) para varios valores de c1 ≤

• Inexistencia de solucoes globais

Exemplo 10.1 (Solucao que so existe em um intervalo finito) A equacao diferencial e aquela apresentada no Exemplo

10.8, acima, com condicao inicial y(0) = y0 > 0. Para −∞ < t < y0 a solucao e y(t) = y0 − t mas para t ≥ y0 surge a contradicao discutida no Exemplo 10.8 e a equacao diferencial nao mais possui solucao. ◊

Exemplo 10.12 (Solucao que diverge em tempo finito) Considere-se o problema de valor inicial no qual procura-se a solucao real da equacao y(t) = y(t)2 ,

a qual diverge para t = 1/y0. ◊

Exemplo 10.13 (Solucao que diverge em tempo finito) Considere-se a equacao diferencial y(t) = 1 + y(t)2 , t ∈ R. Sua solucao e y(t) = tan(t + k), onde k e fixada por uma condicao inicial. Se, por exemplo, tomarmos y(0) = y0, entao k = arctan(y0). Essa solucao, porem, existe apenas no intervalo aberto (−k − pi2, −k + pi2), pois tan(t + k) diverge nos extremos. ◊

Exemplo 10.14 (Solucao que diverge em tempo finito) Os exemplos de acima podem ser generalizados de uma forma importante. Considere-se a equacao diferencial

para t e y reais, onde a funcao F satisfaz a desigualdade F(a, b) ≤ −b2 para todos a, b ∈ R (uma situacao como essa ocorre na equacao diferencial y(t) = −( y(t)

− f( t, y(t)) = 0 caso f seja uma funcao nao-negativa). Vale, portanto, a

)2 ≥ 0 (pois y e uma funcao real), podemos escrever y(t)(

o que implica, como facilmente se ve, d dt y(t)) ≥ 1. Integrando-se ambos os lados entre 0 e t, obtemos

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 10 417/1861

Agora vejamos, se a condicao inicial y(0) for tal que y(0) < 0 entao 1/y(t) comecara negativa mas, de acordo com

(10.24), passara a ser positiva o mais tardar no instante t0 = − 1 y(0) > 0. Consequentemente, devido a continuidade de y(t), podemos afirmar que existe um instante t∗ ∈ (0, t0] tal que 1/y(t∗) = 0. Provamos, portanto, que sob as circunstancias de acima, a solucao y(t) existe apenas no intervalo [0, t∗), divergindo em t∗.

Precisamente a situacao acima descrita ocorre em um problema de suma importancia na Teoria da Relatividade

Geral, a saber, na demonstracao de um celebre teorema, devido a Hawking25, Penrose26 e outros, da existencia de singularidades espaco-temporais em modelos que satisfacam uma condicao denominada condicao forte de exergia. A demonstracao daquele teorema utiliza uma equacao diferencial, denominada equacao de Raychaudhuri27, a qual tem

+ f( t, y(t)) = 0 com f nao-negativa. A divergencia da solucao y, em um tempo finito esta

naquele caso relacionada a impossibidade de prolongar curvas geodesicas tipo-tempo alem de um instante passado, fato diretamente interpretado como a presenca do chamado “big bang” em certos modelos cosmologicos. ◊

Exemplo 10.15 (Solucao que diverge em tempo finito) Considere-se uma partıcula de massa m que se move em uma dimensao sob a acao de um potencial repulsivo U(x) = −k4x4, com k > 0, com condicao inicial x(0) = 0, x(0) = v0 > 0. Sua equacao de movimento (a segunda lei de Newton) e x(t) − k′x(t)3 = 0 , onde k′ = k/m. Qual o tempo que essa partıcula leva para, partindo de x(0) = 0, chegar ao infinito? A resposta e

onde E = mv2 > 0 e a energia mecanica da partıcula. ◊

E. 10.10 Exercıcio. Justifique a expressao dada acima para T0→∞. 6

Para E > 0 a integral acima e finita (justifique!). Logo, a partıcula leva um tempo finito para chegar ao infinito, ou seja, x(t) diverge em tempo finito. Isso mostra que a solucao da equacao diferencial x(t) − k′x(t)3 = 0, com k′ > 0 e v0 > 0, existe apenas em um intervalo finito de valores de t.

E. 10.1 Exercıcio. Mostre que o mesmo se passa com as equacoes diferenciais x(t) − k′x(t)d = 0, para todo d > 1, desde que k′ > 0. O que acontece se k′ < 0? O que acontece se k′ > 0 mas d ≥ 1? 6

10.3.2 Teoremas de Existencia e Unicidade de Solucoes

Os varios exemplos dados acima nao devem causar uma impressao negativa sobre problemas de valor inicial pois, em verdade, os mesmos refletem patologias nem sempre encontradas na “pratica” (entenda-se, na Fısica). No caso da Mecanica, por exemplo, assim como em outras areas da Fısica, pode-se garantir existencia e unicidade de solucao da “maioria” dos problemas de valor inicial. Os exemplos de acima advertem-nos, porem, da necessidade de alguns teoremas gerais que fornecam pelo menos condicoes suficientes para garantir existencia e/ou unicidade de problemas de valor inicial. Na teoria das equacoes diferenciais ordinarias os mais importantes desses teoremas sao os de Peano28 e de Picard29-Lindelof30, os quais enunciaremos agora.

Teorema 10.1 Teorema de Peano (Existencia de Solucoes). Seja a equacao diferencial ordinaria real de primeira ordem y(t) = F(t, y(t)) (10.25)

29Charles Emile Picard (1856–1941). 30Ernst Leonard Lindelof (1870–1946). Seus trabalhos sobre existencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais ordinarias datam de 1890.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 10 418/1861

(F sendo nao-identicamente nula) com a condicao inicial

Entao, o problema de valor inicial descrito pelas relacoes (10.25) e (10.26) apresenta pelo menos uma solucao. Alem disso, essa solucao existe pelo menos no intervalo fechado [t0 − β, t0 + β], onde

Em essencia, o que esse teorema afirma e que se pode garantir a existencia de solucoes do problema de valor inicial descrito pelas relacoes (10.25) e (10.26) se pelo menos a funcao F for contınua em um retangulo centrado na condicao inicial.

A prova do Teorema de Peano e baseada no importante Teorema de Ascoli discutido na Secao 30.3.4, pagina 1314 (vide

Teoremas 30.18 e 30.19, paginas 1317 e 1318, respectivamente). A demonstracao do Teorema de Peano e apresentada na Secao 30.3.4.3, pagina 1319, onde fazemos mais alguns comentarios sobre o mesmo.

O estudante pode (deve) verificar que os Exemplos 10.5 a 10.7, pagina 414, nao satisfazem as condicoes do Teorema de Peano, daı nao haver solucao naqueles casos.

O teorema de Peano garante condicoes suficientes para existencia, mas nao para unicidade de solucao. O estudante tambem pode (deve) verificar que os Exemplos 10.9 e 10.10, pagina 415 acima, satisfazem as condicoes do teorema de Peano, mas para eles nao vale a unicidade. E preciso requerer mais da funcao F para ter-se unicidade da solucao. Isso e obtido com o proximo teorema.

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