Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

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O chamado princıpio de sobreposicao e a afirmativa que se ya e yb sao duas solucoes de (10.8) entao combinacoes lineares arbitrarias αya + βyb sao tambem solucoes de (10.8). Aqui α e β sao numeros reais ou complexos arbitrarios. A prova e simples. A k-esima derivada de αya + βyb e αy (k) a +βy (k) b . Assim, substituindo-se y por αya + βyb no lado esquerdo de

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Uma conclusao importante que se extrai do princıpio de sobreposicao e que o conjunto de todas as solucoes de uma equacao diferencial ordinaria linear e homogenea e um espaco vetorial, real ou complexo, dependendo do caso.

Como o estudante facilmente percebe, o princıpio de sobreposicao vale tambem para sistemas de equacoes diferenciais ordinarias lineares e homogeneas, assim como para equacoes diferenciais parciais lineares e homogeneas, tais como as equacoes de difusao, de onda, de Laplace, as equacoes de Maxwell no vacuo, a equacao de Schrodinger e muitas outras equacoes da Fısica. Nelas o princıpio de sobreposicao e amplamente empregado.

Historicamente, o princıpio de sobreposicao era conhecido desde os primeiros estudos sobre equacoes diferenciais no seculo XVIII, mas foi atraves dos trabalhos de Helmholtz2 sobre acustica que sua importancia foi inteiramente percebida na resolucao de equacoes diferenciais (ordinarias e parciais) lineares de interesse fısico. A influencia de Helmholtz nao pode ser subestimada, mesmo no que concerne a aplicacoes praticas: a leitura de Helmholtz, que tambem inventara um dispositivo eletromecanico para a producao artificial do som de vogais, inspirou Bell3 a realizar experiencias de transmissao simultanea de multiplos sinais de codigo Morse4 em uma unica linha telegrafica, empregando frequencias distintas para cada mensagem. Tais experiencias conduziram Bell em 1876 a invencao do telefone.

• O caso de equacoes lineares nao-homogeneas

Vamos colocar a seguinte questao. Vale o princıpio de sobreposicao para equacoes diferenciais ordinarias lineares nao-homogeneas? Para tentar responder isso, considere-se a equacao nao-homogenea e sejam ya e yb duas solucoes. Como acima, consideremos uma combinacao linear αya + βyb e tentemos repetir o que fizemos no caso homogeneo. Assim, substituindo-se y por αya + βyb no lado esquerdo de (10.9), teremos

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O que concluımos e que αya + βyb somente e uma nova solucao de (10.9) se α+ β = 1. Portanto, se ya e yb sao solucoes de (10.9) entao αya + (1 − α)yb e tambem solucao de (10.9) para qualquer α.

Vimos que o princıpio de sobreposicao para equacoes nao-homogeneas nao se da para α e β arbitrarios. Nao se pode mais, portanto, dizer que o conjunto de solucoes de uma equacao nao-homogenea como (10.9) e um espaco vetorial, mas sim um espaco convexo.

Ha ainda uma outra propriedade importante satisfeita pelas solucoes de equacoes nao-homogeneas. Seja ynh uma solucao particular da equacao nao-homogenea (10.9) e yh solucao particular da equacao homogenea (10.8), a qual difere de (10.9) apenas pelo fato de ter-se f(t) = 0. Entao, tem-se que e tambem solucao da equacao nao-homogenea (10.9) para qualquer constante α. Para ver isso, inserimos y = αyh + ynh no lado esquerdo de (10.9) e teremos

O que aprendemos com isso e que se tivermos uma solucao particular de uma equacao linear nao-homogenea obtemos uma outra solucao mais geral adicionando a esta uma solucao da equacao linear homogenea associada. Essa propriedade e muito util na solucao de equacoes nao-homogeneas.

• Equacoes diferenciais ordinarias com retardo

Apenas por curiosidade informamos que nao apenas equacoes diferenciais do tipo (10.1) ou (10.5) sao objeto de interesse e de pesquisa. Um outro tipo sao as chamadas equacoes com retardo, as quais existem em diversas formas. Uma

dessas forma e a seguinte. Sejam T0,, Tn

constantes positivas. Uma equacao com retardo (fixo) e uma equacao da forma

y(n)(t) = F(t, y(t − T0),, y(n−1)(t − Tn−1)) . (10.1)
A diferenca com relacao a (10.5) e que aqui y(n) no instante t nao depende de y,, yn−1 no mesmo instante t, mas

em instantes anteriores.

Um exemplo interessante e o seguinte. Suponha que y(t) designe a populacao de uma especie de seres vivos vivendo em um certo habitat. O numero de falecimentos por causas naturais (como doencas) no intervalo t e t+dt e tipicamente proporcional a y(t) (justifique!). Assim, se a especie nao se reproduz, a variacao dy da populacao no intervalo t e t + dt sera dy = −αy(t)dt para uma certa constante α, ou seja, y satisfara a equacao diferencial y′(t) = −αy(t), que e uma equacao de primeira ordem sem retardo. Agora, admitamos que a especie se reproduz. O numero de cruzamentos entre elementos da especie no intervalo t e t +dt e tipicamente proporcional a y(t)2 (justifique!). Se admitirmos que o numero de nascimentos no intervalo entre t e t + dt e proporcional ao de cruzamentos ocorridos em t − T0 (descontando assim o tempo de gestacao T0) a equacao diferencial para y tera que ser modificada para para uma certa constante β. Esta e uma equacao de primeira ordem com retardo.

Ha varios outros tipos de equacoes com retardo, por exemplo, aquelas onde os tempos de retardo Ti nao sao fixos, mas dependem de t ou mesmo de y. Tais equacoes aparecem no Eletromagnetismo, onde o retardo e devido a finitude da velocidade da luz.

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O estudo de equacoes com retardo requer outros metodos que nao aqueles que discutiremos aqui e e atualmente assunto ativo de pesquisa, encontrando aplicacoes mesmo fora da Fısica, em areas tais como a Epidemiologia - como o exemplo acima ilustra - onde os retardos sao tipicamente consequencia quer de tempos de gestacao quer de tempos de latencia (de doencas).

10.1.2 Equacoes Ordinarias de Segunda Ordem. Exemplos de Interesse

Para futura referencia vamos aqui listar uma serie de equacoes diferenciais lineares de segunda ordem de particular interesse.

1. A Equacao linear de segunda ordem e homogenea (forma geral): a(t)y + b(t) y + c(t)y = 0 , com a(t) nao-identicamente nula. 2. Equacao linear de segunda ordem nao-homogenea (forma geral):

com a(t) e f(t) nao-identicamente nulas. 3. Equacao do oscilador harmonico forcado amortecido com m > 0, γ > 0 e k > 0. 4. Equacao do oscilador anarmonico amortecido

onde a e b sao constantes.

onde P(t) e uma funcao periodica e λ constante. Um caso particular importante e o da equacao de Mathieu:

com a, b e ω constantes.

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λ ∈ R, e a equacao de Legendre associada

λ ∈ R, e a Equacao de Laguerre associada m, n constantes.

15. A Equacao Hipergeometrica14, ou Equacao de Gauss15:

a, b, c constantes. 16. A Equacao Hipergeometrica Confluente, ou Equacao de Kummer16:

a, c constantes. 17. A Equacao de Heun17,

onde α, δ, , q e a sao constantes.

O leitor interessado podera encontrar no Capıtulo 19, pagina 788, problemas fısicos dos quais emergem algumas das equacoes listadas acima.

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Um sistema de equacoes diferenciais ordinarias envolvendo m funcoes desconhecidas y1,, ym de uma variavel e um

10.2 Sistemas de Equacoes Diferenciais Ordinarias conjunto de equacoes do tipo

1 (t) = F1(t; y1, y′1,, y
1 ;; ym, y′m, . . . , y
2 (t) = F2(t; y1, y′1,, y
1 ;; ym, y′m, . . . , y
m (t) = Fm(t; y1, y′1,, y
1 ;; ym, y′m, . . . , y

onde cada Fi e uma funcao de um certo numero de variaveis e nk sao numeros inteiros maiores ou iguais a 1. Para cada yj tem-se, portanto, uma equacao de ordem nj, na qual comparecem tambem as demais funcoes yk e suas derivadas de ordem ate nk − 1.

isolado de m partıculas de massas Mi e coordenadas ~xi, i = 1,, m, interagindo de forma que a partıcula j exerce

Sistemas de equacoes diferenciais ordinarias sao muito frequentes em Fısica. Considere-se, por exemplo, um sistema sobre a partıcula i uma forca ~Fij(~xi − ~xj). A segunda lei de Newton fica

i = 1,, m, que e um sistema de equacoes diferenciais ordinarias.

• O sistema de Lotka-Volterra

Um outro exemplo de sistema de equacoes diferenciais e o chamado sistema de caca-presa de Lotka18 e Volterra19, empregado no estudo de evolucao de populacoes20. Esse sistema e da forma

onde αi e βi, i = 1, 2 sao constantes positivas. O sistema de Lotka-Volterra descreve a evolucao de duas populacoes de acordo com um modelo de interacao entre caca (a populacao p1) e presa (a populacao p2).

A ideia do modelo e a seguinte: p1 representa uma populacao que se alimenta da populacao p2. Esta, alimenta-se de recursos do habitat. Tenha-se em mente, por exemplo, a situacao onde p1 representa uma populacao de raposas que se alimentam de coelhos, representados por p2. Estes, sendo herbıvoros, alimentam-se de plantas de seu habitat. Se as duas populacoes estao isoladas, p1 tende a desaparecer (por falta de alimento) exponencialmente com uma taxa α1. Ja p2 cresce exponencialmente com uma taxa α2, por nao ter inimigos naturais. Assim, quando as duas populacoes estao isoladas, suas evolucoes sao descritas pelo sistema

Postas em contacto, as populacoes comecam a interagir, e de modo que p1 tem uma chance de sobrevivencia por se alimentar de p2, que ganha agora um predador. As chances de sobrevivencia de p1 sao proporcionais ao numero de

18Alfred James Lotka (1880–1949). 19Vito Volterra (1860–1940). 20O modelo foi proposto em 1920 por Lotka para o estudo de certas reacoes quımicas e em 1926 por Volterra, em uma tentativa de modelar a evolucao de populacoes de peixes e tubaroes do mar Adriatico. Para uma referencia historica, vide V. Volterra “Lecons sur la Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie”. Gauthier-Villars et Cie., Paris, 1931. Os trabalhos originais de Volterra nesse campo sao: V. Volterra. “Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi”. Mem. R. Accad. Naz. dei Lincei 2, 31–113 (1926). V. Volterra. “Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically”. Nature 118, 558–560 (1926).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 10 409/1861 encontros entre elementos de p1 e de p2 no habitat, pois em um encontro um elemento de p1 pode eventualmente matar um elemento de p2 e, assim, alimentar-se. Esse numero de encontros e grosseiramente proporcional ao produto das duas populacoes p1p2 (por que?). Assim, a taxa de sobrevivencia de p1 deve ser acrescida de um termo como β1p1(t)p2(t), enquanto que a taxa de sobrevivencia de p2 deve ser subtraıda de um termo como β2p1(t)p2(t). Esses termos levam ao sistema de Lotka-Volterra acima. O resultado da evolucao de um tal sistema e ilustrado na Figura 10.1.

Figura 10.1: A evolucao do sistema de Lotka-Volterra para tres condicoes iniciais distintas. O eixo horizontal e a populacao p1 e o vertical p2. Note que a evolucao se da em ciclos periodicos fechados, uma caracterıstica especial do sistema de Lotka-Volterra.

Tambem estudado em modelos de ecologia e o modelo de competicao de Lotka-Volterra, descrito pelo sistema

Acima βi e γi sao positivos, mas αi podem ser positivos ou negativos. Na primeira equacao, o termo +α1p1(t) descreve o crescimento (ou decrescimento) da populacao p1 por consumir recursos de seu habitat (supostamente ilimitados), se reproduzir e morrer. O termo −β1p1(t)2 descreve, por exemplo, a taxa de propagacao de doencas fatais entre elementos da populacao p1, que e proporcional ao numero de encontros de elementos da especie p1 com elementos da especie p1.

Esse numero e grosseiramente proporcional a p21 (por que?). O termo −γ1p1(t)p2(t) descreve a competicao entre as duas especies cujas populacoes sao p1e p2.

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