nc - cap03

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Capıtulo 3

Formas Lineares e Normas em Espacos Vetoriais

3.1 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espacos Vetoriais148
3.1.1 Formas Multilineares148
3.1.1.1 Formas Multilineares em Dimensao Finita e Produtos Tensoriais153
3.1.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski153
3.1.3 Produtos Escalares156
3.1.4 Exemplos158
3.2 Normas em Espacos Vetoriais160
3.3 Ortogonalidade, Conjuntos Ortonormais e o Procedimento de Gram-Schmidt166
3.5 Estruturas Complexas sobre Espacos Vetoriais Reais171
APENDICES178
3.A Equivalencia de Normas em Espacos Vetorias de Dimensao Finita178
3.B Prova do Teorema de Frechet, von Neumann e Jordan179

Conteudo 3.4 Formas Bilineares e Sesquilineares e Produtos Escalares em Espacos de Dimensao Finita 168 nocao de espaco vetorial que introduzimos na Secao 2.1.5, pagina 80, e da maior importancia na Fısica e na Matematica. Neste capıtulo vamos estuda-la com mais detalhe. Particular atencao sera dada as nocoes de forma multilinear, forma sesquilinear, produto escalar e norma em espacos vetoriais. As importantes desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski serao demonstradas com bastante generalidade. Este capıtulo trata quase exclusivamente de aspectos “algebricos” de espacos vetoriais, pondo de lado aspectos topologicos, os quais serao discutidos em capıtulos futuros.

3.1 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espacos Vetoriais

3.1.1 Formas Multilineares

Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K (que doravante suporemos ter caracterıstica diferente de 2, o caso, por exemplo, dos reais ou dos complexos) e n um numero inteiro positivo. Uma n-forma multilinear1 em V e uma funcao

ω : V n → K que seja linear em cada um dos seus argumentos, ou seja, para todo α, β ∈ K, todos v1,, vn ∈ V , v′i ∈ V
e todo i = 1,, n vale
ω (v1,, vi−1, (αvi + βv′i), vi+1, . . ., vn) =
αω (v1,, vi−1, vi, vi+1, . . . , vn) + βω (v1, . . . , vi−1, v′i, vi+1, . . . , vn) . (3.1)
ω (v1,, vi−1, 0, vi+1, . . . , vn) = 0

O seguinte fato importante e consequencia imediata da definicao acima: se ω e uma n-forma multilinear entao para todo i, ou seja, se um dos argumentos e o vetor nulo a forma se anula.

E. 3.1 Exercıcio. Prove isso. Sugestao: o que acontece se escolhermos α = β = 0? 6 1Tambem chamada n-forma linear ou simplesmente n-forma.

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Um fato importante e o seguinte: o conjunto de todas as n-formas lineares em um espaco vetorial V sobre um corpo

linear α1ω1 + α2ω2 como sendo a n-forma linear que a toda n-upla de vetores v1,, vn ∈ V associa
(α1ω1 + α2ω2)(v1,, vn) = α1ω1(v1, ..., vn) + α2ω2(v1, ..., vn) .

K e igualmente um espaco vetorial sobre K, que denotaremos por Mn(V, K), ou simplesmente por Mn(V ). Para tal procede-se da seguinte forma: para duas n-formas lineares ω1 e ω2 e dois escalares α1, α2 ∈ K define-se a combinacao

E. 3.2 Exercıcio. Complete os detalhes da prova que o conjunto de todas as n-formas lineares em um espaco vetorial V sobre um corpo K forma um espaco vetorial sobre K. 6

• Formas bilineares

De particular interesse e o caso n = 2, em cujo caso as formas sao denominadas formas bilineares: uma forma bilinear e uma funcao ω : V 2 → K que seja linear em cada um dos seus dois argumentos, ou seja, para todo α, β ∈ K, todos u, v, w ∈ V , valem

n-uplas de numeros reais: V = {x = (x1,, xn), xi ∈ R}. Uma forma bilinear em V e dada por

Um exemplo basico importante e o seguinte. Seja V = Rn o espaco vetorial (sobre o corpo dos reais) formado por

Outro exemplo e ωA(x, y) = 〈x, Ay〉R , onde A e uma matriz n × n real qualquer.

• Formas bilineares simetricas e anti-simetricas

Uma forma bilinear ω e dita ser uma forma bilinear simetrica se satisfizer ω(u, v) = ω(v, u) para todos u, v ∈ V .

Uma forma bilinear ω e dita ser uma forma bilinear anti-simetrica se satisfizer ω(u, v) = −ω(v, u) para todos u, v ∈ V . A nocao de forma bilinear anti-simetrica sera extendida logo abaixo com a introducao da nocao de forma alternante.

Se ω e uma forma bilinear, as formas ωr e ωa definidas por ωr(u, v) := 1 2( ω(u, v) − ω(v, u)) sao, respectivamente, simetrica e anti-simetrica. Naturalmente, ω = ωr + ωa e, portanto, toda forma bilinear pode ser escrita como soma de uma forma simetrica e de uma anti-simetrica.

• Formas bilineares nao-degeneradas

Uma forma bilinear simetrica ou anti-simetrica ω e dita ser uma forma bilinear nao-degenerada se satisfizer a seguinte condicao: se para todo vetor v valer ω(v, u) = 0, entao u = 0.

• Formas bilineares nao-singulares

Seja V um espaco vetorial e ω uma forma bilinear em V . Para u ∈ V fixo a aplicacao lu(v) = ω(u, v) e um funcional linear em V , ou seja, um elemento do espaco dual V ′. Se a aplicacao l : V → V ′ que associa cada u ∈ V ao funcional linear lu acima for um isomorfismo de espacos vetoriais a forma bilinear ω e dita ser uma forma bilinear nao-singular.

Ha varios outros tipos de formas multilineares que sao importantes, como por exemplo as chamadas formas multilineares alternantes e, dentre estas as formas simpleticas.

• Formas simetricas Uma n-forma ω em V e dita ser uma forma simetrica se para todo π ∈ Sn, o grupo de permutacoes de n elementos,

vpi(1),, vpi(n))
para quaisquer vetores v1,, vn ∈ V .

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• Formas alternantes

Uma n-forma linear ω em um espaco vetorial V sobre um corpo K e dita ser uma forma alternante (ou uma forma anti-simetrica) se satisfizer

ω (v1,, vi−1, vi, vi+1, vi+2, . . ., vn) = −ω (v1, . . ., vi−1, vi+1, vi, vi+2, . . . , vn) (3.4)
para todos os vetores v1,, vn ∈ V e todo i = 1, ..., n−1. Em palavras, quando trocamos de lugar dois argumentos

vizinhos quaisquer a forma troca de sinal.

Deve ser bem claro que essa definicao equivale a seguinte afirmacao: se ω e uma n-forma linear alternante, entao para

vpi(1),, vpi(n))
= (sinalπ) ω (v1,, vn) , (3.5)
para todos os vetores v1,, vn ∈ V , onde sinalπ e o sinal da permutacao π (definido a pagina 868).

todo π ∈ Sn, o grupo de permutacoes de n elementos, valeω ( E. 3.3 Exercıcio. Esta claro? 6

Nomenclatura. Se ω e n-forma linear alternante, n e dito ser o grau de ω.

O conjunto de todas as n-formas lineares alternantes em um espaco vetorial V sobre um corpo K e igualmente

combinacao linear α1ω1 + α2ω2 como sendo a n-forma linear que a toda n-upla de vetores v1,, vn ∈ V associa
(α1ω1 + α2ω2)(v1,, vn) = α1ω1(v1, ..., vn) + α2ω2(v1, ..., vn) .

um espaco vetorial sobre K: para duas n-formas lineares alternantes ω1 e ω2 e dois escalares α1, α2 ∈ K define-se a

E facil constatar que a n-forma linear assim definida e tambem alternante.

E. 3.4 Exercıcio. Complete os detalhes da prova que o conjunto de todas as n-formas lineares alternantes em um espaco vetorial V sobre um corpo K forma um espaco vetorial sobre K. 6

• Formas simpleticas

Formas bilineares alternantes nao-degeneradas sao denominadas formas simpleticas2. Formas simpleticas sao importantes em algumas areas da Fısica, como por exemplo na mecanica classica e no estudo de metodos de quantizacao.

Assim, uma forma simpletica em um espaco vetorial V sobre um corpo K e uma forma bilinear para a qual para todos os vetores u, v ∈ V e tal que se ω(u, v) = 0 para todo v, entao u = 0.

Um exemplo basico importante no caso do espaco vetorial V = Rn e que, como veremos na Secao 3.4, e o caso geral e o seguinte:

onde A e uma matriz n×n real anti-simetrica, ou seja, que satisfaz AT = −A, o que equivale a dizer que seus elementos de matriz satisfazem Aij = −Aji. Fora isso, pela condicao de nao-degenerescencia A tem que ser inversıvel, pois se

= 0 para todo y, o que so e possıvel se ATx = 0. Isso implicaria que det(A) = det(AT) = 0. Uma consequencia do fato de A ter de ser inversıvel e que n tem que ser par. De fato, a condicao AT = −A diz que det(A) = det(−AT) = (−1)n det(AT) = (−1)n det(A). Portanto, se n e ımpar terıamos det(A) = 0.

E evidente pela definicao que se ω e uma n-forma alternante entao ω (v1,, vn) = 0 caso haja vi = vj para algum

• Algumas propriedades basicas de formas lineares alternantes par i 6= j. Em particular, para formas simpleticas ω(u, u) = 0 para todo u ∈ V .

2Do grego symplektikos: que serve para ligar, trancado, enlacado.

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ω e uma n-forma linear e ω (v1,, vn) = 0 sempre que vi = vj para algum par i 6= j, entao ω e alternante. Prove isso.
Sugestao: para i 6= j defina a forma bilinear ωij(vi, vj) := ω (v1,, vn) onde todos os vetores v1, . . ., vn estao fixos

E. 3.5 Exercıcio. A propriedade mencionada no ultimo paragrafo e equivalente a definicao de forma linear alternante: se exceto vi e vj. Usando agora que ωij(x + y, x + y) = 0, mostre que ωij(vi, vj) = −ωij(vj, vi) para todo vi e vj. A afirmacao principal segue disso (por que?). 6

Proposicao 3.1 Se ω e uma n-forma linear alternante e v1,, vn sao vetores linearmente dependentes, entao
ω (v1,, vn) = 0 .

A seguinte proposicao sobre formas lineares alternantes e importante: 2

E. 3.6 Exercıcio. Prove isso. 6

• Formas alternantes maximais

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