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Capıtulo 2

Estruturas Algebricas Basicas

2.1 Estruturas Algebricas Basicas64
2.1.1 Algebras Universais6
2.1.2 Reticulados e Algebras Booleanas68
2.1.3 Semi-Grupos, Monoides e Grupos73
2.1.4 Corpos7
2.1.5 Espacos Vetoriais80
2.1.6 Aneis, Modulos e Algebras82
2.1.6.1 Aneis82
2.1.6.2 Modulos82
2.1.6.3 Algebras83
2.1.7 Exemplos Especiais de Algebras84
2.1.7.1 Algebras de Lie84
2.1.7.2 Algebras de Poisson87
2.1.7.3 Algebras de Jordan87
2.1.7.4 Algebras de Grassmann8
2.1.7.5 Algebras de Clifford89
2.1.8 Mais sobre Aneis89
2.1.9 Acoes e Representacoes91

Conteudo

Automorfismos93
2.1.1 Induzindo Estruturas Algebricas95
2.2 Grupos. Estruturas e Construcoes Basicas9
2.2.1 Cosets9
2.2.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente101
2.2.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores102
2.2.4 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relacoes104

2.1.10 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, Endomorfismos e

Abelianos105
2.2.5.1 O Produto Direto de Grupos105
2.2.5.2 O Produto Semi-Direto Grupos106
2.2.5.3 Produtos Tensoriais de Grupos Abelianos108
2.3 Espacos Vetoriais. Estruturas e Construcoes Basicas110
2.3.1 Bases Algebricas de um Espaco Vetorial110
2.3.2 O Dual Algebrico de um Espaco Vetorial114
2.3.3 Subespacos e Espacos Quocientes120
2.3.4 Somas Diretas de Espacos Vetoriais121
2.3.5 Produtos Tensoriais de Espacos Vetoriais121
2.3.5.1 Duais Algebricos e Produtos Tensoriais126
2.3.5.3 O Produto Tensorial de Modulos. Derivacoes129
2.4 Aneis e Algebras. Estruturas e Construcoes Basicas130
2.4.1 Ideais em Aneis e Algebras Associativas130
2.4.1.1 Ideais em Aneis131
2.4.1.2 Ideais em Algebras Associativas135
2.5 Algebras Tensoriais e Algebras Exteriores137
2.5.1 Algebras Tensoriais138

2.2.5 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos. O Produto Tensorial de Grupos 2.3.5.2 Produtos Tensoriais de um mesmo Espaco Vetorial. Espacos Simetrico e Anti-Simetrico 127 63

2.5.2 Algebras Exteriores139
2.6 Topicos Especiais140
2.6.1 O Grupo de Grothendieck141
2.6.2 Grupoides142
2.6.3 Quaternios144

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 2 64/1730 o aprofundar seu estudo de Matematica o estudante frequentemente depara com conceitos como o de grupo, semi-grupo, espaco vetorial, algebra, anel, corpo, modulo etc. Nosso objetivo neste capıtulo e apresentar definicoes basicas de tais conceitos acompanhadas, quando possıvel, de alguns exemplos relevantes. Nossa intencao nao e de forma alguma a de cobrir esses assuntos e seus resultados mais importantes, mas apenas a de introduzir ao leitor nocoes dessas estruturas algebricas, de modo que o mesmo possa encontrar aqui referencias rapidas as mesmas quando delas necessitar. Varios dos topicos aqui abordados serao desenvolvidos em capıtulos posteriores, de modo que, como no caso do Capıtulo 1, o objetivo nao e um tratamento extensivo dos diversos assuntos. O estudante ja familiar com alguns desses conceitos (os conceitos de grupo e algebra sao populares entre estudantes de Fısica) encontrara nessa exposicao uma visao unificada dos mesmos.

Este capıtulo deve ser compreendido como uma continuacao do Capıtulo 1. O leitor pode achar ser este capıtulo uma longa sequencia de apenas definicoes e exemplos, com poucos resultados, o que e parcialmente correto. Seu objetivo, porem, e apresentar varias ideias comuns a varias areas de um ponto de vista unificado e introduzir construcoes empregadas ulteriormente.

2.1 Estruturas Algebricas Basicas

Ainda atentos ao carater introdutorio apresentaremos aqui definicoes e exemplos das estruturas algebricas mais comuns.

• Operacoes e relacoes

Sejam C e I dois conjuntos nao-vazios e consideremos o produto Cartesiano CI (o conceito de produto Cartesiano de conjuntos foi definido a pagina 3). Uma funcao f : CI → C e por vezes dita ser uma operacao sobre C. Se I e um conjunto finito, f e dita ser uma operacao finitaria sobre C.

Um conjunto R ⊂ CI e dito ser uma relacao em C. Se I e um conjunto finito, R e dito ser uma relacao finitaria em C.

• Funcoes finitarias

Sejam C e I dois conjuntos e consideremos funcoes f : CI → C. Se I e um conjunto finito f : CI → C e dita ser uma funcao finitaria sobre C ou operacao finitaria sobre C. Sem perda de generalidade consideraremos aqui funcoes finitarias do tipo f : Cn → C para algum n ∈ N. Se f e uma funcao finitaria para um dado n, f e dita ser uma funcao n-aria sobre C. Um exemplo de uma funcao nao finitaria seria uma funcao do tipo f : CN → C que a cada sequencia em C associa um elemento de C.

Funcoes 2-arias serao chamadas aqui de funcoes binarias e funcoes 1-arias sao chamadas de funcoes unarias. Funcoes unarias e binarias sao as de maior relevancia.

Por vezes iremos falar tambem de funcoes 0-arias sobre C, que consistem em funcoes f : {∅} → C. Uma tal funcao tem por imagem simplesmente um elemento fixo de C. Exemplos de funcoes 0-arias sobre R seriam f(∅) = 1 ou f(∅) = 0 ou f(∅) = √ 2. Frequentemente denotamos tais funcoes pelo elemento de C por ela associado. Nos tres exemplos acima, poderıamos denotar as funcoes por 1, 0 ou √ 2, respectivamente.

• Magmas

Um conjunto C dotado de uma relacao binaria C ×C → C e dito ser um magma. Essa nomenclatura foi introduzida por Bourbaki1 mas nao e, porem, universalmente empregada.

1Nicolas Bourbaki. Nome coletivo adotado por um grupo de importantes matematicos franceses, nascido por volta de 1935, que teve grande, mas declinante, influencia na estruturacao e sistematizacao da Matematica ao longo do seculo X. O grupo Bourbaki sofreu diversas

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• Relacoes finitarias

Ha uma nomenclatura analoga para o caso de relacoes. Sejam C e I dois conjuntos e consideremos relacoes R ⊂ CI.

Se I e um conjunto finito R e dita ser uma relacao finitaria sobre C. Sem perda de generalidade consideraremos aqui relacoes finitarias do tipo R ⊂ Cn para algum n ∈ N. Se R e uma relacao finitaria para um dado n, R e dita ser uma relacao n-aria sobre C. Para o caso n = 1 as relacoes sao tambem chamadas de unarias e para o caso n = 2 sao ditas binarias. Relacoes binarias foram estudadas a pagina 28.

• Estruturas

Seja C um conjunto, F uma colecao de operacoes (nao necessariamente finitarias) sobre C e seja R uma colecao de relacoes (nao necessariamente finitarias) em C. A tripla 〈C, F, R〉 e dita ser uma estrutura sobre C. Note-se que tanto F quanto R podem ser vazias.

Dado que operacoes sobre um conjunto C tambem sao relacoes sobre C, a definicao de estrutura acima poderia ser simplificada. E porem conveniente mante-la como esta, pois funcoes sao de importancia especial.

Uma estrutura 〈C, F〉 e dita ser uma estrutura algebrica e uma estrutura 〈C, R〉 e dita ser uma estrutura relacional.

• Tipos de operacoes e de relacoes

Ainda um comentario sobre a nomenclatura.

Sejam C e I conjuntos e seja α : CI → C uma operacao sobre o conjunto C. A cardinalidade de I e dita ser o tipo da operacao α. Assim, uma funcao n-aria e tambem dita ser de tipo n. Analogamente, se R ⊂ CI e uma relacao em C a cardinalidade de I e dita ser o tipo da relacao R.

• Comentarios sobre a notacao. Notacao mesofixa

Antes de prosseguirmos, facamos uma observacao sobre a notacao que e costumeiramente adotada, especialmente quando se trata de funcoes binarias.

Dado um conjunto C e uma funcao binaria denotada por um sımbolo φ, a imagem de um par (a, b) ∈ C2 e comummente denotada por φ(a, b). E muito pratico, por vezes, usar uma outra notacao e denotar φ(a, b) por aφb. Essa notacao e denominada notacao mesofixa. Um exemplo claro desse uso esta na funcao soma de dois numeros complexos, denotada pelo sımbolo + : C2 → C. Denotamos +(z, w) por z + w. Outro exemplo esta na funcao produto de dois numeros complexos: · : C2 → C. Denotamos ·(z, w) por z · w.

Essa notacao sera usada adiante para outras funcoes binarias alem das funcoes soma e produto de numeros ou matrizes.

Funcoes unarias tambem tem por vezes uma notacao especial, frequentemente do tipo exponencial. Tal e o caso da operacao que associa a cada elemento de um grupo a sua inversa, g 7→ g−1, ou o caso da operacao que associa a cada conjunto o seu complementar A 7→ Ac. Ou ainda o caso da transposicao de matrizes M 7→ MT, da conjugacao de numeros complexos z 7→ z∗ para o que usa-se tambem sabidamente a notacao z 7→ z.

• Comutatividade, associatividade e distributividade Uma funcao binaria χ : C2 → C e dita ser comutativa se para quaisquer a e b ∈ C valer ou seja, na notacao mesofixa, se aχb = bχa .

Funcoes binarias comutativas sao frequentemente chamadas de Abelianas2. Uma funcao binaria χ : C2 → C e dita ser associativa se para quaisquer a, b e c ∈ C valer ou seja, na notacao mesofixa, se aχ(bχc) = (aχb)χc .

crıticas pelo seu abstracionismo, considerado em certos cırculos como excessivo e mesmo esteril. 2Niels Henrik Abel (1802–1829).

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A associatividade permite-nos eliminar os parenteses de expressoes como aχ(bχc), que podem ser escritas sem ambiguidade na forma aχbχc.

Dadas duas funcoes binarias χ1, χ2 : C2 → C, dizemos que χ1 e distributiva em relacao a χ2 se valer

para quaisquer a, b, c ∈ C.

2.1.1 Algebras Universais

Uma algebra Universal e constituıda por um conjunto C e uma colecao F de funcoes finitarias sobre C. A colecao F nao precisa ser finita. Frequentemente denotaremos uma algebra universal por 〈C, F〉.

O estudo sistematico das algebras universais foi iniciado por Withehead3 e Birkhoff4, tendo Boole5, Hamilton6, De Morgan7 e Sylvester8 como precursores. Para uma referencia, vide [67]. Vamos a alguns exemplos.

2. Seja C = Mat(n) (o conjunto das matrizes complexas n × n para um certo n ∈ N) e F = {s, m}, onde s e m sao duas funcoes binarias dadas por s : C2 → C, s(A, B) = A + B e m : C2 → C, m(A, B) = A · B.

3. Seja C o conjunto de todas as matrizes complexas n × m (para n e m ∈ N) e seja F = {c, s, t} onde c : C → C e a funcao unaria dada por c(A) = A (a matriz complexo-conjugada de A), s : C2 → C e a funcao binaria dada por s(A, B) = A + B e t : C3 → C e a funcao 3-aria dada por t(A, B, C) = ABTC, onde BT e a transposta da matriz B.

Algumas algebras universais com propriedades especiais de importancia em Matematica recebem denominacoes proprias e sao chamadas de grupos, semi-grupos, aneis, corpos etc. Vamos introduzı-las adiante. Em todos elas as funcoes de F sao 0-arias, unarias ou binarias.

Algumas estruturas frequentemente encontradas, como espacos vetoriais, algebras e modulos, nao se enquadram exatamente no conceito de algebra universal, mas podem ser encarados como constituıdos por pares de algebras universais dotadas de uma acao de uma das algebras universais sobre a outra. A nocao abstrata de acao de uma algebra universal sobre uma outra algebra universal sera vista mais adiante.

A leitura do restante desta subsecao sobre algebras universais pode ser omitida pois nao afetara o que segue.

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