Mecanica Classica - modelagem newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana

Mecanica Classica - modelagem newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana

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Modelagens newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana de sistemas mecanicos discretos

Ricardo M. S. Rosa

Departamento de Matem atica Aplicada, Instituto de Matem atica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal 68530 Ilha do Fund~ao, Rio de Janeiro RJ 21945-970, Brasil

Cap tulo 1. Modelagem newtoniana 7 1. Princ pios da modelagem newtoniana 7 2. Exemplos de modelagem newtoniana 8

Cap tulo 2. Modelagem lagrangeana 1 1. Princ pios da modelagem lagrangeana 1 2. Exemplos de modelagem lagrangeana 13 3. Modelagem lagrangeana com restri c~oes impl citas 14

Cap tulo 3. Formula c~ao Hamiltoniana 17 1. Formula c~ao hamiltoniana a partir das equa c~oes de Newton 17 2. Formula c~ao hamiltoniana a partir do lagrangeano 19 3. Exemplos de modelagem hamiltoniana a partir da lagrangeana 21 4. Transformada de Legendre 2 5. Colchete de Poisson e estruturas simpl eticas 24 6. Vari aveis a c~ao-angulo 25

Cap tulo 4. Conserva c~ao de energia, simetrias e o teorema de N other 31 1. Conserva c~ao de energia 31 2. Simetrias 32 3. Quantidades conservadas e o teorema de N other 36

Cap tulo 5. Potenciais de For cas 41 1. Sistemas microsc opicos e macrosc opicos 41 2. For cas potenciais 42 3. For ca gravitacional 42 4. Campos eletrost aticos 43 5. Atra c~oes magn eticas 43 6. Campos eletromagn eticos 45 7. For cas el asticas 47 8. Modelagem molecular 47 9. Corpos r gidos 48 10. Movimentos relativ sticos 54

Cap tulo 6. Outros exemplos de modelagem 57 1. Pendulo em rota c~ao 57 2. Sistema massa-mola-pendulo tridimensional 59 3. Osciladores acoplados e vibra c~oes de pol meros 61 4. Movimento de uma bola sobre um relevo 62 5. Pendulo de uma bola dentro de uma roda sobre um relevo 64 6. For ca centr fuga 64 7. For ca de Coriolis 65 8. Movimento de um haltere girante 6 9. Movimento de um cilindro dentro de outro 67 10. Pendulo magn etico 70 1. Part cula carregada eletricamente em um campo magn etico uniforme 71 12. Pendulo relativ stico 72 13. Movimento de um sat elite 73 14. Movimentos de dois e tres corpos 74 15. Movimento restrito de tres corpos 75

Bibliogra a 79

Vamos comparar as modelagens newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana de sistemas mecanicos discretos. Em geral teremos um sistema idealizado de N ∈ N part culas pontuais de massa mi > 0 e posi c~ao xi 2 R3, i = 1;:::;N. Vamos, ver, tamb em, casos de corpos r gidos, onde o momento angular tamb em deve ser modelado. Mas sistemas cont nuous como gases, l quidos e s olidos el asticos, assim como sistemas mecanicos quanticos n~ao ser~ao vistos. Esses necessitam de uma teoria de campos \cont nua", n~ao mais discreta.

Vamos nos preocupar em grande parte com a in uencia de restri c~oes na geometria, como nos casos de um pendulo que est a restrito a um movimento circular e de uma bola se movendo sobre um dado relevo. Veremos que, nesses casos, a modelagem lagrangeano e bem mais apropriada que a newtoniana para nos revelar as equa c~oes de movimento do sistema.

A teoria ser a ilustrada com diversos exemplos. O objetivo e introduzir esses conceitos para estudantes avan cados de matem atica que n~ao tiveram um curso de mecanica e gostariam de entender as modelagens por detr as de diversas equa c~oes diferenciais que servem de exemplo na teoria de sistemas dinamicos.

Modelagem newtoniana

1. Princ pios da modelagem newtoniana

Na modelagem newtoniana, o princ pio fundamental e o da segunda lei de Newton, que a rma, no caso de massa constante, que for ca e igual a massa vezes acelera c~ao. Assim, buscamos analisar todas as for cas que agem em cada part cula e igualar a resultante Fi ao produto da massa mi com a acelera c~ao d2xi=dt2. Um nota c~ao comum em mecanica para as derivadas temporais e um ou mais pontos acima da vari avel,

Observe que este e um sistema de 3N equa c~oes, visto que para cada part cula temos tres coordenadas para a posi c~ao e tres para a for ca. Vale ressaltar, tamb em, que a for ca Fi pode depender do tempo t, da posi c~ao das outras part culas, Fi = Fi(t;x). Em certos casos, como em eletrodinamica, a for ca pode, tamb em, depender da ve- locidade, Fi = Fi(t; x; _x). Podemos reescrever esse sistema na forma vetorial completa onde M e uma matriz de \massas" apropriada. Essa matriz e diagonal.

No caso sistemas macrosc opicos tratados pontualmente s o que com massa vari avel, como no caso em que a queima de combust vel e signi cativa para o lan camento de um foguete, devemos usar a lei de Newton na sua forma mais geral, que implica em assim temos d

Em certos casos em que alguma simetria est a presente, podemos reduzir o n umero de coordenadas necess arias para descrever as posi c~oes xi e a for cas Fi. Por exemplo, o movimento de um corpo caindo verticalmente em queda livre pode ser descrito apenas pela altura do corpo em rela c~ao a ao solo; o movimento de uma massa presa a uma extremidade de uma mola, com a outra extremidade xa, e apresentado apenas um movimento unidimensional, longitudinal a mola, pode ser representado apenas pelo comprimento da mola; um pendulo com movimento planar pode ser descrito por apenas o angulo que o pendulo faz com o eixo vertical; um pendulo n~ao restrito a um

8 1. MODELAGEM NEWTONIANA movimento planar pode ser descrito por dois angulos, como nas coordenadas esf ericas com o raio xo; etc. Em geral, podemos representar por q as coordenadas levando em considera c~ao a geometria, com as coordenadas gerais dadas por uma fun c~ao de q, da forma x = X(q). A restri c~ao tamb em pode variar com o tempo, sendo do tipo x = X(t;q). A di culdade, por em, e que n~ao basta usarmos a regra da cadeia para acharmos uma equa c~ao para q a partir de M x = F(t;x; _x). As restri c~oes imp~oes certas for cas virtuais (tens~ao, centr fuga, de Coriolis, etc.) que precisam ser reobtidas, levando a um novo sistema da forma

As coordenadas q s~ao chamadas de posi c~oes ou coordenadas generalizadas, enquanto que os termos _q e q s~ao chamados de velocidades e acelera c~oes generalizadas. Em geral, por em, a obten c~ao dessa nova for ca sob restri c~oes um pouco complicadas, pode ser bastante dif cil e que, nesses casos, a modelagem lagrangeana e bem mais apropriada. Vejamos alguns exemplos concretos de modelagem newtoniana.

2. Exemplos de modelagem newtoniana

PSfrag replacements

Figura 1. Corpo em queda livre, com altura h(t) em rela c~ao ao solo e for ca gravitacional F = −mg.

2.1. Corpo em queda livre. No caso de um corpo pontual de massa m em queda livre, denotamos por h = h(t) a altura do objeto no instante de tempo t em rela c~ao a um plano horizontal representando o solo ( gura 1). No corpo, age uma for ca gravitacional vertical descendente de magnitude mg, onde g 9;2ms 1 e a acelera c~ao da gravidade. A velocidade vertical do objeto e _h(t) e a acelera c~ao, h(t). Pela lei de Newton, temos

O sinal a direita e devido ao fato de que a for ca gravitacional age no sentido de decrescimento da altura.

2. EXEMPLOS DE MODELAGEM NEWTONIANA 9

2.2. Pendulo planar. No caso do pendulo planar, temos uma massa presa em uma extremidade de uma haste r gida considerada de massa desprez vel. A outra extremidade ca presa a uma estrutura que permite que a haste descreva movimentos restritos a um plano perpendicular ao solo. Por exemplo, a estrutura pode ser uma outra haste paralela ao solo e presa a outras duas hastes verticais e os movimentos poss veis da haste com a massa s~ao perpendiculares a essa estrutura ( gura 2).

Podemos utilizar o angulo θ que a haste faz com o eixo perpendicular ao solo, com = 0 indicando a posi c~ao em que a massa est a na extremidade inferior da haste. Assim, aumenta em m odulo quando a massa se afasta do solo, pelo menos enquanto uma meia volta n~ao e completada, ou seja, enquanto estiver estritamente entre − e .

PSfrag replacements θ

Fn Ft

Figura 2. Pendulo com um objeto de massa m na ponta, preso por uma haste de comprimento l e massa desprez vel. O peso da massa tem magnitude mg e gera uma for ca vertical F com componente tangencial dada por Ft = mg sin . A componente normal Fn e balanceada pela tens~ao T na haste.

l . A for ca gravitacional que age no pendulo tem magnitude mg e e vertical, podendo ser decomposta em duas componentes, uma normal a circunferencia de raio l que o pendulo descreve e outra, tangencial a essa circunferencia. A componente normal e balanceada pela tens~ao T na haste, que e r gida. A componente tangencial tem magnitude mg sin . Assim, pela lei de Newton,

10 1. MODELAGEM NEWTONIANA

O sinal de menos se deve ao fato de que no caso em que θ e positivo, sin e positivo e a for ca gravitacional age no sentido de decrescimento de , devendo a resultante ser negativa. Por outro lado, no caso em que e negativo, sin e negativo e a for ca gravitacional age no sentido de crescimento de .

As simetrias impostas nesse modelo fazem com que as outras duas coordenadas espaciais do pendulo sejam constantes. A resultante das for cas nas outras coordenadas se anula e essas coordenadas n~ao aparecem explicitamente na equa c~ao.

Modelagem lagrangeana

1. Princ pios da modelagem lagrangeana

A a c~ao e de nida como a integral no tempo de uma fun c~ao chamada lagrangeano e de nido como sendo a energia cin etica menos a energia potencial do sistema. No caso de um sistema n~ao-restrito de N part culas,

onde j j denota a norma Euclidiana e V (t;x; _x) a energia potencial. Caso alguma restri c~ao da forma x = X(t;q) seja imposta, ou mais explicitamente

a nova energia cin etica Kr(t;q; _q) pode, de fato, depender tanto de _q como de q e t. A restri c~ao x = X(t;q) e uma restri c~ao expl cita. Restri c~oes impl citas, como

G(t;x) = 0, requerem o uso de \multiplicadores de Lagrange" e ser~ao vistas em seguida.

Mesmo no caso de restri c~oes expl citas, o princ pio da menor a c~ao e valido e, em cada intervalo de tempo [0;T], o sistema percorre o caminho q = q(t), 0 t T, entre certos pontos q(0) = q0 e q(T) = qT, que minimiza a a c~ao, dada por

Assim, o caminho correto e o de menor a c~ao, o que pode ser escrito da forma onde Q indica o conjunto de todos os caminhos ~q poss veis iniciados em ~q(0) = q0 e terminados em ~q(T) = qT. Nessa minimiza c~ao, as vari aveis q0, qT e T s~ao mantidas xas e, por isso, vamos simpli car a nota c~ao, escrevendo apenas A(q( )) =

12 2. MODELAGEM LAGRANGEANA

onde Q0 indica o conjunto de todos os caminhos ~q poss veis iniciados em ~q(0) = 0 e

os pontos em que o \gradiente" se anula. S o que a a c~ao n~ao e uma fun c~ao vetorial, ela e uma fun c~ao de outra fun c~ao, q( ) Isso torna as coisas um pouco mais complicada. Mas, essencialmente, vamos assumir que podemos formalmente derivar sob o sinal de integra c~ao e, ainda, escrever

Observe que a a c~ao depende de q( ) enquanto que o lagrangeano depende de q(t) e de _q(t). Isso faz sentido, porque, de fato, q(t) e _q(t) s~ao fun c~oes de q( ), s~ao valores instantaneos relativos a fun c~ao q( ) de nida no intervalo [0;T]. Al em disso, em rela c~ao a nota c~ao, r_qLr denota apenas o gradiente de Lr em rela c~ao a segunda vari avel, que e apenas \calculada" em _q(t). Isso e, de fato, um abuso de nota c~ao, mas e a conven c~ao. Para sermos mais precisos, dever amos ter de nido Lr = Lr(t;q;v), sem ter feito inicialmente uma rela c~ao direta entre v e _q, de modo que r_qLr seria simplesmente rvLr. Integrando por partes o segundo termo da a c~ao e usando as condi c~oes de contorno

Como isso vale para qualquer q 2 Q0, necessariamente o integrando deve se anular e

Essa e a equa c~ao de Euler-Lagrange para a a c~ao. Esta equa c~ao coincide com a equa c~ao obtida pela lei de Newton, mas a sua formula c~ao e totalmente diferente. Veremos alguns exemplos em seguida. Antes, podemos fazer uma conex~ao direta com as equa c~oes de Newton introduzindo o momento generalizado

como representando as for cas agindo no sistema restrito, incluindo as (pseudo-)for cas de restri c~ao (for cas centr fuga, de Coriolis, etc.) Assim, as equa c~oes de Euler-Lagrange

2. EXEMPLOS DE MODELAGEM LAGRANGEANA 13 podem ser escritas na forma da equa c~ao de Newton:

2. Exemplos de modelagem lagrangeana

A energia potencial e

Derivando o lagrangeano temos

que coincide com a equa c~ao obtida via segunda lei de Newton.

2.2. Pendulo planar. No caso do pendulo, colocando o plano xz no plano de oscila c~ao do pendulo, temos x = (x;0;z) e a energia cin etica tem a forma

14 2. MODELAGEM LAGRANGEANA com as derivadas parciais

que coincide com a equa c~ao obtida via segunda lei de Newton. Observe que nesse caso simples, a formula c~ao lagrangeana foi ainda mais simples do que a newtoniana, que envolve a an alise geom etrica da decomposi c~ao das for cas. Essa diferen ca ser a ainda mais marcante em problemas com geometrias mais complicadas, como veremos posteriormente.

3. Modelagem lagrangeana com restri c~oes impl citas

A grande vantagem da formula c~ao lagrangeana e no tratamento de restri c~oes.

N~ao precisamos nos preocupar com a decomposi c~ao das for cas que agem em cada part cula e na rea c~ao causada por tens~oes com partes r gidas, como hastes e relevos. Isso vale tanto para restri c~oes expl citas, como para impl citas. E podemos ter ambas ao mesmo tempo. Por exemplo, uma primeira restri c~ao expl cita x = X(t;q) pode ser seguida de uma restri c~ao impl cita

Com essas restri c~oes o problema de minimiza c~ao com restri c~ao se torna um problema de multiplicadores de Lagrange. Busca-se, assim, minimizar a a c~ao dada pelo lagrangeano

A raz~ao disso e que, ao buscarmos o m nimo da nova a c~ao, estaremos buscando um \ponto" onde o gradiente da a c~ao original e um m ultiplo da a c~ao da restri c~ao. Assim, o gradiente da a c~ao original e perpendicular a curva de n vel da restri c~ao, de modo que a a c~ao original n~ao vai, necessariamente, aumentar em uma dire c~ao e diminuir na dire c~ao oposta, nos dando, assim, um ponto cr tico ( gura 1).

A partir do momento que temos o novo lagrangeano L , podemos obter as equa c~oes de Euler-Lagrange da a c~ao correspondente. Podemos ilustrar isso refazendo o prob- lema do corpo em queda livre, primeiro com a restri c~ao expl cita

Figura 1. Curvas de n vel (linhas nas) e a restri c~ao (linha grossa), com os vetores gradientes ilustrados em dois pontos, um em que eles s~ao transversais e o ponto n~ao e ponto cr tico e o outro em que eles s~ao colineares e o ponto e o ponto cr tico procurado.

Observe que dessa maneira, d = 2 e q = (x;z). Assim, os gradientes rqL e r_qL s~ao de fato vetores, dados por

Este foi um caso simples. Veremos, posteriormente, casos mais interessantes.

Veremos, tamb em, a seguir, como essa id eia de multiplicadores de Lagrange pode ser usada para relacionar a formula c~ao lagrangeana com a hamiltoniana.

Formula c~ao Hamiltoniana

Uma formula c~ao mais expl cita das equa c~oes de movimento e a hamiltoniana, mais ela n~ao e obtida t~ao diretamente. Na verdade essa formula c~ao depende fortemente das formula c~oes anteriores. Mas uma vez obtida a formula c~ao hamiltoniana, ela nos permite um tratamento melhor. H a certas estruturas matem aticas que est~ao diretamente ligadas a essa formula c~ao.

1. Formula c~ao hamiltoniana a partir das equa c~oes de Newton

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