formalismo lagrangiano

formalismo lagrangiano

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Campus Cariri Coordenacao de Engenharia Civil

Pontos Tematicos de Fısica

Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano

Wilson Hugo C. Freire ————–

Juazeiro do Norte - CE Fevereiro de 2008

Conteudo

1 Introducao 3

1 Introducao

Vamos apresentar as formulacoes lagrangiana e hamiltoniana da Mecanica Classica, as quais sao concisamente fundamentadas em um princıpio variacional, designado como princıpio de Hamilton. Estas formulacoes sao de grande importancia pois possibilitam uma transicao natural da Mecanica Classica para Mecanica Quantica. Alem do mais quando estendidas para o contınuo, onde surgem os campos, estas formulacoes oferecem a linguagem basica e unificadora para a construcao das teorias fısicas como o eletromagnetismo, a relatividade geral, teoria de campos etc.

Inicialmente vamos apresentar de forma breve as nocoes matematicas apropriadas para desenvolver o formalismo lagrangiano. Estas nocoes fazem parte do chamado Calculo Variacional que, a grosso modo, e o Calculo Diferencial de funcionais. Dessa forma enquanto o Calculo Diferencial usual trata, por exemplo, do problema de determinar pontos de maximo ou de mınimo local (ou, em geral, pontos crıticos) de uma funcao de varias variaveis g : D ⊂ Rm −→ R, o Calculo Variacional permite determinar pontos de maximo ou de mınimo (ou, em geral, pontos estacionarios) de um dado funcional A : F −→ R, onde F e um espaco vetorial de funcoes suficientemente comportadas.

que a cada t ∈ [t1; t2] associa q(t) ≡ (q1(t),, qn(t)) ∈ Rn.

Assim os “pontos”(elementos) de F sao funcoes, como por exemplo q : [t1;t2] −→ Rn

Na formalismo lagrangiano, como veremos, a dinamica de um sistema fısico e descrita em termos de um funcional A, chamado acao do sistema, o qual esta definido sobre funcoes q que representam as possıveis trajetorias deste sistema no espaco de configuracoes.

Funcionais

Neste contexto os funcionais de interesse sao usualmente dados por integrais. Por exemplo: considere um espaco de funcoes suficientemente diferenciaveis, digamos

onde q = dq/dt e a derivada de q. Note que para cada q no espaco F temos que A[q] e um numero real bem definido e, entao, A e de fato um funcional. Note que o valor do funcional A no “ponto”(funcao ou curva de Rn) q, denotado por A[q], depende em geral nao apenas de um valor especıfico q(t) (de q em um certo t) mas de todos os valores da funcao q.

Especificamente os funcionais que descrevem os sistemas mecanicos sao da forma

onde L(q, q,t) ≡ L(q1,...qn, q1,qn,t) e uma funcao diferenciavel a valores numericos

(em R). No contexto da mecanica, como veremos mais adiante, L e a lagrangiana do sistema em consideracao.

Derivada Funcional

O conceito chave no Calculo Diferencial de funcoes e o de derivada; no contexto das funcoes de varias variaveis surgem as derivadas parciais e, em geral, as derivadas direcionais ou derivadas de Gateaux (as derivadas parciais sao derivadas direcionais particulares) alem do conceito mais forte de diferenciabilidade (de Frechet). No Calculo Variacional ha o conceito de derivada de um funcional (derivada funcional), o qual desempenha para os funcionais o mesmo papel que as derivadas direcionais desempenham para funcoes de varias variaveis (Gelfand-Fomin, Calculus of Variations, Dover inic., 2000, pg. 27). Vejamos o conceito de derivada funcional e a nocao de ponto crıtico (ou estacionario) de um funcional.

Lembremos que no caso de uma funcao g : D ⊂ Rm −→ R a derivada direcional de g

e definida por

? Em resumo, a derivada direcional de g e dada por

(por exemplo, de maximo ou de mınimo) de g entao esta derivada se anula, ∂vg(x) = 0, qualquer que seja v em Rm.

F No caso de um funcional A : F −→ R, como o da forma (2-1), vale uma definicao

F A curva q : [t1;t2] −→ Rn que torna estacionario (maximo ou mınimo, por exemplo) o valor do funcional A deve ser tal que δηA[q] = 0 para qualquer vetor admissıvel η (explicaremos o termo “admissıvel”mais adiante).

à O problema geral que nos interessa aqui e o seguinte: Dado um espaco de funcoes suficientemente diferenciaveis que descrevem curvas conectando os mesmos pontos extremos,

onde L(q, q,t) ≡ L(q1,...qn, q1,qn,t) e uma funcao diferenciavel a valores numericos.

Para encontrar esta curva ou, pelo menos, caracteriza-la matematicamente de alguma maneira, vamos a seguir calcular a derivada funcional δηA[q] e, na sequencia, faze-la igual a zero. O resultado, como veremos a seguir, sera constituıdo pelas chamadas equacoes de Euler do Calculo Variacional.

As Equacoes de Euler

Vamos primeiramente calcular a derivada do funcional dado pela equacao (2-4), usando a definicao (2-3) que acabamos de apresentar:

Tendo em vista que esta derivada e relativa a ² e que a integral e com respeito a t podemos derivar sob o sinal de integracao e, em seguinda, aplicar a regra da cadeia. Denotando Q = q + ²η e q + ²η = Q, temos

Realizando uma integracao por partes e usando o teorema fundamental do calculo 7 temos

Lembremos que a definicao de derivada do funcional envolve a expressao A[q +²η], de modo que, por consistencia, q+²η deve residir no espaco F das funcoes que descrevem

Se “a curva q(t)”que liga q(t1) a q(t2) torna estacionario o valor de A entao para todo vetor admissıvel η (tal que η(t1) = η(t2) = 0). Mas como η e bastante arbitrario isto nos leva a suspeitar que

d dt

= 0, i = 1,, n;

− ∂L ∂qi esta conclusao e na verdade consequencia do lema mostrado a seguir.

Prova do Lema: Suponha que f e nao nula, digamos f(ξ) > 0 em um certo ξ ∈ [t1;t2] (o caso “f(ξ) < 0”e provado de forma inteiramente analoga). Entao, pela continuidade

A conclusao e que se q minimiza ou maximiza ou, em geral, torna estacionario o valor do funcional A entao q deve ser solucao das equacoes

d dt

= 0, i = 1,, n, (2-5)

que sao chamadas de equacoes de Euler e constituem um sistema de n equacoes diferenciais de segunda ordem em geral acopladas. Para que a solucao q seja bem definida consideramos usualmente 2n condicoes de contorno que fixam q(t1) e q(t2).

3 O Formalismo Lagrangiano

Coordenadas Generalizadas

Em geral, os sistemas fısicos estao sujeitos a condicoes denominadas vınculos os quais restringem o numero de coordenadas necessarias para descrever o movimento destes sistemas. Se considerarmos um sistema de N partıculas cujo movimento e descrito por

{~ra}a=1,...,N e se este sistema esta submetido a K vınculos, K < 3N, equacionados por os quais sao chamados vınculos holonomicos, podemos notar que das 3N coordenadas

(xa,ya,za), a = 1,...,N, podemos selecionar 3N−K ≡ n coordenadas independentes (o numero n e chamado numero de graus de liberdade). Mais ainda, o uso de coordenadas cartesianas nao e obrigatorio: Podemos escolher n = 3N − K coordenadas, digamos

{q ≡ (q1,, qn)},

que possibilite descrever completamente o movimento do sistema. Tais coordenadas sao englobadas sob o nome de coordenadas generalizadas e uma escolha conveniente de tais coordenadas depende de cada problema especıfico.

Princıpio de Hamilton e Equacoes de Euler-Lagrange

Uma configuracao (ou estado) do sistema e definido por um conjunto de valores que suas coordenadas generalizadas (q1,...,qn) podem assumir. Uma tal configuracao e imaginada como sendo representada por um ponto q = (q1,...,qn) no chamado espaco de configuracoes do sistema. A medida que o tempo t vai passando o sistema pode

figuracao q(t2) = (q1(t2),, qn(t2)).

♣ O problema geral da mecanica passa ser formulado nos seguintes termos: dentre todas as trajetorias ligando q(t1) a q(t2) no espaco de configuracoes do sistema, qual e aquela que o sistema segue. O guia para resposta e o Princıpio de Hamilton:

mento do sistema da configuracao q(t1) para a configuracao q(t2) e tal que o funcional acao do sistema,

assume um valor mınimo (mais geralmente, estacionario). Aqui a funcao L(q, q,t) e uma funcao que caracteriza o sistema, chamada lagrangiana deste sistema, a qual e usualmente dada por L = T −V onde T e a energia cinetica e V e a energia potencial do sistema em consideracao. Estamos nos referindo a um sistema que admitam uma funcao energia potencial V , por exemplo um sistema conservativo.

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