Aula1 CVFunc Diferenciais

Aula1 CVFunc Diferenciais

Apresentação, Funções

Diferenciáveis

Jos´ e de Anchieta Delgado

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 1/17

Progra ma

Ocurso de Cálculo Diferencialestuda asfunções vetoriais, ouseja F : ℜn → ℜm

Oprogra ma esta divido e m quaatro unidades:

UnidadeI- Continuidade e derivada defunções vetorias esiste mas de coordenadas

UnidadeII- Ca mpos vetorias. UnidadeIII- Integrais delinhas.

UnidadeIV- Integrais desuperfícies

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 2/17

Trabalho

1. Oprojeto dotrabalho deveser entregue e m 13/08/2010;

2. OTe ma: Um probe ma dafísica mate mática cuja coluçãointearge co m conteúdo do Cálculo Vetorial;

3. Cada grupo deveter no máximo cinco me mbros;

6. Todas as bibliografias utilizadas proveniente da internetou adquiridas através de meio digital deve o conteúdose anexado a u m CDe entregue junto co m otrabalho.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 3/17

Te mas dotrabalho

Ote ma dotrabalho deve estáligado ao conteúdo do Cálculo Vetorial.

Ele devesercaracterizado historica mente, tando do ponto de vista da história da mate mática co mo da física.

Otrabalho deveidentificar, equacionar os proble mas inerentes aote ma eresove- los, be m co mo aplicá- los e msituaçãoreal.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 4/17

Avaliação

Serãorealizadas duas provas parciais e u mtrabalho, perfazendotrês notas.

A média das avalaições parciaisseráaso ma das notas obtidas nas provas parciais etrabalho devidida por três.

Que m obtiver média parcial maior ouigualsete estará aparovado.

Que mtiver média parcial menor do quesete, se submeteráa u ma prova finaleseráaprovadose a nota da prova finalso mada co m as média parcialfor maior ouiguala dez.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 5/17

Avaliação

Otrabalhoseráavaliado através detrês mo mentos.

Otrabalhoterátr˜ es mo mentos:

o primeiro mo mentorepresentado pela entrega do projeto de estudos acadêmicos, de acordo co m o modelo apresentado e m classe, aser entregue e m 13/08/2010;

Osegundo mo mentoseráose minário de apresentação da monografiarealizadoentre os dias 2/09/2010a 29/09/2010;

Oterceiro mo mentoseráose minário de avaliação de monografia realizadoentre os dias 17/1/2010a 24/1/2010;

Oaluno deveráestánasala de aula antes do horário estabelecido.

Haverá, e m cada aula, duas cha madas, u ma noinício e outra no final.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 6/17

Avaliação

Oaluno poderáobter o acréscimo de até meio ponto e m cada prova parcialatravés dosresu mos dostópicos de conteúdo discutidos atéas datas de avaliação.

Este acréscimo dependeráda correção dosresu mos.

Osresu mos deve mser entregues, unica e exclusiva mente, na data de cada avaliação parcial.

Ele deveráconter definições e exe mplos, as proposições e osteore masrelativos ao conteúdo cobrado na avaliação e mtela.

Oaluno quetiver acima de de noventa por cento de frequênciaterásua média finalacrescida, respectiva mente, de meio ponto.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 7/17

Um pouco de história

Ocálculote msuas origens co m os gregos, e m particular co mo os estudos de Arquimedes.

Estes estudosfora mreto mados narenacência e os principais contibuidoresfora m Galileu, Kopernicus, Decartes e Fer mat.

Por volta de 1600havia mais de milartigos e m cálculo publicados.

Isaac Nee wton e Leibnitz noséculo XVIIconsolidara m ateoria do cálculo.

Oprincipais proble masresolvidos pelo cálculofora m:reta tangente a u ma curva;cálculo de área e volu me.

Neste curso estudare mos as principais contribuições de Gauss e

Stokes.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 8/17

Função Vetorial

Umafunção vetorialéu mafunção f: ℜn → ℜm

Exe mplo:

éu mafunção vetorialde ℜ3 e m ℜ 2

Umfunção vetorialde ℜn e m ℜm édada por m funções de ℜn e m ℜ.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 9/17

Funçãocontínua

Umfunção vetorial écontínuase cada écontínua.

Exe mplo:

éu mafunção contínua, pois sãofunções contínuas

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 10/17

Funções diferenciáveis

Umafunção f : ℜn → ℜm édiferenciávele m x =(x1 ,..., xn ) se existe u ma aplicaçãolinear

Dfx talque onde,

++ h

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 1/17

Função diferenciável

Umfunção vetorial édiferenciávelse cada édiferenciável.

Exe mplo:

éu mafunção diferenciável, pois sãofunções diferenciáveis.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 12/17

Função diferenciável

Aderivada direcionalde u mafunção vetorialno ponto dolimite:

dfx .h = Li m então

h n

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 13/17

Exercícios

Exercício 1- Mostre que u mafunção F : ℜn → ℜ é

Exercício 2- Mostre quetodafunção vetorial diferenciávele m a =(a1 ,..., an ) écontinua e m a.

Exercício 3- Deter mine os pontos de descontinuidades dasfunções:

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 14/17

Exercícios

Exercício 4- Mostre que o conjunto dasfunções contínuas de

ℜn e m ℜm for ma u m espaco vetorialsobre ℜ.

Exercício 5- Mostre que o produto vetorialde duasfunções continuas, f,g: ℜn → ℜ3

, éu mafunção continua.

Exercício 6- Deter mine o conjunto dos pontos de continuidade dasfunções:

Exercício 7- Mostre que u mafunção vetorialécontínuase, sóse aimage minversa de aberto éu m conjunto aberto.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 15/17

Exercícios

Execício 8- Verifiquese asfunções abaixosão diferenciáveis.

Exercício 9- Considere afunção f(x,y) = 1 − x2 − y2

. Seja α o planotangente ao gráfico de f no ponto (a,b,f(a,b)), co m

< 1. Seja V o volu me dotreataedro deter minado por α e pelos panos coordenados.

(a)Expresse V co mo u mafunção de a, b.

(b)Dete mine a e b para quesetenha ∂ V

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 16/17

Exercícios γ(t) =(x(t0,y(t),z(t)) u ma curva diferenciávelcuja image m estácontida nasuperfície de nível

,zo ). Prove que γ′

,zo ) = 0. Interprete geo metrica mente.

Apresentac ˜ ao, Func ˜ oes Diferenci´ aveis – p. 17/17

Comentários