(Parte 1 de 2)

CÁLCULO 1

Queremos determinar o que acontece com f(x) à medida que x se aproxima indefinidamente de xo.

Exemplo:

xxf → Ι→Ι

À medida que x se aproxima de 2, f(x) se aproxima de 4.

Exemplo: O que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0, da função xxf ?

Neste caso dizemos que 2

, que lemos como: o limite de

xxf quando x tende a 0 é 2.

Exemplo: Qual o limite da função x xxf=)( quando x tende a zero.

0 se definida está não 0 se 1)(x xxf

Definição de limite

Se os valores de f(x) podem ser definidos tão perto de L quanto possível ao tomarmos x arbitrariamente próximos de xo, dizemos que:

Lxf oxx =→ )(lim

Que lemos: “O limite de f(x) quando x tende a xo é L”

Definição rigorosa de limite

Seja I um intervalo aberto ao qual pertence um número real a. Seja f uma função definida para }{aIx−∈. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos Lxf ax =→ )(lim , se para todo 0>ε, existir δ>0 tal que se δ<−<ax0 então ε<−Lxf)(.

Técnicas de cálculo de limites x xxo =→

)(limsendo k uma constante

x kxkx =→

xg xf

oxx

Exemplos:

Funções Racionais: )( )( xQ xP , com )(xP e )(xQ polinômios

1lim x x

→→→ x x

→→ x xx x

Limites no infinito Comportamento das funções racionais quando ±∞→x

Considere o seguinte polinômio 12)(3−+=xxxp. Imaginemos um valor para x absurdamente grande como, por exemplo, x = 1050 , e calculemos p(1050).

Sendo x absurdamente grande ⇒ 3)(xxp≈

Exemplos:

x x

x x

LEMBRETE: x=2

Limites laterais

Exemplo: Calcule

Exemplo: Calcule lim e lim

x xxf=)( não está definida para x = 0 x xxfx x xxfx

Exemplo: Calcule

Exemplo: Calcule

1lim x e

1lim

1lim

1lim

xxf=)(R),0[:Ι→+∞f

Exemplo:

xxf x

No caso acima subtende-se que x limlim

Teorema:

Lxf oxx =→

)(lim se, e somente se, Lxfxf

Exemplo: Calcule )(lim3 xf x→ onde x xxxf

xxf

x x

Exemplo: Calcule )(lim1 xf x→ onde xxxf xxxf

x x

Logo, )(lim1 xf x→ não existe

Continuidade de uma função Definição:

f(x) é contínua em xo se f(xo) existe e )()(lim)(limo x xfxfxf == →→

Exemplo: A função x xf é contínua ou descontínua em x = 0?

x x xxfx x x xxfx x x

, logo a função é descontínua em x = 0.

Exemplo: Determine k de tal forma que a função xxk xxxf seja contínua em seu domínio.

Queremos que )0()(lim)(lim 0 fxfxf kxkxf

x x

Impondo (*) k = 1 Teorema do confronto (Teorema do sanduíche)

Sejam f(x), g(x) e h(x) funções tais que “perto” de xo temos que )()()(xhxfxg≤≤ e

Lxhxg o x

Exemplo: Calcule

→ x x

Aplicando o teorema do sanduíche, temos:

Multiplicando as desigualdades por x2 , temos:

Como:

Logo: 01sinlim2

→ x x

Atenção!!

1limlim x x

→→ x x x

Limite Trigonométrico Fundamental

Demonstração:

Da trigonometria, temos:

Multiplicando as desigualdades (I) e (I) por sin(x), resulta:

0 x x

)sin( )sin(02 x x

Temos, portanto:

Para 2

<<−xe 0≠x 1)sin()cos(<<

pipi x x x

Considerando )cos()(xxg=, x xxf)sin()(= e 1)(=xh e notando que

1)(lim)(lim 0 == →→ xhxg x , do teorema do sanduíche, temos:

Outro limite trigonométrico importante

→ x x x

Demonstração:

x x x x x x x x x

)sin(lim x x ∞→ não existe, pois quando x cresce, os valores de )sin(x oscilam entre 1 e 1− um número infinito de vezes (logo, eles não tendem a qualquer número definido).

DERIVADA E RETA TANGENTE A velocidade média de uma partícula é definida por:

t xxt x v

No gráfico de x versus t, a velocidade média é indicada pela inclinação da reta secante à curva nos pontos (t1, x1) e (t2, x2).

2t∆, 3t∆, 4t∆,A velocidade média em cada intervalo de tempo é dada pela

Considere agora sucessivos intervalos de tempo cada vez menores (figura abaixo) 1t∆, inclinação da reta secante no dado intervalo. Assim que os intervalos de tempo tornamse cada vez menores essas inclinações se aproximam da inclinação da reta tangente no ponto t1. A inclinação da reta tangente em t1 é definida como a velocidade instantânea da partícula.

A velocidade instantânea é o limite da razãotx∆∆/ quando t∆ se aproxima de zero:

v t inst ∆

= →∆ 0. lim inclinação da reta tangente

Esse limite é denominado de derivada de x em relação a t.

Definição de derivada Considere f(x):

A inclinação da reta tangente em P é dada por

→→∆ h xfhxfxf

A derivada de uma função f é a função denotada por f’ , tal que seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por:

ou xfhxf

Se esse limite existir.

Problema: Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de 2xy= no ponto:

(a) )2('f inclinação da reta tangente em x = 2

hhf h

(b) )('oxf inclinação da reta tangente em x = xo xfhxfxf o

( ) ooh oooh ho x h hxhh xhhxxh

Exemplo: Calcule a derivada da função xxxf−=3)( no ponto:

(a) )2('f inclinação da reta tangente em x = 2

→ h hhf h

→ h hhhhf h

→ h hhhf h

(b) )('oxf inclinação da reta tangente em x = xo

→→ h xxhxhxh xfhxfxf oooh o ho

→→ h xhxhhh xxhxhhxhxxxf ooh

Regras de derivação (1) Se c for uma constante e se cxf=)( para todo x, então

Prova:

→→→ h h cch xfhxfxf

(2) Se n for um número inteiro positivo e se nxxf=)(, então

→→ h xhxh xfhxfxf

Aplicando o desenvolvimento do binômio de Newton, temos:

hxh n xhn nhxxhx h n n xh xhnhxnxn hx

Logo:

xhxh n xhn nhxx lim)(' nnnnh hxh

(3) Se f for uma função, c uma constante e g a função definida por )()(xfcxg⋅=

xfc h xfhxf c h xfhxfch xfchxfch xghxgxg

(4) Se f e g forem funções e se i for a função definida por )()()(xgxfxi+=

xgxf h xghxgh xfhxfh xghxgh xfhxf h xgxfhxghxfh xihxixi h h

(5) Se f e g forem funções e se i for a função definida por )()()(xgxfxi=

Prova:

→→ h xgxfhxghxfh xihxixi h

Se )()(xghxf⋅+for somado e subtraído ao numerador, então

h xfhxfxgh xghxghxf h xfhxfxgh xghxghxf h xgxfxghxfxghxfhxghxfxi h h

xgxfxgxfxfxgxgxf h xfhxfxgh xghxghxf h

(6) Se f e g forem funções e se i for a função definida por

xfxi=onde 0)(≠xg

xgxfxgxfxi − =

Prova:

0 hxgxgh hxgxfxghxfh xg xf hxg hxf xihxixi h

Se somarmos e subtrairmos )()(xgxf⋅ ao numerador, então

hxgxg h xghxgxfh xfhxfxg hxgxg h xghxgxfh xfhxfxg hxgxgh xgxfhxgxfxgxfxghxfxi h h xgxfxgxf xgxg xgxfxfxg − =

Exemplos: Derive as seguintes funções

Regra da soma

−−++=xxxxxf

x x

−−++−=xxxxxfAtenção!! ()'

Regra do produto

()()()24121

Regra do quociente

x xxxf

x xxxxxxxf

x xxxxf

x xxxxxxxxxxxf ou

x x x xxxxf x x x xxf

Derivada das funções trigonométricas )cos()(sin'x=

Prova:

x h h x h x h x h x h xxhhxh xhx x h h sin)cos( pi x

x h h x h hxh h xhxhxh xhx x h h

x x x

Prova:

A fórmula da derivada da função co-tangente é obtida de forma análoga à da função tangente.

Prova:

Prova:

A fórmula da derivada da função co-secante é obtida de forma análoga à da função secante.

Exemplos: Derive as seguintes funções xxf

x xxxxxf xxxf − =

Regra da Cadeia (Chain Rule) Sejam as seguintes funções

BA:→fe CB:→g

A função composta fgo é definida por CA:→fgo

Teorema (Regra da Cadeia):

Se a função f for derivável em x e a função g for derivável em f(x), então a função composta fgo será derivável em x, e

Exemplo: Calcule a derivada de

)(xp é uma composição de funções: )sin()(xxg=

Calculando )('xf e )('xg

Aplicando a regra da cadeia ( ) )(')(')(' xfxfgxp ⋅=

x xp

Exemplo: Calcule a derivada de ())cos(sin)(xxp= )(xp é uma composição de funções:

Aplicando a regra da cadeia ( ) )(')(')(' xfxfgxp ⋅=

Exemplo: Calcule a derivada de ()4212)(+−=xxxp

É possível calcular a deriva de )(xp utilizando a regra do produto. Entretanto, é viável o uso da regra da cadeia visto que ela apresenta um caminho mais prático para o cálculo da derivada desse tipo de função.

)(xp é uma composição de funções:

Aplicando a regra da cadeia ( ) )(')(')(' xfxfgxp ⋅=

Exemplo: Calcule a derivada de ()2sin)(xxp=

Vamos ser mais práticos agora: A derivada da função composta é igual ao produto entre a derivada da função “externa” e a derivada da função “interna”.

Nesse exemplo, () sin é a função “externa” e 2x é a função “interna”. Logo pela regra da cadeia, temos:

Exemplo: Calcule a derivada de ()12sin)(3−+=xxxp

Exemplo: Calcule a derivada de ()()2cossin)(xxf= Nesse exemplo temos a composição de três funções. Aplicando a regra da cadeia temos:

OBS: Regra da Cadeia usando a notação de Leibniz

Se y for uma função de u, definida por )(ufy= e du dy existir, e se u for uma função de x, definida por )(xgu= e dx du existir, então y será uma função de x e dy existirá e será dada por:

dx du du dy dx

Exercícios: Calcule as seguintes derivadas (a) ()xxf5sin)(=

xxf

x x x xxf

Equação da reta tangente

Exemplo: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de x xf1)(=

(a) no ponto (1, 1)(b) no ponto (2,
1)(c) em um ponto qualquer

(a) A equação da reta tangente no ponto (1, 1) é dado por

Onde m é a inclinação da reta tangente, ou seja, )1('fm=

(b) A equação da reta tangente no ponto (2, 2 1) é dado por

Onde m é a inclinação da reta tangente, ou seja,

(c) Para um ponto genérico x 1 ,, a equação da reta tangente é:

( )o xxmx

Equação da reta normal

Exemplo: Encontra a equação da reta normal ao gráfico )sin()(xxf= no ponto

A reta normal a um gráfico em um dado ponto é a reta perpendicular à reta tangente naquele ponto.

A equação das retas que passam no ponto

4 pi é dada por:

2 pi xmy

Reta tangente:

= pipifm

Reta normal: 2 2

Derivação Implícita

As funções encontradas até agora podem ser descritas expressando uma variável explicitamente em termos de outra; por exemplo,

13+=xyou )sin(xy=

ou, em geral, )(xfy= Algumas funções, entretanto, são definidas implicitamente por uma relação entre x e y: 2522=+yx

xyyx633=+(fólio de Descartes)

Felizmente não precisamos resolver uma equação para y em termos de x para encontrar a derivada de y. Em vez disso, podemos usar o método da diferenciação implícita, que consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a equação resultante para y’.

Exemplo: Derive implicitamente

dx dyx dx d (Usamos a regra da cadeia, pois)(xyy=)

Exercício: Ache as inclinações das retas tangentes nos pontos ()1,2− e ()1,2 para 012=+−xy.

Exercício: Considere o seguinte fólio de Descarte xyyx333=+

(a) Ache dx

(b) Encontre a equação da reta tangente no ponto

(c) Em quais pontos a reta tangente é horizontal? (d) Em quais pontos a reta tangente é vertical?

Resolução

xyxyy xyyxyy yxyyyx yxyyyx

xy xyy −

(b) A equação tangente no ponto

2 3 é dada por:

3 xmy

(c) A reta tangente à curva é horizontal quando possui inclinação nula, ou seja, 0=′y

Substituindo 2xy= na equação da curva, obtemos

Resolvendo a equação acima, obtemos 0=x e 3/12=x, entretanto, iremos utilizar apenas a segunda solução 3/12=x para evitar uma indeterminação do tipo 0/0.

(d) A reta tangente é vertical quando o denominador na expressão xy xyy − outro método é observar que a equação da curva não varia quando x e y são trocados entre si, logo a curva é simétrica em torno da reta xy=. Isso significa que a tangente

horizontal em ()3/23/12,2 corresponde a tangente vertical em

Revisão: Funções Exponenciais e Logarítmicas Função Exponencial

Dado um número real a, tal que 10≠<a, chamamos função exponencial de base a a função f de IR em IR que associa a cada x real o número xa.

0lim lim = x x

0lim lim = x x

Propriedades:

yx a

Definição de Logaritmo baxb x a =⇔=log

Propriedades (1) )(log)(log)(logyxxyaaa+=

x b b a=

Função Logarítmica

Dado um número real a, tal que 10≠<a, chamamos função logarítmica de base a a função f de ∗+IR em IR que associa a cada x real o número xalog.

x a a x

loglim loglim

OBS: As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.

xax a=)(log

Derivada da função logarítmica Faremos uso do seguinte limite para encontrar a derivada da função logarítmica:

ou

1lim e x x x

Aplicando a definição da função derivada para )(log)(xxfa=, temos x h h x hx xhxxf aha h

a h

1log lim log

Definindo x h u=, temos:

aua uau uxu uxux uxf

1loglim11log1lim 11loglim)(

Como a função logarítmica é contínua, podemos escrever

0 exux xf a u

Logo

ou

Quando ea=, temos

Pela regra da cadeia, xfxf dx

Exemplo: Derive as seguintes funções

xxf

xxf

Derivada da função exponencial

Dada a função exponencial: xay=

Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

)(logyxa= Derivando implicitamente em relação a x, temos

)(log)(log eae y ax a

Logo,

dxd a

ou

Quando ea=, temos

( ) x e dx

Pela regra da cadeia,

OBS: Assim, a função exponencial xexf=)( tem como propriedade o fato de que sua derivada é ela mesma. O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à curva xey= é igual a coordenada y do ponto.

OBS: e é um número tal que 11lim0 = eh h

Exemplos:

x e x

Diferenciação logarítmica Passos na diferenciação logarítmica

1º passo: Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação )(xfy= e use as propriedades do logaritmo para simplificar.

2º passo: Diferencie implicitamente em relação a x.

3º passo: Resolva a equação resultante para y′.

OBS: A diferenciação logarítmica ajuda-nos a diferenciar funções do tipo )()(xgxf

Exemplo: Diferencie xxy=

Solução 1 )ln()ln(xxy⋅=

Outro método é escrever ( )x ex )ln( = d x

d ex

d x

d x

Exercício: Calcule as derivadas das seguintes funções:

xxf

xxf exf x =

x exexx x exe x x

x xf x 2)sin(ln)sin(

OBS: Determine )(xf, tal que )tan()(xxf=′.

x x d x

Noções de Funções Hiperbólicas Definição

)sinh( x eex

=2

)cosh( x eex

=)cosh(

x x=

)sinh()sinh(x−=−)cosh()cosh(x=− 1)(sinh)(cosh22

Identidades hiperbólicas =−x

Observe que:

Funções trigonométricasFunções hiperbólicas
(funções circulares)1)cosh(≥t
1)(sin)(cos22=+x1)(sinh)(cosh22

Derivadas das funções hiperbólicas

)sinh( x e d x

Pode ser provado que se um cabo flexível pesado (tal como uma linha de telefone ou de eletricidade) estiver suspendido entre dois pontos na mesma altura, então ela assume a forma de uma curva com equação()axacy/cosh⋅+=, chamada de catenária.

1 5432 θθθθθθ iiiiiei

θθ θ θθθθθ sin cos

− θθ θθθθ sincos sincos ie ie i

cos θθθ

i e i sin θθθ −

Revisão: Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas Função Injetiva

Uma função BAf→: é injetiva quando elementos diferentes de A são transformados por f em elementos de B, ou seja, não há elemento de B que seja imagem de mais de um elemento de A. Assim, f é injetiva quando:

BxfxfAxx em )()(em 2121≠⇒≠

ou equivalente usando a contra-positiva:

AxxBxfxf emem )()(2121=⇒=

Função sobrejetiva

Uma função BAf→: é sobrejetiva quando, para qualquer elemento By∈, pode-se encontrar um elemento Ax∈ tal que yxf=)(. Ou seja, f é sobrejetiva quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, quando Bf=)Im(.

OBS: Uma função é sempre sobrejetiva em sua imagem.

Função Bijetiva

Uma função BAf→: é bijetiva se ela for, simultaneamente, injetiva e sobrejetiva.

Quando isso ocorre dizemos que há bijeção ou uma correspondência biunívoca entre A e B.

Revisão: Função inversa

Dada uma função BAf→:, bijetiva, denomina-se função inversa de f a função ABg→: tal que, se baf=)(, então abg=)(, com Aa∈ e Bb∈.

De modo geral, se f é bijetiva, temos:

Em que ABg→: é função inversa de BAf→:, uma vez que se tem:

Para qualquer Ax∈ e By∈. OBS:

1) É comum utilizarmos 1−f para denotarmos a função inversa de f.

2) A função inversa 1−f existe se, e somente se, f é bijetora.

3) Para se obter a lei de formação da função inversa de uma função f, devemos trocar x por y e y por x em ()xfy= e isolar a variável y.

4) Os gráficos de f e 1−f são simétricos em relação à bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes.

Revisão: Funções trigonométricas inversas Uma função trigonométrica somente admite inversa se restringirmos o domínio

Função arco-seno

Por convenção, adota-se o intervalo pipi em que a função )sin(xy= é inversível.

Considerando a função )sin(xy= definida em pipi , cujo conjunto imagem é

[]1,1−, podemos determinar sua inversa 1−f.

A função pipi é definida por:

Outra notação: )(sin)arcsin(1xx− =

OBS: Construindo no mesmo plano os gráficos das funções )sin(xy= e )arcsin(xy=, vamos obter:

Função arco-cosseno Por convenção adota-se o intervalo []pi,0 em que a função )cos(xy= é inversível.

Considerando a função )cos(xy= definida em []pi,0, cujo conjunto imagem é []1,1−, podemos determinar sua inversa 1−f.

A função 1−f definida de []1,1− em []pi,0 é definida por:

OBS: Construindo no mesmo plano os gráficos das funções )cos(xy= e )arccos(xy=, vamos obter:

Função arco-tangente

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