Aulas - CEDERJ - Álgebra Linear 01a07

Aulas - CEDERJ - Álgebra Linear 01a07

(Parte 1 de 9)

§1. Vetores, matrizes e sistemas lineares

Oq ue e Algebra Linear? Por que estuda-la?

A Algebra Linear ea area da Matematica que estuda todos os aspectos relacionados com uma estrutura chamada Espaco Vetorial. Estrutura matematica eu m conjunto no qual sao definidas operacoes. As propriedades dessas operacoes “estruturam”o conjunto. Talvez vocej a tenha ouvido falar em alguma das principais estruturas matematicas, como grupo, anel e corpo. Voce estudara essas estruturas nas disciplinas de Algebra.

Devido as suas caracterısticas, essa estrutura permite um tratamento algebrico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computacional. A Algebra Linear tem aplicacoes em inumeras areas, tanto da matematica quanto de outros campos de conhecimento, como Computacao Grafica, Genetica, Criptografia, Redes Eletricas etc.

Nas primeiras aulas deste modulo estudaremos algumas ferramentas para o estudo dos Espacos Vetoriais: as matrizes, suas operacoes e propriedades; aprenderemos a calcular determinantes e, finalmente, aplicaremos esse conhecimento para discutir e resolver sistemas de equacoes lineares. Muitos dos principais problemas da fısica, engenharia, quımica e, ec laro, da matematica, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de equacoes lineares. A partir da aula 8, estaremos envolvidos com Algebra Linear propriamente dita e esperamos que voces ea perceba, ao longod oc urso, de que se trata de uma das areas mais ludicas da Matematica!!.

Matrizes MODULO 1 - AULA 1

Aula 1 – Matrizes

Objetivos

Reconhecer matrizes reais; Identificar matrizes especiais e seus principais elementos; Estabelecer a igualdade entre matrizes.

Consideremos o conjunto de alunos do CEDERJ, ligados ao polo Lugar

Lindo, cursando a disciplina Algebra Linear 1. Digamos que sejam 5 alunos (claro que esperamos que sejam muitos mais!). Ao longo do semestre, eles farao2a valiacoes a distancia e 2 presenciais, num total de 4 notas parciais. Para representar esses dados de maneira organizada, podemos fazer uso de uma tabela:

Se quisermos ver as notas obtidas por um determinado aluno, digamos, o Carlos, para calcular sua nota final, basta atentarmos para a linha correspondente (8,0; 7,5; 5,9; 7,2); por outro lado, se estivermos interessados nas notas obtidas pelos alunos na segunda verificacao a distancia, para calcular am edia da turma, devemos olhar para a coluna correspondente (6,2; 6,8; 7,5; 8,5; 7,2). Tambem podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra, por exemplo, a nota de Carlos na segunda avaliacaoad istancia (7,5).

E esse tipo de tratamento que as matrizes possibilitam (por linhas, por colunas, por elemento) que fazem desses objetos matematicos instrumentos valiosos na organizacao e manipulacao de dados.

Vamos, entao, a definicao de matrizes.

Álgebra Linear 1 Matrizes

Definicao

Uma matriz real A de ordem m × n eu ma tabela de mn numeros reais, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n sao numeros inteiros positivos.

Os elementos de uma matriz podem ser outras entidades, que nao numeros reais. Podem ser, por exemplo, numeros complexos, polinomios, outras matrizes etc.

Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por

Am×n(R). Neste curso, como so trabalharemos com matrizes reais, usaremos a notacao simplificada Am×n,q ue se le“ A m por n”. Tambem podemos escrever A =( aij), onde i ∈{ 1,...,m} eo ındice de linha e j ∈{ 1,...,n} e oındice de coluna do termo generico da matriz. Representamos o conjunto de todas as matrizes reais “m por n”por Mm×n(R). Escrevemos os elementos de uma matriz limitados por parenteses, colchetes ou barras duplas.As barras simples sao usadas para representar determinantes, como veremos na aula 5.

De acordo com o numero de linhas e colunas de uma matriz, podemos destacar os seguintes casos particulares:

• m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas An e dizemos que “A e uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n por Mn(R) (ou, simplesmente, por Mn).

Exemplo 2

Matrizes MODULO 1 - AULA 1

3. matriz quadrada de ordem 2:

Os elementos de uma matriz podem ser dados tambem por formulas, como ilustra o proximo exemplo.

A matriz procurada ed ot ipo A =

Igualdade de matrizes

Op roximo passo e estabelecer um criterio que nos permita decidir se duas matrizes sao ou nao iguais. Temos a seguinte definicao:

Exemplo 4 Vamos determinar a,b,c e d para que as matrizes

sejam iguais. Pela definicao de igualdade de matrizes, podemos escrever:

Álgebra Linear 1 Matrizes

Numa matriz quadrada A =( aij),i ,j ∈{ 1,...n}, destacamos os seguintes elementos:

• diagonal principal: formada pelos termos aii (isto e, pelos termos com ındices de linha e de coluna iguais).

• diagonal secundaria: formada pelos termos aij tais que i + j = n.

Exemplo 5 Seja

Matrizes quadradas especiais

No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar alguns tipos especiais. Seja A =( aij) ∈ Mn(R). Dizemos que A eu ma matriz

• triangular superior, quando aij =0s e i>j (isto e, possui todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos).

• triangular inferior, quando aij =0 se i<j (isto e, possui todos os elementos acima da diagonal principal nulos).

• diagonal, quando aij =0 se i = j (isto e, possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal e, ao mesmo tempo, triangular superior e triangular inferior.

• escalar, quando aij = k, se i = j ,p ara algum k ∈ R.I sto e, uma matriz escalar e diagonal e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a um certo escalar k.

No nosso curso nos referimos aos numeros reais como escalares. Essa denominacao e specıfica da Algebra Linear.

Matrizes MODULO 1 - AULA 1

• identidade, quando aij =

1, se i = j .I sto e, a identidade eu ma matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In.

Exemplo 6 matriz classificacao

triangular superior, triangular inferior, diagonal

] triangular inferior

] triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar

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