Baixe introdução a mecânica e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Introdução à Mecânica Notas de aula Prof. Marcos Duarte www.usp.br/eef/efb/mduarte/ Universidade de São Paulo A Biomecânica se baseia na Mecânica para a descrição do movimento humano. Por exemplo, se estudarmos características do movimento como posição, velocidade e aceleração durante um salto em distância, sem nos preocuparmos com as forças que geraram o movimento, estaremos aplicando os conceitos da cinemática, uma área da Mecânica. Por outro lado, se investigarmos as forças que geraram o movimento, como durante o andar de um sujeito, estaremos aplicando os conceitos da cinética, outra área da Mecânica. A Biomecânica, quanto às suas áreas de investigação ligadas à Mecânica, poder ser dividida em Cinemetria e Dinamometria. A Mecânica, sem dúvida, é a área de conhecimento da Física que temos mais contato diário. No cotidiano, as situações de movimento ou equilíbrio que experimentamos, com ou sem o auxílio de máquinas, pertencem ao campo de estudo desta área. Historicamente, ela foi o primeiro ramo da Física a ser desenvolvido como uma ciência exata, isto é, com leis que, uma vez expressas em forma de equações matemáticas, descrevem e predizem os resultados. O corpo humano pode ser modelado como segmentos que são ligados por articulações e uma simples análise do movimento humano implica no complicado equacionamento do movimento de todos os segmentos. Outras complicações surgem devido ao fato destes segmentos não se articularem em torno de um ponto mas sim de um centróide, e ainda o fato dos segmentos não serem exatamente corpos rígidos. O desconhecimento de certas forças envolvidas no movimento, como por exemplo as forças internas no corpo humano, e o desconhecimento de como as forças externas se transmitem pelo corpo, são outros fatores que contribuem para tornar a análise do movimento humano, um complexo estudo de Mecânica. Nestas notas de aula, pretendo revisar alguns conceitos básicos de Mecânica para embasar nossos estudos posteriores para a compreensão do movimento humano. Neste contexto, o rigor matemático é deixado de lado em favor a uma abordagem mais intuitiva do fenômeno. Introdução à Mecânica 2 1 Movimentos lineares Os movimentos, quanto à forma de execução, podem ser divididos em: de translação, de rotação e mistos: com translação e rotação. Movimento linear... Movimento de rotação... Movimento misto... No dia a dia, nos confrontamos com inúmeras situações de movimento com o corpo humano. Existem situações em que o início do movimento de um objeto depende da interação com um segmento do corpo humano já em movimento. O pé que atinge uma bola de futebol em repouso faz com que ela adquira um movimento que lhe é atribuído pelo jogador. Num jogo de bilhar, para movimentar uma bola colorida o jogador bate com o taco na bola branca que então colide com a bola colorida que adquire o movimento desejado. Estes exemplos nos mostram que quando dois corpos se interagem há uma troca de algo que está associado ao movimento. Nas interações entre dois objetos sempre ocorre uma mudança no movimento de cada um. No caso em que os dois objetos estavam inicialmete parado, por exemplo, quando uma pessoa usando patins, arremessa uma pedra para frente, ela adquire um movimento em sentido oposto. Quanto maior for essa pedra maior será a velocidade de recuo da pessoa. Em esportes de contato, por exemplo o basquete, é nítido que quando duas pessoas se chocam, ocorre uma mudança de movimento antes e depois do choque. Nas situações em que o início do movimento de um objeto depende da interação com outro já em movimento, admitimos que há intercâmbio de "algo" entre eles. Nos casos em que um movimento surge quando ambos os objetos estavam inicialmente parados, este "algo" aparece simultaneamente nos dois objetos, que passam a se movimentar em sentidos opostos, como se o aparecimento de um movimento buscasse "compensar" o do outro. Nos dois casos parece que "algo" procura se conservar, isto é, que não varie. Denominamos esse "algo" de quantidade de movimento ou momento linear. Por exemplo, no caso de choque frontal entre duas bolas de bilhar, em que a bola branca atinge uma bola colorida em repouso, a bola branca possui inicialmente uma quantidade de movimento que é integralmente transferida para a bola colorida, ficando então a bola branca em repouso e a bola colorida em movimento. Embora o movimento de cada bola tenha variado, Introdução à Mecânica 5 comparativamente às outras. O princípio da conservação da quantidade de movimento continua válido, mesmo neste caso. Vamos imaginar agora a situação de um carro quebrado que deve ser empurrado para entrar em movimento. Uma só pessoa conseguirá, com muito esforço, colocá-lo em movimento, este trabalho seria facilitado se duas pessoas empurrassem o carro. Isto porque duas pessoas fazem mais força que uma. No caso de um ônibus precisaríamos de mais pessoas para empurrar se quiséssemos atingir uma velocidade razoável. Da situação anterior, podemos concluir que: para alterar o estado de movimento de um objeto é necessário a ação de uma força; e esta força deve ser tanto maior quanto maior for a massa do objeto e a velocidade que queremos que ele adquira. Isto é, para forças maiores maior é a variação da quantidade de movimento. Quanto mais tempo se empurrar o carro, maior será a velocidade que se conseguirá. Isto é, quanto maior o intervalo de tempo da aplicação da força, maior a variação da quantidade de movimento. Então a variação da quantidade de movimento é proporcional à força aplicada e ao intervalo de tempo de sua aplicação. Matematicamente temos: tFQ ∆⋅=∆ (3) A variação do momento, Q ∆ , é conhecida como impulso. Se dividirmos por ∆t os dois membros temos: t v m t Q F ∆ ∆= ∆ ∆= (4) A força também é uma grandeza vetorial, sendo definida por módulo, direção e sentido, sua unidade SI é o Newton, N (N≡kg.m/s2), na equação (4) a variação da velocidade com o tempo é a aceleração, então temos: amF = (5) Leis de Newton O que investigamos até agora, inclusive o princípio de conservação da quantidade de movimento linear, são as chamadas leis de Newton da mecânica, que enunciaremos a seguir. Dos exemplos citados, observamos que para haver movimento ou para variar a velocidade de um objeto já em movimento é necessário a aplicação de uma força, esta é a 1a lei de Newton, que pode ser melhor enunciada como: "Todo corpo permanece em estado de repouso ou de movimento uniforme, em linha reta, a menos que seja obrigado a mudá-lo por forças externas aplicadas sobre ele". As equações (3) -(5) expressam matematicamente a 2a lei de Newton: Introdução à Mecânica 6 "A taxa de variação de quantidade de movimento linear é proporcional à força aplicada, e na direção em que a força age". Vimos no exemplo da arma atirando ou da pessoa de patins jogando uma pedra, que embora a ação inicial da força se deu num sentido houve um movimento no sentido oposto, que pela 1ª lei de Newton, foi causada por uma outra força. Como a quantidade de movimento para trás deve ser a mesma da quantidade de movimento para frente, esta força de reação tem o mesmo módulo de intensidade e direção mas sentido contrário à da força inicial. Esta é a 3a lei de Newton: "Para cada ação existe sempre uma reação com mesmo módulo de intensidade e direção mas com sentido contrário". 2 Movimentos angulares Vimos que a origem de um movimento de translação está acoplada à origem de outro movimento. Veremos então, que para os movimentos de rotação há "algo" que também se conserva e que as leis de Newton, enunciadas de outra forma, se mantém válidas. Por exemplo, um ratinho andando numa gaiola cilíndrica, que gira em torno de um eixo, faz com que esta gire em sentido oposto. Uma outra situação em que o início da rotação de um objeto origina a rotação de outro é a de duas pessoas sentadas em cadeiras giratórias. Se estas pessoas retirarem os pés do chão e uma empurrar a outra provocando uma rotação, a primeira também acabará girando em sentido oposto. Estas situações demonstram que a origem de um movimento de rotação está sempre associada à origem de um outro movimento de rotação em sentido oposto. Analogamente à translação, na rotação o giro de um objeto tenta "compensar" o do outro, isto é, há "algo" que não varia. A este "algo" denominamos quantidade de movimento angular ou momento angular. No caso das cadeiras giratórias, aquela que tiver uma pessoa de menor massa girará com maior rapidez, isto é terá maior velocidade angular, analogamente ao movimento de translação como estudado. Uma bailarina inicia seu giro e consegue aumentar sua velocidade de rotação simplesmente fechando os braços. Isto porque com os braços abertos ela possui uma "dificuldade de giro" ou inércia rotacional, maior do que com os braços fechados. Da mesma forma o giro de uma pessoa sentada sobre uma cadeira giratória aumenta quando a pessoa fecha seus braços. Em outras palavras, se admitirmos que a quantidade de movimento angular se conserva, diminuindo a inércia rotacional, aumenta a velocidade de giro. O aumento ou diminuição da velocidade de giro podem portanto ser obtidos pela alteração da distribuição das massas em rotação, ou seja, alterando a inécia rotacional do que está girando. Esta inércia é denominada usualmente de momento de inércia. O momento de inércia é para a rotação o que a massa é para as translações, só que ele depende da massa e também da sua Introdução à Mecânica 7 distribuição em torno do eixo de rotação. O momento de inércia varia não só de um objeto para outro, como também para um mesmo objeto, dependendo da escolha do eixo de rotação. A expressão matemática mais simples para o momento de inércia I, é a de um objeto de pequenas dimensões, como uma pedra de massa m, girando presa a um fio de comprimento r. Para este objeto, I é dado por: 2mrI = (6) A unidade de medida do momento de inércia no SI é o kg.m2. Devemos notar ainda que, enquanto a inércia de rotação (momento de inércia) assume valores diferentes para diferentes escolhas de eixos, a inércia de translação (massa) não depende da direção em que se translada o objeto tampouco muda se o objeto for deformado. Velocidade angular Nas translações, é preciso atribuir uma direção e um sentido à velocidade, de modo a permitir a descrição do movimento. Contudo, a velocidade de translação não é conveniente para a descrição dos movimentos de rotação. Se considerarmos uma pista de corrida circular, por exemplo, e três corredores correndo lado a lado em raias distintas, os corredores terão diferentes velocidades de translação, embora tenham dado o mesmo giro após um certo intervalo de tempo, ou seja, o mesmo deslocamento angular. E em pontos diferentes da raia a velocidade de translação tem direção e sentido diferentes: A B C Velocidade de translação: em movimentos de rotação tem direção e intensidade que variam. Se nós estamos interessados no número de voltas que a pessoa fez num determinado tempo, por exemplo, é conveniente escolher uma grandeza que meça a rapidez da rotação em números de voltas por intervalo de tempo. Essa grandeza é denominada frequência angular, f. Por exemplo, um toca discos pode girar a uma frequência de 33 rpm, isto é, o prato faz 33 rotações por minuto. A grandeza de medida da frequência angular no SI é: rotações por segundo ou hertz. A rapidez de giro de um objeto em torno de um eixo pode ser expressa também através da razão entre o ângulo percorrido, ∆θ e o intervalo de tempo, ∆t. A esta razão denominamos velocidade angular, ω, cujo módulo é: Introdução à Mecânica 10 será maior a variação da velocidade da roda. Utilizando o mesmo raciocínio da quantidade de movimento linear, quanto mais pesada for a roda, maior terá que ser o torque para girá-la. Estas idéias estão contidas na seguinte expressão matemática: tL ∆⋅=∆ τ ↔ τ = ∆ ∆ t L (11) onde τ é o torque da força, L ∆ é a variação do momento angular e ∆ t é o intervalo de tempo durante o qual o torque é exercido. Esta expressão descreve o torque como a medida das variação da quantidade de movimento angular na unidade de tempo, enquanto que a expressão anterior )(senθτ FR ⋅= o descreve como uma grandeza que depende da força e da forma como esta é exercida. Contudo, ambas se referem a mesma grandeza. Pelo menos em módulo, é válida a expressão: )(senθFR t L ⋅= ∆ ∆ (12) Mas vimos pela equação (9) que ω IL = , então analogamente à quantidade de movimento linear : ω ∆=∆ IL (13) Então t I t L ∆ ∆= ∆ ∆ ω (13a) A variação da velocidade angular com o tempo, t∆∆ω , é a aceleração angular α : α ⋅= ∆ ∆ I t L (14) Comparando as equações (11) e (14) temos: ατ ⋅= I (15) A aceleração angular tem a direção e o sentido do torque, segundo a regra da mão direita, e portanto também é um vetor perpendicular ao plano do movimento descrito pelo objeto em rotação em torno de um eixo. A unidade SI da aceleração angular pode ser expressa por s-2. As leis do movimento de rotação Frear a roda da bicicleta é diminuir o valor da velocidade angular pela aplicação de um torque de mesma direção e de sentido contrário ao daquela velocidade. Do mesmo modo para colocarmos a bicicleta em movimento é preciso a ação de um torque no pedal. Se a bicicleta estivesse Introdução à Mecânica 11 parada ou com velocidade constante, e não houvesse nenhum torque, nem mesmo o torque devido à força de atrito com o chão, a bicicleta se manteria parada ou com velocidade constante. Isto pode ser pensado como a lei de inércia para a rotação, analogamente à 1a lei de Newton para a translação: "A quantidade de movimento angular de um objeto se mantem constante, se for nulo o torque resultante aplicado nele." A equação (11) é a expressão matemática para o caso das rotações do análogo da 2a lei de Newton: "A variação da quantidade de movimento angular é proporcional ao torque e ao intervalo de tempo em que esse torque é exercido." Também a 3a lei de Newton, a lei da ação e reação, pode ter uma correspondente nas rotações. Se a toda ação de uma força corresponde uma reação, então: "A toda ação de um torque corresponde um torque de reação, de mesmas intensidades e direção, porém de sentido contrário." 3 Energia Conservação da energia As atividades humanas são realizadas a partir de transformações de uma quantidade de energia, de natureza eletroquímica, que provém diariamente dos alimentos ingeridos. Da mesma forma ao assistirmos televisão, somos atingidos por sua energia luminosa, que se originou da energia elétrica, que por sua vez pode ter-se originado da energia gravitacional da água de uma hidroelétrica. O que observamos na natureza é uma contínua transformação das diversas formas de energia, na verdade não há criação ou perda de energia. Este é o princípio de conservação de energia, muito importante na física. Uma forma de energia que analisaremos é a energia cinética, a energia de um objeto devido ao seu movimento. Assim, quanto maior a velocidade de um corredor maior a sua energia cinética. Para variarmos a velocidade de um objeto, por conseguinte sua energia, vimos que é necessário a aplicação de uma força. Este é apenas um exemplo de uma propriedade geral de que as variações de energia ocorrem quando há a aplicação de forças. Nos aparelhos e máquinas é importante saber com que rapidez ocorrem tais variações ou transformações da energia . É a potência que nos informa de quanto será a variação da energia por unidade de tempo: t E P ∆ ∆= (16) Introdução à Mecânica 12 A unidade de energia no SI é o Joule, J, sendo então a unidade de potência dada por J/s, que é conhecido como Watt, W. A variação de energia de um objeto é definida como a grandeza trabalho. Por exemplo, supomos o caso de um motorista tentando parar um carro com uma certa velocidade (energia). Ele poderia utilizar o sistema de freios ou usar o freio-motor, deixando o carro engatado, ou ainda deixar o carro desengatado e esperar até o carro parar. Desta situação podemos concluir que quanto maior a força que for aplicada para frear o carro, menor será a distância que ele percorrerá até parar. Nas três situações comentadas a variação da energia ou trabalho, é a mesma, pois nos três casos o carro pára. Matematicamente esta idéia é expressa por: θcosdFET ⋅=∆= (17) onde T é o trabalho realizado pela força F durante a distância d e θ é o ângulo entre a direção de aplicação da força e a direção da distância. A quantidade de movimento e a energia cinética são dois conceitos semelhantes, que dependem da massa m e da velocidade v. Há duas formas de energia cinética: uma devida à velocidade translacional e outra devida à velocidade rotacional. A expressão matemática para a energia cinética translacional é dada por: 2 2mv EC = (18) A energia cinética rotacional é dada por: 2 2ωI ER = (19) Sendo a unidade SI de energia o Joule, J. Outra forma de energia importante, e que não está relacionada diretamente com o movimento, é a energia que um objeto pode acumular devido à força gravitacional. Por exemplo, sabemos que um objeto parado que é deixado cair do 1o andar de um edifício chega com menos velocidade (energia) do que um objeto que é deixado cair do 5 o andar. Esta energia que o objeto parado tinha é chamada de energia potencial e matematicamente é definida por: mghEP = (20) onde g é a aceleração da gravidade e h é a altura em que se encontra o objeto em relação à superfície da Terra. Inúmeros outros sistemas também acumulam energia. Por exemplo, uma mola ou o músculo podem armazenar um certo tipo de energia chamada energia elástica, devido a uma força elástica, com intensidade dada por: