Aula 09 - CEDERJ - Introdução à Quantica

Aula 09 - CEDERJ - Introdução à Quantica

(Parte 1 de 2)

o b j e t i v o s

Pré-requisitos

Meta da aula

O degrau de potencial. Caso I: energia maior que o degrau

Aplicar o formalismo quântico ao caso de uma partícula quântica que incide sobre o degrau de potencial, definido na Aula 8. Vamos considerar agora o caso em que a energia da partícula é maior que a altura do degrau.

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

• verificar que, no caso de a energia E da partícula ser maior do que a altura do degrau (V0), a partícula poderá passar (ser transmitida) pelo degrau ou ser refletida por ele;

Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que você revise a Aula 8 desta disciplina e, também, os conceitos de reflexão e transmissão de ondas na interface entre duas regiões com índices de refração diferentes (Aula 6 de Física 4A).

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Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso I: energia maior que o degrau

SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER NO CASO E > V0

Dando seqüência ao nosso estudo sobre o degrau de potencial, iniciado na Aula 8, vamos agora analisar a situação em que uma partícula quântica de massa m, vinda da esquerda, incide sobre o degrau de potencial com energia maior que a altura do degrau (E > V0 ). Esta situação está mostrada na Figura 9.1:

Figura 9.1: Uma partícula quântica de massa m que incide sobre um degrau de potencial com energia maior que a altura do degrau (E > V).

O que deveríamos esperar nesse caso, se valessem as leis da

Física Clássica? A resposta é simples: na ausência de atrito ou de outras forças, a partícula deveria simplesmente vencer a barreira de potencial e continuar seu movimento para a direita, até o infinito. Certamente, haveria uma redução em sua velocidade, que poderíamos calcular através da conservação da energia. Mas a partícula nunca poderia inverter o sentido de seu movimento, retornando para a esquerda, ou seja, a probabilidade de ser “refletida” seria nula. Veremos, mais uma vez, que na Mecânica Quântica as coisas são diferentes.

Como fizemos na aula anterior, vamos encontrar as soluções da equação de Schrödinger. Do lado esquerdo do degrau (x < 0), a função de onda terá a mesma forma que no caso E < V0 :

m x

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em que, novamente,Já do lado direito do degrau
,(9.2)
comA solução dessa equação será análoga à

Equação (9.1), ou seja, . (9.3)

A interpretação física das funções de onda (9.1) e (9.3) é exatamente a mesma da aula passada. O termo Aeikx pode ser associado a uma onda se movimentando para a direita na região x < 0, correspondendo, portanto, à onda incidente. Já o termo Be-ikx é uma onda que se propaga para a esquerda nessa mesma região (x < 0), ou seja, é a onda refletida pelo degrau. Da mesma forma, o termo Ceik’x, que corresponde a uma onda se propagando para a direita em x > 0, pode ser considerado como uma onda transmitida. O termo restante De-ik’x poderia ser associado a uma onda incidente adicional, vinda do lado direito. No entanto, a situação física mais comum é aquela em que as partículas incidem apenas a partir de um dos lados da barreira. Portanto, vamos descartar este termo, fazendo D = 0 na Equação (9.3):

(9.4)

Podemos encontrar relações entre as constantes A, B, C a partir das condições de continuidade de ψ(x) e da sua derivada, como fizemos na aula passada. A continuidade de ψ(x) em x = 0 nos dá a relação:

A + B = C(9.5)

Já a continuidade de dψ /dx implica: (9.6) d x dx k x x

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De forma idêntica ao caso discutido na Aula 8, essas duas relações nos permitem determinar B e C em termos de A, que seria determinada pela condição de normalização. Assim, combinando as Equações (9.5) e (9.6), obtemos fi nalmente:

(9.7)

Vamos interpretar fisicamente a solução de nosso problema.

Inicialmente, vamos calcular a densidade de probabilidade de encontrarmos a partícula do lado direito e do lado esquerdo do degrau.

1. Obtenha a densidade de probabilidade p(x) de encontrar a partícula em uma posição x. Considere separadamente as regiões x < 0 e x > 0. Por simplicidade, use k = 2k’. Faça um esboço do resultado obtido.

RESPOSTA COMENTADA Usando k = 2k’, obtemos, pela Equação (9.7):

Substituindo esses resultados nas soluções (9.1) e (9.4), obtemos:

Calcularemos agora a densidade de probabilidade

BA k-k x A e e x x A e x ikx -ikx ik x p x A kx x p x A x

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potencial, para o caso especial

Figura 9.2: Densidade de probabilidade para uma partícula sob ação do degrau Podemos agora fazer um esboço desse resultado:

Perceba que a densidade de probabilidade é constante na região x > 0. Já na região x < 0, ela mostra oscilações resultantes da interferência das ondas incidente e refl etida. No entanto, note que essas oscilações nunca levam a densidade de probabilidade a se anular nessa região. Isso ocorre porque as amplitudes das ondas incidente e refl etida não são iguais.

Podemos também calcular as densidades de corrente de probabilidade, como fi zemos na aula passada, obtendo (9.8)

em que a velocidade de grupo, do lado esquerdo, e

do lado direito.

2. Substituindo a Equação (9.7) na Equação (9.8), mostre que a densidade de corrente de probabilidade tem o mesmo valor para x < 0 e x > 0.

RESPOSTA COMENTADA Fazendo a substituição sugerida, obtemos, para x < 0:

2. Substituindo a Equação (9.7) na Equação (9.8), mostre que a densidade de corrente de probabilidade tem o mesmo valor para j v A B x j v’ C xgg

4/9 |A| j k

A k-k k+k k k

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Já para x > 0, obtemos: como queríamos demonstrar.

3. Mostre que R + T = 1.

RESPOSTA COMENTADA Usando as Equações (9.9) e (9.10), obtemos:

O coefi ciente de refl exão R, defi nido anteriormente como a razão entre as densidades de corrente de probabilidade das ondas refl etida e incidente (veja a Equação (8.1) da Aula 8), terá, neste caso, o valor:

(9.9)

Podemos também calcular o coefi ciente de transmissão T , defi nido como a razão entre as densidades de corrente de probabilidade das ondas transmitida e incidente, ou seja,

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