Baixe hidráulica e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Agrícola, somente na Docsity! IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 1 HIDRÁULICA APLICADA 1. PRINCÍPIOS BÁSICOS E PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS 1.1 Definição de Fluidos (Streeter,1909) Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão. Uma força de cisalhamento é uma componente tangencial de força que age sobre a superfície e, dividida pela área da superfície, dá origem à tensão de cisalhamento média sobre a área. Tensão de cisalhamento num ponto é o valor da relação entre a força de cisalhamento e a área quando a área tende a um ponto. Na Figura 1, uma substância é colocada entre duas placas paralelas bem próximas e grandes de modo que as perturbações nas bordas possam ser desprezadas. A placa inferior é fixa, e uma força F é aplicada na placa superior, a qual exerce uma tensão de cisalhamento (F/A) na substância entre as placas. A é a área da placa superior. Quando a força F movimenta a placa superior com uma velocidade (não nula) constante, não importando quão pequena seja a intensidade de F, pode-se concluir que a substância entre as duas placas é um fluido. Figura 1 - Deformação resultante da aplicação de força de cisalhamento constante. O fluido em contato com a superfície sólida tem a mesma velocidade que a superfície; isto é, não há escorregamento na superfície. Este é um fato experimental que é observado em ensaios com várias espécies de fluido e materiais de superfície. O fluido na área abcd escoa para a nova posição ab’c’d com cada partícula fluida movendo-se paralelamente à placa e a velocidade u variando linearmente de zero na placa estacionária até U na placa superior. A experiência mostra que, mantendo-se IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 2 outras grandezas constantes, F é diretamente proporcional a A e a U e inversamente proporcional a t. Em forma de equação, t UA F µ= (1) na qual µ é um fator de proporcionalidade que depende do fluido em estudo. Sendo a tensão de cisalhamento ( A F=σ ): t Uµ=σ (2) A relação U/t é a velocidade angular do seguimento ab ou é a velocidade de deformação angular do fluido, isto é, a velocidade com que o ângulo bad diminui. A velocidade angular também pode ser escrita du/dy, pois tanto U/t como du/dy expressam a variação de velocidade divida pela distância ao longo da qual a variação ocorre. Entretanto, du/dy é mais geral porque continua válida nas situações nas quais a velocidade angular e a tensão de cisalhamento variam com y. O gradiente de velocidade du/dy pode também ser entendido como a velocidade com a qual uma camada se move em relação à outra adjacente. Na forma diferencial, dy duµ=σ (3) é a relação entre a tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação angular para um escoamento unidimensional. O fator de proporcionalidade µ é chamado viscosidade do fluido, e a equação 3, lei de Newton da Viscosidade. Para fins de análise é feita freqüentemente a hipótese de que um fluido é não- viscoso. Com viscosidade zero, a tensão de cisalhamento é sempre zero, não importando o movimento que o fluido possa ter. Se o fluido é também considerado incompressível, ele é então chamado fluido perfeito ou ideal. 1.2 Viscosidade De todas as propriedades dos fluidos, a viscosidade requer a maior consideração no estudo dos escoamentos. Viscosidade é a propriedade pela qual um fluido oferece resistência ao cisalhamento, ou seja, ao escoamento. A lei de Newton da viscosidade (Eq. 3) estabelece que, para uma dada velocidade de deformação angular de um fluido, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à viscosidade. Melaço e alcatrão são exemplos de líquidos muito viscosos, enquanto que água e ar IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 5 Tabela 1 – Valores de viscosidade cinemática da água Temperatura (oC) Viscosidade (x 10-6 m2 s-1) 0 1,79 5 1,52 10 1,31 15 1,14 20 1,01 25 0,90 30 0,80 40 0,66 50 0,56 60 0,48 70 0,42 80 0,37 90 0,33 100 0,30 1.3 Demais propriedades a) Coesão e adesão A primeira propriedade permite às partículas fluidas resistirem a pequenos esforços de tensão. A formação de uma gota d'água deve-se à coesão. Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre as moléculas do próprio líquido. Ocorreu então a adesão. b) Pressão de vapor Dependendo da pressão a que está submetido, um líquido entra em ebulição a uma determinada temperatura; variando a pressão, varia a temperatura de ebulição. Por exemplo, a água entra em ebulição à temperatura de 100oC quando a pressão é 1,033 kgf cm-2 (1 atm), mas também pode ferver a temperaturas mais baixas se a pressão também for menor. Portanto, pressão de vapor corresponde ao valor da pressão em que há mudança da fase líquida para a gasosa. Todo líquido tem temperatura de saturação de vapor (tv) (quando entra em ebulição), que correspondem biunivocamente a pressões de saturação de vapor ou simplesmente tensões de vapor (pv). IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 6 Essa propriedade é fundamental na análise do fenômeno da cavitação, pois quando um líquido inicia a ebulição, inicia-se também a cavitação. c) Massa específica, peso específico e densidade A massa específica (ρ) de um fluido é definida como sua massa por unidade de volume. O peso específico (γ) de uma substância é o seu peso por unidade de volume. É variável com a posição, dependendo, portanto, da aceleração da gravidade. gρ=γ (6) É uma interessante propriedade quando se trata da estática dos fluidos ou de líquidos com uma superfície livre. A densidade (d) de uma substância é a relação entre seu peso e o peso de um igual volume de água nas condições normais. Pode também ser expressa como relação entre sua massa ou peso específico e os da água. A Tabela 2 apresenta alguns valores de massa específica, peso específico e pressão de vapor d´água em função da temperatura. Tabela 2 – Valores de massa específica, peso específico e pressão de vapor d´água Temperatura (oC) Massa específica (kg m-3) Peso específico (N m-3) Pressão de vapor d´agua (Pa) 0 999,8 9.805 611 2 999,9 9.806 --- 4 1.000,0 9.810 --- 5 999,9 9.806 873 10 999,7 9.803 1.266 15 999,1 9.798 1.707 20 998,2 9.780 2.335 25 997,1 9.779 3.169 30 995,7 9.767 4.238 40 992,2 9.737 7.377 50 988,1 9.697 12.331 60 983,2 9.658 19.924 70 977,8 9.600 31.166 80 971,8 9.557 47.372 90 965,3 9.499 70.132 100 958,4 9.438 101.357 IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 7 1.4 Símbolos adotados e unidades usuais em Mecânica dos fluidos As grandezas físicas são compatíveis entre si através de medidas homogêneas, ou seja, referidas à mesma unidade. Os números sem dimensão de medidas nada informam em termos práticos: o que é maior: 8 ou 80? A pergunta necessita de sentido porque não há termo de comparação. Evidentemente que 8 m3 significa mais que 80 litros (80 dm3). Poderia ser de outra forma: 8 kg e 80 kg. As "unidades" de grandezas físicas (dimensões de um corpo, velocidade, força, trabalho ou potência) permitem organizar o trabalho científico e técnico sendo que, com apenas sete grandezas básicas é possível formar um sistema que abranja todas as necessidades. Tradicionalmente a Engenharia usava o denominado sistema MKS (metro, quilograma, segundo) ou CGC (centímetro, grama, segundo), ou Sistema Gravitacional, em que unidades básicas (MKS) são: Tabela 3 – Grandezas e unidades do sistema gravitacional GRANDEZAS UNIDADE SÍMBOLO DIMENSIONAL Força quilograma - força kgf F Comprimento metro m L Tempo segundo s T Entretanto, observou-se que esse sistema estabelecia uma certa confusão entre as noções de peso e massa, que do ponto de vista físico são coisas diferentes. A massa de um corpo refere-se à sua inércia e o peso de um corpo refere-se à força que sobre este corpo exerce a aceleração da gravidade (g). Entre a força (F) e a massa de um corpo existe uma relação expressa pela equação (2ª lei de Newton): kmaF = (7) em que k = constante; m = massa do corpo; e a = aceleração. Há dois sistemas de unidades que tornam a constante k igual a 1 (um): o SI ( Sistema Internacional) ou absoluto e o gravitacional. No absoluto, k é igual a 1 (um) pela definição da unidade de força e no gravitacional pela definição da unidade de massa, ou seja: IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 10 2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS É a parte da Hidráulica que estuda os líquidos em repouso, bem como as forças que podem ser aplicadas em corpos neles submersos. 2.1 Pressão e Empuxo Quando se considera a pressão, implicitamente relaciona-se uma força à unidade de área sobre a qual ela atua. Considerando-se, no interior de certa massa líquida, uma porção de volume V, limitada pela superfície A (Figura 4), se dA representar um elemento de área nessa superfície e dF a força que nela atua (perpendicularmente), a pressão será: dA dF p = Considerando-se toda a área, o efeito da pressão produzirá uma força resultante que se chama empuxo (E), sendo, às vezes chamada de pressão total. Essa força é dada pela integral: ∫= A pdAE Se a pressão for a mesma em toda a área, o empuxo será: E = p A. Figura 4 - Massa líquida em repouso, com área “A”. 2.2 Lei de Pascal Seja um líquido homogêneo e em equilíbrio, no interior do qual isola-se um prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitário (Figura 5). Se o prisma estiver em equilíbrio, a somatória das forças atuantes na direção “X” será nula. (ΣFx = 0). ds dy sen;.dssen.ps.dypx =θ1θ=1 IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 11 pspx; ds dy ps ds dy px; ds dy dspsdypx === Figura 5 – Forças atuantes em um prisma. Na direção “Y” deve ocorrer o mesmo: ΣFy = 0, havendo o equilíbrio. Logo: dwcos.dsps.dxpy +θ1=1 2 1 γ+θ= .dxdy cos.dspsdxpy Sendo o prisma elementar, suas dimensões são infinitesimais e, portanto, a força resultante de seu peso é desprezível. Portanto: pspy; ds dx ps ds dx py; ds dx dspsdxpy === Então, px = py = ps. Este é o princípio de Pascal, que se anuncia: “Em qualquer ponto no interior de uma massa líquida em repouso e homogênea, a pressão é a mesma em todas as direções”. A prensa hidráulica é uma importante aplicação desta lei. Na Figura abaixo, considere que o diâmetro do êmbulo maior seja de 4 vezes o diâmetro do êmbulo menor. Se for aplicada uma força F1 = 50 N, a pressão do fluido transmitirá, ao êmbulo maior, uma força F2 de 16 x 50 N, ou seja, F2 = 800 N. (p1 = p2 F1 A2 = F2 A1 ) IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 12 Figura 6 – Desenho esquemático de uma prensa hidráulica. A Figura 7 ilustra uma solução real para obtenção da movimentação de uma carga, onde estão adicionados uma reservatório e duas válvulas de retenção que viabilizam o movimento alternativo do cilindro 1, provocando um movimento contínuo do cilindro 2. O cilindro 1 e as duas válvulas caracterizam uma bomba de pistão de simples ação, ou seja, que produz vazão apenas em um sentido de movimentação do êmbulo. Figura 7 – Exemplo de aplicação da Lei de Pascal Exercício: Calcular a força P que deve ser aplicado no êmbolo menor da prensa hidráulica da Figura 8, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada no êmbolo maior. IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 15 tivesse sido utilizado um óleo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna de óleo? Figura 10 – Exemplo da experiência de Torricelli. 2.4.1 Tipos de pressão A um fluido com pressão atmosférica pode-se “acrescentar” ou "retirar” pressão. Tais pressões são denominadas “efetivas" ou manométricas, por que são medidas por manômetros e podem ser positivas ou negativas. Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar à pressão atmosférica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar será injetado dentro do recipiente e a pressão irá subindo concomitantemente, o que será mostrado pelo manômetro. O ponteiro girará para a direita (área positiva) partindo do valor zero. Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a pressão manométrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vácuo, ilustrada com o sinal (-), a pressão irá caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial (zero). Neste ponto a pressão reinante no interior do recipiente é somente a pressão atmosférica, a qual não é acusada por manômetros. Com a continuação do processo, a pressão passará a ser negativa, com o ponteiro do manômetro girando para a esquerda; estará ocorrendo o que denomina-se "vácuo" ou depressão. Desligando-se o conjunto, o manômetro estará marcando uma pressão negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2. IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 16 Praticamente um fluido está sujeito, portanto, a dois tipos de pressão: a atmosférica e a efetiva. A somatória dos valores das duas pressões dará o que denomina-se pressão absoluta. No exemplo considerado, sendo por hipótese a pressão igual a 0,9 atm, as pressões absolutas serão: a) para pressão efetiva nula (ar à pressão atmosférica no interior do recipiente) Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm b) para pressão efetiva de 1,2 atm Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm c) para pressão efetiva de -0,2 atm. Pabs = Patm + Pef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm Pode-se verificar que na situação do caso c, a pressão absoluta é menor que a pressão atmosférica local; logo, há depressão ou vácuo, no interior do recipiente. Como já mencionado a pressão efetiva é medida por manômetros. Vacuômetro é o manômetro que mede pressões efetivas negativas. 2.4.2 Classificação dos medidores de pressão a) Manômetro de líquido ou de coluna líquida São aqueles que medem as pressões em função das alturas da coluna dos líquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam: a1) Tubo Piezométrico, Piezômetro simples ou Manômetro Aberto É o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente inserido no interior do ambiente onde se deseja medir a pressão (Figura 11). O líquido circulante no conduto se elevará no tubo piezométrico a uma altura h, que corrigida do efeito da capilaridade, dá diretamente a pressão em altura de coluna líquida. IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 17 PA = γ h Figura 11 – Esquema de um tubo piezométrico. A pressão no ponto A será: hPA γ= (Lei de Stevin), em que PA é a pressão em A (N m-2 ou kgf m-2); γ é o peso específico do líquido (N m-3 ou kgf m-3) e h é a altura de coluna líquida acima do ponto A (m). Observações: o diâmetro do tubo piezométrico deve ser maior que 1,0 cm, quando o efeito da capilaridade é desprezível. O tubo piezométrico pode ser inserido em qualquer posição em torno de uma tubulação que o líquido atingirá a mesma altura h, acima de A. a2) Manômetro de tubo em U É usado quando a pressão a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno. Para tanto é necessário o uso de líquidos manométricos que permitam reduzir ou ampliar as alturas da coluna líquida. Esta redução ou ampliação da coluna é obtida utilizando-se um outro líquido que tenha maior ou menor peso específico, em relação ao líquido escoante (Figura 12). IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 20 - líquido manométrico: mercúrio; - x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm. Figura 14 – Manômetro de duplo U. - Com base no tensiômetro de mercúrio da Figura 15, mostre que o potencial matricial no ponto A é Figura 15 – Desenho esquemático de um tensiômetro de mercúrio. a3) Manômetro Diferencial 12A hhh6,12 ++−=ψ IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 21 É o aparelho usado para medir a diferença de pressão entre dois pontos (Figura 16). Figura 16 – Esquema de um manômetro diferencial. B231A Pyh)hyx(P =γ−γ−γ+++ 123BA )hyx(yhPP γ++−γ+γ=− Outro método: 21 PP = 1A1 )hyx(PP γ+++= e hyPP 32B2 γ+γ+= hyP)hyx(P 32B1A γ+γ+=γ+++ 132BA )hyx(hyPP γ++−γ+γ=− em que PA – PB é a diferença de pressão entre A e B. a4) Manômetro inclinado Aparelho usado para medir pressões ou diferenças de pressões muito pequenas. A inclinação do tubo em por finalidade ampliar a escala de leitura. Conforme Figura 17, hPA γ= . Mas θ= senLh . Portanto: θγ= senLPA . IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 22 Figura 17 – Esquema de um manômetro inclinado. Figura 18 – Esquema de um manômetro inclinado diferencial. B121A PxhyP =γ−γ+γ+ → h)xy(PP 21AB γ+−γ=− Exercício: Considere o manômetro conectado a uma tubulação, como mostra a Figura 19. Sabendo que a densidade do óleo é 0,83, calcule a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2. IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 25 Para a determinação do empuxo que atua em um dos lados da mencionada Figura, essa área será subdividida em elementos dA, localizada em profundidade genérica h e a uma distância de y da interseção 0. A força agindo em dA será: dAsenyhdApdAdF θγ=γ== Cada uma das forças dF será normal às respectivas áreas. A resultante ou empuxo (total) sobre total área, também normal, será dado por .ydAsendAysendFF AA ∫∫ θγ=θγ=∫= ∫A ydA é o momento da área em relação à interseção 0. Portanto yAydAA =∫ , expressão onde y é a distância do centro de gravidade da área até 0, e A área total. AsenyF θγ= Como y sen θ = h F = γh A O empuxo exercido sobre uma superfície plana imersa é uma grandeza tensorial perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao centro de gravidade da área. 2.5.2 Determinação do centro de pressão A Figura 22 representa a posição do centro de pressão que pode ser determinada aplicando-se o teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à interseção 0 deve igualar-se aos momentos das forças elementares dF. F yp= ∫ dF y Na dedução anterior, dAysendF θγ= e AsenyF θγ= . Substituindo, dAysendAysenyAyseny A A 2 p ∫ ∫θγ=θγ=θγ Logo: yA I yA dAy y 2 A p == ∫ , IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 26 Figura 22 - Determinação do centro de pressão Nesta expressão, “I” é o momento de inércia em relação ao eixo-interseção. Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo centro de gravidade, sendo conveniente a substituição. yA I I 2o += (Teorema de Huygens) yA yAI yp 2 0 += ∴ yA I yy 0p += Como 20 = k A I , quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo, passando pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, y k +y=y 2 p . O centro de pressão está sempre abaixo do centro de gravidade a uma distância igual a y k2 , medida no plano da área. Exercício: Numa barragem de concreto está instalada uma comporta circular de ferro fundido com 0,20 m de raio, situada a 4,0 m abaixo do nível da água. Determinar o empuxo que atua na comporta. IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 27 3. HIDRODINÂMICA (Princípios gerais do movimento e Teorema de Bernoulli) 3.1 Movimento dos fluidos A Hidrodinâmica tem por objetivo o estudo dos movimentos dos fluidos. Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo as diversas posições dos seus pontos a um sistema de eixos retangulares 0x, 0y, 0z. O movimento desses fluidos ficará perfeitamente determinado se, em qualquer instante t, forem conhecidas a grandeza e a direção da velocidade v, relativa a qualquer ponto; ou, então, o que vem a ser o mesmo, se forem conhecidas as componentes vx, vy, e vz, dessa velocidade, segundo os três eixos considerados. Além disso, há de se considerar também, os valores da pressão p e da massa específica ρ, que caracterizam as condições do fluido em cada ponto considerado. O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos comporta, portanto, cinco incógnitas, vx, vy, vz, p e ρ, que são funções de quatro variáveis independentes, x, y, z, e t. A resolução do problema exige um sistema de cinco equações. As cinco equações necessárias compreendem: as três equações gerais do movimento, relativas a cada um dos três eixos; a equação da continuidade, que exprime a lei de conservação das massas; e uma equação complementar, que leva em conta a natureza do fluido. São dois os métodos gerais para a solução de problema; o método de Lagrange, que consiste em acompanhar as partículas em movimento, ao longo da suas trajetórias, e o de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a variação das grandezas mencionadas. O método de Euler será adotado, por ser muito mais simples e cômodo. 3.2 Vazão ou descarga Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, o volume de líquido que atravessa essa seção na unidade de tempo. Na prática, a vazão é expressa em m³ s-1 ou em outras unidades múltiplas ou submúltiplas. Assim, para o cálculo de canalizações, é comum empregarem-se litros por segundo (L s-1); os perfuradores de poços e fornecedores de bombas costumam usar litros por hora (L h-1) ou metros cúbicos por hora (m3 h-1). IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 30 Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contínuo, pode-se considerar um tubo de corrente como uma figura imaginária, limitada por linhas de corrente. Os tubos de corrente, sendo formados por linhas de corrente, gozam da propriedade de não poderem ser atravessados por partículas de fluido: as suas paredes podem ser consideradas impermeáveis. Esses conceitos são de grande utilidade no estudo do escoamento de líquidos. 3.6 Equações Gerais do Movimento Seja no interior da massa líquida (em movimento) um ponto M, fixo, de coordenadas x, y, e z, ao redor do qual tomamos um cubo infinitesimal de arestas dx, dy e dz. A massa contida no cubo é ρdxdydz (Figura 26). Figura 26 - Volume líquido elementar. Sejam vx, vy, vz, as componentes da velocidade V com que as partículas atravessam nos sucessivos instantes de tempo o cubo em questão. Sejam ainda P e ρ as pressões e massas específicas, grandezas que são funções contínuas e uniformes das coordenadas. Sobre o prisma, agem os seguintes esforços: - as forças externas que dependem do volume considerado, como o peso, por exemplo, e que podem ser expressas por suas componentes segundo cada eixo e por unidade de massa: X, Y e Z. Os esforços totais em cada eixo serão: ρXdxdydz ρYdxdydz ρZdxdydz IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 31 - os esforços decorrentes das pressões atuantes nas faces do prisma; essas pressões são normais a cada face, como já visto na estática, e segundo o eixo X tem como resultante: dydz)dx x P P(Pdydz'P ∂ ∂+−= dxdydz x P PdydzPdydz'P ∂ ∂−−= dxdydz x P ∂ ∂− e segundo os outros eixos: dzdy dx y p ∂ ∂− e dzdy dx z p ∂ ∂− Sendo m a massa de uma partícula em movimento, “a” sua aceleração e F a força resultante, pode-se escrever: amF = dt dv mF = 2 2 dt xd mF = Com relação ao eixo X, tem-se então: F dt xd m x2 2 Σ= dt xd m 2 2 = dzdy dx . x p - X . dz dy dx ∂ ∂ρ ou dzdy dx x p - dz dy dx X dt xd . dz dy dx 2 2 ∂ ∂ρ=ρ O primeiro membro da equação anterior representa a força de inércia do movimento; o primeiro termo do segundo membro, a ação da força externa, F, e o segundo termo, a ação da pressão do fluido circundante. Simplificando a equação: x p . 1 - X dt xd 2 2 ∂ ∂ ρ = (8) Na equação acima, 2 2 dt xd é a componente da aceleração da partícula considerada conforme o eixo X. Essa componente é a derivada da componente da velocidade em relação ao tempo t. Logo: dt dv dt xd x 2 2 = IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 32 Por outro lado, como Vx é função de x, y, z, t, pode-se escrever: dt zd z v dt yd y v dt dx x v t v dt dv xxxxx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Equação que pode ser escrita assim: z v v y v v x v v t v dt dv xz x y x x xx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Portanto, substituindo na equação 10, tem-se: z v v y v v x v v t v xz x y x x x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x p . 1 - X ∂ ∂ ρ = Por analogia, pode-se escrever para os demais eixos: z p . 1 - Z z v . v y v . v x v . v t v y p . 1 - Y z v . v y v . v x v . v t v z z z y z x z y z y y y x y ∂ ∂ ρ = ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ Estas são as equações gerais do movimento dos fluidos perfeitos, denominadas “Equações de Euler”. Para a solução do problema do movimento dos fluidos são necessárias ainda duas equações que serão vistas adiante. 3.7 Movimento Permanente Analisando a equação 8, pode-se escrever para os três eixos: x p . 1 - X dt dv x ∂ ∂ ρ = dt dv - X x p . 1 x= ∂ ∂ ρ y p . 1 - Y dt dv y ∂ ∂ ρ = dt dv - Y y p . 1 y= ∂ ∂ ρ IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 35 Para a outra seção: 222 2 Av dt dm ρ= No movimento permanente, a quantidade de líquido que atravessa A1 é igual à quantidade que atravessa A2. Assim: 222111 AvAv ρ=ρ Se o líquido for incompressível, ρ1=ρ2. Logo: QAvAv 2211 == Esta é a equação da continuidade e mostra que no regime permanente, o volume de líquido que, por unidade de tempo, atravessa todas as seções da corrente é sempre o mesmo. Figura 27 - Tubo de corrente utilizado para demonstração do Teorema de Bernoulli. 3.9 Equação de estado dos fluidos A última equação da Hidrodinâmica necessária ao sistema de cinco equações é obtida considerando-se uma característica particular do fluido. Esta equação representa uma relação envolvendo a massa específica com a pressão e com a temperatura, para cada fluido. Nos casos dos fluidos homogêneos e incompressíveis, ρ é constante. Para os gases perfeitos, tem-se a equação geral: IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 36 gRT p ρ = constante Esta equação introduziria uma sexta variável que é a temperatura. Por isso, admitindo a temperatura constante, tem-se: ρ p = constante. 3.10 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos O Teorema de Bernoulli decorre da aplicação da equação de Euler aos fluidos sujeitos à ação da gravidade (líquidos), em movimento permanente. Nessas condições: X = 0, Y = 0, Z = -g Substituindo na equação 9: ) 2 v (dgdzdp 1 2−−= ρ Dividindo-se a equação anterior por g: 0) g2 v (d g dp dz 2 =+ ρ + Sabendo que ρg = γ (peso específico), e dividindo-se todos os termos por ds (dx, dy, dz), obtem-se: =+ γ +→=+ γ + g2 vp z0) g2 vp z( ds d 22 constante A Figura 27 mostra parte de um tubo de corrente, no qual escoa um líquido de peso específico γ. Nas duas seções indicadas, de áreas A1 e A2, atuam as pressões p1 e p2, sendo as velocidades, respectivamente, v1 e v2. As partículas, inicialmente em A1, num pequeno intervalo de tempo, passam a A´1, enquanto que as que estão em A2 movem-se para A´2. IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010 Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 37 Investigando apenas as forças que produzem trabalho, temos a variação da energia cinética: 2211 2 22 mv2 1 vm 2 1 vm 2 1 =− Sendo o líquido incompressível, VdSAdSA 2211 == . V é o volume do líquido e a soma dos trabalhos das forças externas (empuxo e gravidade, pois não há atrito líquido perfeito) será: )ZZ(VdSApdSAp 21222111 −γ+− Igualando as duas equações anteriores: )ZZ(VdSApdSApvm 2 1 vm 2 1 21222111 2 11 2 22 −γ+−=− )ZZ(V)pp(V)vv(V g2 1 2121 2 1 2 2 −γ+−=− γ Simplificando: 21 21 2 1 2 2 ZZ pp g2 v g2 v −+ γ − γ =− =+ γ +=+ γ + 22 2 2 1 1 2 1 Z p g2 v Z p g2 v constante Este é o importante Teorema de Bernoulli que pode ser anunciado: “Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas cinética ( g2 v2 ), piezométrica ( γ p ) e geométrica ou potencial (Z)”. Este teorema é o próprio princípio da conservação da energia. Cada um dos termos da equação representa uma forma de energia. É importante notar que cada um dos termos pode ser expresso em metros, constituindo o que se denomina carga. 3.11 Demonstração experimental do Teorema de Bernoulli