Apostila Macroeconomia

Apostila Macroeconomia

(Parte 3 de 9)

A elasticidade de substituição, em termos da derivada logarítmica, é definida, então, por:

τε log log 1 c c d t ts

A taxa marginal de substituição, do exemplo anterior da função utilidade, é dada por:

Esta equação pode ser reescrita como:

Tomando-se o logaritmo dos dois lados desta expressão obtém-se:

A elasticidade de substituição é, então, igual ao parâmetro σ:

ccd tts

2.2. Equilíbrio do Consumidor: Equação de Euler

Um consumidor que tem que decidir se gasta um real no consumo hoje (t) ou amanhã (t+1). Caso ele decida consumir imediatamente seu bem estar tem um aumento igual à utilidade marginal do consumo hoje. Caso ele decida consumir amanhã, ele aplica um real num ativo financeiro que lhe renderá uma taxa de juros igual a ρ, e gasta no período seguinte o principal mais os juros da aplicação. Seu bem estar terá um aumento amanhã igual à utilidade marginal do consumo. Mas, para comparar com o bem estar hoje ele tem que descontar o bem estar de amanhã pela taxa de preferência intertemporal. Em equilíbrio ele será indiferente a estas opções:

Esta equação de equilíbrio é conhecida na literatura econômica como equação de Euler. Este nome vem da condição de primeira ordem do problema de otimização dinâmica do cálculo de variações. Ela afirma que o consumidor aplicará seus recursos de tal sorte que o consumo de um real terá o mesmo valor em termos de bem estar qualquer que seja o período de sua vida. Quando a função utilidade tem a forma funcional, c cu

a utilidade marginal é igual a:

e a equação de Euler é expressa por:

+ =tc

A razão entre os consumos é dada por:

Tomando-se o logaritmo dos dois lados tem-se:

( ) ( )[ ]δρσ +−+−=− + 1log1logloglog 1 t c A equação do consumo tem, então, a seguinte expressão:

2.3 Curva IS Novo-Keynesiana

O equilíbrio no mercado de bens e serviços ocorre quando o dispêndio com consumo e gastos do governo for igual ao produto real:

tttgcy+=

A aproximação logarítmica linear [confira derivação no final desta seção], em torno do ponto de equilíbrio estacionário, da equação de equilíbrio no mercado de bens e serviços é dada por:

t gcy log)1(loglog ωω −+= onde ωé a relação consumo/renda no equilíbrio estacionário. O consumo é dado por:

( )δρσ −−= + t c 1loglog Substituindo-se esta equação na expressão da condição de equilíbrio tem-se:

t gcy log)1(log)(log 1 ωωδρωσ −++−−= + Usando-se a aproximação linear do período seguinte:

1 log)1(loglog +++ −−= t gyc ωω pode-se, então, escrever a equação anterior como:

)loglog()1(log)(log 1 ++ −−++−−= t gy ωδρωσ Para simplificar, admita-se que o produto potencial da economia seja constante:

Subtraindo-se o logaritmo do produto potencial de ambos os lados da equação do produto real, resulta na seguinte curva IS:

A taxa de juros real de equilíbrio de longo prazo, a taxa de juros natural, é igual à taxa de preferência intertemporal (δρ=).

Equação da Curva IS Novo-Keynesiana

O hiato do produto x é definido por: ttxyy=−loglog. A curva IS novo- keynesiana tem, então, a seguinte expressão:

onde σωα= e a letra g denota agora o logaritmo da variável. O efeito do hiato da taxa de juros real sobre o hiato do produto é proporcional ao tamanho do efeito substituição no consumo. Quando 1+=tg, a curva IS simplifica:

Comparação das Curvas IS Tradicional e Novo-Keynesiana A expressão anterior pode ser escrita para o período seguinte:

que substituída na equação anterior permite escrever o hiato do produto como função do hiato do produto dois períodos adiante e das diferenças (hiatos) das taxas de juros, com relação a taxa de juros natural, nos períodos t e t+1:

( ) ( )ρραρρα −−−−= ++ 12 t x O hiato do produto dois períodos adiante é, por sua vez, dado por:

Através desta substituição recursiva para frente, a curva IS novo-keynesiana depende de toda a história futura das diferenças ( hiatos) das taxas de juros de acordo com:

A curva IS, sem microfundamentos, é usualmente especificada com base no passado:

oi itx

A diferença fundamental entre as duas curvas é de que na curva IS tradicional as diferenças ( os hiatos) das taxas de juros do passado afetam o hiato do produto hoje, enquanto na curva IS novo-keynesiana são as diferenças (hiatos) das taxas de juros previstas para o futuro que afetam o hiato do produto no presente.

Aproximação Logarítmica Admita que z seja função de x e de y de acordo com:

e que as variáveis com barras representem a solução estacionária do modelo: ()yxfz,= Diferenciando-se a função f em torno do equilíbrio estacionário tem-se:

Dividindo-se ambos os lados desta expressão pelo valor de z, a diferencial de x por x, e a diferencial de y por y, obtém-se:

( ) ( ) ydyz yyxfxdxz xyxfz

Conclui-se então que:

onde:

xyxf yx ,

A aproximação logarítmica linear, em torno do ponto de equilíbrio estacionário, é dada por:

2.4 Curva IS Novo-Keynesiana: Variáveis Contínuas

A curva IS novo-keynesiana com variáveis contínuas pode ser obtida da curva IS com variáveis discretas,

()ρρα−−=−+tttxx1 A mudança do hiato do produto (x) será aproximada pela derivada:

A curva IS com variáveis contínuas é, então, dada por: ()ρρα−=x&

Esta curva supõe que o consumidor é prospectivo, isto é, ele olha para frente (forward looking) ao tomar suas decisões. Em termos de diferenciais, a curva IS pode ser escrita como:

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