Cálculo Diferencial e Integral I - Apostilas - Química Parte1, Notas de estudo de Cálculo Diferencial e Integral

Baixe Cálculo Diferencial e Integral I - Apostilas - Química Parte1 e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity! ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia Cursos de Engenharia Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Álvaro Fernandes Serafim Apostila de limites e derivadas “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta” George Polya Última atualização: 26/10/2007 25 x a1limln ax x =               + +∞→ . Qual o valor de a ? Álvaro Fernandes 2 Índice Limite e continuidade............................................................................................................. 3 Noção intuitiva de limite........................................................................................................... 3 Tabelas de aproximações........................................................................................................... 4 Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/0.............................................................................. 6 Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites............................................................ 8 Continuidade............................................................................................................................. 10 Limites infinitos........................................................................................................................ 12 Limites no infinito..................................................................................................................... 13 Expressões indeterminadas....................................................................................................... 15 Limite fundamental exponencial............................................................................................... 17 Limite fundamental trigonométrico.......................................................................................... 19 Funções limitadas..................................................................................................................... 21 Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola..................................................... 23 Aplicação 2: Problema do circuito RL em série...................................................................... 24 Derivada................................................................................................................................... 25 A reta tangente.......................................................................................................................... 25 A reta normal............................................................................................................................ 28 A derivada de uma função num ponto...................................................................................... 28 Derivadas laterais..................................................................................................................... 29 Regras de derivação.................................................................................................................. 31 Derivada da função composta (Regra da cadeia)...................................................................... 33 Derivada da função inversa....................................................................................................... 35 Derivada das funções elementares............................................................................................ 36 Derivada da função exponencial............................................................................................... 36 Derivada da função logarítmica................................................................................................. 37 Derivada das funções trigonométricas...................................................................................... 37 Derivada das funções trigonométricas inversas........................................................................ 40 Tabela de derivadas.................................................................................................................. 42 Derivadas sucessivas................................................................................................................ 43 Derivada na forma implícita..................................................................................................... 45 Derivada de uma função na forma paramétrica........................................................................ 50 Diferencial................................................................................................................................ 54 Aplicações da derivada........................................................................................................... 56 A regra de L’Hospital............................................................................................................... 56 Interpretação cinemática da derivada....................................................................................... 58 Taxa de variação....................................................................................................................... 61 Análise gráfica das funções...................................................................................................... 64 Máximos e mínimos........................................................................................................... 64 Funções crescentes e decrescentes..................................................................................... 67 Critérios para determinar os extremos de uma função........................................................ 68 Concavidade e inflexão....................................................................................................... 70 Assíntotas horizontais e verticais........................................................................................ 72 Esboço gráfico..................................................................................................................... 75 Problemas de otimização......................................................................................................... 80 Álvaro Fernandes 5 Observação: Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais. ∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x → −1 . Temos então que: ( )lim x g x → − = 1 2 ou lim x x x→ − − − = 1 2 1 1 2 ∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x → +1 . Temos então que: ( )lim x g x → + = 1 2 ou lim x x x→ + − − = 1 2 1 1 2 Definição intuitiva de limite (para um caso geral) Seja f uma função definida num intervalo I ⊂ ℜ contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L ∈ℜ , e escrevemos ( )lim x a f x L → = , se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais à L, isto é, ( ) ( )lim lim x a x a f x f x L → →− + = = . Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em símbolo ( )lim x a f x → . Ainda com relação à função ( )g x x x = − − 2 1 1 , podemos então concluir, pela definição, que: 2 1x 1xlim 2 1x = − − → , porque os limites lateriais 1x 1xlim 2 1x − − +→ e 1x 1xlim 2 1x − − −→ são iguais a 2. De forma equivalente, ( )lim x g x → = 1 2 porque ( ) ( )lim lim x x g x g x → →− + = = 1 1 2 . Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função, caso ele exista? Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir. Obs: O sinal negativo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela esquerda. Obs: O sinal positivo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela direita. Álvaro Fernandes 6 Cálculo de uma indeterminação do tipo 0 0 Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo 0 0 , deveremos simplificar* a expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na expressão já simplificada, o valor de x. * Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, conjugado de radical, dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc... Vejamos os exemplos seguintes. Exemplo 2. Determine ( )lim x g x →1 , onde ( )g x x x = − − 2 1 1 . Observe que substituindo x por 1 na função g obtemos ( ) 0 01g = que é uma indeterminação matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez mais próxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a substituição direta. ( ) ( )( )( ) ( ) 1x,1x1x 1x1x 1x 1x xg 2 ≠∀+= − +− = − − = Então: ( ) ( )( ) ( ) 2111xlim 1x 1x1xlim 1x 1xlimx glim 1x1x 2 1x1x =+=+= − +− = − − = →→→→ . Logo, lim x x x→ − − = 1 2 1 1 2 . Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma mais rápida e sistemática. Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!! Vale lembrar que a expressão lim x x x→ − − = 1 2 1 1 2 significa que a função ( )g x x x = − − 2 1 1 está tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso: Gráfico da função ( )g x x x x= − − ∀ ≠ 2 1 1 1, . Álvaro Fernandes 7 Exemplo 3. Determine 1x 1x lim 21x − − → (observe a indeterminação matemática 0 0 no ponto 1x = ). ( ) ( )( )( ) ( )( ) 4 1 1x1x 1 lim 1x1x1x 1x lim 1x 1x 1x 1x lim 1x 1x lim 1x1x21x21x = ++ = ++− − = + + ⋅ − − = − − →→→→ . Se você construir as tabelas de aproximações, constatará que a função 1x 1xy 2 − − = está cada vez mais próximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. Exemplo 4. Determine 12x3 8x lim 2 3 2x − − → (observe a indeterminação matemática 0 0 no ponto 2x = ). ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 112 12 2x3 4x2x lim 2x2x3 4x2x2x lim 4x3 2x lim 12x3 8x lim 2 2x 2 2x2 33 2x2 3 2x == + ++ = +− ++− = − − = − − →→→→ Constate através das tabelas de aproximações que se 2x → então 1 12x3 8xy 2 3 → − − = . Exemplo 5. Determine 1x3x4 5x3x2lim 2 3 1x −− −+ → (observe a indeterminação matemática 0 0 no ponto 1x = ). Vamos resolver este limite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini. Precisaremos antes do... Teorema de D’Alembert: Um polinômio ( )xf é divisível por ( )ax − , ℜ∈a , se, e somente se, a é uma raiz de ( )xf , isto é, ( ) 0af = . ( )xf ( )ax − ( )xr ( )xq Como o ponto 1x = anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis por 1x − . Assim, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5 9 114 51212 1x4 5x2x2lim* 1x 1x3x4 1x 5x3x2 lim 1x3x4 5x3x2lim 22 1x2 3 1x2 3 1x = + ++ = + ++ == − −− − −+ = +− −+ →→→ . ( )* Usamos então o dispositivo de Briot- Ruffini para dividir estes polinômios... Obs.: Faça uma revisão deste dispositivo num livro de matemática do ensino médio. 1 2 0 3 -5 2 2 5 0 = resto 5x2x2cbxax 22 ++=++ 1 4 -3 -1 4 1 0 = resto 1x4bax +=+ ( ) ( ) ( ) ( )xrxqaxxf +⋅−=⇒ . Assim, ( ) ( ) 0ar0af =⇔= . Álvaro Fernandes 10 Continuidade Definição: Seja 0x um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no ponto 0x se: ( ) ( )0xx xfx flim0 =→ . Exemplo 7. A função do exemplo 1 (pág. 3) é contínua no ponto 2x0 = , pois ( ) ( ) 32fx flim2x ==→ . Na verdade esta função é contínua em ℜ , isto é, em todos os pontos da reta (do seu domínio). Exemplo 8. Algumas funções que não são contínuas no ponto 0x : a) b) c) Pois... a) não existe ( )x flim 0xx→ , apesar de ( )0xf existir, neste caso ( ) Lxf 0 = ; b) existe ( )x flim 0xx→ , isto é ( ) 1xx Lx flim0 =→ . Existe ( )0xf , neste caso ( ) 20 Lxf = , mas ( ) ( )0xx xfx flim0 ≠→ ; c) não existe ( )x flim 0xx→ , apesar de ( )0xf existir, neste caso ( ) Lxf 0 = . Exemplo 9. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados: a) ( ) 4x, 4x,4x2 4x, x28 16x xf 0 2 =         =− ≠ − − = . b) ( ) 1x, 1x,x51 1x, x1 2x2 1x, 1x x1 xg 0 2 2 =              =− < − − > − − = . Soluções: a) Calculando o limite, temos: ( )( )( ) ( ) 4 2 4x lim x42 4x4x lim x28 16x lim 4x4x 2 4x −= + −= − +− = − − →→→ . Calculando a imagem, temos: ( ) ( ) 44424f =−= . Como ( ) ( )4fx flim 4x ≠ → , então a função não é contínua (ou descontínua) no ponto 4x0 = . Álvaro Fernandes 11 b) Calculando o limite, temos: ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 41xx1 lim 1x 1xx1x1 lim 1x 1x 1x x1x1 lim 1x x1 lim 1x1x1x 2 1x −=++−= − ++− = + + ⋅ − +− = − − ++++ →→→→ ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4221x lim2 x1 1x1x lim2 x1 1x2 lim x1 2x2 lim 1x1x 2 1x 2 1x −=−=+−= − +− = − − = − − −−−− →→→→ Como os limites laterais são iguais, temos que ( ) 4x glim 1x −= → . Calculando a imagem, temos: ( ) ( ) 41511g −=−= . Como ( ) ( )1gx glim 1x = → , então a função é contínua no ponto 1x0 = . Atividades (grupo 3). Determine, se possível, a constante ℜ∈ a de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto ox , sendo: a) ( ) ( )1x 1x,2x 1x,2ax3 xf o 2 =    ≥− <+ = . b) ( ) ( )1x 1x,a 1x,2ax xg o2 2 =     = ≠+ = . Atividades (grupo 4). Determine, se possível, as constantes ℜ∈ba e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto ox , sendo: c) ( ) ( )3x 3x,1bx 3x,ax 3x,3x3 xf o 2 −=      −<+ −= −>− = . d) ( ) ( ) ( )0x 0x,x2b 0x,a3x7 0x,1xcos.a2 xg o 2 =      >− =− <++π = . Propriedades das funções contínuas. Se as funções f e g são contínuas em um ponto 0x , então: i) f ± g é contínua em 0x ; ii) f . g é contínua em 0x ; iii) f / g é contínua em 0x desde que ( ) 0xg 0 ≠ . Álvaro Fernandes 12 Limites infinitos Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim infinito ( ∞−∞+ ou ), dizemos então que o limite é infinito. Exemplo 10. Calcule 1x 1x lim 2 1x − − −→ . Neste caso, quando fazemos a substituição de x por −1 na expressão x x 2 1 1 − − , encontramos 0 2 0 = − . Esta não é uma situação especial. Sempre que na substituição de x ocorrer 0 0 k k, ≠ , o resultado do limite será sempre zero, naturalmente. E se na substituição do valor de x ocorrer k k 0 0, ≠ ? Vamos analisar esta situação num caso particular e depois formalizar uma regra. Exemplo 11. Estude o seguinte limite: lim x x→0 1 . Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer às tabelas de aproximações: Aproximação do zero pela direita (notação x → +0 ) x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), ( )f x x= 1 cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: lim x x→ + = +∞ 0 1 Aproximação do zero pela esquerda (notação x → −0 ) x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), ( )f x x= 1 decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: lim x x→ − = −∞ 0 1 Conclusão: Como os limites laterais são distintos, então lim x x→0 1 . Veja ao lado o gráfico da função ( )f x x= 1 . Álvaro Fernandes 15 Expressões indeterminadas Vimos que 0 0 é uma expressão de indeterminação matemática. Também são: 000,1,0,, ∞∞×∞−∞ ∞ ∞ ∞ e . Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros serão tratados em capítulos posteriores. A indeterminação do tipo ∞ ∞ . Exemplo 13. Calcule os limites abaixo: a) 3x5 1xlim 2 3 x + + +∞→ b) xx 1xlim 4 2 x + + +∞→ c) xx3 1x6lim 2 2 x + + +∞→ Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ ∞ , pois quando +∞→x as expressões do numerador e denominador também tendem a ∞+ . Não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a) ( ) ( ) +∞= ∞+ = + +∞+ =       +       + =       +       + =       +       + = + + +∞→ +∞→ +∞→+∞→+∞→ 5015 01 x5 315lim x 11xlim x5 315 x 11x lim x5 31x5 x 11x lim 3x5 1xlim 2x 3x 2 3 x 2 2 3 3 x2 3 x b) ( )( ) 0 1 01 01 x 11xlim x 11lim x 11x x 11 lim x 11x x 11x lim xx 1xlim 3x 2x 3 2 2 x 3 4 2 2 x4 2 x = ∞+ = +∞+ + =       +       + =       +       + =       +       + = + + +∞→ +∞→ +∞→+∞→+∞→ 2 . c) ( )( ) 201 01 3 6 x3 11lim x6 11lim 3 6 x3 113 x6 116 lim x3 11x3 x6 11x6 lim xx3 1x6lim x 2x2 x2 2 2 x2 2 x = + + ⋅=       +       + ⋅=       +       + =       +       + = + + +∞→ +∞→ +∞→+∞→+∞→ . Observamos que nas três situações analisadas as indeterminações do tipo ∞ ∞ produziram respostas distintas (como era esperado, por isso que é indeterminação!) Você deve ter notado que para resolver indeterminações deste tipo a idéia é colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e no denominador. Álvaro Fernandes 16 Atividades (grupo 7). 1. Calcule os limites abaixo: a) 1xx5 1x2lim 3 3 x ++ − +∞→ . b) 1x2 x3xlim 25 x + + +∞→ . c) 4 32 x x3x5 x2xlim −+ + −∞→ . d) 2 2 x x51 xlim −−∞→ . A indeterminação do tipo ∞ - ∞ Exemplo 14. Calcule os limites abaixo: a) 3 x xxlim − +∞→ 2 . b) xx5lim 2 x + −∞→ . Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ - ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: Usando a mesma técnica da indeterminação anterior... a) ( ) ( ) −∞=−∞=+−∞=      +−−=− +∞→+∞→ 1101 x 1xlimxxlim 3 x 3 x 2 . b) ( ) ( ) +∞=+∞=+++∞=      ++=++ −∞→−∞→ 1010 x5 71 x5 1x5lim7x5xlim 2 2 x 2 x . Atividades (grupo 8). 1. Calcule os limites abaixo: a) x2xxlim 3 x +− +∞→ 5 . b) 6x5xlim x −+ −∞→ 4 . c) x2xlim x −+ ∞→ . A indeterminação do tipo 0 × ∞ Exemplo 15. Calcule os limites abaixo: a) ( )1x x 2lim 23x ++∞→ . b) ( )xx 3lim x +∞→ . Álvaro Fernandes 17 Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a) ( ) =+=+ +∞→+∞→ 3 2 x 2 3x x 2x2lim1x x 2lim ... Transformamos a indeterminação 0 × ∞ em ∞ ⁄ ∞ . Daí você já sabe! ... 0... x 2x2lim 3 2 x == + = +∞→ . b) ( ) == +∞→+∞→ x x3limx x 3lim xx ... Novamente transformamos a indeterminação para ∞ ⁄ ∞. Usando a técnica da racionalização: ... ( ) +∞=∞+===⋅== +∞→+∞→+∞→+∞→ 3x3lim x xx3lim x x x x3lim x x3lim xxxx . Atividades (grupo 9). 1. Calcule os limites abaixo: a) ( )3x x 1lim 2 x + +∞→ . b) ( )25x 5x- 2lim 2 5x −      +→ . Limite fundamental exponencial (a indeterminação do tipo 1∞) O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populações de bactérias, desintegração radioativa (datação por carbono), circuitos elétricos, etc. Na área de economia, é aplicado no cálculo de juros. Foi o Matemático Inglês Jonh Napier (1550-1617) o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não pode ser escrito sob forma de fração, e vale aproximadamente: e ≅ 2,7182818 Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial ( ) xexf = é considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção especial de cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano. Proposição: e x 11lim x x =      + ±∞→ . A prova desta proposição envolve noções de séries. Utilizaremos o recurso das tabelas de aproximações e gráfico para visualizar este resultado. Álvaro Fernandes 20 Visualizando o gráfico da função ( ) ( ) x xsenxf = , podemos perceber também este resultado... Exemplo 17. Calcule os limites abaixo: a) ( ) x x2senlim 0x → . b) ( )( )x3sen x5senlim 0x → . c) ( ) x 1xcoslim 0x − → . d) ( ) x xtglim 0x → . Soluções: a) ( ) ( ) ( ) =⋅=⋅= →→→ x2 x2senlim2 x2 x2senlim x x2senlim 0x0x0x 2 ... Faça tx2 = . Se 0x → então 0t → . Logo: ... ( ) ( ) 212 t tsenlim2 0t ==⋅= → . De uma forma geral, *k ℜ∈∀ , ( ) 1 kx kxsenlim 0x = → . Vamos usar este resultado agora: b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 1 1 3 5 x3 x3senlim x5 x5senlim 3 5 x3 x3 x3sen x5 x5 x5sen lim x3sen x5senlim 0x 0x 0x0x =⋅=⋅= ⋅ ⋅ = → → →→ . c) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =+ − = + − = + + ⋅ − = − →→→→ 1xcosx xsenlim 1xcosx 1xcoslim 1xcos 1xcos x 1xcoslim x 1xcoslim 2 0x 2 0x0x0x ( ) ( ) ( ) 011 01 1xcos xsen x xsenlim 0x =      + = + − ⋅= → . d) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 xcos 1lim x xsenlim xcos 1 x xsenlim xcosx xsenlim x xtglim 0x0x0x0x0x =     =⋅=⋅== →→→→→ . Atividades (grupo 13). 1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonométrico fundamental: a) ( ) x3 x4senlim 0x → . b) ( )20x x xcos1lim − → . c) ( ) x3 2xsen6e2lim x 0x −+ → . d) ( ) ( )xsen3x2 xsenx6lim 0x + − → . Álvaro Fernandes 21 Funções limitadas Definição: Uma função ( )xfy = é chamada limitada, se existe uma constante *k ℜ∈ , tal que ( ) ( )fDx,kxf ∈∀≤ , isto é , ( ) ( )fDx,kxfk ∈∀≤≤− . Em outras palavras, ( )xfy = possui o conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais. Obs.: ( )fD significa o domínio da função f. Exemplo 14. Algumas funções limitadas e seus gráficos. f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) f(x) = k f(x) = sen(2x2+3x-1) Proposição: Se ( ) ( )xg0xflim x ax e ou = ±∞→ → é uma função limitada, então ( ) ( ) 0xg.xflim x ax = ±∞→ → ou . Exemplo 18. a) Calcule ( ) x xsenlim x +∞→ . Solução: ( ) = +∞→ x xsenlim x ( ) =⋅ +∞→ xsen x 1lim x * 0= * Usando a proposição: Se +∞→x então 0 x 1 → . Como a função ( )xsen é limitada, então o resultado é zero. Gráfico da função ( ) ( ) x xsenxf = : Observe que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando +∞→x . O resultado do limite permanece o mesmo se −∞→x . Álvaro Fernandes 22 b) Calcule ( ) x xcoslim x +∞→ . Solução: de forma análoga... ( ) = +∞→ x xcoslim x ( ) 0xcos x 1lim x =⋅ +∞→ . Gráfico da função ( ) ( ) x xcosxf = : Observe que, da mesma forma que a função anterior, as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando +∞→x . O resultado do limite permanece o mesmo se −∞→x . c) Calcule ( )xcos 1x 1xlim 2x ⋅     + + +∞→ . 0 1x 1xlim 2x =     + + +∞→ (Por quê?) e ( )xcos é uma função limitada. Logo, ( ) 0xcos 1x 1xlim 2x =⋅     + + +∞→ . Gráfico da função ( ) ( )xcos 1x 1xxf 2 ⋅     + + = : Atividades (grupo 14). 1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de função limitada: a) ( )xsen elim x x ⋅ −∞→ . b) ( )x x x 2 2xcos3 lim + +∞→ . Álvaro Fernandes 25 Derivada A reta tangente. Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto. Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4. Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: Fig. 8 Fig. 9. Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da circunferência (fig. 4). Elas “cortam” , “penetram” as curvas. Álvaro Fernandes 26 Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu domínio. Seja ( )xfy = uma curva definida num intervalo aberto I. Considere ( )oo y,xP , sendo ( )oo xfy = , um ponto fixo e ( )y,xQ um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t. x y α β t s y oy x ox P Q T f Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como ( ) o o xx yy x ytg − − = ∆ ∆ =β . Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta s se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a ( )βtg se aproximará da ( )αtg . Usando a notação de limites, é fácil perceber que ( ) ( )αβ tgtglim PQ = → . Mas quando PQ → temos que oxx → . Desta forma, o limite acima fica ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ααβ tg xx xfxflim xx yylimtgtglim o o xx o o xxPQ oo = − − = − − ⇔= →→→ . Assim ( ) ( ) ( )αtg xx xfxflim o o xx o = − − → . o o xxx yyy −=∆ −=∆ β P Q T oyy − oxx − Álvaro Fernandes 27 Definição: Seja ( )xfy = uma curva e ( )oo y,xP um ponto sobre o seu gráfico. O coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dado pelo limite ( ) ( ) o o xx xx xfxf limm o − − = → , quando este existir. Equação da reta tangente Podemos agora determinar a equação da reta tangente t, pois já conhecemos o seu coeficiente angular e um ponto do seu gráfico ( )oo y,xP . A equação da reta tangente t é: a) ( ) ( )oo xxmyy −=− , se o limite que determina m existir; b) A reta vertical oxx = se ( ) ( ) o o xx xx xfxf lim o − − → for infinito. Exemplo 19. Determine a equação tangente a parábola ( ) 2xxf = no ponto de abscissa 1xo = . Solução: Temos que determinar dois termos oy e m. ( ) ( ) 111fyxfy 2ooo ===⇒= . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1x 1xlim 1x 1fxflim xx xfxf limm 2 1x1x o o xx o == − − = − − = − − = →→→ . Logo a equação da reta tangente é ( ) ( )1x21y −=− ou 1x2y −= . ( ) ( )oo xfy tgm = α=