LIMITE atividades - calculo 1

LIMITE atividades - calculo 1

3.1 CÆlculo de Limites

3.1A Em cada caso abaixo calcule o limite de f (x), quando x ! a:

3.1B Se f Ø uma funçªo de nida em R e lim x!0

3.1D Sabendo-se que lim x!2

3.1F Sejam f e g funçıes de nidas em D, tais que limx!a f (x) = 0 e jg(x)j M; 8x 2 D, sendo

M uma constante positiva. Use o Teorema do Sanduíche e mostre que limx!a [f (x) g (x)] = 0:

CLCULO DE UMA VARIVEL MPMATOS 1

3.1G Considere a funçªo g de nida por g (x) =

. Investigue a existŒncia dos

3.1H Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de f no ponto a:

3.1J Calcule os limites laterais indicados.

(a) lim

(b) lim

(c) lim

(d) lim

(e) lim

(f) lim

(g) lim x (h) lim

(i) lim

(j) lim

(k) lim

3.1K Calclule os seguintes limites no in nito.

12 LIMITE E CONTINUIDADE COMP. 3

Esta funçªo Ø contínua em x = 1?

3.1M Seja f uma funçªo real contínua, de nida em torno do ponto a = 1, tal que f (x) =

3.1N Determine o valor de k, de modo que cada uma das funçıes dadas abaixo seja contínua no ponto a indicado.

contínua no ponto x = 1? Por quŒ? E no ponto x = 0?

3.1P DŒ exemplo de uma funçªo f, de nida em R, descontínua no ponto x = 2, mas que

3.2 Continuidade

3.2A Qual das a rmaçıes abaixo Ø verdadeira?

(b) Se limx!a jf (x)j existe, entªo limx!a f (x) tambØm existe;

3.2B Seja f uma funçªo tal que jf (x)j x2, 8x 2 R. Mostre que f Ø continua em x = 0: 3.2C Esboce o grÆ co e encontre os pontos de descontinuidade da funçªo f, de nida por:

CLCULO DE UMA VARIVEL MPMATOS 13 3.2D Em cada caso, esboce o grÆ co da funçªo e diga se ela Ø contínua no ponto a indicado.

Nota: No Exercício 3.20(d), [x] representa o maior inteiro menor ou igual a x e a funçªo correspondente x 7 ! [x] Ø denominada funçªo escada.

3.2E Seja f a funçªo cujo grÆ co encontra-se esboçado abaixo.

(c) Calcule f(0): (d) Calculef(3): (e) f Ø contínua no ponto x = 0? (f) f Ø contínua no ponto x = 3?

3.2F Existe um nœmero real capaz de fazer com que lim x! 2

3.2G Uma companhia ferroviÆria cobra R$10,0 por km, para transportar um vagªo atØ uma distância de 20km, cobrando ainda R$8,0 por cada km que exceda a 20. AlØm disso, essa mesma companhia cobra uma taxa de serviço de R$1.0,0 por vagªo, independentemente da distância a percorrer.

Determine a funçªo que representa o custo para transportar um vagªo a uma distância de x km e esboce seu grÆ co. Essa funçªo Ø contínua em x = 200?

3.2H Uma fÆbrica Ø capaz de produzir 15.0 unidades de um certo produto, em um turno de 8 horas de trabalho. Para cada turno de trabalho, sabe-se que existe um custo xo de R$2.0,0, relativo ao consumo de energia elØtrica. Supondo-se que, por unidade produzida, o custo variÆvel, dado o gasto com matØria prima e salÆrios, Ø de R$2,0, determine a funçªo que representa o custo

14 LIMITE E CONTINUIDADE COMP. 3 total para a fabricaçªo de x unidades e esboce seu grÆ co. A funçªo encontrada Ø contínua para 0 x 45:0?

3.2I Um estacionamento cobra R$3,0 pela primeira hora, ou parte dela, e R$2,0 por hora sucessiva, ou parte dela, atØ o mÆximo de R$10,0. Esboce o grÆ co do custo do estacionamento como uma funçªo do tempo decorrido e analise as descontinuidades dessa funçªo.

3.2J Prove que a equaçªo x5 + x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [ 1;0]: 3.2K Prove que a equaçªo x3 4x + 2 = 0 admite trŒs raízes reais e distintas.

3.2L Considere a funçªo f de nida por: f (x) =

: Mostre que nªo existe um nœmero no intervalo [ 2;2] tal que f ( ) = 0. Isto contradiz o corolÆrio do Teorema do valor IntermediÆrio?

3.2M Quais das seguintes a rmaçıes sobre a funçªo y = f (x) ilustrada abaixo sªo verdadeiras e quais sªo falsas?

3.2N Explique por que os limites abaixo nªo existem.

(a) lim

CLCULO DE UMA VARIVEL MPMATOS 15

Respostas e Sugestıes

u 3.1C nªo tem limite em x = 0 e lim x!0

3.1H (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

3.1I Quando x ! 2+ o limite existe e vale 0. Quando x ! 2 o limite nªo existe.

1 e descontínua em 0 3.1P Considere, por exemplo, a funçªo f de nida assim: f (x) = x, para x 6= 2 e f (2) = 0 3.2A (a) falsa (b) falsa (c) verdadeira 3.2B Use o Teorema do Sanduíche 3.2C x = 3 Ø a œnica descontinuidade de f 3.2D (a) sim (b)sim (c) nªo

16 LIMITE E CONTINUIDADE COMP. 3 nªo Ø contínua em [ 2;2], o fato nªo contradiz o resultado citado 3.2M V, V, F, F, F, V 3.2N Em cada caso note que os limites laterais, quando existem, sªo diferentes.

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