Rudimentos da teoria das equações derivadas parciais

Rudimentos da teoria das equações derivadas parciais

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Capıtulo 1

Rudimentos da Teoria das Equacoes a Derivadas Parciais

1.1 Definicoes, Notacoes e Alguns Exemplos543
1.2 Algumas Classificacoes de Equacoes a Derivadas Parciais550
1.2.1 Equacoes Lineares, Nao-Lineares, Semi-Lineares e Quase-Lineares550
1.2.2 Classificacao de Equacoes de Segunda Ordem. Equacoes Parabolicas, Elıpticas e Hiperbolicas552
1.3 O Metodo de Separacao de Variaveis5
1.3.1 O Metodo de Separacao de Variaveis. Caso de Equacoes Lineares5
1.3.2 O Metodo de Separacao de Variaveis. Caso de Equacoes Nao-Lineares558
1.4 O Metodo das Caracterısticas560
1.4.1 Exemplos de Aplicacao do Metodo das Caracterısticas565
1.4.2 Caracterısticas. Comentarios Adicionais577
1.5 Problemas de Cauchy e Superfıcies Caracterısticas. Definicoes e Exemplos Basicos578
1.6 Alguns Teoremas de Unicidade de Solucoes de Equacoes a Derivadas Parciais587
1.6.1 Casos Simples. Discussao Preliminar587
1.6.2 Unicidade de Solucao para as Equacoes de Laplace e Poisson591
1.6.3 Unicidade de Solucoes. Generalizacoes594
1.7 Exercıcios Adicionais601

Conteudo este capıtulo apresentaremos uma breve introducao a teoria das equacoes a derivadas parciais. Serao apresentados alguns metodos de resolucao mais comummente empregados e alguns teoremas de unicidade de solucao de importancia na justificativa daqueles metodos. Assim como as equacoes diferenciais ordinarias, introduzidas no Capıtulo 6, pagina 291, equacoes a derivadas parciais sao de grande importancia nas Ciencias Naturais por expressarem leis fısicas. Ainda que tenham se desenvolvido em paralelo, a teoria das equacoes diferenciais ordinarias distingue-se um tanto da teoria das equacoes a derivadas parciais, pois na segunda menos resultados gerais sao conhecidos e os metodos de resolucao e de analise qualitativa sao mais intrincados e limitados em escopo. Por exemplo, nao existem na teoria das equacoes a derivadas parciais resultados sobre existencia e unicidade de solucao que sejam tao gerais quanto os Teoremas de Peano e de Picard-Lindelof, validos para equacoes diferenciais ordinarias (vide Teorema 6.1, pagina 307 e Teorema 6.2, pagina 308). Uma outra observacao geral que deve ser feita sobre a teoria das equacoes a derivadas parciais e que nem sempre encontram-se resultados validos para equacoes de ordem arbitraria com um numero arbitrario de variaveis. Ha mais resultados, e mais fortes, sobre equacoes envolvendo duas variaveis que mais de duas variaveis e, igualmente, ha mais e mais fortes resultados sobre equacoes de ordem um ou dois que para equacoes de ordem tres ou mais.

Alguns metodos de resolucao de equacoes a derivadas parciais, como o metodo de separacao de variaveis e o metodo das caracterısticas, envolvem a resolucao de equacoes diferenciais ordinarias e vamos nos dedicar a eles aqui. Nosso proposito neste capıtulo e apresentar primordialmente ideias da teoria geral das equacoes a derivadas parciais. O capıtulo 16, pagina 720, e dedicado a exemplos de aplicacoes de metodos especıficos de resolucao e sua leitura complementa a deste capıtulo de maneira essencial.

A Secao 1.6, pagina 587, dedica-se a alguns teoremas de unicidade de solucao, os quais sao evocados nos exemplos do Capıtulo 16. A leitura da Secao 1.6 dispensa a leitura das secoes precedentes.

Ha uma vasta literatura sobre equacoes a derivadas parciais e nossas pretensoes no presente capıtulo sao infimamente modestas. Para um estudo mais completo recomendamos [36, 37], [86], [132], [5], [45], [159], [42], [8].

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 543/1507

1.1 Definicoes, Notacoes e Alguns Exemplos

• Notacao de multi-ındices e diversas outras notacoes

Devido a frequente ocorrencia de derivadas parciais mistas na teoria das equacoes a derivadas parciais e conveniente introduzir algumas notacoes simplificadoras. Um n-multi-ındice, ou simplesmente multi-ındice, e uma n-upla

α = (α1,, αn) onde cada αk e um numero inteiro maior ou igual a zero. A ordem de um multi-ındice α, denotada por
|α|, e definida por |α| := α1+·+αn. O multi-ındice (0,, 0) e denominado multi-ındice nulo e denotado por 0. Dados
dois n-multi-ındices α = (α1,, αn) e β = (β1, ..., βn) denotamos por α+β o n-multi-ındice (α1 +β1, ..., αn+βn).
Seja u um a funcao de n variaveis x1,, xn. Dado um multi-ındice α, denotamos por Dαu ou por ∂αu a derivada

parcial mista de u univocamente definida por

sendo que, se 0 = (0,, 0) for o multi-ındice nulo, define-se D0u := u. Note-se tambem que DαDβu = Dα+βu.

Dado um operador diferencial Dα o valor de |α| e dito ser o grau de Dα.

Neste texto denotaremos por Mnm o conjunto de todos os n-multi-ındices de ordem menor ou igual a m:

(α1,, αn) ∈ Nn0, 0 ≤ |α| ≤ m} = {
(α1,, αn) ∈ Nn0, 0 ≤ α1 + · + αn ≤ m}

e denotaremos por Nnm o conjunto de todos os n-multi-ındices de ordem igual a m:

(α1,, αn) ∈ Nn0, |α| = m} = {
(α1,, αn) ∈ Nn0, α1 + · + αn = m}

O numero de elementos do conjunto Nnm e denotado por |Nnm| e tem-se

(vide Exercıcio E. 10.9, pagina 489). Pelo Exercıcio E. 10.10, pagina 490, tem-se tambem que |Mnm|, o numero de elementos do conjunto Mnm, e dado por

E de se notar a validade da relacao DαDβ = Dα+β = DβDα ,

onde, se α = (α1,, αn) e β = (β1, ..., βn), denotamos α + β := (α1 + β1, ..., αn + βn) = β + α.
Para um n-multi-ındice α = (α1,, αn) definimos o sımbolo α! como sendo o produto
Para z ∈ Cn (ou Rn) da forma z = (z1,, zn) e um n-multi-ındice α = (α1, ..., αn) definimos o sımbolo zα como

Alem da notacao de multi-ındices, empregaremos outras notacoes para as derivadas parciais de uma funcao u. Por exemplo, ∂ u

sao tres sımbolos que representam a derivada parcial de u em relacao a x. Analogamente,

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• A regra da cadeia

A notacao de multi-ındices permite expressar a regra da cadeia, para derivadas de produtos de duas funcoes, de uma forma economica. Se β e um n-multi-indice e f e g sao duas funcoes de n variaveis que sejam ao menos |β| vezes diferenciaveis, tem-se que

• Operadores diferenciais lineares

Uma expressao como

aα(x1,, xn)Dα ,
onde aα, α ∈ Mnm, sao funcoes em princıpio arbitrarias das variaveis x1,, xn, e dita ser um operador diferencial
linear de ordem m nas variaveis x1,, xn. Naturalmente so faz sentido, classicamente falando, aplicar operadores

α∈M diferenciais lineares de ordem m em funcoes m vezes diferenciaveis.

• Equacoes a derivadas parciais

Em termos simples, uma equacao a derivadas parciais (abreviadamente, uma EDP) e uma relacao a ser satisfeita por uma funcao de varias variaveis e um conjunto finito de suas derivadas parciais (incluindo eventualmente derivadas parciais mistas). Passemos a formalizar essa ideia.

Uma funcao incognita de n variaveis reais u(x1,, xn) e dita satisfazer uma equacao a derivadas parciais em um
certo domınio Ω ⊂ Rn, definida por uma funcao de N variaveis G e por um conjunto de n-multi-ındices α1,, αM
x, u(x), Dα u(x), Dα u(x))

(pelo menos um sendo nao-nulo) se valerG( = 0

para todo x ≡ (x1,, xn) ∈ Ω. O maior valor de |αk|, k = 1, ..., M e dito ser a ordem da equacao a derivadas

parciais. Vide exemplos logo adiante. Com essa generalidade ha, como tambem notamos quando apresentamos a definicao de equacoes diferenciais ordinarias (Capıtulo 6, pagina 291), equacoes impossıveis, como por exemplo no caso em que,

que nao pode ser satisfeita de forma alguma. Assim, devemos sempre supor a existencia de um domınio (aberto) onde G anula-se, hipotese que assumiremos doravante sem maiores comentarios.

Um conjunto de m funcoes incognitas de n variaveis reais uk(x1,, xn), k = 1, ..., m, e dito satisfazer um
sistema de l equacoes a derivadas parciais definidas por l funcoes de N variaveis Gj, j = 1,, l e por um conjunto de

• Sistemas de equacoes a derivadas parciais n-multi-ındices αjki (pelo menos um sendo nao-nulo) se valer

x, u1(x),, um(x), Dα u1(x) ..., Dα u1(x), ..., Dα um(x) ..., Dα um(x))
x, u1(x),, um(x), Dα u1(x) ..., Dα u1(x), ..., Dα um(x) ..., Dα um(x))
para todo x ≡ (x1,, xn) ∈ Ω. O maior valor de |αjki | e dito ser a ordem do sistema de equacoes a derivadas parciais.

Exemplos serao vistos logo adiante.

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Naturalmente, temos que supor que as l equacoes acima sejam independentes, ou seja, que nao possam ser obtidas umas das outras quer por operacoes algebricas quer por diferenciacao.

Se l < m (menos equacoes que funcoes ingognitas) o sistema e dito ser um sistema subdeterminado. Se l > m (mais equacoes que funcoes ingognitas) o sistema e dito ser um sistema sobredeterminado. Se l = m o sistema e dito ser um sistema determinado (isso nao quer dizer que seja soluvel!).

Muito semelhantemente ao que ocorre com equacoes diferenciais ordinarias, e possıvel transformar uma equacao a derivadas parciais em um sistema de equacoes a derivadas parciais de primeira ordem. Por exemplo, a equacaoG( x, y, u(x, y),

pode ser transformada no sistema equivalenteG( x, y, u(x, y), p(x, y), q(x, y),

composto de tres equacoes de primeira ordem com tres funcoes incognitas, u, p e q. Na primeira das tres equacoes acima ∂ p

∂y pode ser substituido por ∂ q ∂x .

O leitor deve ser advertivo, porem, que a recıprica nao e sempre verdadeira: nem todo sistema de equacoes de primeira ordem pode ser transformado em uma unica equacao a derivadas parciais. Em muitos casos uma tal equivalencia so e possıvel sob restricoes a condicoes iniciais ou de fronteira.

• A nocao de solucao classica de uma EDP

Assim como no caso de equacoes diferenciais ordinarias, algumas palavras devem ser ditas sobre a nocao de solucao de uma equacao a derivadas parciais. Uma solucao classica de uma equacao a derivadas parciais de ordem m em n variaveis em um domınio Ω ⊂ Rn (suposto conexo e de interior nao-vazio) e uma funcao m-vezes diferenciavel que satisfaz a equacao em todos os pontos do interior de Ω. Existem tambem outras nocoes de solucao, como a de solucao fraca, de solucao distribucional, de solucao estocastica etc. Discutiremos por ora apenas as solucoes classicas e, por isso, abusando um pouco da linguagem, nos referiremos a elas simplesmente como “solucoes”, sem pender o qualificativo “classicas”.

• Exemplos de equacoes a derivadas parciais de interesse

Abaixo, u e uma funcao de n variaveis reais x1,, xn, n ≥ 1, ou de n + 1 variaveis reais t, x1, ..., xn. Em muitas
aplicacoes t representa o tempo e x1,, xn representa coordenadas espaciais. Os sımbolos ∆ e ∇2 denotam o operador
Laplaciano para as coordenadas espaciais x1,, xn, que no caso de coordenadas Cartesianas se escreve:

Como ilustracao e para futura referencia apresentemos uma breve lista de equacoes a derivadas parciais de interesse.

ρ sendo uma funcao nao-nula (doutra forma recaımos na equacao de Laplace).

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onde k2 e um parametro fixo ou um autovalor a ser fixado pela imposicao de condicoes de contorno.

• Equacao de difusao ou Equacao do calor (provavelmente proposta pela primeira vez por Fourier4):

onde D e uma constante positiva e φ uma funcao, a qual pode ser identicamente nula.

• Equacao de onda homogenea: ∂2 u

onde c e uma constante positiva. • Equacao de onda homogenea com amortecimento:

onde c > 0 e γ > 0 sao constantes.

• Equacao do telegrafo: ∂2 u

onde c > 0, γ > 0 e η sao constantes. • Equacao de Tricomi5, tambem conhecida como equacao de Euler-Tricomi:

• Equacao de Schrodinger6 dependente do tempo:

onde u ≡ u(~x, t) e uma funcao de ~x e t, ~ (a constante de Planck) e m sao constantes positivas, e V ≡ V (~x, t) e uma funcao de ~x e t.

• Equacao de Schrodinger independente do tempo:

onde u ≡ u(~x) e uma funcao apenas de ~x, assim como a funcao V , sendo E um autovalor a ser fixado por condicoes de contorno e pela condicao ∫ |u(~x)|2dn~x < ∞.

• Equacao de Schrodinger nao-linear:

α sendo uma constante positiva (geralmente).

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• Equacao de Klein-Gordon7:

c e m constantes positivas.

• Equacao de Korteweg-deVries8, tambem abreviada para Equacao KdV:

com σ = l3 −Tl ρg. Essa equacao descreve o movimento de um fluido de densidade ρ e tensao superficial T em um canal unidimensional de profundidade l, A constante g sendo a aceleracao da gravidade. Apos algumas transformacoes simples a equacao pode ser rescrita em uma forma na qual a equacao de Korteweg-deVries e usualmente apresentada na literatura moderna: ∂ u

• Equacao de Burgers9: ∂ u

η sendo uma constante positiva. A equacao de Burgers e uma especie de versao unidimensional da equacao de Navier-Stokes da Mecanica dos Fluidos (sem gradiente de pressao e forcas externas). Para η = 0 tem-se a Equacao de Burgers inviscıvel (i.e., sem viscosidade):

Essa equacao tambem coincide com a versao unidimensional da equacao de Euler da Mecanica dos Fluidos na ausencia de gradiente de pressao e forcas externas. Vide [105].

• Equacao da Optica Geometrica:

• Equacao de Black10-Scholes11, usada em analise financeira:

• Exemplos de sistemas de equacoes a derivadas parciais de interesse • Equacoes de Maxwell12 no vacuo, do Eletromagnetısmo:

onde ~E e ~B sao o campo eletrico e magnetico, respectivamente, ρ sendo a densidade de carga eletrica e ~J sendo a densidade de corrente eletrica. As equacoes acima estao escritas no chamado sistema internacional de unidades (SI). Para a forma das equacoes de Maxwell em outros sistemas, vide e.g. [90]. Uma consequencia imediata das equacoes acima e a lei de conservacao de carga eletrica, expressa na forma ∂ ρ ∂t + ∇ · ~J = 0.

7Oskar Klein (1894–1977). Walter Gordon (1893–1939). A equacao de Klein-Gordon foi, em verdade, originalmente proposta por Schrodinger como equacao de onda para uma partıcula quantica relativıstica, antes mesmo de Schrodinger propor a equacao (nao-relativıstica) que leva seu nome (e, portanto, antes de Klein e Gordon). 8Diederik Johannes Korteweg (1848–1941). Gustav deVries (1866-1934). A referencia original ao trabalho de Korteweg e de deVries e

“On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves”, Philosophical Magazine, 5th series, 36 (1895) 422–443. 9Johannes Martinus Burgers (1895–1981). 10Fischer Sheffey Black (1938–1995). 11Myron Samuel Scholes (1941–). 12James Clerk Maxwell (1831–1879).

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• Equacoes de Maxwell em meios materiais:

onde ~D = ~D(~E, ~B) e ~H = ~H(~E, ~B) sao funcoes de ~E e ~B (essas relacoes sao ditas constitutivas). Por exemplo, no caso de meios isotropicos e lineares tem-se ~D = ǫ~E e ~H = 1µ ~B, sendo ǫ e µ dependentes do meio.

• Equacao de Dirac13 livre da Mecanica Quantica Relativıstica (em 3 + 1 dimensoes):(

onde m > 0 e a massa da partıcula, ψ =

) ∈ C4 e γµ sao matrizes 4 × 4 satisfazendo γµγν + γνγµ = 2gµν ,

onde g e a matriz

) . Em (1.13) adotou-se a convencao de Einstein: ındices repetidos sao somados.

• Equacao de Euler14 da Mecanica dos Fluidos:ρ

onde ρ e a densidade do fluido, ~v o campo de velocidades, p a pressao e ~f um campo de forcas externas (por exemplo, ~f = ρ~g, para o caso do campo gravitacional). Essa equacao deve ser complementada pela equacao de

• Equacao de Navier15-Stockes16 da Mecanica dos Fluidos:ρ

onde η e ζ sao coeficientes de viscosidade do fluido. Essa equacao difere da de Euler, acima, por incluir efeitos de viscosidade. No caso de fluidos incompressıveis o termo que contem ∇ ·~v pode ser desconsiderado.

• Condicoes de contorno, iniciais e subsidiarias

Uma equacao diferencial definida em um domınio Ω ⊂ Rn vem em muitos exemplos de interesse acompanhada de condicoes a serem satisfeitas pelas solucoes e suas derivadas na fronteira de Ω (que eventualmente pode estar no infinito). Tais condicoes sao genericamente denominadas condicoes de contorno, ou condicoes de fronteira, ou condicoes iniciais, dependendo da interpretacao que possuam. Em aplicacoes, condicoes de contorno usualmente sao ditadas ou por leis fısicas17 ou por restricoes fısicas ou geometricas que devem ser impostas a solucao nos pontos da fronteira de Ω.

Ha diversos tipos de condicoes de contorno e tradicionalmente desenvolveu-se uma nomenclatura para denominar certas condicoes de contorno, empregada especialmente no caso de equacoes de segunda ordem. Se Ω ⊂ Rn e um conjunto limitado, condicoes que fixem o valor da solucao u na fronteira de Ω sao denominadas condicoes de Dirichlet18. Condicoes envolvendo apenas as primeiras derivadas da solucao u sao denominadas condicoes de Neumann19. Ha tambem condicoes mistas, envolvendo tanto a funcao quanto suas primeiras derivadas na fronteira. Condicoes de contorno tambem podem ser lineares (se dependerem linearmente da solucao e suas derivadas) ou nao-lineares e as lineares podem ser homogeneas ou nao-homogeneas.

13Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984). 14Leonhard Euler (1707–1783). 15Claude Louis Marie Henri Navier (1636–1785). 16George Gabriel Stokes (1819–1903). 17No Eletromagnetismo, por exemplo, as condicoes de contorno impostas aos campos eletrico e magnetico sao consequencia das proprias equacoes de Maxwell. 18Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). 19Carl Neumann (1832–1925).

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O leitor podera encontrar exemplos de condicoes de contorno nas aplicacoes do Capıtulo 16, pagina 720. Para a relevancia de condicoes de contorno na questao da unicidade de solucoes, vide Secao 1.6, pagina 587.

Se uma das variaveis da equacao diferencial tiver a interpretacao de tempo, condicoes impostas a solucao em uma superfıcie t = const. sao denominadas condicoes iniciais. De um ponto de vista teorico nao ha nenhuma diferenca qualitativa entre condicoes iniciais e de contorno, mas e importante distingui-las em aplicacoes, pois ambas podem ter interpretacoes distintas enquanto imposicoes fısicas as solucoes.

Exemplifiquemos isso na seguinte situacao. Se desejarmos descrever a evolucao da temperatura em cada ponto de uma barra unidimensional de comprimento L, estendida no intervalo 0 ≤ x ≤ L, cujas bordas em x = 0 e x = L estao em contacto com banhos termicos a temperaturas a(t) e b(t), respectivamente, devemos considerar a equacao de difusao do calor ∂tu = D∂xxu, definida na regiao t ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ L, onde u(x, t) representa a temperatura da barra no ponto x no instante t e D > 0 e a constante de difusao de calor da barra. A condicao u(x, t = 0) = u0(x) fixa a temperatura inicial da barra em cada ponto x do intervalo [0, L] como sendo u0(x), onde u0 e uma funcao dada. As condicoes u(x = 0, t) = a(t) e u(x = L, t) = b(t) para t ≥ 0 fixa a temperatura nos extremos da barra como sendo a(t) e b(t), respectivamente, para todos os tempos posteriores a t = 0, a e b sendo funcoes dadas. A primeira condicao e denominada condicao inicial, pois fixa uma condicao para a solucao em t = 0, o instante “inicial” a partir do qual a evolucao da solucao e estudada. Ja as duas outras condicoes sao de contorno (do tipo de Dirichlet), pois impoe uma condicao a solucao nos extremos espaciais do sistema considerado. Nesse caso, a regiao Ω ⊂ R2 onde a equacao diferencial esta definida e o retangulo semi-infinito Ω = {(x, t), 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0} ⊂ R2. As condicoes u(x, 0) = u0(x) para 0 ≤ x ≤ L, u(0, t) = a(t) e u(L, t) = b(t) para t ≥ 0 sao condicoes impostas a u na fronteira ∂Ω de Ω, que consiste do conjunto formado pela uniao de tres linhas descrita em ∂Ω = {(x, 0), 0 ≤ x ≤ L} ∪ {(0, t), t ≥ 0} ∪ {(L, t), t ≥ 0} ⊂ R2 e podem tambem, assim, ser entendidas como condicoes de contorno impostas a solucao em ∂Ω.

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