Baixe Equações Diferenciais Ordinárias e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! E fquações Di erenciais Prof. Eduardo Nobre Lages Contatos: enl@lccv.ufal.br enlages@hotmail.com 3214-1293 Universidade Federal de Alagoas – UFAL Centro de Tecnologia – CTEC Maceió/AL E õ Dif i iquaç es erenc a s Referência: E õ s Dif i is El t s quaç e erenc a emen are e Problemas de Valores de Contorno Willi E B & Ri h d C Di P iam . oyce c ar . r ma 8a Edição – LTC 2006 “Introdução às Equações Diferenciais = Algumas aplicações das equações diferenciais: Water level h Falling stone Outflowing water y =g= const h'=-kyvho Introdução às Equações Diferenciais Algumas aplicações das equações diferenciais (continuação): Introdução às Equações Diferenciais Algumas aplicações das equações diferenciais (continuação): 22 yayy −−=′ Introdução às Equações Diferenciais Exemplificando os tipos de solução: )x(y)x(y =′ xCe)x(y = xe)x(y = Solução geral xe3)x(y −= Soluções particulares C 1 C=2 C=0 = C=-1 C=-2 Introdução às Equações Diferenciais Exemplificando os tipos de solução (continuação): 0)x(y)x(yx)x(y 2 =+′−′ 2CCx)x(y −= 1x)x(y −= x2 Solução geral 9x3)x(y −= Soluções particulares 4 )x(y = Solução singular Soluções particulares Solução singular Introdução às Equações Diferenciais Será que nós sabemos resolver equações diferenciais? Simmmm!!!! No curso de Cálculo f l l d Di erencia e Integra , a ca a integral resolvida tinha-se uma equação diferencial l i dso uc ona a. EDO’s – 1a Ordem Campo de direções (continuação): y’=f(x y)=x+2xy, EDO's - 1º Ordem m Campo de direções (continuação): HH ot , HI tt y=flxy)x+2xy Eh Lostitith! Wi 7/1! PA o tttttl! | , | vi) 12/01 Í / [1 TS o na ) Y N Was 270/] Í / f y W HAN Nm 2/4/4141 WA A efe / Rr O sa a N N PMI SN f / Í / PLAN N vi A y ' 1 ! / + ftIstas - , [| , o! , t 4 ns A N to | ! ! | ! restart : with( DEtools) : | CSN | edo = diff), a) =x 2 p(a): DEplot(edo, y(x),x=-2..2,y=-3.3, scaling = constrained) EDO’s – 1a Ordem Qual a relação entre Campo de direções (continuação): s mp s d o ca o e di õ reç es e as l õ d so uç es as õ equaç es diferenciais? EDO’s – 1a Ordem P bl d V l l (PV )ro ema e a or Inicia I : Um PVI de uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem está sujeito a três questionamentos Existência de solução Unicidade da solução Intervalo de validade da solução Teorema: Se a função f(x,y(x)) do PVI é contínua em um retângulo aberto R onde a<x< b e c <y<d, tal que (x0,y0) esteja nesse domínio, então o PVI tem solução y= y(x) em algum intervalo (α,β) envolvendo x0, onde (α,β) ⊂ (a,b). Além disso, sendo a derivada parcial de f(x,y) em relação a y contínua em R, então o PVI tem solução única. EDO’s – 1a Ordem P bl d V l l (PV )ro ema e a or Inicia I : Inexistência de solução Considere o PVI 2)1(3 =−=′ utuu Esse problema não tem solução uma vez que a derivada de u não é definida em um intervalo contendo o tempo inicial t = 1. , Então não há uma curva solução (curva integral) que passa pelo ponto (1;2). EDO’s – 1a Ordem P bl d V l l (PV )ro ema e a or Inicia I : Não unicidade de solução Considere o PVI 0)0(2 ==′ uuu , Pode-se verificar que tanto u(t) = 0 como u(t) = t2 são soluções desse PVI para t > 0. Mais de uma curva integral passa por esse estado inicial. EDO’s – 1a Ordem Métodos de Solução (continuação): Situação elementar na forma diferencial 0d)(d)( Cd)(d)( ∫∫yyNxxM =+ yyNxxM =+ Conhecida como equação diferencial 0dyy9x4ou0)x(y)x(y9x4 =+=′+Exemplo: com variáveis separáveis dx C9ydy4xdx09ydy4xdx =+∴=+ ∫∫ Cy 2 9x2 22 =+⇒ A solução representa uma família de elipses centradas na origem EDO’s – 1a Ordem Métodos de Solução (continuação): Situação particular na forma normal que pode ser reduzida a uma equação diferencial com variáveis separáveis ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=′ x yf)x(y )()()()()( ′′ Mudança de variável: x )x(y)x(u = xuxxuxyxxuxy +=⇒=∴ 11 Fazendo a substituição na equação original tem-se que 0du )u(fu dx x ou f(u)u(x)(x)xu = − +=+′ 1 ∫ Com variáveis separáveisCdu)u(fuln(x) =−+ Ao se determinar a solução implícita da ED faz, - se a substituição de u(x) por y(x)/x, definindo-se a solução em termos das variáveis originais. EDO’s – 1a Ordem ⎞⎛1 u211 ⎞⎛ ∫ Exemplo: ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ −=′=+−′ y x x y 2 you 0xyyxy2 22 Cdu 1u )xln( u u 2 )u(f 2 =+ +∴⎟ ⎠ ⎜ ⎝ −=∴ ( ) ( )22 K1uxou C1uln)xln( =+=++∴ Retornando às variáveis originais e arrumando a ã t express o em-se que Kxyx 22 =+ A solução representa uma família de circunferências EDO’s – 1a Ordem E ã dif i l t ( ti ã )quaç o erenc a exa a con nuaç o Exemplo: [ ] 0dyy2)y3cos(x3dx)y3(xsen2 2 =++ Verificando se a equação diferencial é exata téED)3(6NMC y2)y3cos(x3)y,x(N e )y3(xsen2)y,x(M 2 ∂∂ +== exa a.a ycosx xy omo = ∂ = ∂ )3(Nd)3(Md 222 ∫∫ Desenvolvendo as parcelas temos ( ) ( ) )y3sen(xdyMdx)y3cos(x3Mdx yysenxy e ysenxx 22 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∴= ∂ ∂ +== ∫ ∫∫ yy chegando-se à solução implícita: Cy)y3sen(x 22 =+ EDO’s – 1a Ordem Fator de integração de uma ED não exata: Motivação - É possível transformar uma ED exata em uma não exata multiplicando-a por uma certa função. exata. não é 0dy 2 xydx porém , =+exata é 0dy 2 xxydx 2 =+ Exemplo: Idéia – Encontrar uma certa função (fator de integração) que transforme uma ED não exata em um exata. exata. não seja 0dy)y,x(Ndx)y,x(M que Considerar =+ Problema )FN( x )FM( y exata seja 0FNdyFMdx | ?)y,x(F ∂ ∂ = ∂ ∂ ∴=+= Este problema é mais complicado que o original. Troquei uma EDO por uma EDP. EDO’s – 1a Ordem Fator de integração de uma ED não exata (continuação): Vamos supor que o fator de integração seja função apenas de uma das variáveis, ou seja, F=F(x) ou F=F(y). EDO’s – 1a Ordem Equação diferencial ordinária linear: Formato )x(q)x(y)x(p)x(y 0 =+′ êHomog nea 0)x(y)x(p)x(y 0 =+′ Variáveis separáveis0dy1dx)x(p =+ Solução: Na forma diferencial y0 Empregando o procedimento já apresentado =+ ∫ ∫∫ 0 Cdyy 1dx)x(p −= =+ ∫ 0 0 dx)x(pC)yln( C)yln(dx)x(p ∫− ∫− = = dx)x(pC dx)x(pC 0 0 ee)x(y e)x(y Solução geral ∫−= dx)x(p0Ke)x(y EDO’s – 1a Ordem Não Homogênea )x(q)x(y)x(p)x(y 0 =+′ Não Solução: Equação diferencial ordinária linear (continuação): exata( ) 0dydx)x(qy)x(p0 =+−Na forma diferencial Procurando um fator de integração no formato F=F(x) ⎞⎛ possível é )x(p x N y M N 1 dx dF F 1 0 ∴=⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∫=⇒=∴= ∫ dx)x(p0e)x(Fdx)x(p)Fln(dx)x(pdF 1 00F ( ) 0dyedx)x(qy)x(pe dx)x(pdx)x(p 00 =∫+∫ Desenvolvendo o procedimento já apresentado ( ) ( ) yedy)y,x(N e dx)x(qeydx)x(pedx)y,x(M dx)x(pdx)x(p dx)x(pdx)x(p 0 dx)x(p 0 000 ∫⎤⎡ ∂∫∂ ∫=∫−∫= − ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫ Cdx)x(peyyedx)x(qeydx)x(pe dx)x(peydydx)y,x(M y dx)x(pedx)y,x(M y 0 dx)x(pdx)x(pdx)x(p 0 dx)x(p 00 0000 00 =∫−∫+∫−∫ =⎥ ⎦ ⎢ ⎣∂ ∴= ∂ ∫∫∫ Solução geral⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∫∫=∴ ∫ − Cdx)x(qee)x(y dx)x(pdx)x(p 00 EDO’s – 1a Ordem Aplicações das EDO’s de primeira ordem: Problema de Dissolução: Em um reservatório, armazena-se uma quantidade conhecida de um produto dissolvido em um volume de água. A partir de um dado instante, este reservatório passa a ser abastecido por uma tubulação que despeja uma solução desse produto em uma concentração de c (M/L3) a uma vazão de q (L3/T) , . Neste mesmo instante, abre-se um orifício na parte inferior do reservatório, permitindo-se um vazão de saída também de q (L3/T). Pede-se encontrar o histórico da quantidade do produto em pauta no reservatório. Vazão = q C n nt ã o ce raç o = c Vazão = q EDO’s – 1a Ordem Aplicações das EDO’s de primeira ordem (continuação): Problema de Aquecimento/Resfriamento: A Lei de Newton de aquecimento/resfriamento estabelece que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura do corpo e do meio envolvente. Pede-se encontrar o histórico da temperatura de um corpo quando a temperatura do meio envolvente é mantida constante. EDO’s – 1a Ordem Problema de Aquecimento/Resfriamento: (continuação) dT(t)EDO ( )[ ]tTTk dt me −= Forma normal ( ) 0dTTTk 1dt me = − − Forma diferencial Condição inicial 0TT(0) = Solução ( ) kteTTTT(t) −= 0meme −− Contribuição Contribuição da da temperatura do meio envolvente diferença de temperatura EDO’s – 1a Ordem Dois parâmetros de influência do modelo Problema de Aquecimento/Resfriamento: (continuação) Solução normalizada kt 0 e T T11 T T(t) − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= meme T0/Tme=1,1 T0/Tme=1,3 T( t)/ T m e T /T 0 9 T0/Tme=0,7 0 me= , kt EDO’s – 1a Ordem Trajetórias Ortogonais: (continuação) Linhas equipotenciais xy =′EDO Variáveis separáveis y S l ã l 2xCy +o uç o gera = campo de direções linhas de corrente linhas equipotenciais EDO’s – 1a Ordem Viscoelasticidade: Modelo linear de Kelvin η Aplicações das EDO’s de primeira ordem (continuação): )t( , )t( εσ )t()t(E)t()t()t()t( AM εη+ε=σ∴σ+σ=σ &Por equilíbrio E σ )t(E Solucionando a equação diferencial resultante η =ε η +ε )t()t(ou & EDO Linear Não Homogênea ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + η σ∫∫ =ε ∫ ηη − Cdt)t(ee)t( dtEdtE ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + η σ =ε∴ ∫ ηη − Cdt)t(ee)t( tEtE Solução geral dependente da função de “carregamento” EDO’s – 1a Ordem σ=σ )t(No ensaio de fluência EEEE ⎞⎛⎞⎛ Viscoelasticidade: Modelo linear de Kelvin (continuação) EEE tttt Cdtee)t(Cdtee)t( ηη − ηη − ⎞⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + η σ =ε∴⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + η σ =ε ∫∫ ttt Ce E )t(Ce E e)t( η − ηη − + σ =ε∴⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + η η σ =ε∴ Solução geral Impondo a condição inicial do problema E C0C E 0)0( σ−=∴=+σ∴=ε ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − σ =ε⇒ η − tE e1 E )t( 1 25,0E = η 0.5 00,1E =η E )( )t( ∞ε ε σ ε = )t()t(J Módulo de 0 5 10 15 0 t 00,4= η Fluência do Material EDO’s – 1a Ordem Programas comerciais de matemática simbólica: Resolução analítica e/ou numérica Derive Mathcad Mathematica Matlab Maple EDO’s – 1a Ordem Programas comerciais de matemática simbólica (continuação): Maple EDO’s – 1a Ordem Programas comerciais de matemática simbólica (continuação): Maple EDO’s – 1a Ordem Métodos aproximados (continuação): Método das aproximações sucessivas de Picard: Int r nd s EDO d PVI c nsid r nd s eg a o- e a o e o e a o- e a correspondente condição inicial tem-se x ∫+= x 0 0 y(t))dtf(t,yy(x) Da expressão acima cria-se a equação de recorrência do método na forma K1,2,3,k com (t))dtyf(t,y(x)y x x 1-k0k 0 =+= ∫ podendo-se assumir ( ) 00 yty = EDO’s – 1a Ordem Método das aproximações sucessivas de Picard (continuação): Exemplo: C id PVI d d 2y(0) com 1y(x)(x)y =−=′ l lí d E d d d ons ere o a o por A so ução ana tica a DO po e ser etermina a, por exemplo, considerando-a com variáveis separáveis, de onde se conclui que xe1y(x) += Aplicando-se o Método de Picard, tem-se x x21dt2(x)y 0 1 +=+= ∫ ( ) x 2x ∫ y(x) (x)y6 2 x2dtt12(x)y 0 2 ++=++= xxx2dttt12(x)y 32x 2 +++=⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ +++= ∫ (x)y3 (x)y2 (x)y 6220 3 ⎠⎝ M 1 EDO’s – 1a Ordem Métodos aproximados (continuação): Método de Taylor: Baseia-se na representação da solução particular da Do Cálculo Diferencial, sabe-se que uma função y(x) pode ser representada a partir de um ponto x=a equação diferencial em série polinomial (série de Taylor). , , através da seguinte série polinomial: ( ) ( )′′′ 2)a(y)()()( ( ) ( ) ++′′′ +−+−+= 4 )4( 3 ax)a(yax)a(y ax !2 axayayxy K−− !4!3 )i( )( ou ( )∑ ∞ = −= 0i iax !i ay)x(y A sé i t é t d f d s st r e em pau a encon ra a orçan o- e que e a possui o mesmo valor da função y(x) e de suas infinitas derivadas em x=a. EDO’s – 1a Ordem Método de Taylor (continuação): Como gerar a série de Taylor da solução particular do PVI dado por y’(x)=f(x y(x)) com y(a)=y ? , 0 0y)a(y = )y,a(f))a(y,a(f)a(y 0==′ ?)a(y =′′ ?)a(y =′′′ ... EDO’s – 1a Ordem Método de Taylor (continuação): Como gerar a série de Taylor da solução particular do PVI dado por y’(x)=f(x y(x)) com y(a)=y ? (continuação) , 0 ?)a(y =′′ )x(y ′′ ))x(y,x(fd=( )′′= )x(y = dx )x(dy y,x, fff +=dx ff y,x, + )y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y 0y,00x, +=′′∴ EDO’s – 1a Ordem Método de Taylor (continuação): Como gerar a série de Taylor da solução particular do PVI dado por y’(x)=f(x y(x)) com y(a)=y ? (continuação) , 0 ?)a(y =′′′ )x(y ′′′ ( )y,x, fffdx d +=( )′′′= )x(y = =( ) ( ) d dyffffff yxyx +∂ ∂ ++ ∂ ∂ 22 ffffffff2f ++++ xyx ,,,, 0y0x0xx )y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y ++=′′∴ y,yy,y,x,xy,xx, [ ]20y,0yy,00xy,0 ,,, )y,a(f)y,a(f)y,a(f)y,a(f2)y,a(f ++ EDO’s – 1a Ordem Métodos aproximados (continuação): Método de Euler: Baseia-se na representação da solução particular da equação diferencial em série polinomial truncada (série de Taylor) até o termo linear, não sendo exigida com isso nenhuma dedução extra porém o intervalo de interesse é Se for empregado intervalos uniformes de passo h, , subdividido em vários subintervalos. este método resulta na seguinte equação de recorrência: h)()(~)(~ ′+ xyxyxy nn1n =+ ou [ ]h )x(y~,xf)x(y~)x(y~ nnn1n +=+ EDO’s – 1a Ordem Métodos aproximados (continuação): Método de Euler (continuação): y etc y1~ y2~ y(x): solução particular y0 D2 D1 xx0 x1 x2 h h Supondo que y’’(x) seja contínua e |f,y(x,y)| ≤ L dentro do domínio de interesse, tendo ainda |y’’(x)| ≤ M, é possível mostrar que ( )[ ]1e L2 hMD Lxxn 0n −≤ − onde Dn representa o erro absoluto, ou seja, ( ) ( )nnn xy~xyD −= EDO’s – 1a Ordem Método de Euler (continuação): Exemplo: 1(0))()(′C id PVI d d y com xyxy =−=ons ere o a o por EDOL’s – 2a Ordem Equação diferencial ordinária linear: )x(q)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 =+′+′′Formato geral homogênea nãocontrário caso homogênea0)x(q ⇒ ⇒≡ t tfi i tt tf õã)()( variáveisescoeficientcomcontrário caso cons an esescoe c encomcons an esunç ess o xp e xp 10 ⇒ ⇒ 0)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 =+′+′′Considerando a homogênea Princípio da superposição: se y1(x) e y2(x) são soluções da ED, então qualquer combinação linear dessas funções, dada por c y (x)+c y (x) também é solução1 1 2 2 , . Com coeficientes constantes: estima-se a solução no formato y(x)=eλx, motivado pelo formato da solução da EDO linear de 1a ordem Substituindo se na ED chega se à denominada equação . ⎪⎪ ⎨ ⎧ −+− =λ ⇒ 2 p4pp raízes 0 2 11 1 - , - característica, dada por 0pp2 =+λ+λ ⎪ ⎪ ⎩ −−− =λ 2 p4pp 0 2 11 2 01 EDOL’s – 2a Ordem EDOL2OH com coeficientes constantes (continuação): Caso 1: raízes reais e distintas Caso 2: raízes imaginárias x 2 x 1 21 ececy(x) λλ +=Solução geral x 2 x 1 21 ececy(x) λλ +=Solução geral Reformatação da solução geral bia e bia 21 −=λ+=λ + ( )dsenidcosee cdic +=+ As raízes são conjugadas: Identidade de Euler: x)bia( 2 x)bia( 1 ececy(x) −+ += [ ] [ ])bx(isen)bxcos(ec)bx(isen)bxcos(ecy(x) ax2ax1 −++= [ ])bx(isen)cc()bxcos()cc(ey(x) 2121ax −++= Novo formato da solução geral [ ])bx(senc)bxcos(ce)x(y 21ax += EDOL’s – 2a Ordem EDOL2OH com coeficientes constantes (continuação): Caso 3: raízes reais e iguais Com os parâmetros λ1 e λ2 iguais, temos que procurar uma outra função da base de geração da solução geral. Assim como quando estudamos espaços vetoriais, a base deve ser formada por entidades linearmente independentes, cujo conceito pode ser facilmente adaptado quando se trata de espaço de funções. O procedimento a seguir permitirá encontrar uma outra função da base a partir de uma já conhecida, válido inclusive para a ED com coeficientes variáveis. Em particular, esse será útil para tratar o caso em questão. )x(y)x(u(x)y 12 =Admitir para garantir que sejam LI. Como essa nova função também deve satisfazer a ED, fazemos a substituição no intuito de determinar u(x). Portanto, ( ) ( ) ( ) 0uypyuyupyuyu2yu 10111111 =+′+′+′′+′′+′′ ( ) ( ) 0uypypyuypy2uy =+′+′′+′+′+′′ 101111111 0Up y y2UuUou 0up y y2u 1111 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ′ +′∴′==′⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ′ +′′ 11 ).x(u achegar se possível é onde de e)x(U dxp y y2 1 1 1∫ =⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ′ − Amplitude Ângulo de fase EDOL’s – 2a Ordem Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibração livre (cont.) Caso 1: Sistema harmônico não amortecido 0=ξ ( )120 −ξ±ξ−ω=λRaízes 0iω±= Solução geral ( ) ( ) ( )tsinCtcosCtu 0201 ω+ω= ( ) ( )φ+ω= tcosAtu 0 Condições iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &       ω −=φ      ω +=∴ 00 0 2 0 02 0 u v arctan e v uA Solução do PVI ( )             ω −+ω      ω += 00 0 0 2 0 02 0 u v arctantcos v utu 1.00 =ω 0)0(u e 1)0(u == & 1.0)0(u e 6.0)0(u == & EDOL’s – 2a Ordem Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibração livre (cont.) Caso 1: Sistema harmônico não amortecido (cont.)0=ξ 1.0)0(u 5.0)0(u = = & 1.00 =ω 2.00 =ω EDOL’s – 2a Ordem Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibração livre (cont.) ( )120 −ξ±ξ−ω=λRaízes ( )20 1i ξ−±ξ−ω= Solução geral ( ) ( ) ( )[ ]t1sinCt1cosCetu 202201t0 ξ−ω+ξ−ω= ξω− ( ) ( )φ+ξ−ω= ξω− t1cosAetu 20t0 Condições iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &               ω +ξ ξ− −=φ               ω ++ ω ξ ξ− =∴ 00 0 2 2 0 02 0 0 00 2 u v 1 1 arctan e v u vu2 1 1 A Solução do PVI ( ) L=tu Caso 2: Sistema subamortecido quando (Movimento harmônico amortecido) 10 <ξ< EDOL’s – 2a Ordem Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibração livre (cont.) Caso 3: Sistema superamortecido quando (cont.)1>ξ Não há vibração e sim um retorno lento à posição de equilíbrio. 1.0 3 0 =ω =ξ 0)0(u e 1)0(u == & 1.0)0(u e 2.0)0(u =−= & EDOL’s – 2a Ordem Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibração livre (cont.) ( )120 −ξ±ξ−ω=λRaízes 0ω−= Solução geral ( ) t2 t 1 00 teCeCtu ω−ω− += Condições iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === & 000201 vuC e uC +ω==∴ Caso 4: Sistema com amortecimento crítico 1=ξ Solução do PVI ( ) ( ) t000 t 0 00 tevueutu ω−ω− +ω+= EDOL’s – 2a Ordem Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibração livre (cont.) Caso 4: Sistema com amortecimento crítico (cont.)1=ξ O amortecimento crítico representa o limite para o movimento não periódico e, consequentemente, o movimento retorna ao repouso no menor prazo, sem qualquer oscilação. 1.0 1 0 =ω =ξ 0)0(u e 1)0(u == & 1.0)0(u e 2.0)0(u =−= & EDOL’s – Ordem N Considerando a equação não homogênea Equação diferencial ordinária linear (continuação): Solução geral: a solução geral da equação não homogênea tem o formato yh(x)+ yp(x), onde a primeira parcela corresponde à solução da equação homogênea e a segunda parcela representa alguma solução particular da equação não homogênea. Solução particular: Existem dois procedimentos para a determinação da solução particular. Método dos coeficientes a determinar – Pode ser empregado quando a equação diferencial possui coeficientes constantes e a função q(x) apresenta-se no formato polinomial, exponencial e trigonométrico. A ideia principal do método consiste em admitir a solução particular como uma expressão similar a da função q(x), envolvendo coeficientes incógnitos que são determinados ao se tentar satisfazer a equação diferencial. EDOL’s – Ordem N Mé d d fi i d i ( i ã ) Existem três regras para a definição da expressão da solução particular: to o os coe c entes a eterm nar cont nuaç o Regra Básica – Se q(x) é uma das funções da coluna esquerda da tabela abaixo, a solução particular é escolhida no formato da coluna direita. q(x) yp(x) keax Ceax kxm Cmxm+...+C1x+C0 Kcos(wt) ou Ksen(wt) Ccos(wt)+Dsen(wt) Regra da Modificação – Se q(x) é uma solução da equação homogênea, então multiplique a escolha da regra anterior por x (ou por x2 x3 etc a depender do número de , , ..., , repetições das raízes da equação característica). Regra da Soma – Se q(x) é a soma de funções da coluna esquerda da tabela acima então escolha a solução particular , como a soma dos formatos das correspondentes funções da coluna direita. EDOL’s – Ordem N Mé d d fi i d i ( i ã ) Exemplos: to o os coe c entes a eterm nar cont nuaç o 1) 2x8y4y =+′′ 2C e 0C ,1CCxCxC)x(y )x2sen(B)x2cos(A)x(y 21001 2 2p h ==−=⇒++= += 1x2)x2sen(B)x2cos(A)x(y 2 −++=∴ 2) xey2y3y =+′−′′ x p x2x h 1CCxe)x(y BeAe)x(y −=⇒= += xx2x xeBeAe)x(y −+=∴ 3) xeyy2y x +=+′−′′ 1D e 2D , 2 1CDxDeCx)x(y BxeAe)x(y 1001 x2 p xx h ===⇒++= += 2xex 2 1BxeAe)x(y x2xx ++++=∴ EDOL’s – Ordem N Método da variação dos parâmetros (continuação) Arrumando as duas equações de restrição no formato matricial tem se- ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ′ ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′′ )x(q 0 )x(u )x(u )x(y)x(y )x(y)x(y 2 1 21 21 )x(q)x(y)x(ue)x(q)x(y)x(u 1221 =′−=′ cuja solução nos fornece )x(W )x(W onde W(x) é conhecido como o Wronskiano das funções y1(x) e y2(x), e representa o determinante da matriz dos coeficientes do sistema acima. Uma vez que essas funções são linearmente independentes, sabe-se que o Wronskiano é diferente de zero, consequentemente o sistema apresenta a solução acima. Integrando-se as expressões acima chega-se às funções desejadas ∫∫ =−= dx )x(q)x(y)x(uedx)x(q)x(y)x(u 1221 )x(W )x(W permitindo-se formar a solução particular. EDOL’s – Ordem N Mé d d i ã d â ( i ã ) Exemplo: to o a var aç o os par metros cont nuaç o e44 x2 ′′′ x yyy =+− x2x2 h BxeAe)x(y +=Resolvendo a equação homogênea x2 2 x2 1 xe)x(y e e)x(y onde == Determinando o Wronskiano (Este nome é feio mesmo!) )x(y)x(y )x(y)x(y )x(W 21 21 ′′ = R l d ã ti l x4e= dx )x(W )x(q)x(y)x(u 11 ∫−= )x(q)x(y x−= eso ven o a equaç o par cu ar dx )x(W )x(u 22 ∫= [ ]1)xln(xe)x(y x2p −=∴ )xln(= Solução geral )x(y)x(y)x(y ph += [ ]1-ln(x)xeBxeAe)x(y 2xx2x2 ++=∴ EDONL’s – 2ª Ordem Equação diferencial ordinária não linear: ( ) 0,,, =′′′ yyyxFFormato geral Solução geral: não existem procedimentos analíticos que permitem construir a solução geral de qualquer equação diferencial ordinária não linear, em particular para as Situações tratadas analiticamente equações de 2ª ordem. Método da redução de ordem: trata equações diferenciais ordinárias de segunda ordem em que a função incógnita y(x) ou a variável independente x não está presente na equação diferencial, ou seja, F(x, y’, y’’) = 0 ou F(y, y’, y’’) = 0. Para essas situações particulares pode-se empregar uma mudança de variável na forma ’ reduzindo se a ordem da u = y , - equação diferencial a ser resolvida. Esta estratégia de mudança de variável pode ser aplicada em ª áEDOLH’s de 2 ordem com coeficientes vari veis (vide equação da difusão de calor em regime estacionário sem geração interna em domínios circulares e esféricos). Sistema de EDO’s de 1a Ordem S l ã é i MATLAB ODE45 Solve non-stiff differential equations, medium order method. [T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0) with TSPAN = [T0 TFINAL] integrates the system of differential equations y' = f(t y) from time T0 to TFINAL with initial conditions Y0 Function o uç o num r ca com o : , . ODEFUN(T,Y) must return a column vector corresponding to f(t,y). Each row in the solution array Y corresponds to a time returned in the column vector T. To obtain solutions at specific times T0,T1,...,TFINAL (all increasing or all decreasing), use TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL]. [T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0,OPTIONS) solves as above with default integration properties replaced by values in OPTIONS, an argument created with the ODESET function. See ODESET for details. Commonly used options are scalar relative error tolerance 'RelTol' (1e-3 by default) and vector of absolute error tolerances 'AbsTol' (all components 1e-6 by default). [T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2...) passes the additional parameters P1,P2,... to the ODE function as ODEFUN(T,Y,P1,P2...), and to all functions specified in OPTIONS. Use OPTIONS = [] as a place holder if no options are set. ODE45 can solve problems M(t,y)*y' = f(t,y) with mass matrix M that is nonsingular. Use ODESET to set the 'Mass' property to a function MASS if MASS(T,Y) returns the value of the mass matrix. If the mass matrix is constant, the matrix can be used as the value of the 'Mass' option. If the mass matrix does not depend on the state variable Y and the function MASS is to be called with one input argument T, set 'MStateDependence' to 'none'. ODE15S and ODE23T can solve problems with singular mass matrices. See also O O 23 O 113 O 1 S O 23S O 23 O 23other DE solvers: DE , DE , DE 5 , DE , DE T, DE TB options handling: ODESET, ODEGET output functions: ODEPLOT, ODEPHAS2, ODEPHAS3, ODEPRINT ODE examples: RIGIDODE, BALLODE, ORBITODE Sistema de EDO’s de 1a Ordem S l ã é i MATLAB ( ti ã )o uç o num r ca com o con nuaç o : Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibração forçada C uu & M , )t(F K Equação de movimento M )t(F)t(u)t(u2)t(uou )t(F)t(Ku)t(uC)t(uM 200 =ω+ξω+=++ &&&&&& d d l à f d Já comentamos sobre estes parâmetros A aptação o prob ema unção o MATLAB )t(F )t(v)t(u =& M )t(u)t(v2)t(v 200 +ω−ξω−=& Sistema de EDO’s de 1a Ordem Solução numérica com o MATLAB (continuação): function dydt=mmaforcado(t,y,flag,ksi,w0,fmax_m,wf) % Adaptação à função ODE45 da equação de movimento do sistema % massa-mola-amortecedor submetido a uma força senoidal. % Os parâmetros do sistema são: % ksi = C/M (normalização do amortecimento do sistema em relação à massa) % w0 = K/M (normalização da rigidez do sistema em relação à massa) % A forca aplicada, F(t)=Fmax*sen(wf*t), é descrita pelos seguintes parâmetros: % fmax_m = Fmax/M (normalização da forca máxima) % wf (freqüência da forca aplicada) dydt(1,1)=y(2); dydt(2 1)= 2*ksi*w0*y(2) w0^2*y(1)+fmax m*sin(wf*t); 80 , - - _ >>[t,y]=ode45('mmaforcado',[0 300],[0 0],[],0.1,0.1,1,0.2);plot(t,y(:,1)) 20 40 60 40 -20 0 0 50 100 150 200 250 300 -80 -60 -