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Apostila – Introdução a Cálculo I

Um minicurso de Cálculo I

Saudação e Motivação2
Capítulo 1 – O que é Cálculo?3
Capítulo 2 – Limite e Continuidade de Funções7
Capítulo 3 – Derivadas de Funções12

Apostila – Introdução a Cálculo I

Um minicurso de Cálculo I

Olá Amigos!

ensino superior é bem diferente do ensino médiovocês nem imaginam.

Esta é uma de, se Deus quiser, uma séria de apostilas que estou desenvolvendo para uma melhor adaptação do calouro nesse novo mundo que é o ensino superior. Como veterano e no último ano do curso de Ciência da Computação, sei que o mundo do

O que percebi desde que entrei na universidade é que ela perdeu, se um dia já teve, o princípio fundamental do ensino e destinou seus esforços para a pesquisa. Certamente, a pesquisa é um ramo importante de todas as instituições públicas de ensino superior, mas o que é mais importante que o aluno?! O que é mais importante do que os novos profissionais que devem ter a melhor formação possível, para serem inseridos no mercado de trabalho brasileiro e desenvolver da melhor maneira a economia, a política, a saúde pública, a ciência e tecnologia e a educação do nosso país?

É por esse motivo que essa série de apostilas foram pensadas e trabalhadas. Para ajudar o ingressante na universidade a se adaptar mais facilmente a esse novo padrão de pensamento e obter parte da necessária abstração para essa fase. Estas apostilas não foram criadas com o intuito de esgotar todo o assunto de qualquer disciplina, mas sim, iniciá-lo na matéria dando a base necessária para um entendimento mais completo.

Assim, temos uma explicação dinâmica e com a linguagem do jovem sobre uma das principais disciplinas do início de um curso da área de exatas, o Cálculo 1, também conhecido como: Cálculo Diferencial e Integral, de funções reais de uma variável.

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Capítulo 1 – O que é o Cálculo?

Quando você entra na faculdade, em um curso de exatas, provavelmente uma das disciplinas do primeiro semestre, ou período, será Cálculo 1. Nos períodos seguintes seriam Calculo 2, 3 e assim por diante, de acordo com o curso escolhido e a necessidade de mais matemática na sua formação.

Bom, já deu para perceber que se trata de uma disciplina intimamente ligada à matemática, como o próprio nome já indica, mas que tipo de estudos ela lida? “Cálculo” parece muito vago, afinal você faz cálculos desde que esteve no ensino fundamental. Então, será que todo aquele cálculo e matemática não eram suficientes? Sinto dizer, mas não eram.

E esse é um dos primeiros impactos para o calouro. O que você aprendeu desde o seu ingresso no ensino fundamental não será de grande ajuda! É claro que se você teve uma bela carreira acadêmica até o ensino médio, você se esforçará para também ter esse sucesso na faculdade e é esse esforço, extra, que diferenciará a aprovação da recuperação. Mas o que você traz de bagagem para o curso dificilmente fará diferença na sua apredizagem e desempenho nessas novas disciplinas e paradigmas.

Então, entremos no assunto, Cálculo 1 é a disciplina que estuda as funções mais a fundo. Esse estudo é do tipo: 1) Para onde vai a imagem da função (y = f(x)) quando x se aproxima de certo valor? 2) Qual é a “inclinação” da reta tangente ao gráfico da função f(x) para x igual a algum valor c? 3) Qual é a valor da “área” delimitada pelo gráfico da função f(x) e o eixo das abscissas para um intervalo x ϵ {a, b} ?

Calma! Talvez tenha ficado complicado, e se você acha isso, vamos mais devagar. Primeiramente, vamos fazer uma breve revisão sobre funções:

Conceito “O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de ‘fórmula matemática’. Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y=f(x). O objeto x é chamado o argumento ou domínio da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f.

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída[...]

Este conceito é determinístico, sempre produz o mesmo resultado a partir de uma dada entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica). Uma função

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Um minicurso de Cálculo I pode ser vista como uma ‘máquina’ ou ‘caixa preta’ que converte entradas válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as funções de relações unívocas.

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos.”

Fonte: w.wikipedia.org

“Função é uma relação entre dois conjuntos estabelecida por uma regra. A relação será uma função se cada elemento do conjunto de partida estiver relacionado com um elemento do conjunto de chegada.” Fonte: w.mundoeducacao.com.br

Esta relação é do tipo f:A → B (lê-se f de A em B). Assim, exemplifiquemos algumas funções e seus gráficos: y = f(x);

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Acho que já deu para relembrar. Afinal, você passou no vestibular. E parabéns por isso!!!

O que se tem de saber é que, em Cálculo 1, você estuda, praticamente, três coisas e são elas: 1) Limites de uma função. 2) Derivada de uma função. 3) Integral de uma função.

Exatamente, só isso!

Provavelmente, se você está ingressando agora na universidade não faz idéia do que se trata esses assuntos ou termos, mas seus conceitos são simples e serão explicados nos próximos capítulos. E qual é a motivação para se fazer tais estudos?

Deve-se ter um bom motivo. Iremos exemplificar alguns destes motivos:

Todos já sabemos como determinar a velocidade de um corpo. Nos estudos de física e matemática do ensino médio, aprendemos que a velocidade v, de um corpo, é uma função que relaciona o deslocamento com o tempo para este deslocamento. A função é dada pela fórmula:

∆ Tal que ∆ é a variação do deslocamento e ∆ é a variação do tempo.

Mas esta é a velocidade média do corpo no percurso, assim é possível que a velocidade tenha variado por todo o percurso. Como exemplo, podemos usar o corredor jamaicano Usain Bolt, que em 2008 e 2009 quebrou diversos recordes mundiais e olímpicos nos 100 e 200 metros rasos, sendo colocado por muitos como um fenômeno. Ele percorreu os 100 metros rasos em 9s58 no Mundial de Atletismo de Berlin em 2009. Tendo como velocidade média:

Mas certamente ele não manteve esta velocidade por todo o percurso, já que ele saiu do repouso. Ele conseguiu atingir uma velocidade instantânea ainda maior em algum momento.

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Mas, então, como determinar a velocidade instantânea num certo momento?

Gráfico da velocidade (Ordenadas, m/s) pelo tempo (Abscissas, seg).

Seria necessário o estudo de um intervalo de tempo muito pequeno, tão pequeno quanto possível. É aí que entra o uso de limites.

Além disso, poderia ser interessante saber em qual momento ele atingiu a maior velocidade e qual a maior aceleração e/ou desaceleração.

Tudo isso é possível através dos estudos de Cálculo 1, para qualquer tipo de função.

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Capítulo 2 – Limite e continuidade de funções

Sabemos que todos os elementos da imagem de uma função, tem seu correspondente no domínio desta, podendo ser um, dois ou vários. Assim, para a função f(x) = x² - 1, temos que se f(x) = 3, então x = 2 ou x = -2.

Mas não podemos dizer que para todo x ∈ R, existe uma imagem correspondente, pois existem funções que possuem condições de existência. Exemplos de funções que não tem valor definido para qualquer x são:

Como já sabemos, as funções acima não têm valor definido para qualquer x, já que nenhuma fração pode ter denominador igual a ZERO. Então o domínio destas funções são, respectivamente: a) {x ϵ R | x ≠0} (lê-se x pertence aos reais, tal que x diferente de zero) b) {x ϵ R | x ≠1}

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