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Guias e Dicas
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Pontos Interiores aplicados ao fluxo de potencia , Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Dissertação de mestrado

Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 10/03/2010

mayk-coelho-1
mayk-coelho-1 🇧🇷

4.5

(11)

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Baixe Pontos Interiores aplicados ao fluxo de potencia e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Mayk Vieira Coelho Método de Pontos Interiores Aplicados ao Problema de Fluxo de Potência Ótimo com Restrições de Reserva de Potência Operacional Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em En- genharia Elétrica. Área de concentração: Engenharia de Computação. Orientador: Secundino Soares Filho Co-orientador: Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira Campinas, SP 2008 FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP C65m Mayk Vieira Coelho Métodos de pontos interiores aplicados ao problema de fluxo de potência ótimo com restrições de reserva de potência operacional / Mayk Vieira Coelho. --Campinas, SP: [s.n.], 2008. Orientadores: Secundino Soares Filho, Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira. Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. 1. Sistemas de Potência. 2. Métodos de Pontos Interiores. 3. Programação Linear. 4. Segurança. 5. Eletricidade. |. Soares Filho, Secundino. II. Oliveira, Aurelio Ribeiro Leite de. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. IV, Título. Titulo em Inglês: interior point methods applied to the problem of power flow optimum with restrictions reserve operational power Palavras-chave em Inglês: Power System, Interior point methods, Linear Program, Security, Electricity Área de concentração: Energia Elétrica Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica Banca examinadora: Marcius Fabius Henrique de Carvalho, Anésio dos Santos Júnior Data da defesa: 29/08/2008 Programa de Pós Graduação: Engenharia Elétrica Agradecimentos A Deus por tudo. Ao Professor Secundino Soares Filho pela paciência em esclarecer conceitos fundamentais para a conclusão deste trabalho. Ao Professor e amigo Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira pelo apoio conceitual e incentivos tremendos em momentos difíceis ao longo desses dois anos de caminhada, que sem os quais com certeza este trabalho não teria se realizado. A meus pais queridos Neusa e Delzuito pelo carinho que sempre tiveram, por compreenderem mi- nhas faltas em algumas datas especiais, ou mesmo pelas vezes que me esqueci de ligar, por estar concentrado neste trabalho. Agradeço também pelo apoio e palavras de incentivo, por deixarem de lado alguns de seus sonhos para me ajudar a buscar os meus e pelas orações e conselhos. A minha irmãzinha querida pelo carinho e pelos momentos de bate-papo. A minha amiga-irmã Silvia pelo apoio, pelas correções e dicas, pelos cafés para me deixar acordado, pela companhia, pelos momentos engraçados, pelas discussões e conselhos que sempre me enrique- cem e pela paciência em vários e vários momentos quando eu insistia em mostrar meus resultados numéricos. Aos amigos do COSE que de uma forma ou de outra contribuiram com esse processo de aprendiza- gem. Aos Professores da FEEC pela paciência e disposição em tirar dúvidas. Ao café, um VIVA ao café. Aos amigos não citados, mas que estiveram presentes em momentos diversos, sejam eles em churras- cos, sejam no futebol, no vôlei ou nas disputas no video-game, contribuindo assim para meu descanso e entretenimento. À CAPES, pelo apoio financeiro. v vi A meus pais Delzuito e Neusa ”Se Deus houvesse isentado do trabalho do corpo o homem, seus membros se teriam atrofiado; se o houvesse isentado do trabalho da inteligência, seu espírito teria permanecido na infância, no estado de instinto animal. Por isso é que lhe fez do trabalho uma necessidade e lhe disse: Procura e acharás; trabalha e produzirás. Dessa maneira serás filho das tuas obras, terás delas o mérito e serás recompensado de acordo com o que hajas feito." Allan Kardec vii Lista de Figuras 2.1 Conjuntos convexos e não-convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Exemplo de f convexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6.1 Diagrama unifilar do Sistema IEEE30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.2 Despachos de potências sem exigência de Reserva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3 Despachos de potências com exigência de 70MW de Reserva (a.1). . . . . . . . . . . 36 6.4 Despachos de potências com exigência de 70MW de Reserva (a.2). . . . . . . . . . . 36 6.5 IEEE30-Despacho de potência para Γ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.6 IEEE30-Despachos de potência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.7 Diagrama Unifilar - IEEE 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.8 IEEE118-Despacho de potência para Γ0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.9 IEEE118 - Despachos de potência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.10 SSECO1654-Despacho de potência para Γ0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.11 SSECO1654 - Despachos de potência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.12 SSECO1732-Despacho de potência para Γ0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.13 SSECO1732 - Despachos de potência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.14 BRASIL-Despacho de potência para Γ0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.15 BRASIL - Despachos de potência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A.1 Ilustração do Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 B.1 Capacidades - Sistemas IEEE30 e IEEE118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 B.2 Capacidades - Sistema SSECO1654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 B.3 Capacidades - Sistema SSECO1732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 B.4 Capacidades - Sistema BRASIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 x Lista de Tabelas 6.1 Sistemas Estudados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2 Limites de geração de potência nos geradores do sistema IEEE 30 . . . . . . . . . . 35 6.3 Conjuntos Γ - IEEE 30 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.4 Dados Obtidos 1: Testes com IEEE30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.5 Conjuntos Γ - IEEE 30 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.6 Dados Obtidos 2: Testes com IEEE30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.7 Conjuntos Γ - IEEE 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.8 Dados Obtidos: Testes com IEEE118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.9 Conjuntos Γ - SSECO1654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.10 Dados Obtidos: Testes com SSECO1654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.11 Conjuntos Γ - SSECO1732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.12 Dados Obtidos: Testes com SSECO1732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.13 Conjuntos Γ - BRASIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.14 Dados Obtidos: Testes com BRASIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 xi Capítulo 1 Introdução Desde o surgimento dos métodos de pontos interiores para programação linear, códigos compu- tacionais baseados nessas idéias vêm se apresentando como alternativas para resolução de problemas de grande porte [1, 2, 3, 4]. Na área de sistemas de potência o advento dos métodos de pontos interiores trouxe à tona uma nova linha de pesquisa. Estes métodos são reconhecidos atualmente por sua robustez [5, 6] principal- mente devido ao tratamento eficiente de desigualdades. Neste trabalho será desenvolvido o método de pontos interiores primal-dual para o problema de minimização das perdas na geração e transmissão do fluxo de potência ótimo de um sistema de potência hidrotérmico considerando restrições de reserva de potência em corrente contínua. A reserva de potência é feita em um subconjunto de geradores e é necessária para atender deman- das imprevistas ou algumas contingências, esta reserva é provida por geradores conectados à rede elétrica e sincronizados com o sistema de potência. 1.1 Estrutura do trabalho No capítulo 2 é dada uma introdução à programação matemática, que passa pela programação linear, chega à programação quadrática para enfim apresentar a programação quadrática convexa. No capítulo 3 tem-se a formulação do método de pontos interiores primal-dual seguidor de cami- nhos para problemas lineares, é apresentado também um critério de convergência do método e mesmo sem a necessidade de ponto inicial factível apresenta-se ainda uma sugestão para um ponto inicial. Como o um dos objetivos deste trabalho é aplicar o método de pontos interiores primal-dual para re- solução de fluxo de potência ótimo que tem como função objetivo uma função quadrática separável, o capítulo é finalizado com a formulação para problemas desta classe. O capítulo 4 se dedica à formulação do problema de fluxo de potência ótimo (CC) aplicando o método exposto no capítulo 3. O capítulo 5 trás enfim o principal objetivo deste trabalho que é a formulação do problema de fluxo de potência ótimo (CC) considerando restrições de reserva de potência operacional, sendo o problema resolvido através do método exibido no capítulo 3. O capítulo 6 apresenta os resultados computacionais obtidos com a aplicação dos métodos obtidos nos capítulos 4 e 5 em sistemas IEEE e em sistemas reais brasileiros. Comparações entre os resultados 1 2.2 Programação Linear 4 locado nesta forma. A partir de uma forma padrão torna-se mais fácil desenvolver e implementar métodos como o Simplex e de Pontos Interiores. A forma padrão de um problema de programação linear é a seguinte: Definição 2.2.1 Sejam A ∈ <m×n, x ∈ <n×1, c ∈ <n×1 e b ∈ <m×1 com m ≤ n. Define-se a forma padrão de um problema linear como sendo: min ctx s.a Ax = b x ≥ 0 (Primal) (2.1) E o dual associado a forma padrão como sendo: max bty s.a Aty + z = c y, z ≥ 0. (Dual) (2.2) Os problemas de programação linear em geral não estão na forma definida em 2.1 mas sim envol- vendo também desigualdades, ou seja, da forma: min ctx s.a A′x′ ≤ b′ A′′x′′ ≥ b′′ (x′, x′′) ≥ 0 (2.3) Neste ponto faz se necessário a introdução de conceitos de variáveis de folga e de excesso e também de variáveis livres: • Variáveis de excesso Suponha que o problema linear original apresenta uma restrição de desi- gualdade do tipo aj1x1 + aj2x2 + · · ·+ ajnxn ≥ bj (2.4) A restrição de desigualdade pode ser substituída por uma restrição de igualdade introduzindo-se uma variável adicional xn+1, não-negativa, conhecida como variável de excesso: aj1x1 + aj2x2 + · · ·+ ajnxn − xn+1 = bj Introduz-se tantas variáveis de excesso quantas forem as restrições do tipo 2.4 presentes no modelo original. Um novo conjunto de variáveis será formado pelas de decisão originais mais as de excesso. • Variáveis de folga Suponha agora que o problema linear original apresenta uma restrição de desigualdade do tipo aj1x1 + aj2x2 + · · ·+ ajnxn ≤ bj (2.5) A restrição de desigualdade pode ser substituída por uma restrição de igualdade introduzindo-se uma variável adicional xn+1, não-negativa, conhecida como variável de folga: aj1x1 + aj2x2 + · · ·+ ajnxn + xn+1 = bj 2.2 Programação Linear 5 Do mesmo modo, introduz-se tantas variáveis de folga quantas forem as restrições do tipo 2.5 presentes no modelo original. O novo conjunto de variáveis será formado pelas variáveis de decisão originais mais as eventuais variáveis de excesso e de folga. • Variáveis livres Pode ocorrer da formulação original do problema apresentar uma ou mais variáveis de decisão irrestritas ou livres, isto é, sem sinal definido. Entretanto, a forma pa- drão exige variáveis não-negativas. Essa dificuldade pode ser contornada reescrevendo-se cada variável livre xj como a diferença de duas outras variáveis não-negativas, xj1 e xj2, ou seja xj = xj1 − xj2 A idéia é que qualquer quantidade (positiva, nula ou negativa) possa ser representada como a diferença de duas quantidades não-negativas. Faz-se então a substituição de cada variável livre por uma diferença de variáveis não-negativas incorporando-as á lista de variáveis de decisão do problema. Assim, como dito antes, os problemas da forma 2.3 podem ser facilmente colocados na forma padrão acrescentando uma variável de folga s′ (ou de excesso s′′) da seguinte forma: min ctx + 0s s.a A′x′ + Is′ = b′ A′′x′′ − Is′′ = b′′ (x′, x′′) ≥ 0 (2.6) Uma propriedade interessante a se destacar é que as restrições da forma Ax = b ou Aty + z = c, chamadas regiões factíveis, descrevem um conjunto poliedral. Definição 2.2.2 Define-se os seguintes conceitos: • Um ponto x̄ é dito ser uma solução factível de um problema linear se satisfaz o conjunto de restrições do problema. • O gap de dualidade é a diferença entre os valores das funções objetivos para as formulações primal e dual do mesmo problema, ou seja: γ = ctx− bty (2.7) γ é chamado de gap. Com a definição 2.2.2 tem-se o seguinte resultado: Teorema 2.2.1 Sejam (x, y, z) factíveis tem-se então γ = xtz. Prova: γ = ctx − bty como x é factível⇒ b = Ax ⇒ γ = ctx − xtAty = xt(c − Aty) como z é factível segue que z = c− Aty logo γ = xtz. Tendo formulado os problemas primal e dual, pode-se agora enunciar as condições de comple- mentaridade que terão de ser satisfeitas pelas soluções primal e dual ótimas. As condições de com- plementaridade podem ser enunciadas como: 2.3 Programação Quadrática 6 Teorema 2.2.2 (Condições de Complementaridade) Sejam x e (y, z) soluções factíveis para os problemas primal e dual respectivamente, uma condição necessária e suficiente para que ambas soluções sejam ótimas é que: i Se xj > 0 então zj = 0; ii Se zj > 0 então xj = 0; Prova: (⇐) Se (i) e (ii) são verdadeiras, tem-se ztx = 0⇒ (ct − ytA)x = 0⇒ ctx− ytAx = 0 Ax=b =⇒ ctx− ytb = 0⇒ ctx− bty = 0 ⇒ y solução ótima do dual e x solução ótima do primal. (⇒) Sendo agora x e (y, z) soluções ótimas dos problemas primal e dual respectivamente, tem-se ctx− bty = 0⇒ ctx− ytb = 0⇒ ctx− ytAx = 0⇒ (ct − ytA)x = 0⇒ ztx = 0 mas como z ≥ 0 e x ≥ 0 temos que (i) ou (ii) deve ser satisfeita para j = 1 . . .m, ou seja, xjzj = 0 ∀j = 1 . . .m. Agora sim pode-se enunciar as condições de otimalidade de um problema linear como se segue: Corolário 2.2.2.1 (Condições de Otimalidade 1) Tem-se que (x, y, z) é solução ótima primal e dual de um problema linear se e somente se satisfazer • Factibilidade Primal: { Ax = b x ≤ 0 ; • Factibilidade Dual: { Aty + z = c z ≤ 0 ; • Complementaridade: { XZe = 0 onde X = diag(x), Z = diag(z) e e = (1, . . . , 1)t. O Corolário 2.2.2.1 pode ser considerado como o resultado mais importante dessa seção, já que este define as condições para se saber se um ponto é ótimo ou não do problema. 2.3 Programação Quadrática A programação quadrática é uma extensão natural da programação linear. A região factível, assim como na programação linear, é poliedral, mudando apenas a função objetivo, que deixa de ser linear e passa a assumir a forma quadrática f(x) = ctx + 1 2 xtQx (2.8) onde Q é uma matriz quadrada de ordem n. Deste modo, a programação linear é um caso particular da programação quadrática, considerando Q = 0. 2.3 Programação Quadrática 9 Min ctx + 1 2 xtQx s.a Ax = b x ≥ 0 (2.9) onde Q é uma matriz n× n simétrica definida positiva. Note que pelo Teorema 2.3.2.1 a função objetivo de 2.9 é uma função convexa. Para o problema de fluxo de potência ótimo Q é uma matriz diagonal, que será assumido a partir deste momento. Tendo a formulação primal 2.9 obtém-se a formulação dual: Max bty − 1 2 xtQx s.a Aty −Qx + z = c (x, z) ≥ 0 (2.10) Assim, com as formulações 2.9 e 2.10 pode-se enunciar o seguinte corolário: Corolário 2.3.2.2 (Condições de Otimalidade 2) Tem-se que (x, y, z) é solução ótima primal e dual de um problema quadrático se e somente se satisfazer • Factibilidade Primal: { Ax = b x ≥ 0 ; • Factibilidade Dual: { Aty −Qx + z = c (x, z) ≥ 0 ; • Complementaridade: { XZe = 0 . onde e = (1, . . . , 1)t. O Corolário 2.3.2.2 fornece o critério para avaliar se uma determinada solução é ou não ótima do problema. 2.3.2 Programação Quadrática Convexa com Variáveis Canalizadas A grande maioria dos problemas reais tais como de áreas típicas da Engenharia Elétrica, como a transmissão de energia elétrica das fontes de produção para o mercado consumidor, possue natu- ralmente restrições canalizadas ou variáveis canalizadas, o que indica que estruturas de canalização sejam bastante úteis. Neste trabalho esta visão não é diferente, a canalização de variáveis aproxima ainda mais o modelo do problema real. A formulação primal para um problema com variáveis canalizadas é a seguinte: min ctx + 1 2 xtQx s.a Ax = b l ≤ x ≤ u (2.11) O problema 2.11 pode ser reescrito na forma padrão, para isso é feita a seguinte mudança de variáveis: 2.3 Programação Quadrática 10 x̃ = x− l ũ = u− l essa mudança tem por objetivo anular o limitante inferior de x. Acrescentando também uma variável de folga v e desconsiderado a notação com tils para simplificar tem-se a seguinte formulação: min ctx + 1 2 xtQx s.a Ax = b x + v ≤ u (x, v) ≥ 0 (2.12) A formulação 2.12 tem como dual associado o seguinte problema: max bty − µtw − 1 2 xtQx s.a Aty − w + z −Qx = c (w, z) ≥ 0 (2.13) Desta forma obtém-se as seguintes condições de otimalidade Corolário 2.3.2.3 (Condições de Otimalidade 3) Tem-se que (x, y, z) é solução ótima primal e dual de um problema linear canalizado se e somente se satisfazer • Factibilidade Primal:    Ax = b x + v = u (x, v) ≥ 0 ; • Factibilidade Dual: { Aty − w + z −Qx = c (w, z) ≥ 0 ; • Complementaridade: { XZe = 0 V We = 0 onde e = (1, . . . , 1)t. O Corolário 2.3.2.3 além de fornecer o critério para avaliar se uma determinada solução é ou não ótima do problema com variáveis canalizadas, é o resultado mais importante dessa seção, pois com base nele pretende-se chegar na otimalidade do problema de fluxo de potência ótimo. Capítulo 3 Método de Pontos Interiores Primal-Dual 3.1 Introdução Os métodos de pontos interiores vem sendo uma interessante área de pesquisa em otimização desde o surgimento do método simplex, seus estudos mudaram a paisagem na teoria de computação e de programação matemática. O primeiro estudo de pontos interiores aplicados ao sistema de potência foi feito em 1991 [8]. A idéia deste método consiste em encontrar uma solução ótima de um problema de programação linear, caminhando pelo interior do ortante positivo [9, 10]. O método de pontos interiores baseado na formulação primal-dual, que pode ser visto como a aplicação do método de Newton (Apêndice A) às condições de otimalidade do problema, é muito competitivo com o simplex para problemas de grande porte. Sua teoria é também de grande impor- tância para a otimização de problemas convexos de programação não-linear. Definição 3.1.1 Um ponto de um problema linear é chamado de ponto interior se todas as suas componentes se encontram estritamente dentro de seus limites. Exemplos: • x > 0 com Ax = b é um ponto interior e factível para o problema primal na forma padrão; • z > 0 com Aty + z = c é um ponto interior e factível para o problema dual na forma padrão; 3.2 Método Primal-Dual Afim Escala Este método consiste em aplicar o método de Newton às condições de otimalidade do problema linear e garantir que os pontos ainda sejam interiores, assim para o problema, tem-se que achar o zero para a seguinte função f : f(x, y, z) =   Ax− b Aty + z − c XZe   (3.1) 11 3.5 Problemas Quadráticos com Variáveis Canalizadas 14 No sistema (3.10) a matriz AD−1At é simétrica definida positiva, logo pode ser escrita da forma AD−1At = LLt ou seja, pode-se calcular a decomposição de Cholesky [11] de ADAt. A ordem de escolha dos pivôs da diagonal não altera a estabilidade numérica e a estrutura esparsa de ADAt não varia com as ite- rações, assim pode-se utilizar a mesma seqüência de pivôs obtida inicialmente por alguma heurística em todas as iterações reduzindo o enchimento da matriz na decomposição de Cholesky. A matriz ADAt é permutada uma única vez antes de iniciar as iterações. 3.5 Problemas Quadráticos com Variáveis Canalizadas Nesta seção será aplicado o método de pontos interiores primal-dual seguidor de caminhos no problema apresentado na seção 2.3.2. Aplicando o Método de Newton às condições de otimalidade 2.3.2.3 obtém-se as seguintes dire- ções:    Adx = rp dx + dv = u Atdy − dw + dz −Qdx = rd Zdx + Xdz = ra V dw + Wdv = rb (3.12) onde rp = b− Ax ru = u− x− v rd = c− A tdy + w − z + Qx ra = µe−XZe rb = µe− V We Isolado as direções referentes as variáveis de folga primal e dual v e w respectivamente tem-se: dv = ru − dx dw = V −1(rb −Wdv)⇒ dw = V −1(rb −Wru + Wdx) Substituindo essas variáveis no sistema 3.12 tem-se o seguinte sistema:    Adx = rp Atdy − (V −1W + Q)dw + dz = r̄d Zdx + Xdz = ra (3.13) onde r̄d = rd + V −1(rb −Wru) Isolando agora a variável dz tem-se o seguinte: dz = X −1(ra − Zdx) Substituindo no sistema 3.13 resulta-se em: { Adx = rp Atdy −Ddw + dz = r̃d (3.14) 3.6 Critério de Convergência e Ponto Inicial 15 onde D = (V −1W + X−1Z + Q) e r̃d = r̄d −X−1ra. Note que D é formada por soma de matrizes diagonais, portanto D é uma matriz diagonal e sua inversa é facilmente obtida, assim pode-se isolar a variável dx sem problema algum como se segue: dx = −D −1(r̃d − A tdy) Agora substituindo no sistema 3.14 chega-se no sistema: AD−1Atdy = r̄p (3.15) onde r̄p = rp + AD−1r̃d. Observe que o sistema 3.15 é semelhante ao sistema 3.10, ou seja, pode ser resolvido como em 3.11 da seguinte maneira: dy = (AD −1At)−1r̄p (3.16) A matriz AD−1At em 3.16 assim como em 3.11 também é simétrica definida positiva. 3.6 Critério de Convergência e Ponto Inicial Com o método desenvolvido, falta ainda estabelecer um critério de convergência que será baseado nas condições de otimalidade, assim pode-se definir o seguinte: Definição 3.6.1 (Condições de Convergência) Diz-se que o Método convergiu se são satisfeitas as seguintes condições: i Primal Factível ||b− Ax|| ||b||+ 1 <  ii Dual Factível ||c− Aty + z|| ||c||+ 1 <  iii Complementaridade ||ctx− bty|| ||ctx||+ ||bty||+ 1 <  Tendo um critério de convergência, falta apenas definir um ponto inicial. Um fator importante desse método é que não é necessário um ponto inicial factível, apenas que sejam interiores e que xi e zi não sejam “pequenos". Mas pode-se considerar os seguintes pontos iniciais [12]: • Ponto Inicial Primal: Sejam x̃ = At(AAt)−1b, 1 = 100 e 2 = max { −minx̃i, 1, ||b||1 1||A||1 } como Ax̃ = b, tome x0i = max{x̃i, 2} (3.17) 3.6 Critério de Convergência e Ponto Inicial 16 • Ponto Inicial Dual: Seja 3 = 1 + ||c||1 então tome y0 = 0 (3.18) z0i =    ci + 3 se ci ≥ 0 −ci se ci ≤ −3 3 se − ≤ ci ≤ 0 (3.19) Estes pontos iniciais tomados dessa maneira costumam diminuir o número de iterações necessá- rias para a convergência do método. OBS:Usando σ = 0 obtém-se o método afim escala e σ = 1 obtém-se a direção de centragem. Combinações de σk e τ k levam a propriedades diferentes, tais como: • Convergência Super Linear; • Complexidade Polinomial; • Ambos. Na prática usa-se τ entre 0.995 e 0.99995 e σ = { 1 n para problemas pequenos 1√ n para problemas grandes Se γ < 1 utiliza-se σk = γk n , ou seja, µk = ( γk n )2 e o método converge mais rapidamente (1 ou 2 iterações a menos). Existem razões teóricas que mostram que quando estamos próximos de uma solução o método converge mais rápido quando {µk} −→ 0 mais rápido. 4.2 Modelando o Problema 19 s.a Af = Ep− l (4.1) Xf = 0 (4.2) fl ≤ f ≤ fu (4.3) pl ≤ p ≤ pu (4.4) onde: • m, n e g são os números de barras, linhas de transmissão e de geradores respectivamente; • Q: Matriz diagonal g × g da componente quadrática do custo de geração; • R: Matriz diagonal n× n de resistência das linhas; • c: Vetor g × 1 da componente linear do custo de geração; • A: Matriz m× n de incidência da rede de transmissão; • X: Matriz (n−m + 1)× n de reatância das linhas; • f : Vetor n× 1 de fluxo de potência ativa; • p: Vetor g × 1 de geração de potência ativa; • l: Vetor m× 1 de demanda de potência ativa; • E: matriz de ordem m × g com cada coluna contendo exatamente um elemento igual a 1, correspondendo às barras de geração, e os demais elementos nulos; • fu, fl, pu e pl: limites de fluxo e de geração de potência ativa respectivamente; • α e β: ponderações dos objetivos a minimizar. O sistema de transmissão é representado por um fluxo de carga CC com limites no fluxo das linhas. Para que as variáveis de geração e transmissão possam ser expressas simultaneamente no mo- delo, as leis de Kirchhoff para nós e ramos 4.1 e 4.2 são apresentadas separadamente [13]. Portanto, o conjunto de restrições para este problema é linear onde, as equações 4.1 e 4.2 representam a rede de geração/transmissão e as equações 4.3 e 4.4 representam as capacidades de transmissão e de geração do sistema. No modelo utilizado as duas componentes da função objetivo são quadráticas com variá- veis separáveis, a primeira representando o valor econômico das perdas de transmissão e a segunda representando o custo de geração das usinas tanto térmicas quanto hidrelétricas [20]. A função de perdas na geração hidráulica (ptQp + ctp) com Q matriz diagonal [20] modela as três formas mais importantes de perda: • variações na cota de jusante; • perdas na tubulação de adução da unidade geradora; 4.2 Modelando o Problema 20 • perdas associadas à eficiência do par turbina-gerador. O custo de geração associado às termoelétricas também é uma função quadrática independente para cada gerador. Portanto, utilizando o modelo descrito para minimizar as perdas na geração hi- dráulica e custos na geração térmica, as duas componentes da função objetivo são quadráticas com variáveis separáveis, uma vez que a matriz R também é diagonal. Vale ressaltar que os métodos de pontos interiores para problemas com esta característica apre- sentam desempenho similar ao obtido para problemas lineares. Em particular, o esforço por iteração é virtualmente o mesmo em ambas as situações [9, 10]. Para deixar o problema na forma padrão, com os limites inferiores iguais a zero, nas duas últimas equações acima é feita uma mudança de variáveis da seguinte forma: f̃ = f − fl p̃ = p− pl Fazendo as substituições acima resulta-se na seguinte formulação: min α(1 2 f̃ tRf̃ + ctf f̃) + β( 1 2 p̃tQp̃ + ctpp̃) s.a Af̃ − Ep̃ = la Xf̃ = lb 0 ≤ f̃ ≤ f̃u 0 ≤ p̃ ≤ p̃u onde la = Epl − Afl − l lb = −Xfl cf = Rfl cp = c + Qpl f̃u = fu − fl p̃u = pu − pl Agora, acrescenta-se as variáveis de folga e elimina-se os tios, tem-se: min α(1 2 f tRf + ctff) + β( 1 2 ptQp + ctpp) s.a Bf − Êp = l̂ f + sf = fu p + sp = pu (f, p, sf , sp) ≥ 0 onde B = [ A X ] , Ê = [ E 0 ] , l̂ = [ la lb ] 4.2 Modelando o Problema 21 Escrevendo o sistema acima na forma matricial tem-se o seguinte:   B −Ê 0 0 I 0 I 0 0 I 0 I   .   f p sf sp   =   l̂ fu pu   Desta forma, o problema dual associado é o seguinte: max l̂ty + f tuwf + p t uwp − α 2 f tRf − β 2 ptQp s.a   Bt I 0 −Ê 0 I 0 I 0 0 0 I   .   y wf wp   ≤   cf + Rf cp + Qp 0 0   Ou seja: max l̂ty + f tuwf + p t uwp − α 2 f tRf − β 2 ptQp sa Bty + wf − αRf ≤ αcf −Êty + wp − βQp ≤ βcp (wf , wp, zf , zp) ≥ 0 Acrescentando as variáveis de folga e fazendo as mudanças de variáveis: wf := −wf e wp := −wp tem-se max l̂ty − f tuwf − p t uwp − α 2 f tRf − β 2 ptQp sa Bty − wf + zf − αRf = αcf −Êty − wp + zp − βQp = βcp (wf , wp, zf , zp) ≥ 0 Logo tem-se as condições de otimalidade: (P ) =    Bf − Êp = l̂ f + sf = fu p + sp = pu (D) = { Bty − wf + zf − αRf = αcf −Êty − wp + zp − βQp = βcp (C) =    FZfe = µe PZpe = µe SfWfe = µe SpWpe = µe Capítulo 5 Fluxo de Potência Ótimo (CC) com Reserva de Potência Operacional 5.1 Introdução Nestes últimos anos, os sistemas elétricos de potência têm experimentado mudanças estruturais importantes, passando de um ambiente regulado de estrutura vertical para um ambiente desregulado e descentralizado. Em qualquer um dos ambientes citados, o principal objetivo é a garantia de um sistema de potência operando em forma eficiente e dentro de níveis adequados de confiabilidade[21]. Quando um sistema de potência sofre uma contingência, como a perda de unidades de transmissão ou de geração, podem ser verificados desequilíbrios no conjunto carga-geração ou extrapolações nos limites de capacidade dos circuitos de transmissão. Nestas situações torna-se necessário o emprego de medidas corretivas que eliminem estas violações operativas, reconduzindo o sistema a um ponto de operação seguro. Dentre o conjunto de medidas corretivas disponíveis, destacam-se o redespacho de potência ativa, reservando ou não potência, o controle de tensão e o corte de carga. O serviço ancilar1[22] de reserva de potência é provido por geradores conectados à rede elétrica e sincronizados com o sistema de potência. Este serviço ancilar visa disponibilizar uma quantidade extra de potência ativa, que pode ser imediatamente utilizada durante uma situação de contingência para restabelecer o equilíbrio no conjunto carga-geração. Para que esta reserva de potência seja disponibilizada, torna-se necessário que os geradores re- duzam a geração de potência ativa durante a operação normal do sistema, com objetivo de reservar uma parcela de sua capacidade de geração para situações de contingência. Contudo, é possível que a receita de venda de energia destes geradores seja reduzida devido à restrição imposta a sua geração de potência ativa durante a operação normal do sistema. Isto faz com que estes geradores incorram em um custo ao prover o serviço ancilar [23, 24, 25, 26], que deve ser remunerado de alguma forma. A reserva de potência é um produto fundamentalmente diferente da energia. Enquanto que para a energia negociada sua utilização é programada antecipadamente, a reserva de potência deve estar 1serviços ancilares são aqueles que complementam os serviços principais que, na segmentação brasileira, são carac- terizados pela geração, transmissão, distribuição e comercialização. Estes serviços, em um sistema integrado como o brasileiro, se caracterizam por relações causa-efeito que afetam os sistema como um todo e que ultrapassam as fronteiras da área de abrangência das empresas e/ou dos serviços principais. 24 5.2 Formulação Matemática 25 disponível para ser usada imediatamente, caso ocorra uma contingência no sistema. A oferta para a reserva de potência é feita por geradores, que também atendem o mercado de energia [27, 23, 28]. A quantidade da reserva de potência disponível depende do nível de confiabilidade e de segurança que se quer. No Brasil, OIS (Operador Independente do Sistema) pode requisitar, para garantir uma operação eficiente e segura do sistema, o redespacho de um gerador reduzindo sua potência ativa a fim de permitir que o mesmo forneça mais reserva de potência[21]. 5.2 Formulação Matemática Será apresentado agora o modelo de fluxo de potência ótimo (CC) com reserva de potência ope- racional: min α 2 f tRf + β 2 (ptQp + ctp) s.a Af = Ep− l Xf = 0 p + re = pu vtre ≥ τ 0 ≤ re ≤ reu fl ≤ f ≤ fu pl ≤ p ≤ pu (5.1) onde: • m, n e g são os números de barras, linhas de transmissão e de geradores respectivamente; • f : Vetor n× 1 de fluxo de potência ativa; • p: Vetor g × 1 de geração de potência ativa; • re: Vetor g × 1 de reserva de potência ativa; • Γ: Conjunto dos geradores com reserva de potência; • τ : mínimo de reserva de potência exigida em um subconjunto Γ de geradores; • Q: Matriz diagonal g × g da componente quadrática do custo de geração; • R: Matriz diagonal n× n de resistência das linhas; • l: Vetor m× 1 de demanda de potência ativa; • X: Matriz (n−m + 1)× n de reatância das linhas; • E: matriz de ordem m × g com cada coluna contendo exatamente um elemento igual a 1, correspondendo às barras de geração, e os demais elementos nulos; 5.3 Aplicando o Método de Pontos Interiores Primal-Dual ao Fluxo de Potência Ótimo Com Reserva de Potência Operacional 26 • c: Vetor g × 1 da componente linear do custo de geração; • A: Matriz m× n de incidência da rede de transmissão; • fu, fl, pu, pl e reu: Vetores de limites de fluxo, de geração de potência ativa e de reserva de potência requisitada respectivamente; • α e β: ponderações dos objetivos a minimizar. • v é um vetor g × 1 tal que vi = { 1 se o gerador i ∈ Γ 0 caso contrário A terceira e quarta equações representam a definição e a restrição de reserva de potência respec- tivamente, a quinta equação representa o limite de reserva de potência e as demais equações já foram definidas no Capítulo 4. Note que a inclusão de reserva de potência torna redundante o limite superior da capacidade de geração das usinas que participam da reserva. 5.3 Aplicando o Método de Pontos Interiores Primal-Dual ao Fluxo de Potência Ótimo Com Reserva de Potência Operacional Colocando o problema (5.1) na forma padrão, com ajuda de algumas mudanças de variáveis e o acréscimo de variáveis de folga, obtém-se a seguinte formulação: min α ( 1 2 f tRf + ctff ) + β ( 1 2 ptQp + ctpp ) s.a Bf − Êp = l̂ p + re = pu vtre − s = τ f + sf = fu p + sp = pu re + sre = reu (f, p, re, s, sf , sp, sre) ≥ 0 onde cf = Rfl , cp = c + Qpl, la = Epl − Afl − l e lb = −Xfl B = [ A X ] , Ê = [ E 0 ] , l̂ = [ la lb ] . Reescrevendo as restrições na forma matricial tem-se: Tq = b onde 5.3 Aplicando o Método de Pontos Interiores Primal-Dual ao Fluxo de Potência Ótimo Com Reserva de Potência Operacional 29 rfp = l̂ −Bf + Êp rτ = τ − v tre + s rpres = pu − p− re rf = fu − f − sf rp = pu − p− sp rsre = reu − re − sre ryf = α(cf + Rf)− B ty + wf − zf ryp = β(cf + Qp) + Ê ty + wp − zp rwz = −yr − vw + wre − zre rzf = µe− FZfe rzp = µe− PZpe rzre = µe−ReZree rsw = µ− sw rswf = µe− SfWfe rswp = µe− SpWpe rswre = µe− SreWree No sistema anterior vamos isolar as direções referentes as “variáveis de folga”, primais e duais, exceto ∆w: ∆zf = F −1(rzf − Zf∆f) ∆zp = P −1(rzp − Zp∆p) ∆zre = R −1 e (rzre − Zre∆re) ∆wf = S −1 f (rswf −Wf∆sf ) ∆wp = S −1 p (rswp −Wp∆sp) ∆wre = S −1 re (rswre −Wre∆sre) ∆s = vt∆re − rres ∆sf = rf −∆f ∆sp = rp −∆p ∆sre = rre −∆re Substituindo esses valores nas direções de Newton obtidas acima chega-se ao seguinte sistema reduzido:    B∆f − Ê∆p = rfp ∆p + ∆re = rpres Bt∆y −Df∆f = r̃yf −Êt∆y + ∆yr −Dp∆p = r̃yp ∆yr + v∆w −Dre∆re = r̃wz s∆w + wτ t∆re = r̃sw onde 5.3 Aplicando o Método de Pontos Interiores Primal-Dual ao Fluxo de Potência Ótimo Com Reserva de Potência Operacional 30 Df = S −1 f Wf + F −1Zf + αR Dp = S −1 p Wp + P −1Zp + βQ Dre = S −1 re Wre + R −1 e Zre r̃yf = ryf + S −1 f rswf − S −1 f Wfrf − F −1rzf r̃yp = ryp − P −1rzp + S −1 p (rswp −Wprp) r̃wz = rwz + S −1 re (rswre −Wrerre)−R −1 e rzr r̃sw = rsw + wres observe que Df , Dp e Dre são matrizes diagonais. Isolando as direções relacionadas as variáveis primais do sistema anterior: ∆f = −D−1f (r̃yf − B t∆y) ∆p = −D−1p (r̃yp + Ê t∆y −∆yr) ∆re = −D −1 re (r̃wz − v∆w −∆yr) Agora substituindo no sistema reduzido acima tem-se o seguinte:    M̄∆y − ÊD−1p ∆yr = r̃fp −D−1p Ê t∆y + Dyr∆yr + D −1 re v∆w = r̃pres wvtD−1re ∆yr + (s + wv tD−1re v)∆w = r̂sw onde M̄ = BD−1f B t + ÊD−1p Ê t Dyr = D −1 re + D −1 p r̃fp = rfp + BD −1 f r̃yf − ÊD −1 p r̃yp r̃pres = rpres + D −1 p r̃yp + D −1 re r̃wz r̂sw = r̃sw + wτ tD−1re r̃wz Da segunda equação do sistema acima obtém-se ∆yr = D −1 yr (r̃pres + D −1 p Ê t∆y −D−1re v∆w) Substituindo ∆yr nas equações restantes tem-se o seguinte sistema: { M∆y + u∆w = r̂fp wut∆y + h∆w = r̄sw onde M = M̄ − ÊD−1p D −1 yr D −1 p Ê t u = ÊD−1p D −1 yr D −1 re v h = s + wτ tD−1re v − wv tD−1re D −1 yr D −1 re v r̂fp = r̃fp + ÊD −1 p D −1 yr rpre r̄sw = r̂sw − wτ tD−1re D −1 yr r̃pres O sistema obtido acima pode ser resolvido como em [29] da seguinte forma: 5.3 Aplicando o Método de Pontos Interiores Primal-Dual ao Fluxo de Potência Ótimo Com Reserva de Potência Operacional 31   ∆w = r̄sw − wV ty0 h + wU ty1 ∆y = y0 + y1∆w onde y0 = M −1r̂fp y1 = −M −1U Observe que o a resolução do sistema inicial foi reduzida a resolução dos dois sistemas em 5.3,onde cada um tem a dimensão do número de barras do problema e envolve a mesma matriz M . A matriz M dos sistemas em 5.3 é simétrica e definida positiva, portanto pode ser decomposta usando a fatoração de Cholesky e esta fatoração pode ser usada para resolver os dois sistemas, redu- zindo o custo computacional exigido. Deste modo, a inserção de restrições de reserva de potência ao problema de fluxo de potência ótimo leva à resolução de não apenas um sistema linear com a dimensão do número de barras como obtido no Capítulo anterior, mas sim a resolução de dois sistemas lineares de mesma dimensão, mas com custo computacional relativamente equivalente a resolver apenas um sistema linear. Assim o fluxo de potência ótimo com restrições de reserva de potência operacional pode ser resolvido aplicando-se o método de pontos interiores primal-dual com a mesma eficiência obtida no problema sem essas restrições. 6.1 Estudos de Casos 34 Como a matriz Q = I , minimizar apenas o custo na geração (G) (α = 0 e β = 1) faz com que o despacho de potência ótimo distribua de forma uniforme a potência entre os geradores do sistema, já que ainda não é imposto um limite de geração entre eles que impessa essa uniformidade. Mantendo a configuração anterior e reduzindo o custo do gerador 1 pela metade e dobrando o do gerador 5 (Gc) é de se esperar que este último produza metade da potência obtida pelos que não tiveram seus custos alterados, da mesma forma, espera-se que o primeiro, por ser mais barato, produza o dobro da potência obtida por estes geradores. Esses despachos podem ser observados na Figura 6.2 ítens (T ), (G) e (Gc). Impondo os limites de produção (Gcl) da Tabela 6.2 o gerador 1 no estudo (Gc) é o único que vi- olaria seu limite, desta forma, este gerador atínge sua produção máxima , fazendo com que a potência excedente seja distribuída proporcionalmente entre os demais geradores. A partir deste ponto, quando não mencionado, os limites de produção dos geradores do sistema IEEE30 serão os da tabela 6.2. O limite de fluxo máximo de potência na linha de transmissão 9-11 (Gclf) foi reduzido para 25MW. Como esta é a única linha de transmissão do gerador 11 (ver Figura 6.1) é de se esperar que sua produção diminua para 25MW, fazendo com que a potência restante seja distribuída entre os demais geradores ainda com capacidade de produção disponível. Fazendo com que o modelo minimize as perdas nas linhas de transmissão e o custo na geração (T&Gclf), ou seja, considerando α = cm e β = 1, onde cm é o custo marginal dos geradores no estudo anterior, obtém-se o despacho ótimo englobando todos os casos estudados. Os despachos para esses estudos podem ser observados na Figura 6.2 ítens (Gcl), (Gclf) e (T&Gclf). Fig. 6.2: Despachos de potências sem exigência de Reserva. 6.1 Estudos de Casos 35 Gerador 1 2 5 8 11 13 Limite(MW) 55 55 70 70 60 60 Tab. 6.2: Limites de geração de potência nos geradores do sistema IEEE 30 Observe que mesmo o gerador 5 sendo mais caro que os demais, este atingiu seu limite de pro- dução, já o gerador 1, o mais barato, teve menor produção. Isso se dá devido a proximidade dos geradores das cargas do sistema. Assim, os testes feitos até o momento asseguram a funcionabilidade do modelo sem exigência de reserva de potência. Antes de iniciar os próximos estudos será feita a seguinte definição: Definição 6.1.1 (Reserva natural) Define-se reserva natural de potência como sendo a diferença entre a capacidade máxima do gerador e a potência gerada por ele em um despacho sem exigência de reserva de potência. Reserva de Potência no sistema IEEE 30 Inicialmente, para melhor observação dos efeitos provocados pela inserção de restrições de reserva ao modelo 5.1, os testes a seguir serão feitos para minimizar apenas os custos na geração, utilizando os limites de produção da Tabela 6.2 e com custos de geradores iguais, ou seja, Q = I . Será exigido 70MW de reserva de potência em cada conjunto Γn especificados na tabela 6.3. Conjuntos Geradores Γ1 5 - 8 Γ2 2 - 5 - 8 Γ3 1 - 2 - 5 - 8 Γ4 8 - 11 Tab. 6.3: Conjuntos Γ - IEEE 30 A Assim, iniciando os estudos de reserva com Γ1, é de se esperar que a produção neste conjunto di- minua uniformemente afim de satisfazer a reserva exigida, aumentando assim a produção dos demais geradores. Aumentando o número de geradores com exigência de reserva, a produção nesses geradores deve aumentar, já que precisam também ajudar a satisfazer a demanda do sistema, além de continuar mantendo uma uniformidade na produção, o que é observado tanto para Γ2 quanto para Γ3. A Figura 6.3 ilustra esses despachos, onde Γ0 representa o despacho com a mesma configuração mas sem restrições de reserva de potência. 6.1 Estudos de Casos 36 Fig. 6.3: Despachos de potências com exigência de 70MW de Reserva (a.1). Observe na Figura 6.3 que nenhum dos geradores do sistema, em nenhum dos casos, atingiu seu limite de produção, caso isso acontecesse, esta distribuição se uniformizaria nos demais geradores ainda com capacidade de produção, isso pode ser observado na Figura 6.4 com o gráfico de despacho de potência para a reserva Γ4. Fig. 6.4: Despachos de potências com exigência de 70MW de Reserva (a.2). A tabela 6.4 resume os resultados obtidos até então para o sistema IEEE30: 6.1 Estudos de Casos 39 Reserva(MW) Redução(%) Aumento Conjuntos Iterações Tempo(s) Natural Obtida de Geração em Γ Relativo de fobj Γ0 6 0,001 86,6 - - - Γ1 14 0,031 10,01 70 100 0,314 Γ2 8 0,018 12,32 70 48,81 0,099 Γ3 7 0,015 37,74 70 21,91 0,015 Γ4 10 0,02 37,74 86,6 33,18 0,103 Tab. 6.6: Dados Obtidos 2: Testes com IEEE30 O teste feito em Γ1 provocou o mesmo efeito que desligar o gerador 8 do sistema, por isso o número de iterações elevado se comparado com os demais. Observando as Tabelas 6.6 e 6.4 pode-se ver que o número de geradores participantes da reserva e a diferença entre a reserva natural de Γ e a reserva desejada influência bastante tanto no número de iterações quanto no aumento relativo da função objetivo, mas vale salientar também que as proprie- dades dos geradores que participam da reserva em Γ, tais como distâncias das cargas, capacidade e demanda, devem ser exploradas, afim de minimizar o valor da função objetivo e também o número de iterações. Outra propriedade que também deve ser observada é o limite nas linhas de transmissão, pois em alguns casos, algumas dessas linhas podem saturar, deixando assim o problema infactível. 6.1 Estudos de Casos 40 6.1.2 O Sistema IEEE118 O sistema IEEE 118 possui 118 barras sendo 53 delas geradores, com uma demanda de 4242MW . Este sistema representa uma porção do Sistema Elétrico Americano (no EUA do Meio Oeste) a partir de dezembro 1962 [30]. A Figura 6.7 trás o diagrama unifilar deste sistema. Fig. 6.7: Diagrama Unifilar - IEEE 118 6.1 Estudos de Casos 41 A Figura 6.8 mostra o despacho de potência ótimo sem considerar reserva no sistema IEEE118. Este despacho servirá como base de comparação para os despachos obtidos considerando reserva de potência. Fig. 6.8: IEEE118-Despacho de potência para Γ0. A Tabela 6.7 mostra os conjuntos de geradores escolhidos para participarem da reserva de potência no sistema IEEE118. Conjuntos Geradores Γ1 4 - 6 - 8 Γ2 4 - 6 - 8 - 18 - 19 Γ3 49 - 54 - 55 - 56 - 59 - 61 - 62 - 65 Γ4 70 - 72 - 73 - 74 - 76 - 77 - 85 - 87 - 89 - 90 - 91 Tab. 6.7: Conjuntos Γ - IEEE 118 Observe que o conjunto Γ1 ⊂ Γ2, os testes com esses conjuntos foram feitos para verificar a influência de acréscimo de geradores em um conjunto Γ. A maior capacidade de produção entre os geradores deste sistema é de 130MW , assim esta será a reserva exigida para os conjuntos Γ1 e Γ2. Os conjuntos Γ3 e Γ4 foram escolhidos para obter toda a reserva natural do sistema, ou seja, 358MW . Os testes para esses conjuntos servem para comparar a influência de cada Γ. Assim, seguem os despachos obtidos a partir da reserva exigida nos conjuntos de geradores da Tabela 6.7. 6.1 Estudos de Casos 44 6.1.3 Sistemas Equivalentes Sul/Sudeste/Centro-Oeste Nas regiões Sul/Sudeste/Centro-Oeste habitam 64% dos brasileiros, são em média importadoras de eletricidade já que produzem cerca de 75% e consomem cerca de 79% da energia elétrica do país [31]. Algumas das causas para o alto consumo de energia elétrica na região são os elevados índices de atendimento e de eletrificação rural e também da intensa atividade econômica. Nestas regiões estão localizadas as principais usinas hidrelétricas do país. A maioria dos aprovei- tamentos hidrelétricos importantes foram transformados em usinas, assim, restam poucas possibili- dades de expansão da hidrogeração. Nos últimos anos os baixos investimentos em geração e transmissão de energia têm limitado o atendimento do mercado. Devido a importância dessa região, a seguir serão apresentados resultados numéricos para dois sistemas esquivalentes, o sistema SSECO1654 e o sistema SSECO1732. O Sistema SSECO1654 O sistema SSECO1654 possui 1654 barras sendo 124 delas geradores, com uma demanda de 32326, 3MW . A Figura 6.10 mostra o despacho de potência ótimo sem considerar reserva no sistema SSECO1654. Este despacho servirá como base de comparação para os despachos obtidos considerando reserva de potência. Fig. 6.10: SSECO1654-Despacho de potência para Γ0. A Tabela 6.9 mostra os conjuntos de geradores escolhidos para participarem da reserva de potên- cia. 6.1 Estudos de Casos 45 Conjuntos Geradores Γ1 156 157 165 189 195 196 219 230 231 232 233 264 280 Γ2 680 681 682 683 685 686 766 767 768 913 914 915 964 965 1072 1113 1115 1203 1361 1466 1498 1499 1500 1501 293 Γ3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 37 73 101 Γ4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 37 73 101 Tab. 6.9: Conjuntos Γ - SSECO1654 Os conjuntos Γ3 e Γ4 são propositalmente iguais, mas a reserva exigida em cada caso é diferente, enquanto em Γ3 exige-se a mesma reserva dos conjuntos anteriores 2200MW , em Γ4 exige-se a reserva total do sistema. Assim, segue os despachos obtidos a partir da reserva exigida nos conjuntos de geradores da Tabela 6.9. 6.1 Estudos de Casos 46 Fig. 6.11: SSECO1654 - Despachos de potência. Na Tabela 6.10 resumem-se os resultados obtídos: 6.1 Estudos de Casos 49 Fig. 6.13: SSECO1732 - Despachos de potência. Na Tabela 6.12 resumem-se os resultados obtídos para esse sistema. Reserva(MW) Redução(%) Aumento Conjuntos Iterações Tempo(s) Natural Obtida de Geração em Γ Relativo de f Γ0 56 12,3 4341,89 - - - Γ1 61 18,04 0 2200 50 0,267 Γ2 59 17,76 0 2200 25 0,165 Γ3 57 16,85 576,91 2200 15,28 0,128 Tab. 6.12: Dados Obtidos: Testes com SSECO1732 6.1 Estudos de Casos 50 6.1.4 O Sistema BRASIL O sistema equivalente BRASIL é um sistema de 1993 barras sendo 151 delas geradores, este sistema possui uma demanda de 40155, 2MW A Figura 6.14 ilustra o despacho de potência sem considerar restrições de reserva: Fig. 6.14: BRASIL-Despacho de potência para Γ0. A Tabela 6.13 mostra os conjuntos de geradores que irão participar da reserva: Conjuntos Geradores Γ1 4 5 6 7 8 11 12 13 Γ2 Γ1∪ 1822 1823 1824 1825 1859 1871 Γ3 Γ2∪ 773 788 793 795 796 797 Tab. 6.13: Conjuntos Γ - BRASIL A Figura 6.15 mostra os despachos obtidos com a inserção de restrições de reserva nos conjuntos Γn. 6.1 Estudos de Casos 51 Fig. 6.15: BRASIL - Despachos de potência. Na Tabela 6.14 resumem-se os dados obtidos: Reserva(MW) Redução(%) Aumento Conjuntos Iterações Tempo(s) Natural Obtida de Geração em Γ Relativo de fobj Γ0 55 13,33 10844,8 - - - Γ1 63 19,11 817,98 2200 27,91 0,0002 Γ2 60 18,33 1031,22 2200 15,10 0,0002 Γ3 63 19,95 1031,22 2200 12,57 0,0001 Tab. 6.14: Dados Obtidos: Testes com BRASIL Referências Bibliográficas [1] I. Adler, Mauricio G. C. Resende, G. Veiga, and N. Karmarkar. An implementation of Karmar- kar’s algorithm for linear programming. Mathematical Programming, 44:297–335, 1989. [2] J. Gondzio. 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A.3 O Método de Newton Multidimensional Na seção anterior foi apresentado o método de Newton para funções de uma variável, assim, nada mais natural que generalizá-lo para funções de várias variáveis. A função f passa a ser uma função vetorial da forma: f(x) =   f1(x) f2(x) ... fm(x)   , fi ∈ C 1 ∀ i = 1 . . .m. Obter x que anule f é o mesmo que obter x que anule simultaneamente cada fi, i = 1 . . .m. Assim, usando a formula de Taylor em torno de x0 e fazendo fi(x) = 0, i = 1 . . .m tem-se: fi(x) ≈ fi(x0) +∇f(x) t(x− x0) i = 1 . . .m (A.4) o que leva a ∇f1(x) t(x− x0) = −f1(x0) ∇f2(x) t(x− x0) = −f2(x0) ... ∇fm(x) t(x− x0) = −fm(x0)    ⇒ J(x0)(x− x0) = −f(x0) onde J(x0) é a matriz jacobiana de f em x0. Sendo assim, o método de Newton para funções de várias variáveis é dado por: xk+1 = xk − J(xk) −1f(xk) (A.5) Ao invés de uma aproximação linear da função f poderia ser feita uma aproximação local por uma função quadrática, essas aproximações ganham importância à medida em que se aproximam do ponto ótimo do problema, sendo melhores do que as lineares, mas para os objetivos desse trabalho esta aproximação linear é suficiente. Assim conclui-se o que se necessita saber sobre o método de Newton unidimensional e multidi- mensional para uso na teoria de métodos de pontos interiores. Para mais detalhes sobre o método de Newton e suas característica ver [32, 33]. 60 61 Apêndice B Capacidades dos Sistemas Estudados Fig. B.1: Capacidades - Sistemas IEEE30 e IEEE118
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