Baixe trabalho sobre funções matemáticas e outras Traduções em PDF para Análise de Sistemas de Engenharia, somente na Docsity! SUMÁRIO 1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................4 1.1 – História ....................................................................................................4 1.2 – Conceito e exemplos .............................................................................4 2 – DESENVOLVIMENTO ....................................................................................6 2.1 – Tipos .6 2.1.1 – Injetora .6 2.1.2 – Sobrejetora ..7 2.1.3 – Bijetora .8 2.2 – Domínio .8 2.3 – Contradomínio .9 2.4 – Imagem .9 2.5 – Gráficos .10 2.6 – Operações com funções 10 2.7 – Tipos especiais (Explicação, exemplo, gráfico) 12 2.7.1 – Constante 12 2.7.2 – 1º grau 13 2.7.3 – Módulo 14 2.7.4 – Quadrática (2º grau) 15 2.7.5 – Pares e impares 16 2.7.6 – Periódicas 17 2.7.7 – Inversa 17 2.7.8 – Exponencial 18 2.7.9 – Trigonométrica 19 3 – CONCLUSÃO ................................................................. 23 4 – REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 23 3 1- INTRODUÇÃO 1.1- HISTÓRIA Em 1694 foi introduzido o termo “função” por Leibniz, designando qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. A palavra função foi posteriormente usada por Leonhard Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de dizer que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Durante o Século XIX, iniciou-se a formalização todos os diferentes ramos da matemática. Por exemplo, a Teoria dos conjuntos, Dirichlet criou a definição "formal" de função moderna, sendo caso especial de uma relação, cuja é um conjunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados. 1.2- CONCEITO E EXEMPLOS Função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y=f(x). O objeto x é chamado o argumento ou domínio da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f. Função é uma associação a cada valor do argumento x a um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída. Alguns exemplos: 4 2.1.3 - BIJETORA Função Bijetora ou bijetiva é, ao mesmo tempo, injetora e bijetora, ou seja, para elementos distintos (Diferentes) do conjunto de origem (Domínio) há um elemento distinto correspondente no destino. Exemplos: 1) f(x) = 5x + 4 Note que ela é injetora, pois x1≠x2 implica em f(x1) ≠f(x2) É sobrejetora, pois para cada elemento em B existe pelos menos um em A, tal que f(x)=y. Gráficos: 7 DOMINIO / CONTRADOMINIO / IMAGEM Como nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão não ter correspondentes associados para todos os números reais e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado. Ex: Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada). Há 3 conjuntos especiais associados a função. Domínio é o conjunto de todos os elementos x para a definição da função. Contradomínio é o conjunto dos elementos contidos, cujos se relacionam a elementos do domínio. Imagem é um subconjunto de contradomínio. A função se caracteriza pelo domínio, o contra-domínio, e a lei de associação. A função é diferente da função . De acordo com a teoria dos conjuntos, uma função deve ser definida rigorosamente por três dados (conjuntos): > conjunto G de pares ordenados, chamado de gráfico da função > conjunto X chamado de domínio > conjunto Y chamado de contradomínio, contra-domínio ou codomínio Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas. 1. f:RR definida por f(x)=x² Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,) 2. f:[0,2]R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4] 3. A função modular é definida por f:RR tal que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,) e seu gráfico é dado por: 4. Uma semi-circunferência é dada pela função real f:RR, definida por 8 Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por: GRÁFICOS Função pode ser considerada um conjunto de pares ordenados (x; y), criados de acordo com determinado critério; plotados em um sistema de coordenadas cartesianas. Os pares ordenados assim criados produzem o que se chama de gráfico da função. O conjunto dos valores x é chamado domínio da função, e o conjunto dos y é chamado imagem da função. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Em funções também existe a possibilidade de serem realizadas as quatro operações (soma, subtração, multiplicação e divisão) gerando uma nova função. Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais: • (f+g)(x) = f(x)+g(x) • (f-g)(x) = f(x)-g(x) • (f.g)(x) = f(x).g(x) • (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x)≠ 0. EXEMPLO: 1) Expressão r(x)=1 ; s(x)=(x-1)² ; (r+s)(x)=(x-1)²+1= x²-2x+2 ; Gerou 9 Através do gráfico identifica-se se uma função é crescente ou decrescente. Gráficos: crescente e decrescente respectivamente: y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1 y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1 Função crescente Função decrescente FUNÇÃO MODULAR Para entender função modular é preciso lembrar o que é modulo: o módulo de um número real como |x| é o valor absoluto de x. Ou seja, o todo número negativo fica positivo e todo número positivo mantém o seu sinal. Sendo assim é aquela que associa a cada elemento x real um elemento |x| . Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por: A função modular é uma função definida por duas sentenças. Exemplos: 1) Determinar o domínio da função Resolução: 2) Determinar o domínio da função 12 Resolução: Gráficos: Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo. FUNÇÃO QUADRÁTICA Chama-se função quadrática a função Real que associa, a cada número real X, o número real aX² + bX + C, onde a, b e c são reais e a≠0. Exemplos: 1) f(X)= 2x² + 5x + 6, onde a= 2, b= 5 e c= 6 2) f(X)= – x² + x – 1, onde a= – 1, b= 1 e c= – 1 3) f(X)= ⅔x² + √5 , onde a=⅔, b=0 e c=√5 Gráfico: f(x)=-x2+2x-3 13 x -1 0 1 2 3 f(x) -6 -3 -2 -3 -6 O sinal da função determinará para onde a sua concavidade será voltada e qual o eixo ele vai cortar. Analisando os valores de Δ (Delta resultante da fórmula de bháskara) e de a. FUNÇÃO PARES E ÍMPARES Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(- x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY. Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x). Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(- x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem. FUNÇÃO PERIÓDICA Muitas situações ou fenômenos à nossa volta são periódicos, isto é, de tempos em tempos se repetem. Por exemplo, todos ou dias acontece o nascer do sol e o pôr-do- sol. A cada 28 dias a Lua estará da mesma forma, do ponto de vista de um 14 Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R. Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] . Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco: f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva) f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa) Função cosseno Chamamos de função cosseno a função f: R® R que a cada número real x , associa o cosseno desse número: f: R® R, f(x) = cos x. O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja: Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R. Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] . Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco: f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva) f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa) Função tangente Chamamos de função tangente a função f: E® R que a cada número xÎ E, com E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý associa a tangente desse número: f: E® R, f(x) = tg x. O domínio dessa função é E e a imagem é R; visto que no 1° e 3° quadrantes, a função tg x varia de 0(zero) até ¥ (infinito) e 2° e 4° quadrantes varia de -¥ (menos infinito) até 0(zero) Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý . Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R. Sinal da Função: 17 Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então: f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva) f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa) Função secante Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p + kp , onde kÎ Z. Sinal da função Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno. Função cossecante Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z. Sinal da função Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno. Função cotangente Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z. Sinal da função Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno. Exemplo gráfico A função seno Observe que esse gráfico é razoável. Pois: • Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1. • Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0. • Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1. • Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0. 18 CONCLUSÃO As necessidades do homem, como os mais variados propósitos, fizeram dele através dos tempos, um estudioso dos produtos naturais, bem como de suas causas e efeitos. A busca o fez perceber que tudo e todos se relacionam de tal forma que nenhum efeito tem origem numa única causa. Na linguagem usual são comuns as expressões: “Uma coisa depende de outra” ou “Uma esta em função de outra”. Não é raro também revistas e gráficos possuírem gráficos, sobre diversos assuntos, mostrando a dependência entre os fatores em estudo. A ideia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação em gráficos, de certa forma, já se tornou familiar na atualidade. BIBLIOGRAFIA Livro matemática aula por aula 1ªSérie do ensino médio. Edt. FTD. Benigno Barreto Filho e Cláudio Xavier da Silva, pgs.46 e seguintes. Livro Calculo A ,Diva Flemming. Edit.da UFSC, cap. 2 Funções. http://www.prof2000.pt/users/amma/recursos_materiais/rec/10_ano/f_trab/2002_03/ ft_10_22_2002_03.htm http://www.exatas.mat.br http://www.somatematica.com.br http://www.geocities.com/bytelegal/mat0109.htm http://www.fund198.ufba.br http://www.infoescola.com/matematica http://www.brasilescola.com/matematica http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o http://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes-inversa-e-composta 19