Buracos Negros: considerações iniciais, Notas de aula de Física

Baixe Buracos Negros: considerações iniciais e outras Notas de aula em PDF para Física, somente na Docsity! Buracos Negros Glauber Tadaiesky Marques1 Departamento de Física, Universidade Federal do Pará. II Jornada de Física no Pará 21 a 25 de setembro de 2009 1e-mail:tadaiesky@ufpa.br 0.1 Considerações iniciais • Breve historico: 1. Em 25 de novembro de 1915, Einstein apresentou à Aca- demia Prussiana (PAW) a versão final das equações de campo da gravitação 2. Pouco tempo depois, em janeiro de 1916, o alemão Karl Schwarzschild, obteve a primeira solução exata da teoria da relatividade geral para um corpo esférico. Essa solu- ção, hoje conhecida como solução de Schwarzschild. 3. Em trabalhos independentes, Reissner em 1916 e Nords- tröm em 1918 encontraram a solução exata da gravitação acoplada a uma fonte eletromagnética, conhecida como equações de Einstein-Maxwell. Esta solução ficou conhe- cida como solução de Reissner-Nordström. Ela descreve um corpo esférico carregado de carga Q e massa M . 4. Em 1963 Kerr apesenta a solução das equações de Eins- tein sem fonte com rotação. 5. Sendo a métrica de Kerr uma extensão da métrica de Schwarzs- child, em 1965 Ezra Newman e colaboradores fazem a ex- tensão da métrica de Reissner-Nordström e produz a mé- trica com carga Q, com momento angular J e massa M , conhcida com a métrica de Kerr-Newman. 6. Em dezembro de 1967 John Wheeler cunha a expressão "buraco negro". Tais buracos negros são caracterizados pelo teorema do "No Hair", nome originado de um comen- tário feito pelo mesmo John Wheeler, que disse que "os buracos negros não têm nenhum cabelo". Isto quer dizer, por um postulado da astrofísica, que todas as soluções de buracos negros das equações de Einstein-Maxwell da gra- vitação e do eletromagnetismo na relatividade geral podem ser completamente caracterizados por somente três parâ- metros clássicos observados por um observador na região exterior do buraco negro (r > rH ): massa, carga elétrica e momentum angular. Toda informação restante sobre a matéria que deu origem ao buraco negro está contida dentro dele e "desaparece" atrás do horizonte de eventos 1 por c2dτ2 = ds2, sendo τ o tempo próprio da partícula. Na ausência de gravitação estaremos no contexto da relati- vidade especial, quando então a métrica do espaço-tempo se reduz à métrica de Minkowski, ηµν, que é representada em um referencial inercial. O elemento de linha é descrito no sistema de coordenadas cartesianas retangulares (1), por: ds2 = ηµνdx µdxν = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2, (2) e a métrica, será ηµν = η µν =     1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1     (3) • Principio da equivalência: Fisicamente é impossível um observador numa "caixa preta"distinguir se esta em queda livre numa região de campo gravitacional ho- mogêneo ou se esta numa região sem gravidade. Fisicamente é impossível um observador distinguir se está em repouso numa superfície sujeito a um campo gravitacional ou se esta acelardo numa região sem gravidade. Observação: O principio da equivalência só é valido localmente. • Tensor de Riemann ou tensor de curvatura: Rλ µβν = ∂νΓ λ µβ − ∂βΓ λ µν + Γ λ βαΓ α µν − Γ λ ναΓ α µβ, 4 é o tensor de Riemann que realmente decide se estamos diante de um campo gravitacional real, ou diante de um referencial não inercial na ausência de gravitação. Somente há gravita- ção se o tensor de Riemann for diferente de zero. • Conexão métrica: Γαµν = − 1 2 gαλ(∂µgλν + ∂νgλµ − ∂λgµν), sendo esta, na relatvidade geral padrão por construção numa variedade riemanniana, simétrica nos índices inferiores, Γαµν = Γανµ. • Tensor de Ricci (traço simples do tensor de Riemann): Rµν = R λ µλν • Escalar de curvatura ou escalar de Ricci (duplo traço do tensor de Riemann), R = gµνRµν = R µ µ • Um resultado matemático relacionado à espaços riemannianos é que o tensor de curvatura satisfaz identicamente às identi- dades de Bianchi: ∇[µR λα βν] = ∇µR λα βν −∇βR λα νµ −∇νR λα µβ = 0. ∇µ é a operação de derivação covariante, dada por ∇µX ν λ = ∂µX ν λ + Γ ν µσX σ λ − Γ σ µλX ν σ , sendo que esta faz o papel da derivada na relatividade geral. 5 Estas identidades, quando duplamente contraídas fornecem ∇µG µν = 0 , sendo Gµν = Rµν − 1 2 gµνR o tensor de Einstein, que representa uma lei de conservação covariante, no contexto da relatividade geral. Por outro lado, a fonte da gravitação é representada também por um tensor, designado por Tµν, que descreve o conteúdo de matéria-energia e momentum que gera gravitação. Este é cha- mado o tensor energia momentum. A lei de conservação da matéria-energia se escreve, no contexto da relatividade geral, como: ∇µT µν = 0 . O fato de tanto Gµν quanto Tµν satisfazerem leis de con- servação independentemente, levou Einstein a propôr as suas equações da gravitação na forma: Gµν = kTµν sendo que k = 8πG/c2 é a constante de Einstein da gravitação e G a constante de Newton da gravitação. • Principio variacional na relatividade geral: Outra forma de se encontrar as equações de campo na relatividde geral é usando o principio variacional na ação de Einstein-Hilbert (SEH ) acres- cida de um campo de matéria (SM ), δS = δ(SEH + SM ) = 0 = 1 2κ ∫ dDxδ [ √ |g|(R + 2κLM ) ] = 0 = 1 2κ ∫ dDx √ |g| [ Rµν − 1 2 gµνR − κTµν ] δgµν + δ(matéria) = 0 , obtendo-se as equações de Einstein com matéria Rµν − 1 2 gµνR = κTµν , 6 Os correspondentes momentos conjugados (Pµ = ∂L/∂x µ) para a lagrangiana (7) são Pt = ∂L ∂ṫ = ( 1 − 2M r ) ṫ , (8) Pϕ = ∂L ∂ϕ̇ = −r2 sin2 θϕ̇ , (9) Pr = ∂L ∂ṙ = − ( 1 − 2M r )−1 ṙ , (10) Pθ = ∂L ∂θ̇ = −r2θ̇ . (11) Note que como a métrica não depende nem de t e nem de ϕ, tem-se que, d dτ ( ∂L ∂ẋµ ) = 0 , para µ = t e µ = ϕ na equação (4). Logo, Pt = ( 1 − 2M r ) ṫ = E , (12) Pϕ = r 2 sin2 θϕ̇ = −L , (13) sendo E e L constantes de movimento, que estão relacionadas a energia e ao momento angular para uma geodésica tipo tempo. A hamiltoniana do sistema é dada por, H = Pµẋ µ − L , que pelos momentos conjugados tem-se H = L 2H = ( 1 − 2M r ) ṫ2 − ( 1 − 2M r )−1 ṙ2 − r2(θ̇2 + sin2 θϕ̇2) 2H = ( 1 − 2M r )−1 E2 − ( 1 − 2M r )−1 ṙ2 − r2θ̇2 − L2 r2 sin2 θ . Como H independe explicitamente de t pode-se deduzir que H = δ1/2, onde sem perda de generalidade, se tem que δ1 = { 1 para geodésicas tipo tempo, 0 para geodésicas tipo luz. 9 Logo, ṙ2 = E2 − ( 1 − 2M r ) ( r2θ̇2 + L2 r2 sin2 θ + δ1 ) . Por se tratar de uma simetria esférica, os efeitos serão os mes- mos em qualquer θ. Então, por simplicidade faremos os estudos no plano equatorial (θ = π/2), o que nos da ṙ2 = E2 − V 2ef , (14) sendo, V 2ef = ( 1 − 2M r ) ( L2 r2 + δ1 ) o potencial efetivo. Iremos nos entreter agora, nas geodésicas radiais nulas, ou seja, o caminho que a luz percorre radialmente em Schwarzschild. O que representa { ds = dθ = dϕ = 0; δ1 = L 2 = 0. Logo, utilisando as equações (12) e (14), encontra-se ṙ = ±E , ṫ = ± ( 1 − 2M r )−1 ṙ dt = ±dr∗ , sendo, dr∗ = ( 1 − 2M r )−1 dr r∗ = r + 2M ln |r − 2M | + c0. (15) Agora Ȧ 6= ∂A/∂τ), mas sim Ȧ = ∂A/∂λ, onde λ é um parametro afin ao longo da geodésica. Portanto, t = ±r∗ = ±(r + 2M ln |r − 2M | + c1), 10 sendo c0 e c1 constantes de integração, que sem perda de informa- ções podemos igualar a zero. Assim, podemos definir as coorde- nadas radiais nulas (crn) emergentes e incidentes respectivamente, como sendo, u = t − r∗ , −∞ < u < +∞ ; (16) v = t + r∗ , −∞ < v < +∞ . (17) Pode-se observar, que agora as coordenadas u e v cobrem todo o espaço para r = 2M e r → ∞. Substituindo a coordenada (17) na métrica (6), encontra-se ds2 = ( 1 − 2M r ) (dt2 − dr∗2) − r2dΩ2 = ( 1 − 2M r ) dv2 − 2drdv − r2dΩ2 . (18) Observa-se, que não se tem mais a singularidade em r = 2M mos- trando que esta é realmente uma singularidade de coordenadas. Definindo uma nova coordenada temporal t̄ = v − r, podemos traçar o gráfico abaixo, Figura 1: Solução de Schwarzschild em função das coordenadas avançadas de Eddington-Finkelstein. O gráfico acima representa o que chamamos de buraco negro, pois como pode se ver nem mesmo a luz pode retornar da região 11 Figura 3: Solução de Schwarzschild em função das coordenadas de Kruskal- Szekeres. Eddington-Finkelstein fig (2), sendo que, a região I corresponde à solução de Schwarzschild para r > 2M e a região II corresponde à solução de buraco negro. As regiões I e II ′ correspondem a solução atrasada de Eddington-Finkelstein fig (3), sendo que, a região II ′ corresponde a solução de buraco branco. A nova região I ′ é idên- tica a solução exterior de Schwarzschild assintoticamente plana I, correspondendo a um novo universo. O que um observador externo vê? Para responder esta pergunta, analisaremos o movimento radial de uma partícula massiva, ou seja, δ1 = 1. Como já foi dito antes no movimento radial ϕ é constante, o que implica que L = 0. Logo, a equação (14) torna-se ṙ2 = E2 − 1 + 2M r . (29) Diferenciando a equação acima por τ e dividindo por ṙ, encontra- se r̈ = − M r2 , (30) que corresponde precisamente a mesma forma de movimento para a gravitação Newtoniana. Isto não implica, porém, nos mesmos re- sultados fisicos. Pois, r não é a distância radial aplicada por Newton e τ é o tempo próprio da partícula e não o tempo universal ou abso- luto que Newton adotava para qualquer referencial. 14 Um bom exemplo, seria conciderar uma partícula que foi tirada do repouso em r = R. Pela equação (29) se vê imediatamente que E2 = 1 − 2M R . (31) Então, voltando a equação (29), tem-se ṙ2 2 = M ( 1 r − 1 R ) . (32) Está equação tem a mesma forma que a fórmula de Newton, equipa- rando o ganho de energia cinética para a perda de energia potencial gravitacional de uma partícula, saindo do repouso em r = R. Isso fornece uma maneira útil para lembrar esta equação, mas os dife- rentes significados de r = R e de ṙ devem voltar a serem levados em consideração. Poderíamos continuar nossa análise desta situação, que é bas- tante geral, mas podemos ilustrar as principais características fí- sicas, examinando uma partícula que saio do repouso no infinito. Neste caso, pela (31) é evidente que E = 1 e a álgebra é muito menos complicada. Assim, no caso em que E = 1, tem-se nas equações da geodésica (12) e (29) que ṫ = dt dτ = ( 1 − 2M r )−1 , (33) ṙ = dr dτ = − √ 2M r . (34) Assim, obtemos a quadri velocidade da partícula com as coorde- nadas uµ = dxµ dτ =   ( 1 − 2M r )−1 ,− √ 2M r , 0, 0   . (35) A equação (34) determina a trajetória r(τ). Integrando (34) obtem- se imediatamente que τ = 2 3   √ r30 2M − √ r3 2M   . (36) Nota-se que r = r0 o tempo próprio τ é zero. Sendo, τ o tempo próprio da partícula em queda de r = r0 no raio coordenada r. 15 Podemos usar a regra da cadeia e escrever a trajetoria de r(t) no plano (t, r), que é escrito como dr dt = dτ dt dr dτ = − ( 1 − 2M r ) √ 2M r . (37) Integando a equação (37), encontra-se t = 2 3   √ r30 2M − √ r3 2M  + 4M ( √ r0 2M − √ r 2M ) +2M ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ( √ r/2M + 1 √ r/2M − 1 )( √ r0/2M − 1 √ r0/2M + 1 )∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (38) Observe que se tem t = 0 em r = r0. Pode-se fazer a seguinte análise para as equações (36) e (38): τ → 2 3 √ r30 2M quando r → 0 , t → ∞ quando r → 2M , ou seja, o tempo coordenada t que é o tempo experimentado por um observador parado num raio muito longe de r = 2M , tem-se que, para este observador como se viu na análise acima, a partícula leva um tempo infinito para chegar a r = 2M . No entanto, o tempo próprio que é o tempo medido pela partícula para alcançar r = 2M é finito. 0.3 Termodinâmica de buracos negros No início dos anos 70, para analisar a perda de informação na formação de um buraco negro, Bekenstein formulou uma termo- dinâmica clássica de buracos negros. Utilizando a métrica de Kerr- Newman, obteve dM = τHdA + ΩHdJ + ΦHdQ , (39) onde τH , ΩH e ΦH denotam a tensão superficial, a velocidade angu- lar e o potencial elétrico sobre o horizonte de eventos, respectiva- mente. Além disto, M , A, J e Q são a massa, a área, o momento angular e a carga do buraco negro. 16 da mecânica dos buracos negros que nos diz que δA ≥ 0 e con- sequentemente, por comparação, a segunda lei da termodinâmica estatística. Porém, pode-se utilizar a generalização da segunda lei para os buracos negros incluindo a entropia total do universo, de modo que ST = Sbn + SE ≥ 0 , (47) onde Sbn é a entropia do buraco negro, SE a entropia do resto de matéria do universo, contida no exterior do buraco negro, e ST a entropia total do universo. Neste caso a entropia do buraco ne- gro diminui mas a entropia do resto do universo, no exterior do buraco negro, aumenta de tal forma que a segunda lei da termodi- nâmica continua sendo válida. A radiação Hawking e todas as suas consequências são efeitos puramente quânticos não tendo análogos clássicos. Pode-se escrever a primeira e a segunda lei dos buracos negros, via processos quânticos, na forma dM = THdSbn + termos de trabalho , (48) δSbn → 0 mas δST ≥ 0 . (49) Existem vários métodos para se calcular a radiação Hawking. Métodos estes que serão deixados para uma proxima oportunidade. 19 Referências Bibliográficas [1] R. M. Wald, General Relativity, Chicago: editado por University of Chicago (1984); [2] S. Chandrasekhar, The Mathematical Theory of Black Holes, New York: editado por Oxford University (1992); [3] R. D’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity, editado por Ox- ford (1993); [4] Derek Raine e Edwin Thomas, Black Holes An Introduction, London: editado por Imperial College (2005); [5] M. P. HOBSON, G. P. EFSTATHIOU e A. N. LASENBY, Gene- ral Relativity An Introduction for physicists, Cambridge: editado pela Universidade de Cambridge (2006). 20 Métricas assintoticamente planas: Métrica de Schwarzschild: ds2 = ( 1 − 2M r ) c2dt2 − ( 1 − 2M r )−1 dr2 − r2dΩ2 , sendo dΩ2 = dθ2 + sin2 θdϕ2. Métrica de Reissner-Nordstrom: ds2 = ( 1 − 2M r + Q2 r2 ) dt2 − ( 1 − 2M r + Q2 r2 )−1 dr2 − r2dΩ2 = (r − r+)(r − r−) r2 dt2 − r2 (r − r+)(r − r−) dr2 − r2dΩ2 . Observa-se que esta métrica possui duas singularidades de coorde- nadas em r± = M ± √ M2 − Q2. Métrica de Kerr: ds2 = ( 1 − rsr ρ2 ) dt2 + 2rsra ρ2 sin2 θdt2dϕ2 − ρ2 ∆ dr2 − ρ2dθ2 − [ ( r2 + a2 )2 − ∆a2 sin2 θ ] sin2 θ ρ2 dϕ2 , onde rs = 2M é o raio de Schwarzschild, a = J/M é o momento angular por unidade de massa, ρ2 = r2 +a2 cos2 θ e ∆ = r2−2Mr+a2. Diferente dos casos de Schwarzschild e Reissner-Nordström, gtt = 0 não fornece os horizontes de eventos antes determinados. Ao con- trário, esta condição define a ergosfera. De fato, gtt = 0 1 − rsr ρ2 = 0 r±(e) = M ± √ M2 − a2 cos2 θ , (50) onde o sinal + representa uma superfície limite de um espaço- tempo estacionário e a região r+ < r < r+(e) é denominada ergos- fera, uma região na qual o espaço-tempo rotaciona, inclusive a luz, no sentido da rotação do buraco negro. Note que gtt = 0 coincide com o horizonte de eventos somente nos pólos θ = 0 e θ = π. Métrica de Kerr-Newman: ds2 = ∆(e) ρ2 dt2 + 2a(2Mr − Q2) ρ2 sin2 θdt2dϕ2 − ρ2 ∆ dr2 − ρ2dθ2 − [ ( r2 + a2 )2 − ∆a2 sin2 θ ] sin2 θ ρ2 dϕ2 , 21