Escaomento bi-dimensional ideal - Apostilas - Engenharia Física Part1, Notas de estudo de Engenharia Física

Baixe Escaomento bi-dimensional ideal - Apostilas - Engenharia Física Part1 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Física, somente na Docsity! CAPITULO 2 ESCAOMENTO BI-DIMENSIONAL IDEAL 2.1 Fundamentos básicos 2.1.1 Função corrente para escoamento incompressível bidimensional É conveniente dispor de um meio para descrever matematicamente qualquer configuração de escoamento. Uma descrição adequada deverá retratar a noção da forma das linhas de corrente e a escala das velocidades em pontos representativos de escoamento. Um dispositivo matemático que serve para esse fim é a função de corrente, ψ . Ela é formulada como uma relação entre as linhas de corrente e o princípio de conservação de massa. A função corrente é uma função matemática única, ( )yx,ψ que substitui as duas componentes de velocidade ( ) ( )yxvyxu ,,, . Para um escoamento incompressível bidimensional no plano yx, , a conservação da massa pode ser escrita como: 0= ∂ ∂+ ∂ ∂ y v x u (2.1) Se uma função contínua, ( )yx,ψ chamada função corrente for definida de modo que: v x y u ∂ ∂= ∂ ∂ = ψ ψ (2.2) Deste modo à equação de conservação é satisfeita. É importante lembrar que linhas de corrente são linhas traçadas no campo de escoamento tais que, num dado instante, são tangentes à direção de escoamento em cada ponto no campo de escoamento. Logo se → rd é o comprimento de um elemento ao longo de uma linha de corrente, a equação da linha de corrente é dada por: ( ) ( ) ( )vdxudykjdyidxjviudrV −=+×+==× →→ 0 (2.3) Então, a equação de uma linha de corrente num escoamento bidimensional é: 0=− vdxudy Substituindo os componentes da velocidade vu e , em termos da função de corrente, encontramos que, ao longo de uma linha de corrente 0= ∂ ∂+ ∂ ∂ dy y dx x ψψ mas a função ( )yx,ψψ = , logo dy y dx x d ∂ ∂+ ∂ ∂= ψψψ Comparando as duas equações, temos: 0=ψd ou =ψ constante ao longo da linha de corrente. (2.4) Como o diferencial de ψ é exato, a integral de ψd entre dois pontos no campo de escoamento, isto é, 12 ψψ − , depende apenas dos pontos extremos da integração. 30 2.1.2 Potencial de velocidade Um escoamento irrotacional é aquela no qual os elementos fluidos movendo-se no campo de escoamento não estão sujeitos a qualquer rotação. Para 0 ,0 =×∇= →→ Vω e assim             ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ = → y u x v k x w z u j z u y w i 2 1 ω O fator 2 1 pode ser eliminado definindo uma grandeza chamada vórticidade ζ ou seja →→→ ×∇== Vωζ 2 Para 0= → ω , ou seja, escoamento irrotacional y u x v x w z u z v y w ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ (2.5) Podemos formular uma relação chamada função potencial, φ , para um campo de velocidade irrotacional. Para isso, devemos usar a identidade vetorial fundamental rotacional ( ) 0=∇×∇= φφgrad que é valida se φ for uma função escalar tendo derivadas primeira a segunda continuas. Então para um escoamento irrotacional no qual 0=×∇ → V , deve existir uma função escalar φ tal que o gradiente de φ seja proporcional ao vetor de velocidade → V . A fim que o sentido do escoamento seja o de φ decrescente definimosφ tal que φ−∇= → V (2.6) Portanto zy v x u ∂ ∂−= ∂ ∂−= ∂ ∂−= φφφ w, , (2.7) 2.1.3 Função de corrente e potencial de velocidade para escoamento incompressível, irrotacional e bidimensional. Para um escoamento incompressível, bidimensional e irrotacional, temos expressões para os componentes de velocidade vu e em função de φψ e . x v y u ∂ ∂−= ∂ ∂= ψψ , y v x u ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= φφ , Substituindo vu e na condição de irrotacionalidade 0= ∂ ∂− ∂ ∂ y u x v obtemos 0 2 2 2 2 = ∂ ∂+ ∂ ∂ yx ψψ (2.8) Substituindo vu e na equação de conservação de massa 0= ∂ ∂+ ∂ ∂ y v x u obtemos 33 2.2 Escoamento plano elementar 2.2.1 Escoamento uniforme Para um escoamento uniforme ou escoamento paralelo irrotacional e em regime de velocidade V inclinada com ângulo α ao eixo x, figura 2.2. yx Vu ∂ ∂= ∂ ∂== ψφαcos (2.17) xy Vsenv ∂ ∂ = ∂ ∂ == ψφ α (2.18) Consequentemente, ( ) vyuxysenxV +=+= ααφ cos (2.19) e ( ) vxuyxsenyV −=+= ααψ cos (2.20) As constantes de integração são omitidas o que não afeta as linhas de configuração neste tratamento geral. As constantes podem ser avaliadas, se for necessário, se o valor numérico de ψφ ou for conhecido num certo ponto no campo de escoamento. Em coordenadas polares, as equações (2.19) e (2.20) tornam-se: ( ) ( )αθαθαθφ −=−= coscoscos VrsensenVr (2.21) ( ) ( )αθαθαθψ −=−= VrsensensenVr coscos (2.22) Figura 2.2 Escoamento uniforme inclinado com ângulo α relativo ao eixo x. 2.2.2 Fonte (e sorvedouro) Se o escoamento no plano x-y é radialmente para fora de um ponto e simétrico em todas as direções no plano de referência, o ponto é chamado de fonte simples, figura 2.3. Se o escoamento é radialmente para dentro, o ponto é chamado de sorvedouro. Fontes e sorvedouros são conceitos matemáticos convenientes, mas sem exatamente equivalentes na natureza por se tratar de processo contínuo de geração ou sucção de fluido no ponto e respectivamente, e que as velocidades na região destes pontos aproximam de valores infinitos. 34 Figura 2.3 Fonte na origem do sistema de coordinada. A intensidade de uma fonte é definida como a vazão total, q e para o sorvedouro (-q). Em qualquer raio r, da fonte, sendo que a velocidade tangencial θv é zero, r e r ∂ ∂ ∂ ∂ ψ θ φ1 são zeros, isto é, φ varia somente com r e ψ varia somente com θ , e assim, θ ψφ π d d rdr d r qvr 1 2 === (2.23) ou nrmnrq ll == π φ 2 (2.24) e θθ π ψ m q == 2 (2.25) onde, π2/qm = As linhas de φ constante são círculos concêntricos com centro no ponto da fonte e as linhas de ψ constantes são linhas de θ constantes ou raios. Pode-se observar que o escoamento pra fora entre qualquer dois raios 21 ψψ e cujas direções são 21 θθ e respectivamente, é, ψθ θ ψ θ drd dr rdVdQ r = ∂ == 1 , Em coordenadas cartesianas, ( )2222 2 yxnmyxnmf +=+= ll (2.26) e x ym? 1tan−= (2.27) e 222cos yx mx r mxvu r + === θ 222 yx my r mysenvv r + === θ Se a fonte está localizada no ponto P (x1, y1) na figura 2.4. 35 ( ) ( )[ ]21212 yyxxn mnrm −+−== llφ (2.28) 1 11tan´ xx yy mm − − == −θψ (2.29) Para o caso de sorvedouro, nas equações acima, m é trocado por (-m). Figura 2.4 Fonte no ponto P( x1, y1). 2.2.3 Vórtice irrotacional A configuração de escoamento na qual as linhas de corrente são círculos, é chamada de vórtice circular. Se as partículas de fluido giram enquanto revolvem em torno do centro do vórtice, o vórtice é rotacional (forçado). Se as partículas não giram, o vórtice é irrotacional ou livre. No cálculo da distribuição de velocidade num vórtice irrotacional é considerado que a pressão por causa das forças centrífugas varia radialmente e que a equação de Bernoulli é aplicada através das linhas de corrente, isto é, radialmente. Na figura 2.5, a aceleração centrífuga rv /2θ do elemento de fluido é igual a força líquida de pressão atuando radialmente para dentro dividida pela massa. Se a área da seção do elemento médio no plano normal ao raio é dA, então, r v dr dpg dAdr g Ad massa Força 2θ γγ ρ === Assim, dr gr vdp 2θ γ = (2.30) A equação de Bernoulli aplicada para escoamento no plano horizontal é: tecons g vp tan 2 2 =+ γ ou g dvvdp θθ γ −= (2.31) 38 DACDBCABABCD LLLL +=+=Γ 000 =−−+= DDAA rVrV Pelo fato que vr é constante para um vórtice irrotacional. Figura 2.8 Representação gráfica de a) combinação de fonte e sorvedouro, b) doublet na origem. 2.2.4 Doublet ou dipolo Para produzir a configuração de um doublet, uma fonte e um sorvedouro da mesma intensidade numérica q, figuras 2.8a e 2.8b, são considerados a se aproximarem um do outro tal que a distância Sδ entre eles diminua aproximadamente a zero, suas intensidades aumentam de modo que o produto       S q δ π2 ou 39 Smδ tende a um valor finito µ onde µ é chamada de intensidade de doublet com seu eixo na direção de Sδ , considerada positiva do sorvedouro para a fonte, como está na figura 2.8c. Para determinar as funções ψφ e de um doublet, usaremos a aproximação ( ) 11 <<≅+ xsexxnl . Tendo em vista que: 1,1... !2 1 2 <<+≅+++= xsex x xex . Sendo que para qualquer ponto P na figura 2.8b, 21 , nrmenrm somedourofonte ll −== φφ A soma dos dois, ( )       +=      + =−= 22 2 21 1 r nm r r nmnrnrmm rr δδ φ llll ( ) 2 2 2 cos r m r m Sr δθθδδ − =+≅ À medida que δθ se aproxima de zero, Smδ se aproxima de φµ e que se aproxima de r θµ cos para a função de ψ , ( ) 22 21 r senm r mm Sn θδδ θθψ −=−≅−= À medida que Sδ se aproxima de zero, m Sδ aproxima-se de µ e consequentemente, ψ se aproxima de      − r senθµ . Assim, para o caso de doublet, 22 cos yx x r + == µθµφ (2.37) 22 yx y r sen + −== µθµψ (2.38) As curvas de tecons tan=φ tem ( )θcos/r constante e portanto, apresenta círculos tangentes ao eixo y, como está na figura 2.9a. As curvas de ψ = constante tem ( )θsenr / constante e representa círculos tangentes ao eixo x, como está figura 2.9b. Os componentes da velocidade em qualquer ponto na configuração de doublet são: 2 cos1 rr vr θµ θ ψ −= ∂ ∂= 2r sen r v θµψθ −=∂ ∂−= O valor da velocidade absoluta no ponto é: 2 22 r vvV r µ θ =+= (2.39) Observa-se que a magnitude da velocidade é constante em qualquer circulo com o centro no doublet. 40 Figura 2.9 Doublet; a) as linhas equipotenciais; b) as linhas de corrente. 2.3 Superposição de escoamentos elementares para formular escoamentos mais complexos As soluções dos escoamentos elementares são soluções da equação de Laplace e, portanto podem ser usados para obter soluções de casos novos e de configurações complexas. Figura 2.10 Superposição gráfica de escoamento uniforme. 43 0 2 =−=−= Ss r mU r qUV π (a) Figura 2.13 Superposição de escoamento uniforme e uma fonte (b) Figura 2.13 Escoamento em torno de meio corpo. Assim, U q U mrS π2 == (2.41) Também no ponto S, πθ = e assim da equação de ψ , θ π θψ 2 qUrsen += 22 0 qq =+= π π Deste modo a equação da linha de corrente que passa pelo ponto S, 44 22 qqUrsen =+= θ π θψ ou ( ) ( ) ?Usen ?pm ?Ursenp ?pqr −=−= 2 (2.42) Esta equação é a equação do meio corpo. iii) Metade da largura do corpo num ponto qualquer ( )´,́θr é: ( )´ 2 ´´ ?p Up q ?senrh −== (2.43) O valor limite quando 0´→θ , é: ( ) U q h 2/ max = (2.44) Nesta posição da largura máxima hmax, a velocidade de escoamento é igual ‘a velocidade de escoamento uniforme conforme, figura 2.13. iv) A velocidade em qualquer ponto P no escoamento é, θcos r mUu += θcos0 r m v += Assim, ? r mU r m UvuV cos 2 2 2 2222 ++=+= Se a pressão no infinito, onde a velocidade é U, é po e a pressão em qualquer ponto P é:       +−=−= − r ? Ur m U m U V U? pp o cos21 2 1 22 2 2 (2.45) v) Da equação do meio corpo, ( ) ( )?p ?rsen U m ?Usen ?pm r − =⇒ − = Assim, ( ) ( )      + −− −= − r ? r?p ?rsen ?p ?rsen U? pp o cos2 2 1 22 ( ) ( )      + −− −= r ? r?p ?sen ?p ?rsen cos2 ( ) ( )      + −− −= ? ?p ?sen ?p ?sen cos2 (2.46) 45 Esta equação fornece a distribuição de pressão sobre a superfície do meio corpo, como está apresentada na figura 2.13. No ponto de estagnação S, V = 0 e da equação (2.45), 2 2 1 U? pp o− = 1. Para localizar o ponto P onde a pressão é igual a p = po, da equação (2.46), o3,113=θ . 2.3.3 A superposição de uma fonte, sorvedouro e um escoamento uniforme O escoamento em torno de um cilindro formado pela superposição de escoamento de um doublet e um outro uniforme, pode ser considerado, como um caso especial de escoamento em torno de corpo de Rankine, formado pela combinação de uma fonte, um sorvedouro e escoamento uniforme como está na figura 2.14b. A função corrente da combinação é: θθθψ Ursenmm +−= 21 ( ) θθθ Ursenm +−= 21 (2.47) E a função potencial é: θφ Ursennrmnrm +−= 21 ll θUrsen r r nm += 2 1l (2.48) i) Comprimento do corpo de Rankine O espaçamento entre a fonte e o o sorvedouro é 2a, metade do comprimento do corpo de Rankine rs pode ser determinado a partir do ponto de estagnação S, para a qual, π2 ,, 21 qmarrarr ss =+=−= A velocidade no ponto de estagnação S é: 2121 22 0 r q r q U r m r m UV ππ +−=+−== ou 0 11 2 =      + − − − arar q U ssπ Assim, 1 2 += aU m ars (2.49) ii) Perfil do corpo de Rankine No ponto S, tendo em vista que 0,21 === ψπθθ , isto é, o eixo x e o perfil através de S constituem a linha de corrente 0=ψ . Assim, a equação de perfil é: ( ) 021 =+−= θθθψ Ursenm (2.50) ou ( ) θ θθ Usen m r 12 − = (2.51) iii) Largura do corpo de Rankine Para o ponto P´, figura 4.14c, .2/, 21 πθαπθαθ =−== e Assim, ( ) U mh 2 2απ −= ou 48 Figura 2.15 Combinação de doublet e escoamento uniforme . Figura 2.15 Combinação de doublet e escoamento uniforme ( escoamento em torno de um cilindro). Substituindo nas equações (2.58), r = a, para obter as velocidades sobre a superfície do cilindro, 0=rq θθ Usenq 2= Assim, a velocidade na superfície do cilindro é θUsen2 e é independente do raio do cilindro. Distribuição de pressão em torno do cilindro Se um cilindro longo é colocado num escoamento uniforme, as linhas de corrente em torno do cilindro são idealmente dadas pela equação de ψ e a velocidade sobre a superfície é dada por: q = θUsen2 (2.59) pelo uso da equação de Bernoulli, ( )222 2 2 1 2 1 2 1 θρρρ UsenpqpUpo +=+=+ e assim, [ ]θρ 22 41 2 1 senUpp o −=− (2.60) 49 ou [ ]θ ρ 2 2 41 2 1 sen U pp C op −= − = (2.61) Figura 2.15d Escoamento ideal em torno de um cilindro parado. 50 2.3.5 Combinação de doublet, vórtice e escoamento uniforme (escoamento em torno do cilindro com circulação) Figura 2.16 Escoamento irrotacional em torno de um cilindro com circulação. Figura 2.17a Distribuição de pressão em torno de um cilindro num escoamento ideal. A configuração do escoamento da esquerda para direita em torno de um cilindro de raio a (combinação de escoamento uniforme e doublet), colocando junto a um vórtice na direção horária é representada por: 53               +−−= 2 2 2 21 2 1 aU K senU π θρ (2.65) A força de pressão resultante na direção x é: 0cos 4 0 =−= ∫ π θθdpaX (2.66) A força na direção y; a força de sustentação: UKdpasenY ρθθ π −=−= ∫ 2 0 (2.67) Se U é positivo e K é negativo (sentido horário), assim Y é positivo. Sendo que a intensidade de vórtice K é igual à circulação Γ em torno do cilindro, pode-se escrever: cilindrodoocompriemntdeunidadeUKY /ρ= . Figura 2.18b Aplicação do conceito de um cilindro com circulação para produzir propulsão num barco. Figura 2.19a Combinação de fonte e vórtice. 54 Figura 2.19b Combinação de sumidouro e vórtice. 2.3.6 Vórtice (sentido horário) e escoamento uniforme ln 2 ln 2 '' θ π π ψψψ Ursenr K Uyr K fv += +=+= (2.68) θθ π θ π φφφ cos 2 2'' Ur K Ux K fv −−= −=+= (2.69) 2.3.7 Fonte e vórtice (vórtice espiral) r Kq vf ln22 π θ π ψψψ −=+= (2.70) θ ππ φφφ 2 ln 2 Krqvf −−=+= (2.71) As linhas de corrente são mostradas na figura 2.19a. 2.3.8 Sumidouro e vórtice rKqvs ln22 π θ π ψψψ −−=+= (2.72) θ ππ φφφ 2 ln 2 K r q vs −=+= (2.73) As linhas de corrente são mostradas na figura 2.19b. 2.3.9 Par de vórtices De intensidade igual, rotação oposta, distância de a2 . 1 2 21 ln 2 ln 2 ln 221 r rK r K r K vv π ππ ψψψ = +−=+= (2.74) 55 Figura 2.19c Combinação de par de vórtices. Tabela 2.1 Possiveis escoamentos irrotacionais ( )12 21 2 2221 θθ π θ π θ π φφφ −= +−=+= K KK vv (2.75) As linhas de corrente são mostradas na figura 2.19c.Tabela 2.1 mostra resumo dos alguns escoamentos irrotacinaias.